勾股定理基本图形
勾股定理数学优秀ppt课件
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
几何原本勾股定理证明
几何原本勾股定理证明1. 基本图形构建- 分别以 AB、BC、AC 为边向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHK。
2. 证明三角形全等- 连接 CD、BK。
- 因为∠ ACB=∠ ACH = 90^∘，所以∠ BCK=∠ ACH+∠ ACB = 180^∘，这表明 C、A、K 三点共线。
- 同理，C、B、D 三点共线。
- 在 AKB 和 ACB 中，AK = AC（正方形 ACHK 的边），AB = AB（公共边），∠ KAB=∠ KAC+∠ CAB=∠ BAC + 90^∘，∠ CAB + 90^∘=∠ CAE，而在正方形 ABDE 中∠ CAE=∠ DAB，∠ DAB=∠ ABC + 90^∘，所以∠ KAB=∠ ABC。
- 根据 SAS（边角边）判定定理， AKB≅ ACB。
- 同理可证 BCD≅ BCA。
3. 面积关系推导- 因为 AKB 和矩形 AKNL（N 在 AB 上，L 在 DE 上，且 AN⊥ KL）有相同的底 AK，并且在相同的平行线 AK 和 BL 之间，所以 S_{ AKB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。
- 由于 AKB≅ ACB，所以 S_{ ACB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。
- 同理，S_{ BCD}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}，又因为 BCD≅ BCA，所以S_{ BCA}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}。
- 正方形 ACHK 的面积 S_{ACHK}=AC^2，正方形 BCFG 的面积S_{BCFG}=BC^2，正方形 ABDE 的面积 S_{ABDE}=AB^2。
- 而 S_{ABDE}=S_{矩形AKNL}+S_{矩形CDLM}，即 AB^2=AC^2+BC^2，从而证明了勾股定理。
勾股定理
勾股定理勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
古埃及人利用打结作RT三角形定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股模型》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图：设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
《周髀算经》简介青朱出入图《周髀算经》算经十书之一。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理的应用课件
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
勾股定理的几种证明方法
勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。
二、赵爽弦图的证法（图2）第一种方法：外围正方形可以看作是边长为的正方形和由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得：。
第二种方法：内部边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以化简得。
可以列出等式，这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。
八年级勾股定理基本图形、辅助线及其应用
勾股定理基本图形、辅助线及其应用一、勾股定理与线段长1、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝2，CD ＝1，则BC ＝ ，AD ＝ 。
2、如图，由4个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC中BC 边上的高是 。
3、如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为2米，梯子的顶端A 到地面的距离（即AC ）为7m ，如果梯子的底端沿地面左滑至1B 且1B C ＝3m ，那么1AA ＝ 。
4、如图，一根长5米的竹竿AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为4米，如果竹竿的顶端A 沿墙下滑1米，竹竿底端B 外移的距离BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上都不对5、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米6、如图，已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．67、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上的一点，BE∥AC，且DE⊥AD。
若BD＝2，CD ＝4，则BE的长为（）A．2 B．3 C．2D．38、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是_________。
9、如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为__________。
10、△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则AC＝___________。
11、如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO＝2.4 m。
(1) 如果梯子底端B沿地面外移0.6 m，那么梯子顶端也下移0.6 m吗？(2) 试问梯子底端B 沿地面外移多少米时与梯子顶端下移的距离相等？12、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l 、、上，且12l l 、之间的距离为1，23l l 、之间的距离为2，求AC 的长度。
勾股定理ppt课件
创设情境 数学是科技发展中最重要的学科，2002年全球最顶级数学家大 会在北京召开，大会会徽是：
赵爽弦图
数学文化 赵爽，名婴，字君卿，是我国三国时期杰出的数学家， 他在注解《周髀算经》时给出的这个图.
创设情境 请你观察这个图中有哪些基本几何图形？2002年的数学家大会为 什么用这个图作为会徽呢？
继续探究
1.如图，表格中左、右各有一组图，每组图中的三个正方形的面积分 别是多少，它们之间有什么关系？（设表格中每个小正方形面积为1）
C A
B
C A
B
继续探究 2.观察图形，请完成下面表格：
两个图中正 方形C的面积 如何求呢？
项目
左图 右图 A、B、C 面积关系
A的面积 4 16
B的面积 9 9
A
8
B 6
C
应用新知
例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形 B，D的边长分别是16，12，SE=625，S1=400，求正方形A、C的边长. 解：依题意，得SB=162=256，SD=122=144， ∵S1=SA+SB且S1=400， ∴SA=S1-SB=400-256=144， ∴正方形A的边长为 144 12， ∵SE=S1+S2且SE=625，S1=400， ∴S2=SE-S1=625-400=225， ∵S2=SC+SD，∴SC=S2-SD=225-144=81， ∴正方形C的边长 81 9 .
