复变函数1第三章ppt课件
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【精品】复变函数总复习PPT课件
其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4） 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质：
《复变函数第3讲》课件
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几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数论第三版钟玉泉PPT第三章
k 1
k 1
o
1 A
2
z1
z2
C zn1
k zk zk 1
x
这里 zk zk zk1 , sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为函数f (z) 沿曲线C
n
的积分, 记为 C f (z)dz
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
C
即
C1
f (z)dz
AA
AA
f (z)dz 0,
BB
BB
或 f (z)dz
f (z)dz.
C
C1
17
C
C1
复变函数
如果我们把这两条简单闭曲线C 及 C1 看 成一条复合闭路, 的正方向为:
xdx ydy i
C
C
ydx
xdy
这两个积分都 与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点3 4i 的
曲线,
zdz (3 4i)2 / 2.
C
例2 计算 z dz, 其中C 为 : 圆周 z 2.
解 积分路径C 的参数方程为 z 2ei (0 2π ),
z dz 2π 2 2iei d ( 因为 z 2 ) dz 2iei d
C 及 C1 为 D内的任意两条简
C
单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
C 及 C1 为边界的区域D1
D1
全含于D.
︵ ︵D
作两段不相交的弧段 AA 和 BB,
复变函数PPT第三章
2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
复变函数课件 1.3复变函数
Department of Mathematics
第一章 复数与复变函数
第三节 复变函数
设在复平面C上以给点集E。如果有一个法 则f，使得，
基本概念
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函数 ，简称为复变函数，记为w=f(z)。 注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即对E 中的每个z，唯一存在一个复数w和它对应；
0. 考虑映射 w z, 其中 解：令
例2：
r (cos i sin 然，这个映射可以看作是下列函数或映射 的复合函数或复合映射：
(cos i sin ) z, w r,
这表示一个旋转和一个以原点为中心的相似 映射。
模为
z1 Argz1 Arg z Argz,
满足
1 1 1 | z1 | , z |z| |z| | z1 || z | 1,
w . z
我们把中心在原点、半径为1的圆称为单位圆。 于是，映射 1
例 3 ： 称为关于单位圆的对称映射，对应的点称为关
于单位圆的互相对称点。
w=1/z把原点以外的任何点映射 为另外一个点。把 z 及 w 表示
注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。 注4、一些标准的记法也可以推广到复变函数的 情形。
函数 f 也称为从 E 到 C 上的一个映射或映照。 把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面； 把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为w平面。 从集合论的观点，令 A { f ( z ) | z E}, 记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的 z0 E 映射成为 w0 f ( z0 ) A.
第一章 复数与复变函数
第三节 复变函数
设在复平面C上以给点集E。如果有一个法 则f，使得，
基本概念
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函数 ，简称为复变函数，记为w=f(z)。 注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即对E 中的每个z，唯一存在一个复数w和它对应；
0. 考虑映射 w z, 其中 解：令
例2：
r (cos i sin 然，这个映射可以看作是下列函数或映射 的复合函数或复合映射：
(cos i sin ) z, w r,
这表示一个旋转和一个以原点为中心的相似 映射。
模为
z1 Argz1 Arg z Argz,
满足
1 1 1 | z1 | , z |z| |z| | z1 || z | 1,
w . z
我们把中心在原点、半径为1的圆称为单位圆。 于是，映射 1
例 3 ： 称为关于单位圆的对称映射，对应的点称为关
于单位圆的互相对称点。
w=1/z把原点以外的任何点映射 为另外一个点。把 z 及 w 表示
注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。 注4、一些标准的记法也可以推广到复变函数的 情形。
函数 f 也称为从 E 到 C 上的一个映射或映照。 把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面； 把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为w平面。 从集合论的观点，令 A { f ( z ) | z E}, 记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的 z0 E 映射成为 w0 f ( z0 ) A.
