黑龙江省哈师大附中高一数学上学期期中考试试题新人教版
黑龙江省2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
黑龙江省高一数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.集合{}0M x x =≥，{}24x N x =<，则M N ⋂（ ）A. []0,2B. ()0,2C. [)02，D. (]0,2 【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可.【详解】解：{}{}24|2x N x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<. 故选C.【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题.2.设12log 3a =，0.213b =⎛⎫ ⎪⎝⎭，132c =则 （ ） A. b a c << B. c b a <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】D【解析】【分析】先分析得到a 0,b 0,c 0<>>，再比较b,c 的大小关系得解. 【详解】由题得1122=log 3log 10,0,0a b c <=>>. 0.2011()()1,33b =<= 103221c =>=,所以a b c <<.故选D【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.设函数21()21x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f =（ ） A. 12 B. 16 C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】推导出f （2）22==1，从而f （f （2））＝f （1），由此能求出结果． 【详解】∵函数f （x ）2121x x x x⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞， ∴f （2）22==1， f （f （2））＝f （1）＝12＝1．故选：D ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是单调递增的函数是（ ） A. 21y x = B. lg ||y x = C. 1y x x =- D. 2x y -=【答案】B【解析】分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】根据函数奇偶性和单调性，A ，（0，+∞）上是单调递减，错误B ，偶函数，（0，+∞）上是递增，正确．C ，奇函数，错误，D ，x ＞0时，（0，+∞）上是函数递减，错误，故选：B ．【点睛】根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键5.在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0a y x x =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0a y x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6.已知1sin(),43πα-=则cos()4πα+=( )A. 13B. 13-C. 223 D.223- 【答案】B【解析】【分析】 利用424πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭及诱导公式求解可得结果． 【详解】∵424πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， ∴1cos cos sin 42443ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选B ．【点睛】本题考查角的变换和诱导公式的运用，考查变换和应用能力，解题时注意等号前后的符号是否要改变，属容易题．7.方程log 2x +3x -2=0的根所在的区间为（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,2 D. ()2,3【答案】B【解析】【分析】构建函数，判断函数在定义域上为单调增函数，再用零点存在定理判断即可．【详解】解：构建函数f （x ）＝log 2x +3x ﹣2，函数在R 上连续单调增函数， ∵f （1）＝3﹣2＞0，f （12）＝﹣132+-2＜0， ∴f （x ）＝log 2x +3x ﹣2的零点所在区间为（12，1）， ∴方程log 2x +3x ﹣2＝0的根所在的区间为（12，1）， 故选B ．【点睛】本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，属于基础题．8.函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A. (0,2)B. [0,4]C. [0,4)D. (0,4)【答案】C【解析】【分析】题意可知，kx 2﹣kx +1＞0恒成立，结合不等式的恒成立对k 进行分类讨论即可求解．【详解】由题意可知，kx 2﹣kx +1＞0恒成立，当k ＝0时，1＞0恒成立， 当k ≠0时，2040k k k ⎧⎨=-⎩＞＜， 解可得，0＜k ＜4，综上可得，k 的范围[0，4）．故选：C ．【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域恒成立问题，体现了转化及分类讨论思想的应用．9.已知3sin7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b c a << B. b c a << C. c b a << D. c a b <<【答案】C【解析】【分析】将a ＝sin 37π利用诱导公式化为 a ＝sin 47π，利用角的范围判断a >0>b>-1,而c ＜﹣1．大小关系即可确定．【详解】a ＝sin34=sin 77ππ;∵427ππ＜＜π，44sin 0cos 177ππ∴>>>- 即﹣1＜b ＜0．又正切函数在（0，2π）上单调递增， ∵347ππ＜； ∴tan37π＞tan 4π=1； ∴c ＝tan （37π-）＝﹣tan 37π-＜1， ∴a ＞0＞b ＞﹣1＞c ，故选：C ．【点睛】本题考查非特殊角三角函数值大小比较，可化为同角或同名函数再进行比较，用到的知识有同角三角函数基本关系式，三角函数的单调性．10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(2k πθθπ≠+，)k Z ∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. ()cos ,sin θθ- B. () cos ,sin θθ- C. () sin ,cos θθ- D.() sin ,cos θθ-【答案】C【解析】【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点B 的坐标．【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(2k πθθπ≠+，)k Z ∈， 若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos()sin 2πθθ-+=-， 点B 的纵坐标为3sin()cos 2πθθ-+=，故点B 的坐标为(sin ,cos )θθ-. 