证明2： 如图，四个全等直角三角形拼成
如图所示的正方形，直角边为a、
b，斜边为c. S四个直角三角形面积和= 4 1 ab 2ab，
2
S四个直角三角形面积和=(a+b)2-c2
人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(36张PPT) (1)
图1
9
9 18
8
B 图1
C A
图2
A，B，C 面积关
系
44
SA+SB=SC
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
探究二：在一般 的直角三角形中， SA+SB=SC 还成立吗？
A
B C
A
B C
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形C的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SA+SB=SC
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
二、探究新知
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1
（图中每个小方格是1个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为（）
2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）
它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
类型之四：勾股定理的应用
（一）求边长
例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
.
（二）求面积
例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）
①观察图1－1.
（2）写出各数都大于30的两组商高数．
10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是.
第18章 勾股定理-认识勾股定理拓展课件 2022--2023学年沪科版数学八年级下册
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
分析：
3²+4²=5²
5
∠C是直角
4
10
8
3 C
6
O
图1
图2
例2：古埃及人用下面的方法得到直角三角形，把一根长绳打上等距离的13个结（12段），然后用桩钉钉
（填A或B）
A．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
+−
=
2
++
即2ab＝（a+b+c）（a+b-c）
化简得a2+b2＝c2．
B
E
F
C
例3：如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形
A
ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
+−
2
D
因为AB＝BD+AD，所以a-x+b-x＝c，解得x＝
I
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他
17.1勾股定理
感悟新知
6-1. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿， 荷 花镜里香”. 平静的湖面上，一朵 荷花亭亭玉立，露出水面10 cm， 忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入 水面，仔细观察，发现荷花偏离 原地40 cm(如图).请问：水深多少？
知3－练
感悟新知
知3－练
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm， 即CD＝(x＋10) cm. 在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2， 解得x＝75. 答：水深75 cm.
会改变； 2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3. 利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面
积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思 想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达 到目的.
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2. 在数轴上作出表示 n 的点
知4－讲
如图17.1-6，构造两条直角边长都是1 的直角三角
形，利用勾股定理得到斜边的长为 2 ，再用圆规截取
的方法画出 2在数轴上的对应点；
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知4－讲
构造两直角边长分别为 2 ，1 的直角三角形，利用 勾股定理得到斜边的长为 3 ，再用圆规截取的方法画出
知3－讲
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5) 构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生
活中的实际问题.
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特别提醒
知3－讲
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件
欧几里得证明：逻辑严密，易于理解，但需要一定的数学基础
海伦证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
卡尔丹证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
费马证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
牛顿证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
欧拉证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
诺特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
冯 ·诺 伊 曼 证 明 ： 简 洁 明 了 ， 易 于 理 解 ， 但 需 要 一 定 的 数 学 基 础
希尔伯特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
罗素证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
哥德尔证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
弦图：由两个直角三角形组成的图形 证明过程：通过比较两个直角三角形的面积，得出勾股定理 应用：适用于解决勾股定理相关的问题 优点：直观易懂，易于理解
添加标题
折弦证明法的原理：通过将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形，从而证明 勾股定理。
添加标题
折弦证明法的步骤：首先，将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形；然后， 比较这两个直角三角形的斜边和直角边的长度，发现它们满足勾股定理。
未来展望：随着科技的发展，勾股定理的证明方法将更加多样化、智能化，为人类探索未知世 界提供更多可能。
汇报人：PPT
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折弦证明法的优点：直观易懂，易于理解。
添加标题
折弦证明法的局限性：只适用于直角三角形，对于其他类型的三角形不适用。
原理：将直角三角 形的两个直角边分 别延长，形成两个 全等三角形
步骤：将两个全等 三角形的斜边分别 延长，形成两个全 等矩形
《勾股定理》PPT教学课件(第1课时)
数统一”的思想方法，更具有科学创新
的重大意义。
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猜想直角三角形的三边关系
一起探究
问题1
4 AB=___
5
1、 BC=___,
3 AC=___,
B
25
S蓝 =___,
9
16 S红 =___
2、 S黄 =___,
C
A
S黄+S蓝=S红
3、S黄、S蓝与S红的关系是__________.
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
2m
AC 2 AB 2 BC 2 12 22 5
AC 5 2.24
A
1m
B
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
我们已经学习了勾股定理，利用勾股定理，我们可以解决一
些实际问题.
在应用中关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形
模型，常见类型有：
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
S1 S 2 S3
.(用图中字母表示)
勾股定理与图形面积
归纳：
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的
结论：
两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
基本思想方法：勾股定理把“形”与
C
“数”有机地结合起来，即把直角三角
形这个“形”与三边关系这一“数”结
勾股与弦图
勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a^2+b^2=c^2目录概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理展开编辑本段概述定义在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方。
勾股定理(6张)简介勾股定理是余弦定理的一个特例。
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。
（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。
他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。
目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。
《勾股定理》PPT
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直 角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2