转动参考系
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法全球坐标系中速度与加速度的转动参考系是一种求解物体在三维空间中运动轨迹的几何方法。
具体而言，首先将物体处在全球坐标系(GCS)内，然后将物体相对于GCS连续旋转一定角度所产生的新参考系称为转动参考系(R)，再将物体在R中的速度(V)与加速度(A)从R转换到GCS的运算模型即为所求转动参考系求法。
首先，通过计算可以求出物体在R中的速度和加速度，分别用v_r和a_r表示：v_r=(v^r_x,v^r_y,v^r_z)a_r=(a^r_x,a^r_y,a^r_z)其中v^r_x=v_x·cosα+v_y·sinαv^r_y=-v_x·sinα+v_y·cosαv^r_z=v_za^r_x=a_x·cosα+a_y·sinαa^r_y=-a_x·sinα+a_y·cosαa^r_z=a_z其中α为物体从GCS轨迹向R坐标系引入时需要旋转的角度。
接着，可以用下面的公式从R参考系转换至GCS：v_x=v^r_x·cosα-v^r_y·sinαv_y=v^r_x·sinα+v^r_y·cosαv_z=v^r_za_x=a^r_x·cosα-a^r_y·sinαa_y=a^r_x·sinα+a^r_y·cosαa_z=a^r_z最后，我们可以得到物体在GCS中的速度和加速度，分别用v_x，v_y，v_z表示：v:(v_x,v_y,v_z)a:(a_x,a_y,a_z)通过以上步骤，我们就可以用全球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法来解决物体在三维空间中运动轨迹问题。
此法可有效求解物体在GCS中的三维运动轨迹，且操作简单、效率高。
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
匀速转动的参考系中电磁场的变换公式
英文回答：In the context of a uniformly rotating system, the electric and magnetic fields undergo precise transformations with respect to their reference frame. The conversion of the electric field E' from the stationary laboratory frame to the rotating frame is determined by the equation E' = E + (v x B). Here, E' represents the electric field within the rotating frame, E denotes the electric field in the laboratory frame, v stands for the velocity of the rotating frame, and B signifies the magnetic field in the laboratory frame. This equation serves to illustrate the impact of the frame's motion and the magnetic field in the laboratory frame on the electric field within the rotating frame.在一个统一旋转的系统中，电场和磁场的参照框架有精确的转换。
电场E'从固定实验室帧转换为旋转帧由等式E'=E + （v x B）决定。
这里 E'代表旋转帧内的电场，E表示实验室帧内的电场，v代表旋转帧的速度，而B表示实验室帧内的磁场。
惯性力与转动参考系的运动规律
惯性力与转动参考系的运动规律在物理学中，惯性力与转动参考系是两个重要的概念，它们在研究物体的运动过程中起到了关键的作用。
本文将探讨惯性力与转动参考系的运动规律，并从动力学的角度进行解释。
惯性力是指一个非惯性参考系下，为了使牛顿的运动定律成立而引入的一种虚拟的力。
在一个非惯性参考系中，物体的运动并不服从牛顿的运动定律，因为惯性力的存在导致物体表现出与物理规律不符的行为。
一个常见的例子是在转动参考系中观察一个转盘上的小球。
对于一个静止的小球来说，在地面参考系下不受力，符合牛顿的运动定律。
但是，如果我们将地面参考系转换为与转盘同样的转动参考系，小球会出现一种假想的向外离心的力，这就是惯性力的作用。
那么，惯性力的物理原理是什么呢？惯性力的产生是因为我们选择了一个以加速度运动的非惯性参考系。
在转动参考系中，物体与转盘之间存在着摩擦力，这个摩擦力产生了一个向内的加速度。
根据牛顿第二定律，物体在非惯性参考系中会受到一个相等大小，方向相反的力，即惯性力。
具体来说，惯性力的大小与物体的质量、转动参考系的角速度以及距离转动中心的距离有关。
当物体距离转动中心较远时，惯性力的大小较大；而当物体质量较大或者角速度较大时，也可以导致惯性力的增大。