故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力．11.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是增函数，且(1)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ） A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (,1)(0,1)-∞- D. (1,0)(1,)【答案】D【解析】【分析】 构造特殊函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【详解】构造特殊函数f （x ）＝﹣x 2+1，当x ＞0时，()()f x f x x +-＜0，得﹣x 2+1＜0，即x ＞1，当x ＜0时，得﹣x 2+1＞0，﹣1＜x ＜0，故解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，构造特殊函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12.已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A. 6B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩ ,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．第II 卷 非选择题部分二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数()234()33m f x m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为______ ；【答案】1【解析】【分析】由题意可得m 2﹣3m +3＝1，求得m 值，再满足3m ﹣4＜0即可．【详解】∵函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x 3m ﹣4是幂函数，∴m 2﹣3m +3＝1，即m 2﹣3m +2＝0，解得m ＝1或m ＝2．又幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x 3m ﹣4在（0，+∞）上为减函数，∴3m ﹣4＜0，即m 43＜，故m ＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查幂函数的性质，明确m 2﹣3m +3＝1是关键，是基础题．14.函数1sin ,[0,2]32y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的单调增区间是____________； 【答案】5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据条件先把x 的系数化正，再求出函数的递增区间即可得到结论．【详解】∵y ＝sin （132x π-）＝﹣sin （123x π-），∴由2k π1223x ππ+≤-≤2k π32π+，k ∈Z ．得4k π53π+≤x ≤4k π113π+，k ∈Z ．∴当k ＝0时，递增区间为[53π，2π]，当k 取其它值时与区间[0，2π]无交集；即在[0，2π]内的单调增区间是[53π，2π]．故答案为：[53π，2π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性的应用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．15.函数()()223f x log x ax =-++在[1,2]是减函数，则a 的范围是________； 【答案】1,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】 由题意利用复合函数的单调性，可得 函数y ＝﹣x 2+ax +3在[1，2]是减函数且 y ＞0，故有 124230a a ⎧≤⎪⎨⎪-++⎩＞，由此求得a 的取值范围． 【详解】∵函数f （x ）＝log 2（﹣x 2+ax +3）在[1，2]是减函数，∴函数y ＝﹣x 2+ax +3在[1，2]是减函数且 y ＞0， ∴124230a a ⎧≤⎪⎨⎪-++⎩＞，求得12＜a ≤2， 故答案为：（12，2]． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，注意保证真数大于0，属于中档题．16.定义域为R 的函数()f x 满足()()32f x f x +=，当[)1,2x ∈-时，()[)[)21,1,01,0,22x x x x f x x -⎧+∈-⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ .若存在[)4,1x ∈--，使得不等式()234t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是_______.【答案】()[),12,∞∞-⋃+【解析】因()()32f x f x +=，所以当[]4,1x ∈--时，[]31,2x +∈-，则()()()[][]22179,4,3213211·,3,122x x x x f x f x +⎧++∈--⎪⎪=+=⎨⎛⎫⎪--- ⎪⎪⎝⎭⎩， 当[]4,3x ∈--时，()108f x -≤≤,当[]3,1x ∈--时，()1124f x -≤≤-, 所以当[]4,1x ∈--时，()f x 的最小值是12-， 又因为存在[]4,1x ∈--，使得不等式()234t t f x -≥成立，等价于232t t -≥-， 则12t t ≤≥或, 则实数t 的取值范围是()[),12,∞∞-⋃+.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合(){}2log 12A x x =+<，124,2x B x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}215C x a x a =-<≤+ （1）求A B ； （2）若B C B =，求a 的取值范围．【答案】()()11,2-；()2[)3,0-【解析】【分析】（1）解不等式log 2（x +1）＜2，求出集合A ，解不等式1242x ≤＜，求出集合B ，再求A ∩B ． （2）由B ∩C ＝B 得出B ⊆C ，根据集合包含关系列出不等式组，解出a 的取值范围．【详解】（1）∵log 2（x +1）＜2，∴0＜x +1＜4，∴﹣1＜x ＜3，∴集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}， 又∵1242x ≤＜，∴﹣1≤x ＜2，∴集合B ＝{x |﹣1≤x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}；（2）∵B ∩C ＝B ，∴B ⊆C ，又∵集合B ＝{x |﹣1≤x ＜2}，集合C ＝{x |2a ﹣1＜x ≤a +5}，∴21152a a --⎧⎨+≥⎩＜，解得：﹣3≤a ＜0， ∴a 的取值范围为：[﹣3，0）．【点睛】本题考查了集合的基本运算，以及解对数不等式，指数不等式，注意端点的开闭，是基础题．