新北师大版八上第四章4.2一次函数与正比例函数
4.2 一次函数与正比例函数 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
A. y ＝ x2
C. y ＝ x
B. y ＝2 x
D. y ＝ x ＋25
典例导思
4. 某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，
超过部分每千克收取1.5元行李费，则旅客需交的行李
费 y （元）和携带行李重量 x （千克）之间的函数关系
式为 y ＝1.5（ x －20） ，其中自变量 x 的取值范围
x 的正比例函数.
注意：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数一定
是一次函数，一次函数却不一定是正比例函数.
典例导思
题型一 一次函数与正比例函数的概念
（1）对于函数 y ＝（ m ＋1） x ＋（1－3 m ），当 m
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数；
解：①当 m ＋1≠0，即 m ≠－1时，该函数是一次函数.
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
知识导航
一次函数和正比例函数的概念
若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成 y ＝ kx ＋
b （ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次
函数.
特别地，当 b ＝0时，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常
数， k ≠0）即为 y ＝ kx （ k 为常数， k ≠0），则称 y 是
y 是 x 的一次函数.
典例导思
（2）当油箱内剩余油量少于3 L时，汽车将自动报警.如
果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请
说明理由.
解：（2）当 x ＝400时， y ＝45－ ×400＝5＞3，
北师版八年级数学上册第四章 一次函数2 一次函数与正比例函数
知识点 2 一次函数的关系式
知2－讲
列一次函数关系式的步骤
(1)认真分析，理解题意；
(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；
(3)写出一次函数的关系式；
(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自
变量的取值要使实际问题有意义.
知2－讲
特别提醒 确定一次函数关系式的方法： ◆按等量关系写出含有两个变量的等式； ◆将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
知1－练
解：由题意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4 ≠ 0.
所以m＝3，n＝－2. 一次项系数不为0 是隐含条件. 所以当m＝3，n＝－2 时，函数是一次函数.
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1 时的函数值.
由(1)得一次函数关系式为y＝－8x＋7.
数关系式的形式.
感悟新知
例3 [母题 教材P79例1 ]写出下列各题中 y 与 x 之间的关知2－练 系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比 例函数？
(1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y( cm2)与此 边上的高 x(cm)的关系；
(2)某小汽车的油箱可装汽油 30 L，原来装有汽油 10 L，现在再加汽油 x L，每升汽油 7.5 元，油箱 内汽油的总价 y(元)与 x( L)之间的关系；
特殊 正比例函数 关系式
b＝0 y＝kx(k≠0)
(1)写出 y 与 x 之间的表达式，并判断 y 是否为 x 的一 次函数； 解：根据题意，得y＝－80x＋200， 所以y是x的一次函数．
感悟新知
(2)当 x=1.5 时，求 y的值 . 解：当x＝1.5时，y＝－80×1.5＋200＝80.
北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》一次函数PPT课件
导入新知
明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去
花店为妈妈准备生日礼物.
导入新知
…
康乃馨
6 元/支
君子兰
8 元/支
…
包装费
20 元/次
明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去
花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目：
康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次.
花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目：
康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次.
此时小美爸爸提出了一些数学问题，你能帮忙解决吗？
若小美想给妈妈买康乃馨.设买花的费用z元，买花及包装的
总费用y元，所买康乃馨数量x支.
（1）题中有几个量，哪些是常量？哪些是变量？有哪些等
量关系？ 题中有7个量，48、6、8、20是常量，
次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝(每次收入800)×20％；……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣
预缴税款(2000-800)×20%＝240(元).
(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取
得的劳务报酬是多少元？
(3)因为(4000-800)×20％＝640(元)，600＜640，
z、y、x是变量，等量关系：z=6x，y=6x+20.
导入新知
明天是小美妈妈的生日，小Байду номын сангаас坐爸爸的车以48 km/h的速度去
花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目：
康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次.
4.2一次函数与正比例-正比例函数的图象与性质+课件+2023-2024学年北师大版数学八年级上册
5．写出一个图象经过第二、四象限的正比例函数___y_＝__－__3_x_(答__案__不___ _唯__一__). 6．在正比例函数y＝(m＋8)x中，如果y的值随自变量x的增大而增大， 那么m的取值范围是_m__＞__－__8_.
