第一节 数列极限的定义与性质
2.1数列的极限
xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
较难的题目
证明 lim n n 1 n
记住结论
证 对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令 un n n 1 0 适当扩大
n
(1
un )n
1
nun
n(n 1) 2
un2
n(n 1) 2
un2
un2
2 n1
un
2
n1
2
n 2 1
取
N
2
2
1
1
则当n > N时, 恒有
n n 1
故 lim n n 1. n
类似地证明: 当 a 1是给定的实数时, lim n a 1 n
简证 令 un n a 1 0
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xnk 在原
数列 xn中却是第 nk 项，显然，nk k.
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．
正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,不等式 xn a
都成立,那么就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N 0,使n N时, 恒有 xn a
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列极限的概念及定义性质
局部 保号性
定理 3（收敛数列的 保号性）如果
lim
n
xn
a
且a>0(或a<0), 则总存在正整数N, 当n>N 时, 有
xn>0 (或 xn<0) .
xN +1, xN +2, xN+3,···
(
)x
a− a a+
推论 如果数列{xn}从某项起有 xn 0 (或 xn0), 且
lim
n
xn
a
则 a 0(或 a 0)
n n
lim(1)n 1 ? 0 .
n
n
例2
证明
(1)n
lim
n
(
n
1)2
0.
证 对 > 0,
取N
[1] 1 ,
则当
n>N
时,
有
|xn−0 |=
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1) 2
1 n
<
,
(1)n
故
lim
n
(n
1)2
0.
为了简化解不 等式的运算,常 常把 | xn−a| 作 适当地放大.
给定0.001, 给定0.0001,
只要 n>1000时, 有 |xn−1|< 0.001, 只要 n>10000时, 有 |xn−1|< 0.0001,
给定 >0, 当 n N ( [1] )时, 有 |xn−1|< 成立.
定义2 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给
定的正数 , 总存在正整数N, 使得当n>N时, 不等式
定义2 “ −N ” 定义
第1节 数列的极限
因 交替取1和-1， 而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内， 故数列 发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界 证 有 设
取
， 存在 N ， n N 时 当
取
则有 证毕.
第2章
极限与连续
说明 例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛 数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。 如 数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近， 但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定 【定义 2.2】 已知数列 yn ， 的正数 ， 总存在一个正整数 N ， n N 时， 当 有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时， 数列 yn 以常数 A 为极限。 记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近
a b 无限小
a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM
大学数列的极限知识点归纳总结
大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。
其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。
本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。
2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。
二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。
2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。
2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。
3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。
四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。
2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。
斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。
数列极限的性质与计算
数列极限的性质与计算数列是数学中一种重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
在数学中，我们经常会遇到数列的极限问题。
数列极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列的某个特定值。
本文将探讨数列极限的性质与计算方法。
一、数列极限的定义与性质数列极限的定义：设有数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε成立，那么数a就是数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
数列极限的性质：1. 极限的唯一性：如果数列{an}存在极限，那么该极限是唯一的，不会有其他极限存在。
2. 极限的有界性：如果数列{an}存在极限，那么这个数列必然是有界的，即对于某个正数M，对于任意的n，有|an|≤M成立。
3. 极限的保序性：如果数列{an}存在极限，且由an≤bn（n为任意正整数）可得an的极限不大于bn的极限；由an≥bn可得an的极限不小于bn的极限。
二、数列极限的计算方法根据数列极限的定义，可以通过以下几种方法来计算数列的极限。
1. 递推法：对于一些简单的数列，可以通过递推公式来计算其极限。
例如，斐波那契数列的递推公式是an = an-1 + an-2，初始值为a1=1，a2=1。
通过递推公式计算，可以得到斐波那契数列的极限为黄金分割比（约为1.618）。
2. 常用极限法则：利用一些已知的数列极限的性质，可以计算复杂数列的极限。
例如，对于数列an=(n+1)/(3n+2)，可以利用极限的四则运算法则，将该数列拆分成两个已知的数列的极限，从而计算得到极限为1/3。
3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的计算数列极限的方法。
它可以用来证明极限的存在，并且在计算极限时也非常有用。
夹逼准则的思想是通过找到两个数列，一个比待求数列始终大，另一个比待求数列始终小，且两个数列的极限相等，从而确定待求数列的极限。
例如，对于数列an=sin(πn/2)，可以利用夹逼准则证明其极限不存在。
第一节 极限的定义
2
六、 无穷大
记作
( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ )
无穷大是极限不存在的一种情形， 注：无穷大是极限不存在的一种情形，这里借用极 限的记号，但并不表示极限存在 限的记号，但并不表示极限存在.