在转动参考系中观察物体的运动规律也具有一些特殊性。
由于惯性力的存在，物体在转动参考系中遵循与地面参考系不同的运动规律。
举个例子，在地面参考系中，我们发现两个物体相互作用力相等，反作用力相反。
但是在转动参考系中，由于惯性力的作用，两个物体之间并不一定满足这个条件。
此外，在转动参考系中，物体的加速度也不是与机械力成正比的关系，而是与惯性力成正比。
也就是说，加速度与机械力和惯性力之间存在一种复杂的关系。
总结一下，惯性力与转动参考系的运动规律是一个相对复杂的问题。
在非惯性参考系中，物体的运动并不遵循牛顿的运动定律，而是受到一个虚拟的惯性力的影响。
这个惯性力是由于我们选择了一个以加速度运动的参考系所产生的。
旋转参考系
旋转参考系旋转参考系是一种常用的参考系，它用来解决物体在旋转中的运动参数问题。
它的使用可以追溯到古代的几何学家，这种参考系统的发展与古代几何的发展有着千丝万缕的联系。
由于旋转参考系的重要性，它经历了无数的改良和发展，成为一个深受人们尊敬的参考系统。
旋转参考系的发展可以追溯到古代几何学家和数学家们的研究。
古代几何学家们致力于研究物体旋转及其对物体形状和特征的影响，这就是旋转参考系的起源。
他们提出了一种旋转参考系，该参考系统可以将目标物体的旋转运动参数化，以便于更好地理解物体的运动行为。
例如，他们将旋转参考系分解为复合角度和固定角度，以便给出物体三个面及其四周圆柱体的旋转信息。
随着概念发展，旋转参考系也发生了很大的变化。
现代物理学家们研究了物体运动的一些基本原理，并将其应用到旋转参考系中。
他们提出了围绕某一点旋转的局部定义坐标系，可以用于研究物体的旋转变形行为。
这个参考系统允许人们以更加精确的方式研究物体的变形，从而更好地了解物体的运动行为。
更为重要的是，旋转参考系的使用也得到了机械和电子领域的广泛应用。
旋转参考系可以用于研究机械设备的运动行为、控制机械部件的旋转、分析传动系统和转动惯量等。
它还可以应用到电子领域，如控制角度传感器的旋转、以及分析激光器或振动传感器的运动行为。
可以看出，旋转参考系已经在物理、机械和电子领域得到了广泛的应用，它已经成为这些领域研究的重要参考系统。
它可以帮助我们更好地理解物体的运动和变形行为，从而促进物理、机械和电子技术的发展。
总之，旋转参考系是一种重要的参考系统，它的应用可以追溯到古代几何学家和数学家们研究旋转运动及其对物体形状和特征的影响。
由于它的发展，它已经成为物理、机械和电子领域研究的重要参考系统，为技术的发展做出了巨大的贡献。
第四章转动参考系
１第四章 转动参考系自学辅导习题（2012年使用）一、选择题(每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的)。
1.坐标系xyz o −以角速度i ˆω=ωK 绕x 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt jˆd ω=；j ˆdt kˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=1.C2.坐标系xyz o −以角速度j ˆω=ωK 绕y 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt iˆd ω=；i ˆdt jˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω−=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=2.B3.坐标系xyz o −以角速度k ˆω=ωK 绕z 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω=；0dt j ˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt iˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=3.A4.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=； B.k ˆdt i ˆdω=； C.i ˆdt iˆd ×ω=K ； D.i ˆdt iˆd ω=4.C5.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=； B.0dt jˆd=；２ C.k ˆdt j ˆd ω=； D.j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 5.D6.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.0dt k ˆd =； B.i ˆdtk ˆd ω=； C.j ˆdt k ˆd ω−=； D.k ˆdtk ˆd ×ω=K 6.D7.