任意角与弧度制题型小结
任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识点与题型归纳.
1●高考明方向1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.《名师一号》P47 对点自测 1、22注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题1、2相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x |x ＝k ·360°－90°，k ∈Z}，也可以表示为{x |x ＝k ·360°＋270°，k ∈Z}． (补充)2、正角 > 零角 > 负角3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角 1）终边落在x 轴非负半轴上的角 {x|x ＝2kπ，k ∈Z }2）终边落在x 轴非正半轴上的角 {x|x ＝2kπ+π，k ∈Z }终边落在x 轴上的角{x|x ＝kπ，k ∈Z }3）终边落在y 轴非负半轴上的角{x|x ＝2kπ+π2，k ∈Z } 4）终边落在y 轴非正半轴上的角{x|x ＝2kπ+3π2，k ∈Z }3终边落在y 轴上的角{x|x ＝kπ+π2，k ∈Z }(2) 象限角 （自己课后完成）知识点二 弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.关键：基本公式180︒→=rad π《名师一号》P47 对点自测 3注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的， 不可混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）4弧长公式||l r α= 扇形面积公式12S lr =(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）知识点三 任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)． (补充)12(补充)关键：立足定义 正弦……一二正，横为零 余弦……一四正，纵为零正切……一三正，横为零，纵不存在3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）知识点三任意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》P47 对点自测 6注意：《名师一号》P48 问题探究问题4如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较5大小，应注意三角函数线的有向性．也可以利用相应图象求解二、例题分析：（一)角的表示及象限角的判定例1.《名师一号》P48 高频考点例1 (1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}6＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2<α2<kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2<α2<2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2<α2<2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意:《名师一号》P48 高频考点例1 规律方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．78（二) 弧度制的定义和公式例1.《名师一号》P48 高频考点 例2(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时， 才使扇形面积最大？解：(1)设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12 故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．《名师一号》P47 对点自测 4注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法91.弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． 2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理 应用圆心角所在的三角形．（三) 三角函数的定义及应用例1.《名师一号》P48 高频考点 例3(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解：(1)r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.《名师一号》P47 对点自测 5(3)(2015·日照模拟)已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．10解：(3)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解： (2)如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点， 由题意知BP 的长为2.。
任意角与弧度制知识与题型总结
任意角与弧度制知识与题型总结一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。
2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=Cααα∠αx4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
（2）若βα和是终边相同的角。
那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。
任意角、弧度制小结学案
1.1.3 任意角、弧度制小结【学习目标】 1．通过小结形成知识网络，更加熟练、系统地掌握和运用本小节的知识点；2．能正确表示某一范围的角；能熟练应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能求有关扇形面积的最值等.【学习重点】（1）角的集合表示；（2）弧长公式、扇形面积公式的灵活运用【难点提示】构建知识网络、灵活运用解决实际问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材110P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．知识梳理请感悟上面的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将各知识内容填写在横线上或空白处.二、热身练习1.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是（ ）90;90360();A B k k Z βαβα=+=++⋅∈． ．90;90360();C D k k Z βαβα=±=±+⋅∈． ．任意角、弧度制任意角弧度制角的概念象限角 同终边上的角 轴上角 正角负角零角弧度制的概念 弧度制与角度制互化弧长、面积公式{}{},,,n Z Y k Z ⋅∈=±⋅∈２．集合Z ＝x ｜x=(2n+1)180x ｜x=(4k 1)180之间的关系是（ ）.;.;.;..A Z Y B Z Y C Z Y D Z Y ≠≠⊂⊃= 与之间的关系不确定三、典例赏析例1 写出如图(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合．思路启迪 以两条射线为终边上的角是多少度（或弧度）？再看周期性吧！解：解后反思 你是怎样理解题的？求解该题的关键点、易错点在哪里？变式练习 写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.解：例2.已知α是第二象限角，试求下列角的范围与所在的象限：(1) 3α；(2) 3α．思路启迪：准确写出α，在33αα、的范围，根据求出的范围，运用数形结合，试试看.解后反思（1）若例2中的α分别是第一象限、第三象限、第四象限的角，怎样确定 33αα、所在象限？有规律吗？各自的周期是多少？（2）解答本题用到了什么数学思想方法？该题中33ααα、、的范围还有不同的写法吗？角的两种制度能用在同一个表达式中出现吗？变式练习 已知α是第三象限角，试求角4α与2α的范围和所在的象限. 解：例3（１）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积． （２）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：解后反思 在第（1）问中，应怎样选择公式更好？第（2）问是一道什么题型，求解时 的入手点在哪里？易错点在哪里？变式练习 已知圆中一条弦的长等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧组成的弓形的面积.解：例4. 2003年10月15日9时，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船， 在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空，按规定轨道3地球14圈，在太空飞行21小时18分，16日6时23分在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功.视飞船在地面343千米的太空中绕地球做匀速圆周运动，90分钟绕地球一圈，地球的平均半径为6378千米，计算：（1）飞船绕地球14圈共转过的度数是多少？（2）在太空飞行中，杨利伟与家人进行了一次特别的通话，通话时间持续4分50秒，在这段时间内，杨利伟所乘坐的飞船转过的角度是多少？飞船走了多少千米（不考虑其他因素，计算时取 3.14π≈）？解：解后反思 该题是什么题型？求解它的思想方法是什么、步骤如何？变式练习 在以原点为圆心半径为4的圆周上，动点P 、Q 从点A （4,0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟旋转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟旋转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 各自走过的弧长.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：知识网络理解了吗？里面的知识内容都掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（学习链接——阅读材料）五、学习评价1将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A.3π B.－3π C.6π D.－6π2.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2B.1sin 2 C.1sin 2 D.2sin 3.集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα， B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ） A. A B ⊂ B. B A ⊂ C. B ⊂A D. A ⊂B4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A ．α＝3B ．α＜3C ．α＝32π D ．α＝120 5.若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ； 若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角,αβ的终边关于直线y x =对称，则αβ与的关系式是 .6.12弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积．解：7.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?解：8.半径为R 的扇形，其周长为R 4，则扇形中所含弓形的面积是多少？解：◆承前启后 现在我们学习了角的推广，角的两种度量制度？在数学中角与三角函数联系最为紧密，那对任意角又怎样定义三角函数呢？【学习链接】（阅读材料）密位制:一种军用的角度计量法.以密位为单位来量角的制度是：把圆周6000等分，每一等分的弧所对圆心角称为1密 位的角，即：1密度位就是圆的16000所对的圆心角（或这条弧）的大小. 密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如15密位记为“0—15”，读作“零，一五”；1370密位记为“13—70”，读作“一三，七零”。
高考数学 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍 理
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
三角函数任意角和弧度制知识点
三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。
α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。
终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。
终边落在坐标轴角的集合为__________________。
象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。
第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。
例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。