∧
∧
性质3 （保号性）若 f ( x) = A且A > 0(或A < 0), 则存在某个 lim
x→x0
去心邻域 ( x0 , δ )，在N ( x0 , δ )内f ( x) > 0(或f ( x) < 0). N
推论：若在某个去心领域N ( x 0 , δ )内, f ( x) ≥ 0(或f ( x) ≤ 0)，且
第一节 极限的定义
二、数列的极限 三、极限的性质 五 、无穷小 六 、无穷大
一 、数列极限的定义 定义: 定义 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 设 称为通项(一般项) . 为一数列 如果存在常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 , 则称该数列 的极限为 a , 记作 或 u n → a (n → ∞)
1 所以，f ( x) = 1 + 为所求极限值与一个无穷小之和的形式. x
3、无穷小运算性质 、 定理5 有限个无穷小的代数和是无穷小. 定理 有限个无穷小的代数和是无穷小 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小
1 2 n 如：n → ∞时， 2 , 2 ,..., 2 均为无穷小， n n n
2、 无穷大与无穷小的关系 定理7
第一节数列极限
恒有 xn − a < ε .
其中 ∀ : 对任意的 ; 几何解释: 几何解释:
∃ : 至少有一个或存在 .
a−ε
x 2 x1 x N + 1
2ε
a
a+ε
x N + 2 x3
x
当n > N时, 所有的点 x n 都落在 (a − ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意： 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,⋯ , x n ,⋯ .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
( −1)n−1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n 问题: 无限增大时, 问题 当 n 无限增大时 x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是 如何确定? 如果是,如何确定 确定的数值 如果是 如何确定 ( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n
lim xn = a, 或 xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意： 注意：.不等式 x n − a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
2 . N = N ( ε ).
“ε − N”定义:
lim xn = a ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N > 0, 使当n > N时,
例如
2 , 4 , 8 , ⋯ , 2 n , ⋯;
数列极限知识点总结
数列极限知识点总结一、数列的极限定义数列是一系列按照一定次序排列的数的集合，通常表示为{an}，其中an表示数列的第n 个元素。
数列的极限是数列中的元素随着n的增大而逐渐接近某个值L，当n趋于无穷大时，数列的所有元素都逼近于L。
我们用极限符号lim(n→∞)an=L来表示数列{an}的极限为L。
对于一个给定的数列{an}，如果它的极限存在且为L，我们称{an}收敛于L，记作lim(n→∞)an=L。
如果数列的极限不存在，我们称数列发散。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限值是唯一的，即如果数列{an}收敛于L1和L2，那么L1=L2。
2. 有界性：收敛数列是有界的，即存在一个实数M，使得对于所有的n，有|an|<M。
3. 保号性：如果数列{an}收敛于L>0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an>0；如果数列{an}收敛于L<0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an<0。
三、数列极限的收敛定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}、{cn}是三个数列，如果存在一个正整数N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么数列{bn}也收敛于L。
2. 复合函数极限定理：设{an}是一个数列，f(x)是一个定义在R上的函数，如果lim(n→∞)an=a存在，f(x)在x=a周围有定义，并且lim(x→a)f(x)=L存在，那么lim(n→∞)f(an)=L。
3. 唯一性定理：如果一个数列存在极限，那么它的极限是唯一的。
四、数列极限的经典例题1. 例题一：计算数列lim(n→∞)(1+1/n)n。
解析：利用自然对数的极限定义可得lim(n→∞)(1+1/n)n=e。
2. 例题二：利用夹逼定理证明数列lim(n→∞)(1/n)=0。
解析：由于-1/n≤1/n≤1/n，且lim(n→∞)(-1/n)=lim(n→∞)(1/n)=0，根据夹逼定理可得lim(n→∞)(1/n)=0。
大学数学21_数列极限
lim xn a , 或 xn a ( n )
n
如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注： 1. 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2. N与任意给定的正数 有关. 一般地， 越小，N越大.