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=； B.k ˆdt i ˆd ω−=；0dtj ˆd =； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 7.D8.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω−=；i ˆdtk ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 8.D9.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.0dt j ˆd =；i ˆdtk ˆd ω=； C.k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.j ˆdt j ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 9.D10.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B. i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ；k ˆdt k ˆd ×ω=K ；３ C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdtk ˆd ω= 10.B11.在匀加速直线运动的车厢内，自由下落小球的相对轨迹是：[ ]A.沿铅垂直线；B.沿向后倾斜的直线；C.抛物线；D.双曲线。
2.6 离心力和科里奥利力
mw 2 r
科氏力和离心力都是虚拟力(惯性力)
例：惯性离心力 T S R S'
w
S系 T mw 2 R
质点 m 在 S ' 静止
T F0 0
F0 mw 2 R
重力加速度
w
a离
a离 w 2 r
2 2 g a引 a离 2a引a离 sin q
q
a引 g
a引 a离 g a引 a离 sin q
g北极 = 9.832 m/s2
g赤道 = 9.778 m/s2
*在地表面用 g ，已考虑离心加速度
科氏力 推广到三维球面
w
υr
q
f cori 2m w
υq
υj
落体偏东
j
江水冲刷右岸
ˆ, j ˆ) ˆ, q (r
赵凯华《新概念力学》
编者
安宇
2.6 离心力和科里奥利力*
转动参考系是非惯性系 通过具体例子给出惯性力表示 圆桌面匀速转 动，一质点在 桌面上的同心 圆环凹槽内, 作无摩擦匀速 运动
r
'
w
在惯性系
r
'
ˆ 方向 n
( ' rw ) 2 f m r
f 2m ' w mrw 2 m
w
在转动参考系
'2
r
惯性力
f cori 2m ' w acori 2 ' w
acori 2w '
f cent mrw 2 acent rw 2
acent w 2 r
特例推得, 结果普遍成立 在转动参考系
w
质点速度
转动参考系加速度公式
转动参考系加速度公式
圆o上任一点在t时刻的弧坐标S(t)=Rωt=(2rcosωt)ωt(1) 该点的切向速度v(t)=S(t)'=2rω(tcosωt)'=2rω(cosωt-ωtsinωt)(2)
该点的切向加速度at=v(t)'=2rω(-ωsinωt-tω^2cosωt)(3) 该点的法（向心)向加速度an=v(t)^2/R=v(t)^2/(2rcosωt)(4) 合成加速度大小a=√(at^2+an^2)
由几何关系可见，P点的ωt=π/6代入（2）、（3）、（4）式P点的速度就是切向速度vp=2rω(√3)/2-π/12)
P点的切向加速度atp=2rω^2(1/2-√3π/12)
P点的法向（向心)向加速度anp=v(t)^2/R=(2rω(√3)/2-π
/12))^2/(√3r)
回复空迹破灭：是思路、方法错了，还是代入P点的值后数值错了，如果是后者，我还真是没底。
对前者你有什么看法，愿意和你讨论。
我看了你对其他回答的追问，如果我没审错题的话，这是一道刚体定轴转动的题没有动参考系，是刚体上特定的点的运动，不是点的复合运动，谈不上相对运动、牵连运动。
就是一个对静止坐标的绝对运动。
那个固定的圆，只是相当于确定P点在某时刻的位置的几何图形，对点的运动不起任何作用。
转动参考系
b．轨道磨损和河岸冲刷 当物体在地面运动时, 在北半球 (sin＞0) 科里奥利 力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭. 而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者 冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题 假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
如果质点固定在转动系中, v ' 0, 故a ' 0, ac 0, 则
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我 们通常把这种平衡叫做相对平衡.