（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习21 任意角与弧度制
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题21 任意角与弧度制题型一 终边相同的角1．已知角β0y -=上.则角β的集合S 为__________.【答案】{}|60180,n n Z ββ︒︒=+⋅∈0y -=过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合分别为{}1|60360,S k k Z ββ︒︒==+⋅∈，{}2|240360,S k k Z ββ︒︒==+⋅∈，所以，角β的集合{}12|60360,S S S k k Z ββ︒︒=⋃==+⋅∈{}|60180360,k k Z ββ︒︒︒⋃=++⋅∈ {}{}602180,|60(21)180,k k Z k k Z ββββ︒︒︒︒==+⋅∈⋃=++⋅∈∣ {|60180,}n n Z ββ︒︒==+⋅∈.故答案为：{}|60180,n n Z ββ︒︒=+⋅∈.2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： （1）－120°； （2）640°.【答案】（1）240°，它是第三象限的角；（2）280°，它是第四象限的角．【解析】(1)与－120°终边相同的角的集合为M ＝{β|β＝－120°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角． (2)与640°终边相同的角的集合为M ＝{β|β＝640°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角． 3．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°. 题型二 象限角的规定4．下列说法中正确的序号有________． ①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角． 【答案】①②③④【解析】由题意，①65-是第四象限角，是正确的；②225是第三象限角，是正确的；③475360115=+，其中115是第二象限角，所以475为第二象限角是正确的； ④31536045-=-+，其中45是第一象限角是正确的， 所以正确的序号为①②③④ 5．若α是第一象限角，问α-，2α，3α是第几象限角？ 【答案】α-是第四象限角；2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上；3α是第一、二或第三象限角．【解析】因为α是第一象限角，所以36036090()k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ， 所以36090360()k k k Z -⋅︒-︒<-<-⋅︒∈α，所以α-所在区域与(90,0)-︒︒范围相同，故α-是第四象限角；236022360180()k k k Z ⋅︒<<⋅︒+︒∈α，所以2α所在区域与(0,180)︒︒范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上；12012030()3k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ．当3()k n n Z =∈时，36036030()3n n n Z ⋅︒<<⋅︒+︒∈α，所以3α是第一象限角； 当31()k n n Z =+∈时，360120360150()3n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z ，所以3α是第二象限角；当32()k n n Z =+∈时，360240360270()3n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z ，所以3α是第三象限角． 综上可知：3α是第一、二或第三象限角． 6．已知角α的终边在第四象限. （1）试分别判断2α、2α是哪个象限的角；（2）求3α的范围. 【答案】（1）2α是第二或第四象限的角，2α是第三或第四象限或y 轴的非正半轴的角；（2）2ππ2π2,3233k k π⎛⎫++⎪⎝⎭（k ∈Z ）. 【解析】α是第四象限的角，3222()2k k k Z ππαππ∴+<<+∈， 3()42k k k Z παπππ∴+<<+∈， 当2()kn nZ 时，322()42n n n Z παπππ∴+<<+∈ 此时2α是第二象限； 当21()k n n Z =+∈时，7222()42n n n Z παπππ∴+<<+∈ 此时2α是第四象限； 又3222()2k k k Z ππαππ+<<+∈ 43244()k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α是第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴； （2）3222()2k k k Z ππαππ+<<+∈ 222()32333k k k Z ππαππ∴+<<+∈ 题型三 角度与弧度的互化7．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad .如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是________. 【答案】864245π151.2cm π 【解析】∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， ∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿， ∴小轮转动4812205=周，即123608645⨯=，1224255ππ⨯=， ∴当大轮的转速为180/r min 时，12180432/5r min ⨯=，小轮转速为432/r min ， ∴小轮周上一点每1s 转过的弧度数为：724322605ππ⨯÷=， ∵小轮的半径为10.5cm ，∴小轮周上一点每1s 转过的弧长为：7221151.252cm ππ⨯=， 故答案为：864；245π；151.2cm π. 8．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________. 【答案】12＋π360，12－π360【解析】设两个角的弧度分别为x,y ，又由1∘=π180rad ， 所以{x +y =1x −y =π180，解得{x =12+π360y =12−π360 ， 即所求两角的弧度数分别为12+π360,12−π360.9．海面上，地球球心角1'所对的大圆的圆弧长为1nmile （海里），1nmile 是多少千米？（将地球看成球体，半径取为6370km ）【答案】1.853km【解析】6011'⎛⎫= ⎪⎝⎭∴弧长为1637060 1.853180km π⋅≈，故1 n mile 为1.853km . 题型四 弧长、扇形面积有关计算10．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【答案】D【解析】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或1l r α==.故选：D11．如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是________.【答案】23π【解析】扇形BEF 的面积为2122233ππ⨯⨯=,连接BD ,设,BE AD N BF CD M==,,33NDB MCB DBN MBD CBM BD BD ππ∠=∠=∠=-∠=∠=因此DBN CBM ≅即扇形BEF 在四边形ABCD 内面积等于BCD △22=因此图中阴影部分的面积是23π故答案为：23π12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9π2m )；(2)少1.522m ． 【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得． 试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.13，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角.求点A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.()dm ，走过的弧度所对的扇形的总面积为()274dm π. 【解析】1AA 所在圆弧的半径是2dm ，圆心角为2π；12A A 所在圆弧的半径是1dm ，圆心角为2π；23A A ，圆心角为3π，所以走过的路程是3段圆弧之和，即()21223dm πππ⨯+⨯=，3段圆弧所对的扇形的总面积是()2222111*********4dm ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 题型五 扇形中的最值问题14．已知扇形的面积为216cm ，求扇形周长的最小值，并求此时圆心角的弧度数． 【答案】16cm ；弧度数为2【解析】设扇形半径为r ，圆心角为θ，则扇形面积21162S r θ==，扇形周长2l r r θ=+，即2lr θ=+，代入面积表达式得：2232(2)432(4)324)256l θθθθ+==++≥⨯=，即16l ≥，当且仅当2θ=时等号成立.故周长的最小值为16cm ，此时圆心角的弧度数为2.15．某市规划拟在如图所示的扇形土地上修建一个圆形广场．已知60AOB ︒∠=，AB 的长度为100m π，怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？【答案】当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大，此时1O 的面积为()210000m π．【解析】如图所示，∵603AOB π︒∠==，AB 的长度为100m π，∴100300(m)3OA ππ==．由题意可知，当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大，设1O 与OA 切于点C ，连接11,O O O C ．则111130,300O OC OO OA O C O C ︒∠==-=-， 又1112O C O O =⨯，∴()1113002O C O C =-⨯， 解得1100m O C =．故当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大，此时1O 的面积为()2210010000m ππ⨯=．16．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.【答案】2α=弧度，最大面积225cm【解析】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -， 且2020,010r r ->∴<<，扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+，当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.17．如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，现计划在这块扇形土地上修建一个圆形广场，已知60AOB ︒∠=，AB 的长度为100m π.怎样设计能使广场的占地面积最大？最大面积是多少？【答案】当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大；最大面积是210000m π【解析】603AOB π︒∠==，AB 的长度为100m π，()100300m 3OA ππ∴==.根据题意可知，当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大. 如图所示，设1O 与OA 相切于点C ，连接1O O ，1O C ， 则16O OC π∠=，111300OO OA O C O C =-=-.又11sin 6O C OO π=⋅，故()1113002O C O C =-⨯，解得()1100m OC =. 这时1O 的面积为()2210010000m ππ⨯=.即最大面积是210000m π.题型六 弧长公式、扇形面积公式的应用18．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π 【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ= ，又2αβπ+=，解得(3απ= 故选:A19．如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于点A ，P ，Q 是圆上的两个动点，它们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动，点P 沿逆时针方向每秒转3π，点Q 沿顺时针方向每秒转6π，试求P ，Q 出发后第五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长.【答案】203R π和103R π.【解析】易知动点P ，Q 从第k 次相遇到第1()k k +∈N 次相遇 所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2R π， 因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10R π. 设动点P ，Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒， 走过的长分别为1l ，2l 则13l tR π=，266l tR tR ππ=-⋅=.因此121036l l tR tR R πππ+=+=.∴102036Rt Rπππ==⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭（秒），1203l R π=，2103l R π=. 由此可知，P 转过的弧度数为203π，Q 转过的弧度数为103π， P ，Q 走过的弧长分别为203R π和103R π. 20．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：1221．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】12π﹣【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin 3π＝2×6∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣132⨯＝12π﹣故答案为：。