18.（1）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=，求tan x 的值； （2）已知tan x =2，求22sin 2sin cos 3cos x x x x ++的值.【答案】(1) 4tan 3x =- (2) 115【解析】【分析】（1）把已知等式两边平方，求得sin x cos x ，进一步求解sin x ﹣cos x ，与已知联立求解sin x 与cos x 的值，则tan x 的值可求；（2）直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【详解】（1）由1sin cos 5x x +=①， 两边 平方，112sin cos 25x x +=，故12sin cos 25x x =-， 21249(sin cos )122525x x ⎛⎫-=+⨯= ⎪⎝⎭，0πx <<，所以7sin cos 5x x -=②， 由①②解得4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以4tan 3x =- （2）原式=222222sin 2sin cos 3cos tan 2tan 311sin cos tan 15x x x x x x x x x ++++==++ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．19.已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 的最小正周期、单调区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【答案】(1) T π=,增区间是3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2) ()min 1f x =-，()max f x =【解析】【分析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f （x ）的最小正周期和单调增、减区间；（2）求出x ∈[8π-，2π]时2x 4π-的取值范围，从而求得f （x ）的最大最小值． 【详解】（1）函数f （x）=（2x 4π-）中，它的最小正周期为T 22π==π， 令﹣π+2k π≤2x 4π-≤2k π，k ∈Z ， 解得38π-+k π≤x 8π≤+k π，k ∈Z ， 所以f （x ）的单调增区间为[38π-+k π，8π+k π]，k ∈Z ； 令2k π≤2x 4π-≤π+2k π，k ∈Z ， 解得8π+k π≤x 58π≤+k π，k ∈Z ， 所以f （x ）的单调减区间为[8π+k π，58π+k π]，k ∈Z ； （2）x ∈[8π-，2π]时，4π-≤2x ≤π，所以2π-≤2x 344ππ-≤； 令2x 344ππ-=，解得x 2π=，此时f （x ）取得最小值为f （2π）=（2-）＝﹣1； 令2x 4π-=0，解得x 8π=，此时f （x ）取得最大值为f （8π）=1= 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题．20.已知二次函数2()223f x x mx m =-++ ()[]10,1x ∈时，求函数()f x 最小值 ()2若函数()f x 有两个零点，区间()2,0-上只有一个零点，求实数m 取值范围 【答案】(1) 2min 23(0)()23(01]4(1)m m f x m m m m +≤⎧⎪=-++<≤⎨⎪>⎩ (2) 3726m -<≤- 【解析】【分析】（1）由函数f （x ）对称轴为x ＝m ，开口向上，然后对m 进行分类讨论，结合二次函数的性质即可求解，（2）由题意结合零点判定定理即可求解．【详解】（1）函数()f x 对称轴为x m =,当0m ≤时，()f x 在0,1单调递增，故min ()(0)23f x f m ==+01m <≤时，()f x 在0,1先减后增，故2min ()()23f x f m m m ==-++1m 时，()f x 在0,1单调递减，故min ()(1)4f x f ==2min 23(0)()23(014(1)m m f x m m m m +≤⎧⎪∴=-++<≤⎨⎪>⎩）（2）函数2()223f x x mx m =-++，在区间(2,0)-上只有一个零点(2)(0)0f f -⋅<，得3726m -<<-. 考虑边界情况： 由(2)0f -=，得76m =-，∴272()33f x x x =++，∴2x =-或13x =-， ∴76m =-满足 由(0)0f =，得32m =-，∴2(3)f x x x =+∴3x =-或0x =，∴32m ≠- 综上，得. 3726m -<≤- 【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上的最值求解及函数的零点判定定理的应用，体现了分类讨论思想的应用．21.（1）判断函数()9f x x x =+在(0,)x ∈+∞上的单调性并证明你的结论？ （2）求使不等式()22290x m m x -++<在[1,5]x ∈上恒成立时的实数m 的取值范围？【答案】(1) ()f x 在(0,3]上是减函数，在[3,)+∞上是增函数. 证明见解析；(2) 5|22m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【解析】【分析】（1）f （x ）为对勾函数，分类讨论证明单调性，（2）分离参数，利用（1）的结论求最值可求解【详解】（1）()f x 在(0,3]上是减函数，在[3,)+∞上是增函数.证明：设任意12(0,)x x <∈+∞，则()()12121299f x f x x x x x -=-+- =()1212129x x x x x x --⋅ 又设12(0,3]x x <∈，则1290x x -<故()()120f x f x ->()()12f x f x >∴()f x 在(0,3]上是减函数又设12[3,)x x <∈+∞，则1290x x ->故()()120f x f x -<()()12f x f x ∴<∴()f x 在[3,)+∞上是增函数.（2）不等式()22290x m m x -++<在[1,5]x ∈上恒成立 ()2920x m m x+-+<在[1,5]x ∈上恒成立 22+9x m m x+<∴在[1,5]x ∈上恒成立 由（1）中结论，可知函数9()f x x x =+在[1,5]x ∈上的最大值为10， 此时1x =要使原命题成立，当且仅当2210m m +>22100m m -∴+>解得52m <-或2m > ∴实数m 的取值范围是5|22m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【点睛】本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．22.已知函数1()22x x f x =-，()(4ln )ln ()g x x x b b R =-⋅+∈.（1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）若存在12,[1,)x x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数b 的取值范围；（3）若()0<g x 对于(0,)x ∈+∞恒成立，试问是否存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立？