相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
相对速度 v '发生改变, 而相对运动 ( 即 v ' ) 又同时使 r r 牵连速度 中的 发生改变 , 即科里奥利加速度 2 v '是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的. 其方向垂直于 及 v '所决定的平面并且依右手螺
2 ma ' F m R 2m v '
R 表示质点到转动轴的距离矢量.
a0 , 则 O的加速度为
如果转动系的原点O′不和静止系原点O重合, 且O′对
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G ？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G ？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角ο40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dtd G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
转动参照系动力学与平动参照系动力学的研究
（2-2-1）式中的最后一项为牵连变化率。该式表明：绝对变化率为相
对变化率与牵连变化率的矢量和。
2.2.2 空间转动参照系中的速度和加速度
在（2-2-1）中分别令G=r和令G=v ，得到
（2-2-2）
（2-2-3）
其中： 为相对加速度 。 为牵连加速度 。
参考文献：
[1]周衍柏.《理论力学》第三版[M].北京：高等教育出版社，1979:14-17.
1.平动参照系下的运动
在有些情况下，参考系本身也在运动。最简单的情况，即参考系作平动。设有两个参考系S和S´，前者是静止不动的，后者相对于前者是作匀速直线运动。如果有两个观察者A和B,分别处于S和S´系中观察同一物体（质点）的运动，那么他们所观察到的结果，彼此有什么不同和联系呢？
要观察物体的运动，总得要进行测量，即测量空间距离和时间间隔，现在又发生了一个问题，那就是这两个观察者所观测到的空间距离和时间间隔，会不会因他们之间有这种相对运动而发生差异？ 根据伽利略和牛顿的假定，这两个观察者用事先校准好了的仪器（钟和尺）进行空间距离和时间间隔的测量所得到的结果，并不因他们间这种相对运动而有任何差异。但严格说来，这只有在低速情况下才是正确的。当物体速度高到和光速相近时，上述假定就不能成立。但在通常情况下，物体运动的速度远比光速小，故伽利略、牛顿的假定可以成立。一般就是讨论低速情况下，关于高速运动物体，则要用到爱因斯坦的相对论。
[2]蒋纯志.动力学中有关参考系的选择[J].湖南学院学报，
2005，4.（2）：16-18.
[3]苏艳丽，蒋其畅，吉选芒等.对转动参考系仲加速度的思考[J].长春师范学院报，2010，10.（5）：23-25.
[4]金子布.科里奥力和科里奥加速度[J].瀚海学刊，
平面转动参考系
第一节 平面转动参考系
设平面参考系 S′ 以角速度 ω 转动， 在平面参考系上建立坐标系 O-xy ， 原点与静止坐标系 S 原点 O 重合。 则转动矢量 ω = ωk 沿 z 轴方向。 设该平面参考系为一平板，P 为平板 上运动着的一点，则其位矢为
r = xi + yj ( 4.1.1)
2
这一项叫做科里奥利加速度，简称科氏加速度。是牵连运动 与相对运动相互影响所产生。方向垂直角速度和相对速度， 但角速度恒沿 k 方向，所以科氏加速度在 xy 平面内。
3
根据上述分析可以将加速度简写成
& a = a ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′
( 4 .1 .6 )
若令
& at = ω × r − ω 2 r a c = 2ω × v ′
考虑到 (4.1.2) 式，求 (4.1.1) 式对时间的微商后得质点 P 对 静止坐标系的速度
v= dj dk di dr & & & = xi + yj + z k + x + y + z dt dt dt dt & & = ( x − ωy ) i + ( y + ωx ) j
现在求 P 点对静止坐标系的加速度 dv & & & & a= = ( && − 2ωy − ω 2 x ) i + ( && + 2ωx − ω 2 y ) j − ωyi + ωxj x y dt 对 (4.1.5) 的讨论 相对加速度 向心加速度 切向加速度 另外还有
第四章转动参考系
ac 2 v ——科里奥利加速度
是由于质点P对转动的 S 系有一相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。 对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。 注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一 个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照 系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。
x y 1）. 为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：