三角函数解三角形题型归类
三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念1．三角函数诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.b 2＝ ； cos B ＝ ；c 2＝ . cos C ＝ .3.三角形面积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx ＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2016年 全国卷1)4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（A （B （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)4y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年 全国卷1)8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④D. ①③16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .(2013年 全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）10．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b = （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）516．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.(2012年 全国卷1)9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，sin sin c C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆b ，c .三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33C.－ 3D. 3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43 题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.454.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 题型四 诱导公式的应用5．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知角α终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为 题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．变式5.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题7.（1）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________.（2）已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。
专题5.1 任意角与弧度制(解析版)
专题5.1任意角与弧度制一、角的相关概念1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：4.相反角如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.二、象限角1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn所在象限的判断方法4.已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．三、终边相同的角1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝□01α＋k ·360°，k ∈Z }．2.对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k ∈Z ，即k 为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．四、角的单位制1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.2.长度等于半径长的圆弧所对的□03圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3.弧度数的计算4.角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．五、角度与弧度的换算1.角度制与弧度制的换算2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π六、扇形的弧长及面积公式1.设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝n πr 180＝αr ，扇形的面积：S ＝n πr 2360＝12lr ＝12α·r 2.一、单选题1．与525-角的终边相同的角可表示为（）A ．525360k k Z -⋅∈（）B ．185360k k Z +⋅∈（）C ．195360k k Z +⋅∈（）D ．195360k k Z -+⋅∈（）【答案】C【解析】解：525=1952360--⨯，所以525-角的终边与195角的终边相同，所以与525-角的终边相同的角可表示为195360k k Z +⋅∈（）.故选：C 2．下列与角23π的终边一定相同的角是（）A ．53πB ．()43k k Z ππ-∈C ．()223k k Z ππ+∈D ．()()2213k k Z ππ++∈【答案】C 【解析】对于选项C ：与角23π的终边相同的角为()223k k Z ππ+∈，C 满足.对于选项B ：当()2k n n Z =∈时，()442,33k n k Z n Z ππππ-=-∈∈成立；当()21k n n Z =+∈时，()()44212,333k n n k Z n Z ππππππ-=+-=-∈∈不成立.对于选项D ：()()2521233k k k Z ππππ++=+∈不成立.故选:C 3．在0°到360范围内，与405终边相同的角为（）A ．45-B ．45C ．135D ．225【答案】B【解析】：因为40536045=+，所以在0°到360范围内与405终边相同的角为45；故选：B 4．角76π所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 7362πππ<<，∴角76π位于第三象限.故选：C.5．已知角2022α=，则角α的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为20222225360α==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限.故选：C.6．下列说法正确的是（）A ．终边相同的角相等B ．相等的角终边相同C ．小于90︒的角是锐角D ．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A 不正确；相等的角终边一定相同；所以B 正确；小于90︒的角是锐角可以是负角，C 错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D 错误．故选：B.7．135-的角化为弧度制的结果为（）A ．32π-B ．35π-C ．34π-D ．34π【答案】C【解析】π3135π rad 1418035-⨯-==-．故选：C.8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67π，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（）A ．288πB ．144πC ．487πD ．以上都不对【答案】B【解析】由题意得，大扇形的面积为11612002020277S ππ=⨯⨯⨯=，小扇形的面积为21619288277S ππ=⨯⨯⨯=，所以扇面的面积为12120019214477S S πππ-=-=.故选：B 9．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【答案】B【解析】∵37515360-=-︒-︒︒，∴π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =锯道2AB =，则图中ACB 与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．2π-B ．23πC ．3πD ．33π-【答案】B【解析】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此2212222343MBBAOB S S S ππ=-=⨯⨯-=-弓形扇形故选：B 11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】解：由题得：弓所在的弧长为：54488l ππππ=++=；所以其所对的圆心角58524ππα==；∴两手之间的距离2sin1.25 1.7684d R π=≈．故选：B ．12．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A13．在Rt POB 中，90PBO ∠=︒，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则（）A ．tan αα=B ．tan 2αα=C ．sin 2cos αα=D ．2sin cos αα=【答案】B【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α.直角三角形POB 中，tan PB r α=，△POB 的面积为21tan 2r α⋅⋅.由题意得22112tan 22r r αα⨯=⋅⋅，所以tan 2αα=.故选：B14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R ，，则一个“花瓣”的面积为（）A ．2π12R -B ．2π22R -C ．2π14R -D ．()2π1R-【答案】B【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R ，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为2π，所以弓形的面积221142S R R π=⨯-，所以一个“花瓣”的面积为2π22R -，故选：B.15．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（）A ．(1π-B ．(2πC ．4πD ．32π⎛+ ⎝⎭【答案】B【解析】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3π，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB ππ=⨯=，263m AC π=⨯=，363m AD ππ=⨯=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(123432m m m m π+++=+.故选：B.16．用半径为2，弧长为2π的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（）A BC D ．4π【答案】B【解析】令圆锥底面半径为r ，则22ππ=r ，因此1r =∴圆锥的高为：h ==∴圆锥的体积21133π=⨯⨯=V 故选：B17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A ．(35)π-B ．(51)πC ．(51)π+D ．(52)π【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=故选:A 18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3π，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3πB ．33πC ．95322-D ．11332-【答案】D【解析】在圆心角为3π，弦长等于2米的弧田中，半径为23矢3=12(弦×矢+矢²)=((211122323322⎡⎤⨯-+-=-⎢⎥⎣⎦，故选D.19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A ．3πB ．3π-C ．6πD ．6π-【答案】C【解析】：分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为1 2.126ππ⨯=故选C ．20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为23π，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为（）A ．3B ．C ．3D 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则223l ππ=，解得3l =，又22ππ=r ，解得1r =，所以圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为213V r h π==.