若存在，求出实数x 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）0x >（2）52b ≥-（3）不存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立. 【解析】【分析】 （1）由()0f x >可得22x x ->，根据指数函数的单调性可得x x >-，从而可得结果； （2）设函数()f x ，()g x 在区间[)1,+∞上的值域分别为A ，B ，存在[)12,1,x x ∈+∞，使得()()12f x g x =，等价于A B ⋂≠∅，根据单调性求出两个函数的值域，利用交集的定义列不等式求解即可；（3）由()()2ln 240g x x b =--++<对于()0,x ∈+∞恒成立，可得4b <-，且()(],4g x b ∈-∞+，结合函数()f x 的单调性可得，()0f g x b ⎡⎤+<⎣⎦，从而可得结果.【详解】（1）()0f x >即22x x ->，∴x x >-，∴0x >.（2）设函数()f x ，()g x 在区间[)1,+∞上的值域分别为A ，B ，因为存在[)12,1,x x ∈+∞，使得()()12f x g x =，所以A B ⋂≠∅，∵()122x x f x =-在[)1,+∞上为增函数，∴3,2A ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭， ∵()()2ln 24g x x b =--++，[)1,x ∈+∞，∴()(],4g x b ∈-∞+，∴(],4B b =-∞+. ∴342b +≥即52b ≥-. （3）∵()()2ln 240g x x b =--++<对于()0,x ∈+∞恒成立，∴40b +<，4b <-，且()(],4g x b ∈-∞+.∵()122x x f x =-为增函数，且0x <时，()0f x <，∴()0f g x ⎡⎤<⎣⎦.∴()0f g x b ⎡⎤+<⎣⎦，∴不存在实数x ，使得()f g x b ⎡⎤=-⎣⎦成立.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性、函数的值域以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。
黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中数学试题
绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A.[]0,2B.()0,2C.[)02，D.(]0,2 2．对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） A.若M N =，则log log a a M N =B.若22M N =，则M N =C.若22log log a a M N =，则M N =D.若M N =，则1122MN--=3．下列函数中，在区间()2,+∞上为增函数的是 （ ） A.3x y =-B.12log y x =C.()22y x =--D.12y x=- 4．若函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠ 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ） A.()1,0B.()2,0C.()1,1D.()2,15．已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b <<B.b a c <<C.c a b <<D.a b c <<6．函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是（ ）A ．1,⎛⎫-∞-B ．1,⎛⎫-+∞C ．(,2)-∞-D ．(1,)+∞………装…………请※※不※※要※※在※※装※………装…………7．已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝221xx-(x≠0)，则f(12)等于( )A．1 B．3 C．15 D．308．已知函数()f x、()g x分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x+=，则（）A.()33x xf x-=- B.33()2x xf x--= C.()33x xf x-=- D.33()2x xf x--=9．若函数()f x是定义在R上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且(2)0f=，则()()f x f xx+-<的解集为（）A.()2,2- B.()(),22,-∞-+∞C.()()2,02,-+∞ D.()(),20,2-∞-10．函数()1lnf x xx⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是( )A. B.C. D.11．函数y=的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A.02k<< B.04k≤≤ C.04k≤< D.04k<<12．已知函数21,0()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x=的实数根的个数是（）A.2B.3C.4D.5第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若不等式23x<-的解集为,A则A=Rð___________．14．若4log3a=，则22a a-+=．15．幂函数()2531my m m x-=-+在()0+∞，上为减函数，则m的值为_______．16．已知函数()223f x x x a=-+，()21g xx=-．若对任意[]10,3x∈，总存在[]22,3x∈，使得()()12f xg x≤成立，则实数a的值为____．三、解答题17．已知集合{}{}{}22,1,3,3,21,1,3A a aB a a a A B=+-=--+=-.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求满足()()A B M A B⊆⊆的集合M的个数．18．计算：（Ⅰ）ln43lg4lg25log3e++-；（Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯-⎪⎝⎭.19．已知函数11()142x xf x⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）求满足()3f x=的实数x的值；（Ⅱ）求[]2,3x∈-时函数()f x的值域．20．已知1a>，函数()131log1log222a af x x x⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x的定义域；（2）若()f x在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a的值.21．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+ 成立，且当0x >时，()0f x <．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明()f x 在R 上为减函数；（Ⅲ）若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.22．