2）
a ———相对加速度 xi yj y i x j k ( xi yj ) ω r
是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平 板以匀角速度转动，则此项加速度为零。
3）
2 2 xi yj r
2
沿矢径指向O点，它是由于平板以角速度 转动所引起 的向心加速度。 2）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连 加速度。
4） 2 y i 2 x j 2ω ( xi yj ) 2ω v
dv di dj a ( y y )i ( x x ) j ( x y ) ( y x ) x y dt dt dt 2 2 ( y x 2 y )i ( x y 2 x ) j x y
2 a a ω r r 2ω v a a ω r 2 r 2ω v
于是：
F mω r m 2 r 2mω v ma
G ——牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度 转动
转动参考系与思政
转动参考系与思政
转动参考系与思政是必不可少的，它能够让我们站在一个新的高度，从客观的角度进行观察，深入剖析其理论价值，从而满足学习、科学研究、分析预测等需求。
中国是一个传统文化与现代文明交织的多元发展国度，将转动参考系与思政巧妙地糅合成有机体，形成显著的理论系统。
建立和构建转动参考系与思政有助于将传统文化和思维融入到当代政治和社会实践，引领我们在传统文化的基础上，推动现代社会进步发展。
转动参考系涉及到历史文化、主流思想以及社会政治等多个方面，需要结合这些有机的综合性内容进行研究，从而形成一个完整的参考系，以此作为根基，形成中国特色思想。
转动参考系与思政竭尽全力去探求一个确定的文明路径，它结合中国特色社会主义，把传统文化、科学技术、西方现代文明思想，以及中国自身的优秀历史文化的精深，加以统一的心理思维凝结成一个不可分割的体系，以此服务于中国特色社会主义建设。
总结来说，转动参考系与思政以人的本质为准则，让我们在古今中外的文化资源中找到参照系，深入学习，审视思考，发掘真理，创造更美好的未来，确保中国特色社会主义永葆新鲜活力。
转动参考系下的惯性力
问讨题论转动参考系下的惯性力王磊1,张天浩"1. 盘锦市高级中学，辽宁盘锦1240002. 南开大学物理科学学院，天津300071摘 要：惯性力是由于参考系本身相对于惯性参考系做加速运动所引起的力，惯性力因无施力物体而实际上并不存在，所以可以用是否存在惯性力来区别非惯性参考系和惯性参考系'在非惯性参考系中牛顿运动定律是不成立的，但在 引入惯性力后，对非惯性参考系来讲，牛顿运动定律在形式上就“仍然”可以成立+在平面转动参考系中，质点可能受到了三种惯性力'将这三种惯性力引入平面转动非惯性系中，我们可以在平面转动参考系下应用牛顿运动定律来处理相关问题'关键词：惯性力；平面转动参考系；离心力；惯性切向力；科氏力中图分类号:G633.7 文献标识码:A 文章编号：1003-6148(2020)11-0055-41 惯性力的由来惯性是物理学中最基本的概念之一，也是学 习物理学最早遇到的概念之一"由于牛顿运动定律只在惯性参考系中成立，因此在经典物理学课 程中都对惯性系与非惯性系、牛顿力与惯性力加以区分。
惯性力实际上并不存在，因为惯性力实 际上是非惯性系下物体具有惯性而产生的力，这种力虽然能被测量和感知，但因惯性力找不到施力物体，并且当转换惯性系研究时，物体的惯性 力消失，所以普遍认为惯性力是假想力、虚拟力、不存在的力"我们亦可以用惯性力的存在来判断 参考系是非惯性系"该概念的提出是因为非惯性系中，牛顿运动定律并不适用"但是为了思维上的方便，可以假想在这个非惯性系中，除了相互 作用所引起的力之外还受到一种由于非惯性系而引起的力一惯性力叫本文对转动参考系中 的惯性力做一些讨论。
2 转动参考系下三种惯性力的理论推导设平面！"(图1)以变化角速度！绕垂直于自身的轴#转动，在这个平面上取坐标系0-!",它 的原点和静止坐标系0-"#的原点o 重合，&、j分别为！轴和"轴上的单位矢量，％为#轴上的单位矢量，则P 点为！"平面上一运动质点，设P 点在0-!"坐标系下的位置坐标为%!，")， 则P 点相对坐标系0-!"的位置向量为r =!i +"j 。
第4章 转动参考系
⎧ x = −4ω 2 y sin λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ y = 2 gtω cos λ − 4ω 2 y ⎨ ⎪ z = − g − 4ω 2 cos λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩
青岛科技大学数理学院
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§4.4 地球自转所产生的影响
一 惯性离心力
考虑地球自转时，可以认为其角速度是沿着地轴的一个恒 矢量，即 ω = 0. 因此，只需考虑惯性离心力和科里奥利力 即可；若质点相对于地球静止，则只需考虑惯性离心力 . 惯性离心力产生的影响： a) 重力与引力大小不相等（两极除外）. b) 重力与引力方向不一致（两极除外）. 注 惯性离心力所产生的影响一般都比较小，当研究 质点相对于地球的运动时，惯性离心力的效应只要用重 力来代替引力即可 .