复变函数课件第3章基本定理的推广复合闭路定理
辅助函数定义
为了简化证明过程，引入一个与 被证明的函数有关的辅助函数。 辅助函数通常具有一些特殊的性 质，如易于计算或具有已知的积 分值。
辅助函数的性质
描述辅助函数的基本性质，如连 续性、可积性等。这些性质将在 后续的证明步骤中起到关键作用。
辅助函数的构造方
法
介绍如何根据被证明的函数构造 合适的辅助函数，以及这种构造 方法的理论依据。
利用高维微分几何和复分析的知识进行证 明。
05
复合闭路定理的应用举例
应用举例一：求解复积分
总结词
利用复合闭路定理，可以将复杂的复积分问题转化为一系列简单路径上的积分问 题，从而简化计算。
详细描述
在求解复积分时，我们常常遇到积分路径复杂或难以直接计算的情况。复合闭路 定理为我们提供了一种有效的工具，通过将积分路径分解为一系列简单路径，我 们可以将复杂问题转化为简单问题，从而方便地求解复积分。
证明
利用柯西定理和多连通域的性质进行证明。
推广形式二：更一般的边界条件
总结词
更一般的边界条件下的复合闭路定理
详细描述
当函数的边界条件不再是解析时，复合闭路定理仍然可以 推广。例如，当函数在边界上满足某种导数条件时，可以 通过积分公式进行推广。
公式
如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 上满足一定的导数条件，则复合 闭路定理仍然成立。
多连通域的复合闭路定理
详细描述
当函数定义在多连通域上时，复合闭路定理依然成立。在多连通域中， 函数沿着闭路的积分可以通过减去所有边界上的积分来计算。
公式
如果 $f(z)$ 在多连通域 $D$ 上解析，且 $gamma$ 是 $D$ 内的闭 路，则 $int_{gamma} f(z) dz = 0$。
复变函数 柯西公式ppt课件
复 变
z0 在C 内, g(z0 ) 2(6z02 1)πi.
函
数
第三章 复变函数的积分
哈
尔 滨
§3.2 柯西公式
工
程
大 学
学习要点
复
变 函
熟练掌握柯西积分公式
数
熟练掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
哈 1. 问题的提出
尔 滨
设f (z)在以圆C :| z z0 | r0(0 r0 )为边界
工
程 的闭圆盘上解析，f (z)沿C的积分为零。
大
学 考虑积分
f (z)
哈 尔
定理2 解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数,
滨 工
它的 n 阶导数为:
程
大 学
复
Ñ f
(n)(z)
n! 2πi
C
(
f ( )
z)n1
d
(n 1,2,L )
变
函 数
其中 C为在函数 f (z)的解析区域 D 内围绕
z的任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内
部全含于 D.
高阶导数公式提供了计算某些复变函数
C z z0
C z z0
复
变
Ñ Ñ 函
数
C
f (z0 ) dz z z0
f (z0 )
C
z
1 z0
dz
2
if
(z0
).