已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b+-+=+.（Ⅰ） 求,a b 的值；（Ⅱ） 若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足[]1()()2(33)(0)3x xf xg x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可. 【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】对数函数真数大于0，所以A 不成立；平方相等，M 、N 不一定相等，所以C 不成立；当M N=0≤时，12x -没有意义，所以D 不对；指数函数单调且定义域为R ，则B 成立，从而得出结果. 【详解】解：A ：当0M N =≤时，对数无意义，故A 不正确；B ：因为指数函数单调且定义域为R ，所以若22M N =，则M N =成立，故B 正确；C ：比如当 ()22222=-2M N =，,时，有22log log a a M N =，但M N ¹；故C 不正确；D ：当M N =0≤时，12x -没有意义，故D 不正确.故选：B. 【点睛】本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质可排除A 、B ，根据二次函数的性质可排除C ，从而得出结果.【详解】解：A ：3x y =-在R 上单调递减，故A 不正确；B ：12log y x =定义域为()0,∞+且单调递减，故B 不正确；C ：()22y x =--对称轴为2x =，且开口向下，在()2,+∞上单调递减，故C 不正确；D ：12y x=-在()2,+∞上单调递增，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的判断，解题的关键是牢记基本初等函数的单调性，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】因为对数函数恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，故而得到答案.【详解】解：因为函数log ay x =的图像恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠的图像恒过定点()2,0. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质，以及函数图像间的平移变换，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小. 【详解】解：1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>.故选：A. 【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】首先考虑对数的真数取值大于0；其次将函数22lg xx y +-=拆成外层函数lg uy =和内层函数22u x x =+-，根据求复合函数单调性的法则：同増异减，判断出单调增区间；最后即可求得()2lg 2y x x =+-的单调增区间. 【详解】由220x x +->可得2x <-或1x >∵22u x x =+-在(1,)+∞单调递增，而lg y u =是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是(1,)+∞， 故选D. 【点睛】复合函数单调性的判断方法：同増异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）. 7．C【解析】令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f(12)＝1116116-＝15，故选C. 8．D 【解析】 【分析】函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，可得()()3x f x g x --+-=，即()()3xf xg x --+=，与()()3x f x g x +=联立求解即可解出()f x .【详解】解：因为函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，所以()()()()3xf xg x f x g x --+-=-+=，即：()()3()()3xxf xg x f x g x -⎧-+=⎨+=⎩ ， 解得：()33()2332x x x xf xg x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】根据题意，由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数可得()f x 在()0,∞+上是增函数，因为(2)0f =，所以(2)0f -=，结合函数的单调性可知()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞，()()0f x f x x +-<等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩，结合分析可得出结果.【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数，则()f x 在()0,∞+上是增函数，且(2)0f =，所以有(2)0f -=，所以()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞.()()0f x f x x +-<等价于2()0f x x <，等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩所以不等式的解集为：()(),20,2-∞-.故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性分析出函数的符号，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决． 【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x+1x）是增函数．故选：B ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 11．D 【解析】 【分析】 函数y =的定义域为R ，等价于210kx kx ++>恒成立.该函数为二次型的函数，考虑0k =和0k ≠两种情况，∆<0，分情况求解即可求出结果. 【详解】解：因为函数y =的定义域为R ，所以210kx kx ++>恒成立.令()21g x kx kx =++，当0k =时，()10g x =>恒成立，符合题意.当0k ≠时，00k >⎧⎨∆<⎩，即2040k k k >⎧⎨-<⎩解得：04k <<.故选：D. 【点睛】本题考查函数定义域为R 的问题，考查分类讨论的思想和二次函数的性质，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =等价于()213f x +=，()3f x e =或()3f x e -=.再根据21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩分析函数的单调性和值域，分析每一段上的解的个数，进而得出结果. 