a ωt x = ( e + e −ωt ) = achωt 2
管对小球的竖直反作用力和水平反作用力分别为
Ry = mg
a ωt −ωt Rz = 2mω x = 2mω ( e − e ) = 2maω 2shωt 2
2
惯性系
⎧m r − rθ 2 = Fr = 0 ⎪ ⎨ ⎪m rθ + 2rθ = Rθ ⎩
所以质点 P 的绝对加速度可简写为
dω ⎧ at = × r + ω (ω ⋅ r ) − ω 2 r ⎪ ⎪ dt ⎨ d *r ⎪a = 2ω × = 2ω × v′ c ⎪ dt ⎩
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a = a′ + at + ac
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若 S ′系以匀角速度转动，则
4.1 平面转动参考系
z y)ex ( y z x)e y (x
6
4.1 平面转动参考系
相对变化率与牵连变化率 绝对速度
dr d *r ωr dt dt
一般情况下，如果矢量G的方向以角速度 ω 转 动，同时其大小也在变化，则
dG d *G ωG dt dt
d *G dt
称相对变化率；ω G 称为牵连变化率。
a'at ac
r r at ω (牵连加速度)
ac 2ω v' (科氏加速度)
8
4.1 平面转动参考系
平板做平面平行运动的情况 小物体P的速度：
v v'vt
d *r ' v' dt
a a'at ac
d *v ' d *2 r ' a' dt dt 2
7
4.1 平面转动参考系
加速度
dv d dv ' dω dr a ( v ' ω r ) r ω dt dt dt dt dt
d *v ' dω d *r ω v ' r ω( ω r) dt dt dt
d *v ' dω ω v ' r ω v ' ω ( ω r ) dt dt d *v ' e x e y a' x y * d v' dt r 2 r 2ω v ' ω (相对加速度) dt 2
4.1 平面转动参考系
什么是转动参考系？
描述质点的运动，根据方便需要，所选择的 参考系不一定是静止的。在第一章，我们学 习了平动参考系，是以做平动的物体作为参 考系。 以转动的物体作为参考系，称为转动参考系。
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第四章转动参照系
本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；
②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系
本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动
有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度
1、v和a的计算公式
速度：（为牵连速度）
加速度：
其中，牵连加速度a l为：
（转动加速度+向心加速度）
科里奥利加速度：
2、科里奥利加速度a c
①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例
关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题
等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）
解：（1）相对动系（直角三角形）的速度
v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）
A点的牵连速度（方向垂直）
由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到
（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速
牵连加速度，大小，方向沿
科氏加速度注意到，所以其大小
方向与AB边垂直（见图4.1.1）
由，利用矢量合成法则则得到：
与斜边的夹角