2016/3/2 8
N定义：
lim x n a
第二章
第一节 数列的极限
一 数列极限的定义 二 收敛数列的性质 三 小节
2016/3/2 1
一、数列极限的定义
1.数列 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
， 2， 3 如 自然数列 { xn } {n},即 1
而 { xnk } {2k }就是{n}的子数列.
2016/3/2 16
3.收敛数列与其子列的关系
如果数列{xn }收敛于 a, 那么它的任意子列 也收敛于 a.
证 设数列{ x nk }是数列{ x n }的任一子数列.
lim x n a ,由定义， 0, N , 使得
给定 0, 只要 n N ( [ ])时,有 xn 1 成立.
1
2016/3/2
7
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 N ，使得对于 n N 时的一切 xn 不等式 | xn a | 都成立, 那末就称常数 a 为数列 x n的极限，或者称数列收敛于 a ,记为
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
数列的概念数列的极限收敛数列的性质
a, a, a, , a, .
{xn }中，已知x1 1，x2 1，当n 2时, 例5 数列 xn xn1 xn2，此数列即为 1,1,2,3,5, .
数列{xn }可以理解为正整数n的函数，
xn f (n)， n 1,2,
因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数 集.
对于数列 {xn }，若有 x1 x2 xn xn1 成立, 则称数列 {xn }是 单调增加的；
若有
x1 x2 xn xn1
则称数列 {xn }是 单调减少的.
单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列 是单调减少的. 对于数列 {xn } ，若存在正数M，使得对于一切的n 都有
ab | xn a | , 2 ab ab 即 a xn a , 2 2 ab 从而有 xn . 2
(1)
a b { x } 又由于 n 以b为极限，对上述的 , 2 存在正整数N2 ，当 n N 2 时，有 ab | xn b | , 2 ab ab 即 b xn b , 2 2
| xn a | 1 成立.
于是，有 | xn || xn a a || xn a | | a | 1 | a | 取M max{| x1 |, | x2 |, , | x N |,1 | a |}， 对于一切 n有 | xn | M .
由定理2.2知，无界数列一定是发散的. 注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分
确定的变化趋势.
(1) n 例如{xn 1 }的图形. n
n ( 1 ) 当n“充分大”时， xn 1 n 1”;
数列极限的定义和性质
数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。
一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。
形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。
要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。
二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。
2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。
即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。
3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。
4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。
在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。
2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。
【微积分】数列极限
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
函数与极限
15
3、收敛数列的保号性
定理3 若
且
时, 有
证: 对 a > 0 , 取
( 0), ( 0).
推论: 若数列从某项起
( 0)
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
所以,{xn }发散.
函数与极限
14
2、收敛数列的唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设
lim
n
xn
a,又
lim
n
xn
b,
由定义 ,
0,N1 , N2 .使得当n
N
时恒
1
有
xn
a
;
当n
N
时
2
恒有
x
n
b
;
取N
maxN1 ,
例如， x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注意：在 子 数 列 xnk 中 ， 一 般 项xnk 是 第k 项 ，
而 xnk
在 原数 列 xn
中 却 是 第nk 项 ， 显 然 ，nk 函数与极限
k.
17
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相 同．
推论 无界数列必定发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件, 而非充分
条件.
函数与极限
13
例6 证明数列xn (1)n 是发散的.
