极值点偏移 专题

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为

221x x +，则刚好有02

12

x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，

则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2

2

1x x +与极值点m 必有确定的大小关系：

若221x x m +<

，则称为极值点左偏；若22

1x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2

21x

x +的左边，

我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)

(x f 的极值点）；

2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2

2

10x x x +=

，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令22

10x x x +=，求证：

0)('0>x f .

三、问题初现，形神合聚

★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x .

所以)2()2(x h x h -<+，

所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21，即421>+x x .

★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(2

1)(2

≠+=

a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，

使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

四、招式演练

★过点作曲线的切线．

（1）求切线的方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．【答案】（1）（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．

因为，不妨设，．

设，则，

当时，，在单调递增，

所以，所以当时，．

因为，所以，

从而，因为，在单调递减，所以，即．

极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！