第二节空间转动参照系
本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
一、绝对、相对、牵连变化率
设动系固定在刚体上并随刚体在空间转动，有定系s（οξηζ），两坐标系原点重合，有一物理量矢量G随时间t变化。
刚体的转动角速度ω。
则定系S上看到的物理量G的变化率称为绝对变
化率，记为；动系上看到的变化率叫相对变化率，记为；由于动系转动造成物体随同转动而具有的相对定系的时间变化率叫牵连变化率。
利用是动系单位矢量），对时间求导可以得到：
（1）
（1）式中的最后一项为牵连变化率。
该式表明：绝对变化率为相对变化率与牵连变化率的矢量和。
二、空间转动参照系中的速度和加速度
在（1）中分别令G=r和令G=v，得到
（1）
（2）
其中：为相对加速度
为牵连加速度
为科里奥利加速度
（2）式表明：绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科氏加速度矢量和。
第三节非惯性系动力学
本节要求是①掌握平面转动参照系中的动力学方程以及三种惯性力；②掌握平面转动参照系中动力学问题的求解步骤；③了解空间转动参照系中的动力学方程。
一、平面转动参照系中的动力学方程
由移项，两边同乘以m，得到
（1）
注意到：（作用于质点的合外力）。
而
(转动加速度与向心加速度的矢量和，称为牵连加速度)，
为科氏加速度。
若令称为牵连力，称为科里奥利力。
则
即（2）
（2）式就是平面转动参照系中的动力学方程。
应注意：非惯性系中牛顿第二定律不成立，平面转动参照系不是惯性系。
但引入牵连力，科氏力的概念后，牛顿定律在非惯性系上律照常成立。
其中：
惯性力是由动系作变角速转动引起。
惯性离心力，是动系转动引起。
科氏力是由动系的转动和质点对转动的相对运动引起。
应注意：惯性离心力与离心力的区别：①离心力（如正电荷靠近正离子时受的斥力）是真实力，而惯性离心力是在转动系中观察者为解释物理现象而假想的力；②离心力无论动系或定系均可见到，而惯性离心力只在动系中才能体会得到。
二、平面转动参照系中的质点动力学问题解答例
已知动系和质点受力情况，求质点运动规律的一般步骤为：
①确定动系和定系，以及运动质点，选取坐标系；②分析质点受的力（主动力、惯性力）；③写出动系中的动力学方程及其分量形式；
④求解方程。
[例1]书P265 4.10题
小环套在光滑圆圈上，而圆圈在水平面内以匀角速ω绕圆圈上某点o并垂直於圆圈平面的轴转动。
求小环沿圆圈切线方向的运动方程。
解：如图4.3.1，取圆圈为动系，小环为运动物体。
对动系而言，小环受力有：
重力mg和圆圈对环的支持力N（方向垂直于环面），两者平衡，环受圆圈反作用力（方向沿cp方向），环的相对速度方向如图（沿P点切线），则科氏力，其方向指向圆心C （沿pc方向），大小为因圆圈作匀角速转动，故只有惯
性离心力, 大小为，方向沿op 方向，所以质点的运动方程为：
取动系的切线方向，其方程为：
（1）
利用
代入（1）式，得到：
同除ma，得到运动方程：
第四节地球自转所产生的影响
地球有自转，公转，其中公转角速很小，它的影响可忽略，但地球自转的影响不可忽视。
本节应重点掌握地球自转引起的惯性离心力和里科奥利力对地球上运动物体的影响。
一、惯性离心力的影响
如图4.4.1，地球绕地轴（过南北极）旋转，角速ω，地面上一
质点m，受万有引力作用（），同时因地球自转还受惯性离心力作用，惯性离心力的大小为，合力即为重力。
显然，重力的作用线一般并不通过地球的球心，只有在南北极时重力才通过地心。
二、科里奥利力的影响
设物体从地球北半球某点P以速度V'相对地球沿经线运动。
P点的纬度λ，由质点动力学方程：
由于科氏力的存在，使地球上运动物体的运动受影响：
（1）由于科氏力的作用，使南北向的气流发生东西向的偏转；北半球地面附近的气流由北向南推进时，则气流向西偏离，成为东北贸易风；反之，而南半球地面附近自南向北的气流，也向西偏离，成为东南贸易风。
（2）由于科氏力的作用，使北半球上自北向南流的河流，右岸冲刷更甚。
（3）由于科氏力的作用，使自由落体有偏东现象。
偏东的数值与物体所在的纬度有关，也与下落的物理高度h以及纬度λ有关：
赤道附近偏东最甚，而两极偏东为零。