证
设
lim
n
第一节 极限的定义
例５、指出下列数列的有界性和单调性
3 （1） u n ： 2, , 2 1 （2） u n ： 0, , 2
4 1 , , 1 , ； 3 n 2 3 1 , , , 1 , ； 3 4 n
（3） u n ： 1, 1, 1, 1, , (1)n1 , ； （4） u n ： 1, 4, 9, 16, , n 2 , ； （5） u n ： 1, 2, 3, 4, , n, ； （6） u n ： 1, 2, 3, 4, , (1) n n, ；
定理３：单调有界数列必有极限。 单调有界数列是数列收敛的充分条件。
二、函数的极限
（一）邻域的概念
开区间 ( x0 , x0 ) 称为以 x0 为中心，以 （ >0）为半径的邻域，简 称为 x0 的邻域。记为 N ( x0 , ) 。称 ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )( 0) 为 x0 的
ˆ 去心邻域，记为 N ( x0 , ) 。
（二）函数的极限的定义
1、 x x0时函数f ( x)的极限
ˆ 定义 1 设函数 y f (x) 在点 x0 的某一去心邻域 N ( x0 , ) 内有定义，如果当 ˆ 自变量 x 在 N ( x0 , ) 内无限接近于 x0 时， 相应的函数值 f (x) 无限接
x
lim f ( x) A 或 f ( x) A( x )
6、 x 时函数f (x)的极限
定义 6
设函数 y f ( x)在(, a) ( a 为某个实数)内有定义， 如果当自变量 x 无限 增大且 x 0 时，相应的函数值 f (x) 无限接近于某一个固定的常数 A ，则 称 A 为 x （读作“ x 趋于负无穷” ）时函数 f (x) 的极限。 记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A( x ) 。
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xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
b 从而 xn a 2
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ;
有界性 ;
保号性; 夹逼准则。 P21 1
作
业
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取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a x b b aa bb x x a b b a a 3 3b a b a n nn 2 2 2 2 2 22 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一 .
以2为极限，即
2n 1 lim 2 n n
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例2. 求证
1 n2 1 lim 2 = n 2n 7 n 2
n2 1 1 7n 2 2n 2 7 n 2 2n(2n 7)
证明 :首先我们有 显然当 n 6 时
7n 2 8n 4 2 2n(2n 7) 2n n
a y n xn z n a 即 xn a , 故 lim xn a .
由条件 (1)
n
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例4 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
2 1 1 1 n n 2 2 2 n n n 2 n n 2
2n 1 lim 2 n n
证：对于任意给定的 0 ，要使
2n 1 1 xn 2 2 n n
只有 n
1 ,取正整数 N ，则当 n N 时，
1
xn 2 恒成立，故
xn 2n 1 (n 1, 2,...) n
（6） {sin n}
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在 Mathematica 中，表格生成函数: Table[f[n] ，{n，min，max}] 表示生成n从min变到max，步长为1的数值表。 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 表示生成n从min 变到max ，步长为 step数值表。 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图 （1）输入 语 句，得 到右图
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n )
趋势不定
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发 散
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例1. 证明
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（2）输入语 句，得到右图
（3）输入语 句，得到右图
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（4）输入语 句，得到右图
（5）输入语 句，得到右图
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（6）输入语 句，得到右图
n 由上六图可以看出，随着n的增大， n 1 越来越趋向于1；
1 2 越来越大； n 越来越趋向于0；{( 1) n }趋向于－１ 2 n (1) n 越来越趋向于１；sin n在－１与１之间 或 1； n
2
长度为 1 的开区间 ( a 1 , a 1 ) 内, 因此该数列发散 .
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（2）. 收敛数列一定有界. 证: 设 取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
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（3）. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0) ,
( 0) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
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且
1 n2 lim 1 lim 2 n 1 2 n n n
1 1 1 lim n 2 2 2 1 n n n 2 n n
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
n
变动．
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（2）、数列极限的精确定义:
自变量取正整数的函数称为数列, 记 或 称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
于是，对任意给定的 0 ，取 N max{6,[ ]} 当 n N 时，成立
2n 7 n
4
n 1 1 4 2
2
2
n
上述不等式的放大，是在条件“ n 6 ”前提下才成立， 4 所以在取N时，必须要求 N [ ] 与 N 6 同时成立。
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1.数列与函数的关系 数列 { x n } 可以看作自变量为自然数n的函数
它的定义域是全体正整数 2.数列的几何意义 从一维角度考察，数列{ x n }可以看作数轴上的一 个动点，它依次取数轴上的点 x1 , x2 , x3 , , xn , 上的点集{（n， x n）}， 在XOY平面上数列{ xn }
第一节 数列的极限
一、数列极限的概念 二 、数列极限
1、数列极限的定义
第二章
2、收敛数列的性质
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一 、数列极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . (刘徽割圆术) , 如图所示 , 可知
n
r
当 n 时， An 无限接近某个确定的数。在数学 上称这个确定数即是数列 A1 , A2 ,, An , 的极限。