2. 柯西公式
哈 定理1 (柯西公式)
尔
滨 工
设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界
程 大
区域, 设f (z)在D及C所组成的闭区域D上解析，
学 那么在D内任一点z，有
复
变 函 数
复变函数课件1
2 2
z = (1+ cosθ) + sin θ = 2(1+ cosθ) = 2cos 2 sin θ θ =θ arg z = arctan = arctan(tan ) 2 1+ cosθ 2
θ
z = 2cos cos + i sin 2 2 2
θ
θ
θ
1.3 复数在几何上的应用
例题2
3 i −1 = 3 −1− 1− i 3 i −1 = 2, 1−i = 2
( z=
)
2
(
3 +1 i
)
arg(1−i) = arctan( −1) = −π 4 −π i 2π i 3 1− i = 2e 3 i −1 = 2e ,
arg 3 i −1 = π + arctan( − 3) = 2π 3
z1 z1 = (z2 ≠ 0) z z 2 2
4.复数的绝对值（模） 对复数 z = x + iy 其绝对值（模）记为
z = x +y
2
2
z =0⇔ z =0
Re z ≤ z , Imz ≤ z
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 z
zz = z , z = z
2
z1 z1 z1z2 = z1 z2 , = (z2 ≠ 0) z2 z2
S : x + x + (x3 − r) = r (1)z ∈C ⇒ ∃P ∈ S (2)P ∈ S, P ≠ N ⇒ ∃z ∈C
2 1 2 2 2 2
(3)北 N ↔无 远 ∞ 极 穷 点
球 S ↔扩 复 面 ∞ 面 充 平 C
x3
S
x3
z = (1+ cosθ) + sin θ = 2(1+ cosθ) = 2cos 2 sin θ θ =θ arg z = arctan = arctan(tan ) 2 1+ cosθ 2
θ
z = 2cos cos + i sin 2 2 2
θ
θ
θ
1.3 复数在几何上的应用
例题2
3 i −1 = 3 −1− 1− i 3 i −1 = 2, 1−i = 2
( z=
)
2
(
3 +1 i
)
arg(1−i) = arctan( −1) = −π 4 −π i 2π i 3 1− i = 2e 3 i −1 = 2e ,
arg 3 i −1 = π + arctan( − 3) = 2π 3
z1 z1 = (z2 ≠ 0) z z 2 2
4.复数的绝对值（模） 对复数 z = x + iy 其绝对值（模）记为
z = x +y
2
2
z =0⇔ z =0
Re z ≤ z , Imz ≤ z
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 z
zz = z , z = z
2
z1 z1 z1z2 = z1 z2 , = (z2 ≠ 0) z2 z2
S : x + x + (x3 − r) = r (1)z ∈C ⇒ ∃P ∈ S (2)P ∈ S, P ≠ N ⇒ ∃z ∈C
2 1 2 2 2 2
(3)北 N ↔无 远 ∞ 极 穷 点
球 S ↔扩 复 面 ∞ 面 充 平 C
x3
S
x3
复变函数PPT第03章复变函数的积分
那么
∫
y
C
f ( z ) dz = ∫
T t0
f [ z ( t )] z′( t ) dt
C
z
Z = z (T )
z0 = z ( t 0 )
z = x+iy
o
x
积分的存在性及求法
证 f⎡ ⎣ z(t )⎤ ⎦ = u⎡ ⎣ x ( t ) , y ( t )⎤ ⎦ + i v⎡ ⎣ x(t ), y(t )⎤ ⎦ 所以
∑ ( u Δy
k =1 k
n
k
+ v k Δxk )
因为 u( x , y ) , v ( x , y ) 沿 C 连续 ,
所以
lim ∑ ( uk Δxk −vk Δyk ) = ∫ udx − vdy
δ→ 0 k =1 n C
n
lim ∑ ( uk Δyk +vk Δxk ) = ∫ vdx + udy
δ→ 0 k =1
ζk
z k −1
zk
Z
z n −1
o
x
积分的存在性及求法
∫ ∫
故
C
zdz = lim ∑ zk Δzk = lim ∑ zk ( zk − zk −1 )
δ→ 0 k =1 n δ→ 0 k =1
n
n
C
zdz = lim ∑ zk −1Δzk = lim ∑ zk −1 ( zk − zk −1 )
∫
C
f ( z )d z . 即 f ( z )dz = lim∑ f ( ζ k )Δzk
δ→0 k =1 n
∫
C
积分的存在性及求法 三、积分的存在性及求法
《复变函数》(工科)课件 No.3
8
无界区域的例子
角形域:0<arg z<j
y
y
上半平面:Im z>0
j
x
x
b
y
带形域:a<Im z<b
a
x
9
2. 曲线 单连通域 多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
18
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平 面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定 了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应 着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之 间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
z1
区域 z2
不连通
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
设D为复平面内的一个点集, 如果点P的任 意邻域内总包含有D中的点,也包含有D的余 集中的点,这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由 几条曲线和一些孤立的点所组成的.