7．【空间观念】已知关于x的正比例函数y＝(m＋2)x. (1)当m为何值时，函数图象经过第一、三象限？ 解：因为正比例函数y＝(m＋2)x的图象经过第一、三象限，所以m＋2 ＞0.解得m＞－2. 所以当m＞－2时，函数图象经过第一、三象限．
B．15 D．－53
3．关于函数y＝
1 3
x，下列结论正确的是(
C
)
A．函数图象经过点(1，3)
B．函数图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大
D．不论x为何值，总有y＞0
4．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－2x图象上的两点，若 x1＞x2，则y1与y2的大小关系是( B ) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
(2)当m为何值时，y随x的增大而减小？ 解：因为正比例函数y＝(m＋2)x中y随着x的增大而减小，所以m＋2＜ 0.解得m＜－2. 所以当m＜－2时，y随x的增大而减小．
(3)当m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？ 解：因为点(1，3)在正比例函数y＝(m＋2)x的图象上，所以3＝(m＋ 2)×1.所以m＝1. 所以当m＝1时，点(1，3)在该函数的图象上．
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上． 解：因为点(1，3)在该函数图象上， 所以 2m＋4＝3.解得 m＝－12.
11．在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐 标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为( B )
北师大版八年级数学上册4.2《一次函数与正比例函数》((共14张PPT)
质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
① 计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、 5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0 3
1 3.5
2 4
3 4.5
4 5
5 5.5
y/厘米
② 你能写出x与y之间的关系式吗？
y=0.5x+3
弹簧的长度=自然长度+增长的长度
:31
问题情境2
:31
2.某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗10升 ①完成下表： 汽车行驶路程x\千米
0
50
100 150 200 300
油箱剩余油量y\升
100 90
80
70
60
40
②你能写出x与y之间的关系吗？
油箱剩余油量=100升 － 消耗的油量
y=100－0.2x
或y=－0.2x+100
我还有多 少油？
y=(x-3500) ╳3%，即y=0.03x-105
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
当x=4160时，y=0.03×4160-108=19.8（元）
:31
活学活用
例5:我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 2000元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收 5%的个人所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资、薪金
:31
请你决策１
4. 某书店开设两种租书方式：一种零星租书，每 本收费1元，另一种是会员卡收费，办费每月12元， 租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租 书数量为x本。 (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数 量为x（本）之间的函数关系式。 (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书 数量为x（本）之间的函数关系式。 (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? 简解: (1) y1=x (2) y2=0.4x+12 (3) 由 x =0.4x+12知,当x>20时合算.
4.2 一次函数与正比例函数 北师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
难
题
型
突
破
思路点拨
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4.2 一次函数与正比例函数
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解题通法 根据正比例函数的定义确定字母的值时 ，
重
难
题 需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
清
单
解 入 28 元，如果超额生产一个零件，增加收入 1.5元． 写
读 出该工人在超额完成的情况下一天的收入 y（元）与他生产
的零件个数 x（个）的函数关系式：______________．
［答案］ y=1.5x-2
4.2 一次函数与正比例函数
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重 ■题型 应用函数的定义确定字母的值
难
−
4.2 一次函数与正比例函数
● 考点清单解读
● 重难题型突破
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
返回目录
■考点一 一次函数与正比例函数的定义
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成
定义
y=kx+b（k，b 为常数，k≠0） 的形式， 则称 y
是 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
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下列函数 ：①y = -2x + 1，②y= ，③y=
单
解 （x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。
本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。
但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。
四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。
2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。
2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。
3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。
2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。
北师大版八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数ppt课件
（2）y = xn-1 1是关于x的一次函数,则n _=_2__. (3) 要使y=(m-3)xn-3+1是关于x的一次函 数, m, n应满足 m≠3 , n=4 .