故选：A .二、填空题21的体积为______【答案】2π3【解析】设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由2125π25l ⨯=，得l =.因为2π5r =1r =，所以该圆锥的体积为212ππ133⨯⨯⨯.故答案为：2π322．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积21(2弦矢矢)=⨯⨯+，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为23π，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）【答案】92【解析】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ⊥，所以矢长为CD ，在Rt AOC △中，6AO =，3AOC π∠=，所以13,2OC OA AC ===，所以3,2CD OD OC AB AC =-===所以弧田的面积为()()2211933222AB CD CD ⋅+=+=.故答案为：92.23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当1212S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1)【解析】设,AOB θ∠=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r，1212S S =，所以2212112212r r r θθθ-=，即2212512r r r -=，所以2212361()242r r -===，所以1r r =又20,r cm =，所以11)r cm =-，故答案为：1).24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】(40π+【解析】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知QT =，60PQ =所以sin QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260403l πππ=⨯+⨯=+.故答案为：(40π+25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1ππ33121sin 23232⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故答案为：π2．26．若扇形的周长为定值l ，则当该扇形的圆心角()02ααπ<<=______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【答案】22116l 【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为rα故2r r lα+=扇形的面积22111(2)222S r r l r lr r α==-=-由二次函数的性质，当4l r =时，面积取得最大值为2116l 此时12r l α=，2α=故答案为：2，2116l。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
任意角和弧度制(基础知识+基本题型)(含解析)
5.1 任意角和弧度制（基础知识+基本题型）知识点一 任意角 1.角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(2)角的表示：如图射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。
2.角的分类 名称定义 图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线没有做任何旋转形成的角拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于0360.BOAOABOABA（BO知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角（1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（2）象限角的集合表示}36090360,x k k Z <<+⋅∈}90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈}270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈2.终边相同的角（1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
（2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈}180,k k Z ⋅∈}90360,k k Z +⋅∈}90360,k k Z +⋅∈终边落在y 轴上的角{}90180,x x k k Z =+⋅∈终边落在坐标轴上的角{}90,x x k k Z =⋅∈注意：（1）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。
24任意角与弧度制知识点总结
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终 边重合。 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在 的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y
sin
x
在
2k
2
，2k
2
3 2
sin
，
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解
任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一 终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°<45°＋k ×360°＜0°， 得－765°<k ×360°＜－45°， 解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ， 可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二 扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三 三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。
(完整版)任意角与弧度制题型小结
2. 按角的终边位置 (1)角的终边在第几象限， —则此角称为第几；(2)角的终边在—上，则此角不属于任何一 个象限•3. ________________________________________________________________________________ 所有与角a 终边相同的角，连同角 a 在内，可构成一个集合 S= _______________________________________ ，即 任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角【常考题型】 题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 出它们是第几象限角.(1) - 75 ° ;⑵855 ° ; (3) - 510【类题通法】象限角的判断方法(1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限， 此角就是第几象限角.(2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°?360。
范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角. 【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°?360。
范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角.(1)360 ° ；⑵720 ° ； (3)2 012 ° ； (4) - 120 ° .题型二、终边相同的角的表示任意角与弧度制【知识梳理】1按旋转方向分X 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指【例2】(1)写出与a=- 1 910。
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720 v卩v 360。
的元素卩写出来•⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合⑶ 写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.x30*8【类题迪袪】1终边相同的角常用的三个结论(1) 终边相同的角之间相差360°的整数倍.⑵终边在同一直线上的角之间相差180。
的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍.2?区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界;⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角a,卩，写出所有与a ,卩终边相同的角;(3) 用不等式表示区域内的角，组成集合【对点训练】已知角a的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角a的取值范围.4yn *亠题型三、确定n及一所在的象限【例3】若a是第二象限角，则a 2a，-分别是第几象限的角？【类题通法】1. n a所在象限的判断方法H：Jy *o/2. a所在象限的判断方法na(1)用不等式表示出角一的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1 ;被n除余2；…；被n除余n —1. 从而得出结论.⑵作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域?从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4. 标号为几的区域，就是根据a终边所在的象限确定a a的终边所落在的区域. 如此，一所在的象限就可以由标号区域n n所在的象限直观地看出. a【对点训练】已知角a为第三象限角，试确定角2 a ,〜是第几象限角.题型四轴线角与象限角1. 终边落在x 轴正半轴上角的集合_________________________________2. 终边落在x 轴负半轴上角的集合_________________________________3. 终边落在y 轴正半轴上角的集合_________________________________4. 终边落在y 轴负半轴上角的集合_________________________________5. 终边落在x 轴上角的集合_______________________________6. 终边落在y 轴上角的集合_______________________________7. 终边落在坐标轴上角的集合________________________________8. 与终边关于原点对称( 互为反向延长线)，与的关系____________9. 与终边关于X 轴对称，与的关系_________________10. 与终边关于y 轴对称，与的关系_____________11. 第一象限角的范围：_______________________________12. 第二象限角的范围：_______________________________13. 第三象限角的范围：_______________________________14. 第四象限角的范围：_______________________________知识梳理】1. 角度制与弧度制(1)角度制.①定义：用度作为单位来度量角的单位制•② 1 度的角：周角的 ___________ 作为一个单位(2)弧度制.①定义：以 ______ 作为单位来度量角的单位制•②1弧度的角：长度等于_____________ 的弧所对的圆心角•2. 任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个 ___________ ，负角的弧度数是一个_______________ ，零角的弧度数是0.3. 角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I ,那么，角a的弧度数的绝对值是| a | = p4. 弧度与角度的互化5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表6?扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为弧长为, a为其圆心角，则【常考题型】题型一、角度与弧度的换算2 n【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°(2) —300 ° ; (3)2 ; (4)—-.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式n rad = 180。
任意角和弧度制经典总结
任意角和弧度制、诱导公式一．角的概念的推广我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角。