【详解】解：因为函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩, 当()0f x ≤时，[]()()213f f x f x =+=，即()1f x =不符合()0f x ≤，舍去； 当()0f x >时，方程[]()3f f x =等价于()|ln |3f x =，解得：()3f x e =或()3f x e -=，0x ≤，211x ∴+≤，又()ln f x x =在()0,1上单调递减，且()[)0,f x ∈+∞；在()1,+∞上单调递增，且()[)0,f x ∈+∞.若()3f x e =1>，则321x e +=无解，3ln x e =有两个解；若()3f x e -=，则321x e -+=有一解，3ln x e -=有两解，所以共有5解.故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查学生的分析与计算求解能力，解题的关键是对函数分段讨论求解，属于中档题. 13．5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对不等式移项、通分、化简、得到4503x x-<-，求解不等式然后对解集求补集即可得到答案. 【详解】 解：2123x x +<-等价于2121624520333x x x x x x x++-+--==<---， 即()()4530x x -->，解得：3x >或54x <，则A =R ð5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分式不等式求解集，以及补集的运算，解题的关键是对不等式进行正确的变形，属于基础题.14 【解析】 【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=∴222a-+==考点：对数的计算 15．0 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可知211m m -+=，又函数在()0+∞，上为减函数，可知530m -<，对m 求解即可.【详解】解：因为函数()2531m y m m x-=-+为幂函数，所以211m m -+=，解得：0m =或1m =.又53m y x -=在()0+∞，上为减函数，所以530m -<，即35m <，所以0m =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据幂函数的定义和单调性求参数，解题的关键是熟记幂函数的定义和单调性，属于基础题. 16．13- 【解析】 【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()max max f x g x ≤ 当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a ==+ 当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a =-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-，()333f a =+ 当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =- 132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+ 332a ∴+≤，解得：13a ≤- 13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍）综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果. 17．（Ⅰ）1-；（Ⅱ）16个. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）{}3,3AB B =-∴-∈，逐个分析集合B 中的元素求解a ，然后代入检验即可. （Ⅱ）因为{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2A B =--，()()A B M A B ⊆⊆，所以集合M 中必有-3，只需考虑剩余4个元素即可得到答案. 【详解】 （Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈显然213a +≠-,若33,a -=-则0a =，{}3,1A B ∴=-，不符合题意,若213,a -=-则1a =-，{}3A B ∴=-，满足题意,所以1a =- .（Ⅱ）{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2AB =--，因为()()A B M A B ⊆⊆，所以集合M 中必有-3，剩余4个元素：-4,0,1,2都有在与不在两种情况，所以个数为42=16个. 【点睛】本题考查了交集、并集的定义和运算，元素与集合的关系，考查了子集的定义，子集个数的求法，属于基础题.18．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）8- . 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可. （Ⅱ）根据指数的运算性质和运算律化简即可得出结果. 【详解】 解：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++- =323lg100log 314+--=3252+- =32-. （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.=34237414⋅-⨯=271-=2721--- =8- 【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题. 19．（Ⅰ）1-；（Ⅱ）3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）将12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭看成一个整体，对()3f x =进行化简得到1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦先求解12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再根据对数的运算解x 即可. （Ⅱ）12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简()f x 可得21y t t =-+，然后配方即可求出21y t t =-+在1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大最小值，进而求得值域.【详解】 （Ⅰ）11()1342x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112042x x ⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 1x ∴=- .（Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦. 则2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y =, 所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题. 20．（1）()2,3- ； （2）43. 【解析】 【分析】（1）由题意，函数()f x 的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）由题意，化简得()()21log 64af x x x =-++，设()2164u x x =-++，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数()f x 的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。
