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组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
组合与组合数公式(修改的)PPT
1.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品 中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
C．3 或 5
D．15
解析：选 C．由组合数的性质得 n＝2n－3 或 n＋2n－3＝12，解
得 n＝3 或 n＝5，故选 C．
3.若集合 A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合 A 中含有 4 个元素的 子集共有________个. 解析：共有 C45＝5 个. 答案：5
4.10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组 种数为________．(用数字作答) 解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有 C410＝210 种分法. 答案：210
1.2.2 组 合
第 1 课时 组合与组合数公式
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
组合数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 _所__有__不__同__组__合___的个数，叫做从 n 个不同元素
【解】 (1)3C38－2C25＝3×83××72××61－2×52××41＝148. (2)利用组合数的性质 Cnm＋1＝Cnm＋Cmn －1， 则 C34＋C35＋C36＋…＋C310 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44 ＝C45＋C35＋…＋C310－C44 ＝… ＝C411－1＝329.
组合与组合数公式课件PPT
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[易错防范] 1．运用组合数公式转化为关于 m 的一元二次方程后， 易忽略 0≤m≤5 的取值范围，导致错误．解这类题目时， 要将 Cmn 中 m，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求 解． 2．应用组合数性质 Cnm＝Cpn可以得到 m＝p 或 m＋p＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了 m ＋p＝n 的情况，从而导致错误．
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[类题通法] 解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问 题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
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[活学活用] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少 种？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不 同的选法？
为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：从 6 人中任选 4 人的选法种数为 C46＝15，其中没有
女生的选法有 1 种，故至少有 1 名女生的选法种数为 15－1
＝14.
答案：A
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3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四 种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型 是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型， 则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为 A 或 B 或 O，共有 C13·C13＝9 种情况． 答案：9
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[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有 位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合.
[易错防范] 1．运用组合数公式转化为关于 m 的一元二次方程后， 易忽略 0≤m≤5 的取值范围，导致错误．解这类题目时， 要将 Cmn 中 m，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求 解． 2．应用组合数性质 Cnm＝Cpn可以得到 m＝p 或 m＋p＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了 m ＋p＝n 的情况，从而导致错误．
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[类题通法] 解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问 题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
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[活学活用] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少 种？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不 同的选法？
为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：从 6 人中任选 4 人的选法种数为 C46＝15，其中没有
女生的选法有 1 种，故至少有 1 名女生的选法种数为 15－1
＝14.
答案：A
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3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四 种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型 是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型， 则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为 A 或 B 或 O，共有 C13·C13＝9 种情况． 答案：9
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[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有 位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合.
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
的子集有多少个？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有 多少种不同的可能？ (3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有 多少种不同的可能？
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(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若 选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？ (5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有 多少种分配方法？
(3)C38 n＋C3n＋n. 3n 21 [思路点拨] [精解详析] 用组合数公式和组合数的性质解决．
4 (1)原式＝C10－A3 7
10×9×8×7 ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1
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100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200 2 ＝4 950＋200＝5 150.
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n m－1 m 4．证明：Cn ＝ Cn－1 . m
n－1！ n m－1 n 证明：∵m· n－1 ＝m· C m－1！[n－1－m－1]！ n！ ＝ [m· m－1！]n－m！ n！ ＝ ＝Cm， n m！n－m！ n m－1 m ∴Cn ＝ Cn－1 成立. m
4 解：由已知，得2C5 ＝Cn＋C6 ， n n
n！ n！ n！ 所以2· ＝ ＋ ， 5！n－5！ 4！n－4！ 6！n－6！ 整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14. 要求C12的值，故n≥12，所以n＝14， n 14×13 12 2 于是C14＝C14＝ ＝91. 2×1
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性
质化简，再用组合数的阶乘形式证明．
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2．计算：①C6＝________；②3C2－2C2＝________. 8 5 4
人教版数学高二《组合与组合数公式》 名师课件
高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
组合与组合数公式 课件
(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为
C130 120.
(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的，排列数为 A130 720.
【想一想】区分排列和组合的关键是什么？区分有无顺序的方 法是什么？ 提示：(1)判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正 确区分事件有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来， 然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变 化．若有新变化，即说明有顺序；若无新变化，即说明无顺序.
C
m n
乘 积
Cmn
A
m n
A
m m
式 n n 1n 2n m 1
m!
阶 乘
Cmn
n!
m!n
m!
式
性质 备注
Cmn
Cnnm，Cmn1
Cmn
Cm1 n
①n，m N * 且m n ②规定：C0n 1
1．在 Cmn 中有m，n∈N*，且m≤n，为什么有 C0n 1? 提示：C0n 是1 为了运算需要规定的，没有实际意义. 2.什么是两个相同的组合？
(A) C42 013
(B) C52 013
(C) C42 013 1 (D) C52 013 1
2.计算：C37 C74 C85 C96 =________.
3.求证：Cnm2
有关组合数的计算和证明
关于组合数计算公式的选取
关于组合数计算公式的选取
(1)涉及具体数字的可以直接用公式
Cmn
A
m n
A
m m
n n 1n 2
m!
(2)涉及字母的可以用阶乘式
n Cmn
m
组合与组合数公式PPT教学课件
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
数学课件：1.2.2.1 组合及组合数公式
解:(1)此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题.
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
1.3.1组合与组合数公式课件
法？
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
复习课件
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
组合与组合数公式最新版ppt课件
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
abd bad adb bda
acd cad adc cda
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
abd bad adb bda
acd cad adc cda
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
3．若 A3n＝12Cn2，则 n＝________. 解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，Cn2＝12n(n－1)， ∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)． 又 n∈N＋，且 n≥3，∴n＝8.
答案：8
4．求不等式 C2n－n<5 的解集． 解：由 Cn2－n<5，得nn2－1－n<5， ∴n2－3n－10<0. 解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N＋， ∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
[精解详析] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792
种不同的选法．
(2 分)
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2
人，是组合问题，共有 C92＝36 种不同的选法．
(4 分)
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5
人，共有 C59＝126 种不同的选法．
Hale Waihona Puke [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
高中数学选修课件：组合与组合数公式
排列与组合的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。
《7.3.1 组合与组合数公式》课件
题后反思：注意m和n的大小关系及范围要求
例1：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 2 线段共有多少条? C10 =45 (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 2 有向线段共有多少条? A =45
10
变式(书本第27页A组)
例2
解：（） 1 C
3 100
161700
(2)C C 9506
三位数?
第一步：从 4 个数中选 3 三个不同的数，其有 C3 4 种不同的取法； 第二步，再将这三个数全排列，共有 A3 3 种不同的排法。
3 3 因此，由分步乘法计数原理有： A3 ， =C .A 4 4 3
3 A 4 可得： C3 = 4 A3 3
探究 m m Cn 与 An 有什么区别与联系？我们从具体问题分析 2.从n个不同的元素中任意选出m个组成一组,共可得到多少
3 8
2 5
2.填空
38n 3n （1） C3 C n 21 n
; ；
3n 3n1 3n 2 17n （2） C13 C C C n 12n 11n 2n
2.填空
38n 3n （1） C3 C n 21 n
; ；
3n 3n1 3n 2 17n （2） C13 C C C n 12n 11n 2n
组合与组合数公式
问题1
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，有 多少种选法？ (2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，共 中1名同学参加上午的活动,另1名参加下午的活动,有多少 种选法？
问题2
(1)从1,2,3,4中任意选出3个不同的数组成一个集合，这 样的集合有多少个？ (2)从1,2,3,4中任意选出3个组成一个三位数,共可得到多 少个三位数?