突出“旋转” 注意：(1)“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”二．“象限角” 三．轴线角： 四．终边相同的角 五、弧度制角度制与弧度制的换算：3．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180r n l *=π简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积4．扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad Rl∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ 比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇 要简单公式一（其中Z ∈k ）:角度制表示如下： 用弧度制可表示如下： ααsin )360sin(=︒⋅+k ⇔ απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k ⇔ απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k ⇔ απαt a n )2t a n (=+k（这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函o RSl数值问题。
）※ 公式: 1cos sin 22=+αααααt a n c o s s i n = 1c o t t a n=⋅αα 公式二：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ⇔ ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ⇔ ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ⇔ ααπtan tan(=+）公式三： αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）公式四：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下： ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）公式五：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：sin(90︒ -α) = cos α, sin(2π-α) = cos α,cos(90︒ -α) = sin α. cos(2π-α) = sin α.公式六：角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：sin(90︒ +α) = cos α, sin(2π+α) = cos α,cos(90︒+α) = -sin α. cos(2π+α) = - sin α.例题分析： 例1．若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则 （ ）()A αβ< ()B αβ> ()C 2παβ+<()D 2παβ+>例2．（1）如果α是第一象限的角，那么3α是第几象限的角？ （2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )cos(sin )αα的符号．解：（1）∵22,2k k k Z ππαπ<<+∈，∴22,3336k k k Z παππ<<+∈， 当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z απππ<<+∈，3α是第一象限的角，当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第二象限的角， 当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第三象限的角． ∴3α是第一，二，三象限的角．（2）∵α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<， ∴sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )0cos(sin )αα<．例3．已知锐角α终边上的一点P 坐标是(2sin 2,2cos 2)-，则α=（ ）角度和弧度的转换：1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos 20θ<，则θ的取值范围是（ ）()A 32ππθ<<()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744ππθ<<2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos0αα>≤ ，则a 的取值范围是 ．3．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈ （ ）诱导公式例题例1． 下列各式的值： 1）（1）cos210º；(2)sin45π解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23；（2）sin45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=22 2）（3）sin(－34π)；(4)cos(－60º)－sin(－210º) 解：（3）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （4）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 同类练习： 求下列三角函数的值(1) sin240º； (2)45cosπ；(3) sin （-67π）(4)cos 35π；(5)cos(-150º)；4解：（1）sin240º=23-(2) 45cosπ=22-； (3) sin （-67π）=21(4)cos35π=cos(32ππ-)=cos 3π=21 (5)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=23-； (6)sin47π=sin(42ππ-)=－sin 4π=22- （7）sin(-1200º)²cos1290º+cos(-1020º)²sin(-1050º)+tan855º解：原式＝－sin(120º+3²360º)cos(210º+3²360º)+cos(300º+2²360º)[-sin(330º+2²360º)]+tan(135º+2²360º) ＝－sin120º²cos210º－cos300º²sin330º+tan135º ＝－sin(180º－60º)²cos(180º+30º) － cos(360º－60º)²sin(360º-30º)+)45180cos()45180sin(︒-︒︒-︒=sin60º²cos30º+cos60º²sin30º－tan45º=23²23+21²21-1=0例2．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα同类练习：1)sin()5cos(αππα--⋅--略解：原式=)]sin([)cos(cos )sin(απαπααπ+-⋅+⋅+=ααcos cos =1说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型． 2）化简：)()2cos()2sin(])12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-⋅+++⋅αππαπαπα解：原式=)2cos()2sin(]2)sin[(2]2)sin[(αππαππαπαπ----+++n n n n=ααπααπcos sin )sin(2)sin(-++ =ααααcos sin sin 2sin -- =αcos -说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2π的整数倍才能利用诱导公式一． 例3．已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． （A ）23(B) 21 (C)－23(D)±23 事实上，已知条件即cos α=21，于是 sin(2π－α)=－sin α=－(－α2cos 1-)=2211⎪⎭⎫⎝⎛-=23因此选A 同类练习：已知παπαπ22321)cos(<<-=+，．求：)2sin(απ-的值． 解：已知条件即21cos =α，又παπ223<<，所以：)cos 1(sin )2sin(2αααπ---=-=-=23)21(12=- 例4．求证：)sin()cos()2cos()4sin()tan()sin()cos()4cos()3sin(πααπαπαππαπαπαπαπα++---=-----+-证明：左边=)cos()sin()sin()cos(cos ]4)sin[(απαπαπαπαπαπ-------+-+ =ααααααπcos sin sin cos cos )sin(-++=ααααααcos sin sin cos sin cos 22⋅--=()()ααααααααsin cos sin cos cos sin )sin (cos -+⋅-=ααααcos sin cos sin +⋅，右边=ααααsin cos cos sin --⋅-=ααααcos sin cos sin +⋅，所以，原式成立．同类练习：求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边， 所以，原式成立．例5．已知223)360tan(1)720tan(1+=︒--︒++θθ,求:)2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--⋅-+-⋅++-的值解：由223)360tan(1)720tan(1+=︒--︒++θθ，得222tan )224+=+θ（，所以22224222tan =++=θ 故 )2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--⋅-+-⋅++-=θθθθθ222cos 1]sin 2cos sin [cos ⋅++ =1＋tan θ＋2tan 2θ =1+2)22(222⋅+222+= 例6．已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-<于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -， 所以：tan()32cos()32sin()32(ααπαπ--=-=m m 21-- 例7．已知cos 32=β，角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，求cos ()βα32-的值．解：因为角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，所以：βα-=)(22Z k k ∈+ππ，于是 2（βα-）=)(4πππ∈+k k 从而 ，)(432Z k k ∈++-=-ππββα所以 ]4)c o s [()32c o s(πβπβαk +-=-=)cos(βπ-=βcos -=32-巩固练习一、选择题（在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.）1、 下列四个命题中可能成立的一个是（ ）A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 2、 若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±3、 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、4cos 4sin +B 、4cos 4sin -C 、4sin 4cos -D 、4cos 4sin -- 4、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（ ）A 、31+B 、31-C 、31--D 、31+-7、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 10、已知函数2cos)(xx f =，则下列等式成立的是（ ） A 、)()2(x f x f =-πB 、)()2(x f x f =+πC 、)()(x f x f -=- D 、)()(x f x f =- 11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ） A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m 12、设函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f （其中βα、、、b a 为非零实数），若5)2001(=f ，则)2002(f 的值是（ ） A 、5 B 、3 C 、8 D 、不能确定13.已知0cos sin <+θθ，那么角θ是 （ ） A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角14.0cos 6tan 4323sin22++ππ的值为 （ ） A.43 B. 43- C. 45 D. 45- 15．α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是 （ ） A.βαsin sin = B ．βαcos cos = C ．βαtan tan = D ．βαπcos )2cos(=-16.α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin ( ) A. 15 B.15- C. 513 D. 513-17.)619sin(π-的值等于 （ ）A. 12-B. 12C. 2-D. 218.已知三角形ABC 的内角A 满足31cos sin =A A ，则A A c o s s i n +的值为（ ）A. B. C. 53- D. 5319.下列三角函数：①)32cos(ππ+n ；②]6)12s i n [(ππ-+n ；③)61s i n (ππ+n ()N n ∈，其中函数值与6sinπ的相同的是 （ ） A.