黑龙江省2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
黑龙江省高一上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。
）1.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝( )．A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,4}【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义求解即可．【详解】∵，∴．故选B．【点睛】本题考查集合交集的运算，根据定义直接求解即可，属于简单题．2.下列等式成立的是( )．A. log2(8－4)＝log2 8－log2 4B. ＝C. log2 23＝3log2 2D. log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．【详解】根据对数的运算性质逐个进行判断可得，选项A,B,D都不符合对数的运算性质，选项C符合．所以C正确．故选C．【点睛】解答本题时容易出现错误，解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式，属于基础题．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因的定义域相同,且解析式也相同,故应选A．考点：函数相等的定义．4.已知函数，则f(－1)的值是( )．A. －2B. －1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式进行求解可得结果．【详解】由题意得．故选D．【点睛】已知分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所在的范围，然后代入解析式后求解即可得到结果．5.终边在直线y=x上的角α的集合是( )．A. {α|α=k•360°+45°，k∈Z}B. {α|α=k•360°+225°，k∈Z}C. {α|α=k•180°+45°，k∈Z}D. {α|α=k•180°-45°，k∈Z}【答案】C【解析】【分析】终边在直线上的角有两类，即终边分别在第一、三象限内，然后根据终边相同的角的表示方法得到两类角的集合，再求并集后可得所求．【详解】由题意得终边在直线上的角的集合为．故选C．【点睛】解答本题时注意两点：（1）终边与角相同的角连同角在内，可以构成一个集合；（2）由于角的终边为射线，所以终边在一条直线上的角应包括两类．6.关于幂函数的叙述正确的是（）A. 在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数B. 在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数C. 在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数D. 在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和单调性分别对给出的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以排除A,C．又由幂函数的性质可得函数在定义域内单调递增，所以排除D．故选B．【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是熟知函数的相关性质，并结合选项作出正确的判断，属于简单题．7.下面四个函数：①②③④.其中值域为的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R，②的值域，③的值域为考点：函数的值域8.已知函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )．A. (-2,2)B. (-2,1)C. (-3,1)D. (-3,2)【答案】B【解析】【分析】令得到定点的横坐标，进而可得定点的纵坐标，于是可得到定点的坐标．【详解】令，解得，此时，所以函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过点．故选B．【点睛】解有关对数型函数的图象过定点的问题时，常抓住对数函数的图象过定点这一性质，通过对照进行求解，即对数型函数，若有，则函数图象恒过定点．9.设a＝，b＝，c＝，则（）A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c【答案】D【解析】试题分析：因为函数是减函数，所以，幂函数在单调递增，所以，故选择D考点：指数函数、幂函数的性质10.函数f(x)= 的零点所在的大致区间是( )．A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理对每个区间进行验证后可得结论．【详解】∵，∴，∴，∴函数的零点所在的大致区间是(2,3)．故选B．【点睛】用零点存在性定理能判断函数零点的存在性，但不能判断函数具体有几个零点；并非函数的所有零点都能用这种方法来判断存在性，如果函数在零点两侧的函数值同号，则不能用零点存在性定理判断函数零点的存在性了．11.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是( )．A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据二次函数的对称轴首先排除B,D，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．详解：根据指数函数可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B,D，C选项中，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查二次函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种根据解析式找图像的问题，一般是先分别求出两个函数中同一参数的范围，再看是否相同，如果不一致，就是错误的.12.已知偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得函数在上为减函数，从而由可得，解绝对值不等式可得所求的范围．【详解】∵偶函数在上为增函数，∴函数在上为减函数．∵，∴，两边平方整理得，解得，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】偶函数具有性质：，利用这一性质可将偶函数的问题转化到同一单调区间上进行研究．另外，根据偶函数的单调性和对称性，可将函数值的大小问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．第Ⅱ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分。