C3
z
g1 g2
C1
C2
6
区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为 中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个 点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的. y
无界区域的例子
角形域:0<arg z<j
y
y
上半平面:Im z>0
j
x
x
b
y
带形域:a<Im z<b
a
x
9
2. 曲线 单连通域 多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
18
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平 面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定 了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应 着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之 间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
z1
区域 z2
不连通
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
设D为复平面内的一个点集, 如果点P的任 意邻域内总包含有D中的点,也包含有D的余 集中的点,这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由 几条曲线和一些孤立的点所组成的.
C3
z
g1 g2
C1
C2
6
区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为 中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个 点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的. y
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
收敛域
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
复变函数中值定理ppt课件
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
y
y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
证 在区间I上任取两点x1 , x2 ( x1 ),
由拉格朗日中值定理, 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
0
由条件, 则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两点的
函数值都相等, 所以, f ( x) C.
例 证明当 x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x), [0, x] 关键
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
则在开区间(a, b)内至少存在一点x , 使得
f (b) f (a) f ( )(b a)
证明 于是 (a,b) ,使 F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba 即 f ( ) f (b) f (a) .
ba
证 作辅助函数 g( x) f ( x) f (b) f (a) x, ba
(2) 在区间 (a , b) 内可导
y
y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
证 在区间I上任取两点x1 , x2 ( x1 ),
由拉格朗日中值定理, 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
0
由条件, 则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两点的
函数值都相等, 所以, f ( x) C.
例 证明当 x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x), [0, x] 关键
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
则在开区间(a, b)内至少存在一点x , 使得
f (b) f (a) f ( )(b a)
证明 于是 (a,b) ,使 F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba 即 f ( ) f (b) f (a) .
ba
证 作辅助函数 g( x) f ( x) f (b) f (a) x, ba
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思考题答案
若C是实轴上 [,区 ], 间 则 f(z)dzf(x)dx, C
如果f(x)是实值, 的 即为一元实函数的定积分.
一般不能把 ,起 终点为 的函f数 (z)的积分
记作 f(z)dz,因为这是一,个 要线 受积 积分 分路 线的限 ,必制 须记 f作 (z)dz.
C
§3.2 柯西积分定理
例4 设C为从原点3到 4i点 的直线 , 段
试求积C分 z1idz绝对值的一.个上
解 C 的参数 z(3 方 4i)t,程 (0 t 为 1)
根据估值不等式知
C
z
1
i
dz
C
z
1
i
ds
因为 C上 ,在 1 1 zi 3t(4t1)i
1 (3t)2(4t1)2
1
25
t
2452
9 25
5 3
一、基本定理 二、原函数 三、复合闭路定理
例3 计算(2 积 z2 ez 分 co z)z d s . z 5
解 函 2 z2 数 ez co z在 s 闭 z5 区 上,域 解
根据柯西－古萨定理，有
(2z2ezco z)s z d 0.
例4
计
z5
算
积 zi1 z分 2e5zz6d.z
解
函 数ez 的 z25z6
C
0
0
2
又 C z 因 d z C ( x 为 i) y d x ( id y )
Cx d xyd yiCyd xx d y
这两个积分都与路线C 无关
所以不 C是 论怎样从原 34i点 的曲 到,线 点 都有
zdz1(34i)2.
C
2
例2 计算 CRezdz, 其中 C为:
(1从 ) 原点到 1i点 的直线 ; 段
isinicozs0i isii n co i 1 s
e11.
课堂练习 求1izezdz的值 . 1
答案 ie (c1 oissi1n ).
例8．求 C(2z28z1)dz的.值 其C 中 是连接
0到 2πa的摆 :x 线 a(sin ),ya(1co )s.
解 因为函 2z2数 8z1在复平面内,处处
奇z 点 2,为 3, 都在曲线
zi 1外部 , 即 z2e5zz6在 闭区 zi域 1上解 . 析
根据柯西－古萨定理得
ez
zi1 z25z6dz0.