19
3．若y+3与x-2成正比例，则y是x的( C )
A．正比例函数
22
7.一种移动通讯服务的收费标准为：每月 基本服务费30元，每月免费通话时间为120分， 以后每分收费0.4元. （1）写出每月话费y关于通话时间x(x>120)的 函数解析式；
（2）分别求每月通话时间为100分，200分的
话费.
y=0.4x-18 (x > 120)
当x=100时,y=30（元），
(1)此函数为一次函数； (2) 此函数为正比例函数.
解:(1) 因为此函数为一次函数，所以 2-m≠0, m≠2。 (2)因为函数为正比例函数
14
写出下列各题中y与 x之间的关系式， 并判断：y是否为x的一次函数？是否为 正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速 行驶,行驶路程为 y (千米)与行驶时间 x (时)之间的关系;
y=
(C
1； )x
s = 60 t , 其中表示一次函数的有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列说法不正确的是( D ) A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数
C．正比例函数是特殊的一次函数
D．不是正比例函数就不是一次函数
12
3. 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
解：C =2πr
（2）冷冻一个0℃物体，使它每分钟下降
新北师大版八上第四章4.2一次函数与正比例函数
议一议
(3) 汽车行驶的路程x可以无限增大吗? 行驶路程有没有一个取值范围? 油箱剩余油量y呢?
议一议
• 上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个 函数关系式有什么关系吗?请小组间交流 . 若两个变量 x、y之间的关系可以表 一次函数： 示成y=kx+b(b为常数，k不等于0）的形式， 则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为
(2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
做一 做
2.某辆汽车油箱中原有油100 L,汽车 每行驶50 km耗油9 L. (1) 完成下表： 汽车行使路 程x/km 0 50 91 100 82 150 73 200 300 64 46
油箱剩余油 100 量y / L
(2) 你能写出x与y的关系吗? y=100－0.18x
(3)z=60ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称y是
x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
特别地，当b=0时，即y=kx，称y是x的正比例函数. 思考：正比例函数一定是一次函数吗？
练一练
3 1.在函数(1)y = —，（2）y=x-5, (3) y=-4x， x 1 2 (4) y=2x -3x, (5) y = —— 中 x-2
2
, ，
例1
写出下列各题中y与
x之间的关系
式，并判断：y是否为x的一次函数？是否 为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶 路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿一. 教材分析《一次函数与正比例函数》这一节的内容，主要出现在北师大版八年级数学上册第4章第2节。
本节课的主要内容是让学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用。
在教材中，通过丰富的实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，进而探究其性质。
教材还提供了大量的练习题，以便学生巩固所学知识。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经具备了一定的代数基础，对于图形的认识也有一定的了解。
但是，对于一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体的问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，并通过大量的练习，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质，能够运用一次函数与正比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与正比例函数的定义、性质。
2.教学难点：一次函数与正比例函数的图像特征，以及如何从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如商品价格与数量的关系，引导学生思考如何用数学模型来描述这种关系。
2.新课导入：介绍一次函数与正比例函数的定义，并通过实例使学生理解一次函数与正比例函数的关系。
3.性质探究：引导学生通过观察、实验、总结等方法，探究一次函数与正比例函数的性质。
4.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用一次函数与正比例函数的知识解决问题。
八年级数学北师大版上册 第4章《4.2 一次函数与正比例函数》教学设计 教案
八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。
因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。
就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。
四、教学过程一、情境导入复习上节课学习的函数,教师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识。
二、探索过程（一）活动一某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:0 50 100 150 200 300汽车行驶路程x/km油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x与y之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x与y之间的关系式为；kx b (,k b 为常数,当0b 时,则汽车油箱中的余油量从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障总结出一次函数的定义，3x ,(2)5x ,(3)4x ,(4)223x x , 2x (6)12y x 中是一次函数的是_____,是正比例函数的是意图：对本节知识进行巩固练习。
效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果。
北师大版八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数(教案)
在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了许多有创意的想法。我在这个过程中扮演了一个引导者的角色，适时地提出问题，引导他们进行深入思考。从成果分享来看，学生们对一次函数与正比例函数的理解有了明显提高。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：展示不同k值的正比例函数图像，说明k值对图像斜率的影响。
