任意角与弧度制题型小结

任意角与弧度制

【知识梳理】

1按旋转方向分

2. 按角的终边位置

(1) 角的终边在第几象限， ___ 则此角称为第几；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一

个象限.

3. 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S= ___________________________ ，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与_______________ 的和.

【常考题型】

题型一、象限角的判断

【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指

出它们是第几象限角.

(1) - 75°; (2)855 ° ; (3) - 510° .

【类题通法】象限角的判断方法

(1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.

(2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°〜360°范围内，转化后的角在第几象限，此

角就是第几象限角.

【对点训练】

在直角坐标系中，作出下列各角，在0°〜360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)360 ° ; (2)720 ° ; (3)2 012 ° ; (4) - 120° .

题型二、终边相同的角的表示

【例2】(1)写出与a=- 1 910 °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°＜卩v 360°的元素卩写出来.

⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.

1终边相同的角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍.

⑵ 终边在同一直线上的角之间相差

180°的整数倍.

(3)

终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍.

2•区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 a ,卩，写出所有与a ,卩终边相同的

角；

(3)用不等式表示区域内的角，组成集合.

【对点训练】

题型三、确定n 及一所在的象限

n

a

【例3】 若a 是第二象限角，则 2a , y 分别是第几象限的角?

【类题通法】

1. n a 所在象限的判断方法

确定n a 终边所在的象限，先求出 n a 的范围，再直接转化为终边相同的角即可.

2負所在象限的判断方法

已知角a 的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角

a 的取值范围

.

【类题通法】

a

已知角a所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：

n

a

(1)用不等式表示出角—的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1 ；被n 除余2；…；被n除余n—1.从而得出结论.

⑵作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域•从x

轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是

a a

根据a终边所在的象限确定的终边所落在的区域.如此，一所在的象限就可以由标号区域

n n

所在的象限直观地看出.

a

【对点训练】已知角a为第三象限角，试确定角2 a , ~是第几象限角.

题型四轴线角与象限角

1. 终边落在x轴正半轴上角的集合___________________________

2. 终边落在x轴负半轴上角的集合 ____________________________

3. 终边落在y轴正半轴上角的集合 ____________________________

4. 终边落在y轴负半轴上角的集合____________________________

5.终边落在x轴上角的集合

6.终边落在y轴上角的集合

7.终边落在坐标轴上角的集合

8.与终边关于原点对称(互为反向延长线)，与的关系

9.与终边关于X轴对称,与的关系

10. 与终边关于y轴对称，与的关系_____________________________

11. 第一象限角的范围：___________________________

12. 第二象限角的范围：___________________________

13. 第三象限角的范围：___________________________

14. 第四象限角的范围：___________________________

【知识梳理】

1. 角度制与弧度制

(1)角度制.

①定义：用度作为单位来度量角的单位制.②1度的角：周角的__________ 作为一个单位.

(2)弧度制.

① 定义：以 ______ 作为单位来度量角的单位制.

② 1弧度的角：长度等于 __________ 的弧所对的圆心角.

2. 任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个 __________ ，负角的弧度数是一个 ___________ ，零角的弧度数是 0.

3. 角的弧度数的计算

如果半径为r 的圆的圆心角a 所对弧的长为I ,那么，角a 的弧度数的绝对值是| a | = p

4. 弧度与角度的互化

角度化弧度

弧度化角度

360 ° = rad 2 n rad =

180 ° = rad

n rad =

1 °=

rad ~ 0.017 45 rad 1 rad =

~ 57.30 °

5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度 0° 30 ° 45 ° 60 °

90 ° 120° 135 °

150 °

180 °

弧度

n

n

n

n

2n 3n 5 n

— —

— ----

— n

6

4

3

2

3 4

6

•扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为 弧长为, a 为其圆心角，则

a 为度数

a 为弧度数

扇形的弧长 I = I =

扇形的面积

S =

S =

=

【常考题型】

题型一、角度与弧度的换算

2 n 【例1】

把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72 ° ;

(2) — 300 °; (3)2 ; (4)—-.

【类题通法】角度与弧度互化技巧

抓住关系式n rad = 180 °是关键，由它可以得到:

【对点训练】

3 n

n

已知 a 1 =— 570°, a 2 = 750 ° , 卩 1=

, 卩 2=- —.

(1)将a 1, a 2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角;

⑵将卩1,卩2用角度表示出来，并在一 720 °〜0°范围内，找出与它们有相同终边的所有

在进行角度与弧度的换算时,

=弧度数，弧度数X