例5 求 z1zdz的值 .
解 因z为 0 z是解析函 , 它 数的原函1数 z2, 是 2
z1zdz 1z2 z1
z0
2 z0
12(z12 z02).
C
0
2
x
1
C Rezdz,
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段； (2) 积分路径的参数方程为
z(t) t i2 t (0 t 1 ),
于 R z 是 t ,e d z ( 1 2 t) d i t ,
1
CRezdz 0t(12it)dt
t2 2
2i 3
t3
1
0
1 2
2 3
o1
z
2x
上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理，
ez z
dz
0.
例10 求C(z1a)ndz, C为含 a的任一简,单闭
n为整. 数
例10 求C(z1a)ndz, C为含 a的任一简,单闭
n为整. 数
解 因a为 在曲 C内 线,部 故可取很小的正,数
(方z此1便使 结a)，n论C 在 因1 非:为z 常以 CC重a 不要 C必1，是为 含 用圆起边 ，来C 界 内 a很在 的. 复 部 连 通C域Ca1
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计 C z 算 d z,C :从原 3 点 4 i的到 直 . 点 线
解 直线段方程为 z (3 4 i)t,0 t 1.
d z(34 i)d t,
zdz1(34i)2tdt(34i)2
1
tdt
1(34i)2.
例6 求izcozs2dz的值 . 0
解
i 0
zcosz2dz
1 2
icozs2dz2
0
1 sin z 2 i
2
0
1sin(2) 2
1sin2. 2
例7 求izcozsdz的值 . 0
解
i
i
0 zcoszdz 0zd(sinz)
[zsizn ]0 i 0isizn dz
使用:“分 部积分法”
i;
y
i
1i
y x2
o
x
1
C Re zdz,
(3)从原点沿x轴到1，再从1到1+i的折线. (3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 z (t) t (0 t 1 ), 于 R z 是 te , d z d t,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t) 1 i( t 0 t 1 ),
Cnein
d
rni1
e d 2π i(n1)
0
rn i 1 0 2 π co n 1 s )d ( i0 2 sin n 1 )(d
2
0,
i,
n 1, n 1.
所以
zz0
r
(z
1 z0
)n
dz
2i,
0,
n 1, n 1.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
所以积分与路线无关, 根据N-L公式:
(2z28z1)dz2a(2z28z1)dz
C
0
32z34z2z02a13 63a31 62a22a.
例9 计算积 ezdz分 ,为正向 z2圆 和周 负
z
y
向圆 z1 周 所组 . 成
C1
解 C1和C2围成一个圆 , 环域 C 2
函数ez 在此圆环域和其边界
,
从而C
1 zi
dz
5 3
Cds
5
25 3
故Cz1idz
25. 3
小结与思考
本课学习了复积分的定义、存在条件以及计 算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中 的线积分完全相似的性质.
本课中重点掌握复积分计算的一般方法.
思考题
复函f数 (z)的积分定义 f(z)式 dz
C
与一元函数定一 积致 ?分是否
(2抛 ) 物y线x2上从原点1到 i的 点弧;段 (3从 ) 原点x轴 沿到1点 再到 1i的折.线
解 (1) 积分路径的参数方程为
z ( t) t it( 0 t 1 ), y
i
1i
于 R z 是 t ,e d z ( 1 i ) d t ,
Rezdz
1
t(1i)dt
1
(1
i
);
o
y
于 R z 是 1 e ,d z id t, i
1i
Rezdz
1
tdt
1
1 idt
1
i.
C
0
0
2
y x2
o
x
1
注： 此例说明积分 CRezdz与路线有关．
例3 求C(z1z0)ndz,C为z以 0为中 ,r为 心 半
径的正 ,n为 向整 圆 . 数 周
解 C的参数方程为 z z 0 rie( 0 2 π ),