（3）一次函数与正比例函数在实际问题中的应用，如线性关系的数据分析、趋势预测等。
-举例：分析某商品销售额与时间的关系，利用一次函数进行趋势预测。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像的斜率和截距的物理意义，以及如何从图像中读取这些信息。
-难点解析：学生可能难以将图像的几何特征与函数表达式中的参数联系起来，需要通过图示和实例来强化理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与正比例函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k为斜率，b为截距；而正比例函数是特殊的一次函数，形如y=kx，它通过原点。这两个概念在描述现实世界的线性关系方面具有重要意义。
北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。
这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。
但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学案例和实际问题。
3.绘图工具，如直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。
引导学生积极参与，提出问题和困惑。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。
可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。
可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。
一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案
一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b，其中x 是自变量，y是因变量。
正比例函数是一次函数的特别形式，即一次函数y=kx+b中，假设b=0，即所谓“y 轴上的截距”为零，那么为正比例函数。
以下是我整理的一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案，欢送大家借鉴与参考!4.2一次函数与正比例函数：教案二、教学任务分析《一次函数》是义务教育课程标准北师大版试验教科书八年级(上) 第四章《一次函数》的其次节.本节内容支配了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能依据确定信息写出简洁的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点相识现实世界的意识和实力.与原传统教材相比，新教材更注意借助生活中的实际背景，让学生经验一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念;同时，新教材调整了学问的支配依次，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特别状况给出来的.本节课教学目标分析是：(1)理解一次函数和正比例函数的概念;(2)能依据所给条件写出简洁的一次函数表达式.(3)经验一般规律的探究过程，开展学生的抽象思维实力;(4)经验从实际问题中得到函数关系式这一过程，开展学生的数学应用实力.(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的亲密联系，激发学生学数学、用数学的爱好.(6)在探究过程中体验胜利的喜悦，树立学习的自信念.本节课教学重点是：理解一次函数和正比例函数的概念.本节课教学难点是：能依据所给条件写出简洁的一次函数表达式,开展学生的抽象思维实力.三、教学过程设计本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入;其次环节：新课讲解并描述;第三环节：稳固练习;第四环节：学问提高;第五环节：反应练习;第六环节：课堂小结;第七环节：布置作业.第一环节：复习引入内容：复习上节课学习的函数,老师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有很多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的留意力,这里采纳了“复习旧学问,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.效果：问题(1)(2)学生都能快而准的答复,问题(3)是在一个开放的环境中答复,学生不能很精确的表述出来,可让学生相互补充,也可老师进展补充、完善.通过学生亲身经验了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受胜利的喜悦,充分表达了本节课的情感、看法目标.假设课堂气氛比拟沉闷,也可由老师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,那么他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?②上网费用是2元/小时,那么上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?《4.2一次函数与正比例函数》同步测试1.以下变量之间的改变关系不是一次函数的是( )A.圆的周长和它的半径B.圆的面积和它的半径C.2x+y=5中的y和xD.正方形的周长C和它的边长a2.以下说法中不正确的选项是( )A.一次函数不必须是正比例函数B.不是一次函数就必须不是正比例函数C.正比例函数是特别的一次函数D.不是正比例函数就必须不是一次函数3.假设函数y=x+3+b是正比例函数，那么b=____.4.对于函数y=(k-3)x+k+3，当k=____时，它是正比例函数;当k____时，它是一次函数.5.确定一次函数y=2x+1，当x=0时，函数y的值是____.6.把式子3x-y=2写成y=kx+b的形式，那么y= ，其中k=____，b=____.当x=-2时，y=____;当y=0时，x= .7.火车“动车组”以250千米/时的速度行驶，那么行驶的路程s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系式是，它是函数.(填“正比例”或“一次”)8.某城市的出租车收费标准如下：3公里内起步价为10元，超过3公里以后，以每公里2.4元记价.假设某人坐出租车行驶x公里，付给司机19.6元，那么x= .9.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过视察可以发觉：第4个图形中，火柴棒有____根，第n个图形中，火柴棒有根，假设用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，那么y与x的函数关系式是，y是x的____函数.4.2一次函数与正比例函数：课后练习1.确定一个正比例函数的图象经过点(-2，4)，那么这个正比例函数的表达式是2.确定一次函数y=kx+5的图象经过点(-1，2)，那么k=一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案。