①② B.②③ C.①③ D. ①②③20.已知,21cos sin 1-=+x x 则=-1sin cos x x（ ） A. 12- B. 12C. 1-D. 121.若23cos -=β，且α的终边过点)2,(x p ，则 α是 （ ）A.第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 22.角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααco s co s 1s i n 1s i n 22-+-的值等于（ ）A.2B. -2C. 2或-2D. 023.若1sin sin 2=+αα，则αα42cos cos += ( ) A.-1 B. 0 C. 1 D. 224．在△ 中，下列各表达式为常数的是 （ ）A ．C C sin )sin(+-πB ．A A cos )cos(--πC ．2sin 2sin 22CB A ++ D ．2cos 2cos AA -π 25.已知函数2sin )(xx f =，则下列各式成立的是 （ ）A.)()2(x f x f -=-πB. )()2(x f x f =+πC.)()(x f x f -=-D. )()(x f x f =-二、填空题.将答案填在题中横线上）26、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin .27、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .28、=-︒)945cos( .29、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .30.已知扇形的半径为2cm ，圆心角所对弧长为π34cm ，则圆心角的角度为31.若角0600的终边上有一点),,4(a -则a 的值是32.已知51cos =α,且α是第四象限角，则=+)2cos(πα 33.已知2tan =x ，则xx xx 22sin cos cos sin 1--= 34.)cos()29sin()3cos(πααπαπ--++=35.若)3,0(πα∈，则αsin log 33等于三、解答题（本大题共5道小题，共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）36、化简：)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--⋅+⋅+.37.在ABC 三角形中，53cos -=B ，求B sin ，)cos(C A +，)tan(C A +38已知21)sin(=+απ，求απααπcos )cot()2sin(⋅---的值.。
专题32 任意角和弧度制(解析版)
专题32 任意角和弧度制知识点一任意角1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）A．90°B．75°C．82.5°D．60°【答案】C【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.×30°＝82.5°.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－142.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】D【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.综上，共4次.3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°【答案】B【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.4.400°角终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.5.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）A．－α为第二象限角B．180°－α为第二象限角C．180°+α为第一象限角D．90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.7.终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.10.与405°角终边相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.12.下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.13.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.（1）k·90°与k·180°＋90°（k∈Z）；（2）k·180°±60°与k·60°（k∈Z）；（3）（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）；（4）k·180°＋30°与k·180°±30°（k∈Z）.【答案】（1）由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝（2k＋1）·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.（2）由于k·180°±60°＝（3k±1）·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.（3）由于（2k＋1）·180°表示180°的奇数倍，（4k±1）·180°也表示180°的奇数倍，故（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）是终边相同的角.（4）由于k·180°＋30°＝（6k＋1）·30°表示30°的（6k＋1）倍，而k·180°±30°＝（6k±1）·30°表示30°的（6k±1）倍，故这两个角不是终边相同的角.14.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）.【答案】（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.15.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.16.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，（2）终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.17.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）同理可表示图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.知识点二弧度制18.下列说法中，错误的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误. 19.比值lr （l 是圆心角α所对的弧长，r 是该圆的半径）（ ）A ．既与α的大小有关，又与r 的大小有关B ．与α及r 的大小都无关C ．与α的大小有关，而与r 的大小无关D ．与α的大小无关，而与r 的大小有关 【答案】C【解析】由题意，比值lr ＝|α|，∴比值lr 与α的大小有关，而与r 的大小无关，故选C.20.下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D ．π12化成度是15° 【答案】C【解析】对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°. 21.在△ABC 中，满足∠A ＝π6，∠B ＝π3，则∠C 等于（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．135°【答案】B【解析】∵三角形的内角和为π，∴∠C ＝π－π3－π6＝π2，∵π＝180°，∴∠C ＝90°.22.圆的半径是6cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（） A ．π2cm 2B ．3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2【答案】B【解析】15°化为弧度为π180×15＝π12.∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12|α|r 2＝12×π12×36＝3π2（cm 2）23.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（）A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9【答案】B【解析】设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r . ∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12|α|R 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2，∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.24.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．1cm 2【答案】D【解析】弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：12×2×1＝1（cm 2）. 25.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．16cm 2【答案】A【解析】设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为×4×2＝4（cm2）.2，扇形的面积为：1226.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π＋2kπ2D．α＋β＝（2k＋1）π【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.27.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（）A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【答案】D【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.28.给出下列命题，其中正确的是（）（1）弧度角与实数之间建立了一一对应关系；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90°的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角.A．（1）B．（1）（2）（5）C．（3）（4）（5）D．（1）（3）【答案】D【解析】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D.29.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为________.【答案】（【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ，则A 1＝π6×|AB |＝π6， A 2＝π6×|AC |＝√2π6， A 3＝π6×|DA |＝π6，A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3（A 1＋A 2＋A 3＋A 4）＝2+√22π. 30.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【答案】（1）在半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .（2）∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin ∠AOB ＝√34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－√34r 2＝(π6−√34)r 2. 31.如图，一长为√3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·|AB |＝π2·√3+1＝π，面积S 1＝12·π2·|AB |2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·|A 1C |＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·|A 1C |2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·|A 2D |＝π3·√3＝√33π，面积S 3＝12·π3·|A 2D |2＝12·π3·（√3）2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋√3π3＝(9+2√3π6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.32.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合（不包括边界）.【答案】（1）∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴{θ|−π6＝2kπ<θ<5π12+2kπ，k∈Z?}（2）∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴{θ|−3π4+2kπ<θ<3π4+2kπ，k∈Z?}。
5.1-任意角和弧度制 2025年高考数学知识点题型及考项复习
)
A.第一象限角
B.角
【解析】由 是第二象限角可得，90∘ + ⋅ 360∘ < < 180∘ + ⋅ 360∘ ∈ .
