机械优化设计考试复习

直接法：复合形法 随机方向法 间接法：惩罚函数法 增广乘子法

二元函数在某点处取得极值的充分条件是 该点处的海赛矩阵为正定。

可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。 黄金分割选点的原则：对称性和新区间三段与原来的区间的三段保持相同的比例。 优化设计迭代满足下降性和收敛性。

凡满足所有约束条件的设计点在设计空间中的变化范围称为可行域。 1优化问题的三要素：设计变量，约束条件， 目标函数。

2机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子 3外推法确定搜索区间，函数值形成 高-低-高 区间 4数学规划法的迭代公式是 1

k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和

计算最佳步长

5若n 维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)TGd1=0，则d0、d1之间存在_共轭关系

6，与负梯度成锐角的方向为函数值 下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值 不变 方向。 外点；内点的判别

7那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法 共轭梯度法 变尺度法 8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数： 坐标轮换法 9、拉格朗日乘子法是 升维法 P37

10、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种

11，.函数()2

2

121

212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-??

????

，海赛矩阵为

2442-????-??

12.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。

13.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。

14.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 15，.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。

16.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收

敛速度较 慢 。

17，.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定

18.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无

约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。

19，改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩

20坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题

21．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。

22．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 23协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

24.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

二、解答题

1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别 答：搜索的原理是：区间消去法原理 区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法 （2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、在变尺度法中，为使变尺度矩阵k H 与1

-k G 近似，并具有容易计算的特点，k H 必须附加哪些条件？

答：（1）必须是对称正定的（2）要求有简单的迭代形式 （3）必须满足拟牛顿条件 3，总结：无约束优化方法 ● 只算函数值方法

1,坐标轮换法：小规模，收敛慢（无耦合问题快）；2，单形替换法：中小规模，收敛较快, 3，格点法：非凸问题；4，Monte Carlo 法：非凸问题。 ● 计算一阶导数方法

1， 梯度法：中小规模，开始快；2，共轭梯度法：中大规模，收敛快，程序简单； 2， 变尺度法：中大规模，收敛快；4，Powell 方法：中大规模，收敛快。

● 计算二阶导数方法

1， Newton 方法：收敛快，计算难度大；2，共轭方向法：收敛快，计算难度大。 4．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。 . 对于二次函数，()12

T

T f X X GX b X c =

++,从k X 点出发，

沿G 的某一共轭方向k

d 作一维搜索，到达1k X +点，则1k X +点处的搜索方向j d 应满足

()()1

0T

j k k d g

g +-=，即终点1k X +与始点k X 的梯度

之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j

d 正交。

3．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.

答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来

的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。

4．简述随机方向法的基本思路

答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X 值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X ，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。

5．凸规划：对于约束优化问题 ()min f X ..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =???

若()f X 、()j

g X (1,2,3,,)j m =???都为凸函数，则称此问题为凸规划。

6．可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。 7．设计空间：n 个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合 8．收敛性：是指某种迭代程序产生的序列(){}

0,1,k X k =???收敛于1

lim k k X

X +*→∞

=

9. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。

10.可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。 三，计算

1、求目标函数f(X)=2x 12+3x 22-x 1x 2-2x 2-9在点X 1 =()1,1处的函数变化率最大的方向及其数值。

解：▽f(x 1)=??????????x2f(x)

x1f(x)=??????=??????---=??????33216142-x -6x x -x 41221 []??

?

??

?===+T

??222

29

93,3f(x1)f(x1)p ρ

数值232^32^3f(x1)=+=? 2、求函数f(X)=x 13+x 22-4x 1-2x 2+72在点X 1（2,1）处的二阶泰勒展开式。

解：

[][][][][][]??

?

???????????????+????????+=?

?

?

???????=??????????=???

???=??????=?=+?+=1-x 2-x 200121-x 2-x 1-x 2-x 081-72x f 200122006x H 082-x 24-2^x 3x f 1

-72x f x -x x H x -x x -x T x f x f x f 21212111211111111121T 21）（）（）（）（）（）

（）（）（x

=6x 12+x 22-16x 1+6+72

3、用共轭梯度法求函数f(X)=2x1^2-x1x2+3x2^2+5的最优解，初始点(1,2)，迭代精度02.0=ε

解：[][]??

?

???-=??????+--=?==

+-?=??????=????????--=∴==+-+---?=???

?????=????????--=??????--+=+=??

????--=??????+---=-?==??66168261214)(88309

)(11211112215

05

112311221-212)()(21112211122,1112261214)(,2,1)1()

()

()

0()

0()0()1()1()0()0()

1()0()

(2)0()0()0(2

)0()0()1()1()1()0()

0()

0()

0()

0()

0()

1(0)0()0(2

)0(2

)1()

0()

0(x x x x x f s x f s x f x f x x x s x x x x x x x f s x x f x f df T

T

β

βαααααααααα

αααα

得令）（））（（）（得代入将初始点

[]

[]

?

?

????-=*??

????-=??????--?+??????==-=+=??????--=??????--+??????=?80.1465.780.1465.79720601765500001.0112110001

.097206017655011288309661-68)

2()()()1()

1()1()1()2(1)

1()1()1()

1()

1(x x s x x s s x H s s x f T

T

最优解为：）

（αα

4，求函数 的极值。 解 首先，根据极值的必要条件求驻点 ??

????=??????--=??????

??????????=?002242)(00

2121

0x x x x x f x f x f 524),(212

22121+--+=x x x x x

x f

得驻点为

再根据极值的充分条件，判断此点是否为极值点。由于 的一阶主子式和二阶主子式分别为

故 为正定矩阵 为极小点，相应的极值为 5．试用牛顿法求()2

2

1285f X x x =+的最优解，设()

[]01010T

X

=。

初始点为()

[]01010T

X

=，则初始点处的函数值和梯度分别为

()()0120

121700

164200410140f X x x f X x x =+?????==????+????

，沿梯度方向进行一维搜索，有

()01

00010200102001014010140X X f X αααα-??????=-?=-=??????-??????

0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

()

()[]

()()()(){

}

()

α?αααααα

αα

min 14010514010200104200108min min 2

0002

00

01=-?+-?-?+-?=?-=X f X f X f

()001060000596000?αα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600

0.05622641060000

α=

=

则第一次迭代设计点位置和函数值01

010200 1.245283010140 2.1283019X αα--????

==????-???

?

()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最

优解。

6、试用黄金分割法求函数()20

f ααα

=+

的极小点和极小值，设搜索区间

???

???=??????=1220100x x

x ??????=??????

????????????????=2002)(0

2221222122

120x x f x x f x x f x f x H 020

2

12>=??x x f

042002)(0>==x H )(0x

H []T

x 2,10=0)(0=x f

[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--=

()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+?-=

计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。 因为()()12f

f αα>。所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。 第一次迭代：

插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=

相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，

由于()()12f

f αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

7．用牛顿法求目标函数()2

2

121625f X x x =++5的极小点，设()

[]022T

X

=。

解：由 ()

[]022T X

=，则()11022326450100f x x f X x f x ???

???????

???===?????????

???????

()222

1

122022221

2320050f f x x x f X f f x x x ??

?????????

?

??==??

???????

??????

，其逆矩阵为

()1

2010321050f X -???????=????

?????

?

因此可得：()()110200

1

02640322110000

50X X f X f X -??

??

????????=-??=-=??????????

???????????

?

()

15f X =，从而经过一次迭代即求得极小点[]0

0T

X *=，()5f X *=