新北师大版八年级上册《 一次函数与正比例函数》精品课件
合作交流
ⅰ、根据下表写出x，y之间的一个函数关系式：
x y –1 3 0 0 1 –3 2 –6 3 –9
合作交流
ⅱ、写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断： y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其 速度每秒增加3m，小球的速度y(m/s)与时间x(s)的 关系； (2)周长为10cm的长方形的一边长为xcm，其面积 y(cm2)与x(cm)之间的关系。
新知探究
观察下列两个函数，它们有什么共同特点？
y 3 0.5 x
3 y x 25
3 y 60 x 25
(1)等号右边只含一个变量x； (2)等号右边自变量x的指数为1。
y kx b (k、b为常数，k≠0)
新知归纳 一次函数的定义：
若两个变量x，y间的关系式可以表示成 y kx b (k、b为常数，k≠0)的形式，则称 y是x是一次函数，其中x为自变量，y为因变量。 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数， 即表示为 y kx (k为常数，k≠0)的形式。
1、函数的概念： 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯 一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中 x是自变量。 2、函数的表示方法：
(1)图象法：形象、直观； (2)列表法：具体、准确； (3)解析法：抽象、全面。
情景引入
Ⅰ、某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内， 所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加 0.5厘米。 (1)计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3 千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表： 4.5 4 3.5 (2)你能写出x与y之间的关系式吗？
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薪金收入是多少以元？
解:(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,
y=(x－3500)×3%, 即y=0.03x－105；
(2)当x=4160时, y=0.03×4160－105=19.8(元)；
(3)因为(5000－3500)×3%=45(元),
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。 设此人本月工资、薪金收入是x元，则
(3)z=60－0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称y是
x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
特别地，当b=0时，即y=kx，称y是x的正比例函数. 思考：正比例函数一定是一次函数吗？
练一练
3 1.在函数(1)y = —，（2）y=x-5, (3) y=-4x， x 1 2 (4) y=2x -3x, (5) y = —— 中 x-2
汽车行使路 程x/km 耗油量y/L
0
50
100
150
200
300
0
6
12
18
24
36
(2) 你能写出y与x的关系吗?
y=0.12x
(3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程 x(km)之间的关系式吗?
z=60－0.12x
议一议
上面的三个关系式中，有什么共同之处？
(1) y=3+0.5x
(2) y=0.12x
是一次函数的是 (3) 的是
(2),(3)
.
，是正比例函数
2.当k= -3 时,函数 y (k 3) x
次函数。
k 2 8
5 是关于x的一
例题
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：
y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与 行驶时间x(h)之间的关系;
得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、
薪金所得税为(3860-3500)×3%= 10.8(元)
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应
缴纳所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳所得税多少元？
(3)如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、
y =60x
2
是正比例函数，也是一次函数
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
y x 不是正比例函数，也不是一次函数
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
y=15＋5x
是一次函数，但不是正比例函数
例2 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得 税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税； 月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg，
4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
x/kg y/cm 0 1 2 3Байду номын сангаас4 5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
(2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
2、某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L。
(1) 完成下表：
19.2=0.03x－105； 解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
随堂练习
课本第80页第1、2题
课堂小结
1、一次函数与正比例函数的概念： 2、一次函数与正比例函数的关系； 3、依据实际问题的意义，会列出一次函 数与正比例函数的表达式；
作业布置 1、课本第82页习题4.2 第2、3两题 2、练习册第35～36页
知识回顾
1、什么叫函数? 在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个
x值,相应地就确定唯一一个y值,那么我们称y是x的函 数,其中x是自变量,y是因变量。
2、函数有哪些表示方法? 图象法、列表法、关系式法
做一做
1、某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所
挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。