所以180∘ − 90∘ + ⋅ 360∘ > 180∘ − > 180∘ − 180∘ + ⋅ 360∘ ∈ ，
①④
例1-2 下列所示图形中， = + 的是______;
=−
②③
的是______.
【解析】在①中， 与 的始边相同， 的终边为 的始
边， 与 的终边相同，所以 = + .
在②中， 与 的始边相同， 的终边为− 的始边，−
与 的终边相同，所以 = + − = − .
)
C.2 2
D. 2
【解析】设此圆的半径为，则正方形的边长为 2，所以这段弧所对的圆心角的弧
度数为 =
2
= 2，则这段弧所对的圆周角的弧度数为
2
.
2
知识点4 角度与弧度的换算
5π
例4-7 （1） 化为角度是( B
12
A.60∘
5π
【解析】
12
B.75∘
=
5π
12
×
180 ∘
π
5
B.
8
C.115∘
（1）180∘ + 2 ⋅ 360∘ < 2 < 360∘ + 2 ⋅ 360∘ ∈ ,∴ 2 可能是第三象限角、第
四象限角或终边在轴非正半轴上的角.
（2）方法1
⋅ 120∘
+ 30∘
<
3
弧度制与任意角的三角函数知识点与例题.doc
弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析淤知识梳理1.任意角的概念设角的顶点在坐标原点，始边与工轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生.2.象限角的概念若角a的终边在第&个象限，则称a是第k象限角.象限角及其集合表示3.终边相同的角所有与角a的终边相同的角连同角a在内构成的集合为4.弧度制的概念与半径等长的圆孤所对的圆心角称为1 rad（弧度）的角.1 QA°角度与弧度的互化：1囱（弧度）=（——）«57.3°=57°18/； 1° = rad（弧度）. 715.扇形的弧度、面积在弧度制下：孤长公式：l=\a\R（a 一•扇形中心角的弧度数，/?—扇形所在圆的半径）1 1 .扇形面积公式：5,.4；=-lR = -\a\R2.n 2 2在角度制下：弧长公式：1 = 域扇形中心角的角度数，R•—扇形所在圆的半径）180扇形面积公式：=崩形3606.任意角的三角函数的定义在伯。
的终边上任取点P",y）,设它与原点。
的距离IOP l=r （r > 0）,贝0 sina -, cosa =, tancr =.7 .三角函数在各象限的符号sincz ：上正下负横轴零cos。
：左负右正纵轴零tana：交叉正负横轴零8.典例剖析一、角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角a是第三象限的角，答案：二.解析：因为a是第三象限的角，则角-。
的终边在第象限. A=1 故-k -360° -270° <-a<-k-360° -180°,^ G Z,则S360°,tan(2成 + a)=分别表示：正弦线，余弦线，正切线.9.终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2A〃 + a) =, cos(2k/r + a)=10 .三角函数线如图有向线段MF, OM,-270°<-a<k-360° -180°,A：G Z,故-a的终边在第二象限.练习：与610°角终边相同的角可表示为. 【答案：A・360°+250°(A E Z)】2.象限角的表示例2已知角a是第二象限角，问(1)角巳是第儿象限的角？(2)角2a终边的位置.2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.解析(1)因为a 是第二象限的角，故k - 360° + 90°<a<k-360° +180°(Z: G Z),故4180°Of CC (I+45° v —vA・18(T+90°(AcZ).当R为偶数时，一在第一象限；当k为奇数时，一在第三象限，2 2 2 CC故兰为第一或第三象限角.2(2)由S360°+90° vavk・360° + 180°(SZ),得2如360°+ 180° v2a v2如360° + 360°(Jt G Z),故角2Q终边在下半平面.点评：已知a所在象限，求-(neN*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论. n结论：a 第一象限第二象限第三象限第四象限a第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限练习：二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3 (1)设6Z = 750° ,用孤度制表示。
任意角的三角函数及弧度制知识点及答案
必修四第一章三角函数1.1任意角与弧度制一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α∠可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
4、常用的角的集合表示方法<1>、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Zkk∈个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}ZkkS∈⋅+==,360|αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意：1、Z∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
<2>、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,180|ββ终边在y轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,90180|ββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,90|ββ<3>、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,45180|ββ终边在xy-=轴上的角的集合：{}Zkk∈-⨯=,45180|ββ<4>、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360k若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度与弧度制 <1>、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
(完整版)任意角的概念与弧度制重点、难点题型
任意角的概念与弧度制重点、难点题型题型一终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：S k 360°,k z 终边相同的角不一定相等，等相等的角一定终边相同。
例 1. 把1230°、3290°写成k 360°（其中0°360°, k z）的形式。
例2. 在0°到360°范围内找出与1500°，-1500°（1）终边互为反向延长线的角；（2）终边关于x轴对称的角；（3）终边关于y轴对称的角；题型二轴线角与象限角1.终边落在x轴正半轴上角的集合2.终边落在x轴负半轴上角的集合3.终边落在y轴正半轴上角的集合4.终边落在y轴负半轴上角的集合5.终边落在x轴上角的集合6.终边落在y轴上角的集合7.终边落在坐标轴上角的集合8.与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系9.与终边关于X轴对称,与的关系10.与终边关于y轴对称,与的关系11.第一象限角的范围：12.第二象限角的范围：13.第三象限角的范围：14.第四象限角的范围：例3.设为第一象限角'判断-、亍2分别是第几象限角?例 4•集合 A= | =k 1200 30°,k z ,B k 3600 1200 k 360° 60°,k z ，求A B3.设集合 A xx kgl8O 0 则集合A 、B 的关系是（） （A ）A B （ B ）B A4.. 如图所示，终边落在阴影部分5.. 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.题型三弧度制与角度值的互化 1.1800，10 _______ _______ ，1 = _____度0030045060090012001350弧度度1500180021002250270°31503300弧度(A)第象限（B ）第二象限(C ) 第三象限 （D ）第四象限2•如果 与x 450具有同一条终边，角 与x 450具有同一条终边，那么, 间关系: 是（）(A )(B )(C )kgB60°,k z(D )kgB60° 900,k z跟踪练习：1•已知角，终边相同，那么 的终边在（）与之(1)k g900,k z ，B= xx kg3600 900,k z（C ） A=B （ D ）A B= （含边界）的角的集合是跟踪练习:1.如果 与一具有同一条终边，角 与具有同一条终边，那么， 与 之间关系是()44(A)(B)= 7 (C)+ =2k ,k z(D)=2k尹z2.终边在直线 y=x 上的角的集合为3.集合Mx xk—,k z-N x x则MN 等于( )2 517 47 4/ 、 37(A)—(B )(C )(D )——,5 1010 55 10 10 510 104•已知 是第二象限角，且 +2 5，贝U的范围为 ___________5.. 已知 8000。
