复变函数1第三章ppt课件

i;
y
i
1i
y x2
o
x
1
C Re zdz,
(3)从原点沿x轴到1，再从1到1+i的折线. (3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 z (t) t (0 t 1 ), 于 R z 是 te , d z d t,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t) 1 i( t 0 t 1 ),
例6 求izcozs2dz的值 . 0
解
i 0
zcosz2dz
1 2
icozs2dz2
0
1 sin z 2 i
2
0
1sin(2) 2
1sin2. 2
例7 求izcozsdz的值 . 0
解
i
i
0 zcoszdz 0zd(sinz)
[zsizn ]0 i 0isizn dz
使用:“分 部积分法”
(2抛 ) 物y线x2上从原点1到 i的 点弧;段 (3从 ) 原点x轴 沿到1点 再到 1i的折.线
解 (1) 积分路径的参数方程为
z ( t) t it( 0 t 1 ), y
i
1i
于 R z 是 t ,e d z ( 1 i ) d t ,
Rezdz
1
t(1i)dt
1
(1
i
);
o
思考题答案
若C是实轴上 [,区 ], 间 则 f(z)dzf(x)dx, C
如果f(x)是实值, 的 即为一元实函数的定积分.
一般不能把 ,起 终点为 的函f数 (z)的积分
记作 f(z)dz,因为这是一,个 要线 受积 积分 分路 线的限 ,必制 须记 f作 (z)dz.
C
§3.2 柯西积分定理
C
0
0
2
又 C z 因 d z C ( x 为 i) y d x ( id y )
Cx d xyd yiCyd xx d y
这两个积分都与路线C 无关
所以不 C是 论怎样从原 34i点 的曲 到,线 点 都有
zdz1(34i)2.
C
2
例2 计算 CRezdz, 其中 C为:
(1从 ) 原点到 1i点 的直线 ; 段
所以积分与路线无关, 根据N-L公式:
(2z28z1)dz2a(2z28z1)dz
C
0
32z34z2z02a13 63a31 62a22a.
例9 计算积 ezdz分 ,为正向 z2圆 和周 负
z
y
向圆 z1 周 所组 . 成
C1
解 C1和C2围成一个圆 , 环域 C 2
函数ez 在此圆环域和其边界
y
于 R z 是 1 e ,d z id t, i
1i
Rezdz
1
tdt
1
1 idt
1
i.
C
0
0
2
y x2
Fra Baidu bibliotek
o
x
1
注： 此例说明积分 CRezdz与路线有关．
例3 求C(z1z0)ndz,C为z以 0为中 ,r为 心 半
径的正 ,n为 向整 圆 . 数 周
解 C的参数方程为 z z 0 rie( 0 2 π ),
C
0
2
x
1
C Rezdz,
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段； (2) 积分路径的参数方程为
z(t) t i2 t (0 t 1 ),
于 R z 是 t ,e d z ( 1 2 t) d i t ,
1
CRezdz 0t(12it)dt
t2 2
2i 3
t3
1
0
1 2
2 3
o1
z
2x
上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理，
ez z
dz
0.
例10 求C(z1a)ndz, C为含 a的任一简,单闭
n为整. 数
例10 求C(z1a)ndz, C为含 a的任一简,单闭
n为整. 数
解 因a为 在曲 C内 线,部 故可取很小的正,数
(方z此1便使 结a)，n论C 在 因1 非:为z 常以 CC重a 不要 C必1，是为 含 用圆起边 ，来C 界 内 a很在 的. 复 部 连 通C域Ca1
isinicozs0i isii n co i 1 s
e11.
课堂练习 求1izezdz的值 . 1
答案 ie (c1 oissi1n ).
例8．求 C(2z28z1)dz的.值 其C 中 是连接
0到 2πa的摆 :x 线 a(sin ),ya(1co )s.
解 因为函 2z2数 8z1在复平面内,处处
,
从而C
1 zi
dz
5 3
Cds
5
25 3
故Cz1idz
25. 3
小结与思考
本课学习了复积分的定义、存在条件以及计 算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中 的线积分完全相似的性质.
本课中重点掌握复积分计算的一般方法.
思考题
复函f数 (z)的积分定义 f(z)式 dz
C
与一元函数定一 积致 ?分是否
一、基本定理 二、原函数 三、复合闭路定理
例3 计算(2 积 z2 ez 分 co z)z d s . z 5
解 函 2 z2 数 ez co z在 s 闭 z5 区 上,域 解
根据柯西－古萨定理，有
(2z2ezco z)s z d 0.
例4
计
z5
算
积 zi1 z分 2e5zz6d.z
解
函 数ez 的 z25z6
C
1 (z z0)n dz
2π 0
irei rnein
d
rni1
e d 2π i(n1)
0
rn i 1 0 2 π co n 1 s )d ( i0 2 sin n 1 )(d
2
0,
i,
n 1, n 1.
所以
zz0
r
(z
1 z0
)n
dz
2i,
0,
n 1, n 1.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
例4 设C为从原点3到 4i点 的直线 , 段
试求积C分 z1idz绝对值的一.个上
解 C 的参数 z(3 方 4i)t,程 (0 t 为 1)
根据估值不等式知
C
z
1
i
dz
C
z
1
i
ds
因为 C上 ,在 1 1 zi 3t(4t1)i
1 (3t)2(4t1)2
1
25
t
2452
9 25
5 3
奇z 点 2,为 3, 都在曲线
zi 1外部 , 即 z2e5zz6在 闭区 zi域 1上解 . 析
根据柯西－古萨定理得
ez
zi1 z25z6dz0.
例5 求 z1zdz的值 .
解 因z为 0 z是解析函 , 它 数的原函1数 z2, 是 2
z1zdz 1z2 z1
z0
2 z0
12(z12 z02).
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计 C z 算 d z,C :从原 3 点 4 i的到 直 . 点 线
解 直线段方程为 z (3 4 i)t,0 t 1.
d z(34 i)d t,
zdz1(34i)2tdt(34i)2
1
tdt
1(34i)2.