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任意角与弧度制【知识梳理】1按旋转方向分2. 按角的终边位置(1) 角的终边在第几象限， ___ 则此角称为第几；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限.3. 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S= ___________________________ ，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与_______________ 的和.【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.(1) - 75°; (2)855 ° ; (3) - 510° .【类题通法】象限角的判断方法(1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.(2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°〜360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角.【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°〜360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)360 ° ; (2)720 ° ; (3)2 012 ° ; (4) - 120° .题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与a=- 1 910 °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°＜卩v 360°的元素卩写出来.⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.1终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍.⑵ 终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍.2•区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 a ,卩，写出所有与a ,卩终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合.【对点训练】题型三、确定n 及一所在的象限na【例3】 若a 是第二象限角，则 2a , y 分别是第几象限的角?【类题通法】1. n a 所在象限的判断方法确定n a 终边所在的象限，先求出 n a 的范围，再直接转化为终边相同的角即可.2負所在象限的判断方法已知角a 的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角a 的取值范围.【类题通法】a已知角a所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：na(1)用不等式表示出角—的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1 ；被n 除余2；…；被n除余n—1.从而得出结论.⑵作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域•从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是a a根据a终边所在的象限确定的终边所落在的区域.如此，一所在的象限就可以由标号区域n n所在的象限直观地看出.a【对点训练】已知角a为第三象限角，试确定角2 a , ~是第几象限角.题型四轴线角与象限角1. 终边落在x轴正半轴上角的集合___________________________2. 终边落在x轴负半轴上角的集合 ____________________________3. 终边落在y轴正半轴上角的集合 ____________________________4. 终边落在y轴负半轴上角的集合____________________________5.终边落在x轴上角的集合6.终边落在y轴上角的集合7.终边落在坐标轴上角的集合8.与终边关于原点对称(互为反向延长线)，与的关系9.与终边关于X轴对称,与的关系10. 与终边关于y轴对称，与的关系_____________________________11. 第一象限角的范围：___________________________12. 第二象限角的范围：___________________________13. 第三象限角的范围：___________________________14. 第四象限角的范围：___________________________【知识梳理】1. 角度制与弧度制(1)角度制.①定义：用度作为单位来度量角的单位制.②1度的角：周角的__________ 作为一个单位.(2)弧度制.① 定义：以 ______ 作为单位来度量角的单位制.② 1弧度的角：长度等于 __________ 的弧所对的圆心角.2. 任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个 __________ ，负角的弧度数是一个 ___________ ，零角的弧度数是 0.3. 角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角a 所对弧的长为I ,那么，角a 的弧度数的绝对值是| a | = p4. 弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360 ° = rad 2 n rad =180 ° = radn rad =1 °=rad ~ 0.017 45 rad 1 rad =~ 57.30 °5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表度 0° 30 ° 45 ° 60 °90 ° 120° 135 °150 °180 °弧度nnnn2n 3n 5 n— —— ----— n64323 46•扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 弧长为, a 为其圆心角，则a 为度数a 为弧度数扇形的弧长 I = I =扇形的面积S =S ==【常考题型】题型一、角度与弧度的换算2 n 【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72 ° ;(2) — 300 °; (3)2 ; (4)—-.【类题通法】角度与弧度互化技巧抓住关系式n rad = 180 °是关键，由它可以得到:【对点训练】3 nn已知 a 1 =— 570°, a 2 = 750 ° , 卩 1=, 卩 2=- —.(1)将a 1, a 2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角;⑵将卩1,卩2用角度表示出来，并在一 720 °〜0°范围内，找出与它们有相同终边的所有在进行角度与弧度的换算时,=弧度数，弧度数X角.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2，则扇形的面积为__________________________ .⑵已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度? 面积是多少？【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略1 1 2(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S= q lr = 2I a | r2⑵涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是a为弧度.【对点训练】已知扇形的周长是30 cm当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题型三、用弧度制表示角的集合【例3】用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算.注意单位要统⑵表示角的集合时，可先写出一周范围(如一n〜n, 0〜2n )内的角，再加上2k n, k €乙⑶终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x =a + k n, k € Z};终边在相互垂直的两n直线上的角的集合可以合并为xx=%+k•p, k€Z .在进行区间的合并时，一定要做到准确无误.【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y=—x上的角的集合.其他重要例题1. 在下列各组中，终边不相同的一组是( )A . 600和3000 B. 230°和950° C. 1050°和30° D. 1000°和80°2. 下列各角中，与60°角终边相同的角是()A. 60B. 600C. 1380D. 3003. A 2k (2k 1) ,k z ,B 4 4，则A B ______________4. ________________________________________________________ 若角a = 2 014° ,则与角a 具有相同终边的最小正角为__________________________________________________ ,最大负角为_____________ 半期考试补救例1已知函数f x x2 2x 2,(1 )若x R，求函数的最值；(2)若x 1,3，求函数的最值；(3)若x [ 2,3]，求函数的最值；(4)若x a, a 2 ,a R，求函数的最小值；(5) x a, a 2 , a R，求函数的最大值。
练习：(1)已知k R，求函数y x2 2kx 3在区间1,2上的最大值。
(2)已知k R，求二次函数y kx2 2kx 1, x 3,2的最值。