高一上学期期中考试数学试题及答案(哈师大附中)
高一上学期数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}220A x x x =->，{B x x =<<，则A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.如图所示，曲线1234,,,C C C C 分别为指数函数,,x xy a y b ==,x x y c y d ==的图象， 则d c b a ,,,与1的大小关系为A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．1b a c d <<<<D ．c d b a <<<<13.函数()f x =A.(]3,0-B.(]3,1-C.()(],33,0-∞--D.()(],33,1-∞--4.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 Ａ.1- Ｂ.0 Ｃ.1 Ｄ.25.已知0.80.80.70.7, 1.1, 1.1a b c ===，则c b a ,,的大小关系是Ａ.c b a << Ｂ.c a b << Ｃ.a c b << Ｄ.a c b << 6.已知函数)(x f 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则()f x 的解析式为A.()33xxf x -=- B.33()2x x f x --= C.()33x xf x -=- D.33()2x x f x --=7.已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =A.12 B. 45C. 2D. 9 8.关于x 的方程22230x x a a -+--=的两个实根中有一个大于1，另一个小于1，则实数a 的取值范围为A ．13a -<<B ．31a -<<C ．3a >或1a <-D ．132a -<< 9.函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是A ．02k <<B ．04k ≤≤C ．04k <<D ． 04k ≤<10.函数()f x =A ．(),2-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,+∞ 11.若函数()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，又(3)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为 A ．()3,3- B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,03,-+∞D ．()(),30,3-∞-12.已知函数()(1)(0)f x x ax a =-≠，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若33,44A ⎛⎫-⊆ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 A.()1,20,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(]1,20,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.()()2,01,-+∞D.[)[)2,01,-+∞第Ⅱ卷 （非选择题90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：1100.532131(4)(3)(2)(0.01)284--⨯+=_______________．14.函数224x x y x-+=([1,3])x ∈的值域为_______________．15.已知函数()y f x =是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =-，那么当0x >时，()f x =_____________．16.对实数a 和b ，定义新运算,2,, 2.a ab ab b a b -≤⎧=⎨->⎩设函数22()(2)(2)f x x x x =--，x R ∈．若关于x 的方程()f x m =恰有两个实数解，则实数m 的取值范围是______________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）求值：2lg10lg 5--.18.（本小题满分12分）若集合{}21|21|3,2,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭求（1）A B ；（2）()RA B ð.19．（本小题满分12分）已知函数1010()1010x xx xf x ---=+．（1）判断()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的值域． 20．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足：对任意的实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x >．（1）证明：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若(3)mf f <，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()423xxf x a =+⋅+,a R ∈.（1）当4a =-时，且[]0,2x ∈，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,+∞上有两个不同实根，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数()()2f x x a x =--，()22xg x x =+-，其中a R ∈.（1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：BBABC DCADB CB二、填空题：13．110；14．[2,3]；15．(1)x x -+；16．{|3,m m <-或2,m =-或10}m -<<． 三、解答题： 17．原式=()211lg 21lg512lg 222⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=()()2211lg 21lg 222+-=1． (10)分18．{|3213}{|12}A x x x x =-<-<=-<<，455{|0}{|,34x B x x x x -=<=<-或3}x >．……4分（1）5{|1}4AB x x =-<<； …………7分（2）5{|3}4R B x x =≤≤ð，∴(){|13}R A B x x =-<≤ð．…………12分19．（1）()f x 的定义域为R ，∵1010()()1010x x xxf xf x ----==-+，∴()f x 是奇函数． …………4分（2）令10x t =，则0t >，∴2221121111t t t y t t t t--===-+++ …………8分 ∵0t >，∴211t +>，∴21011t <<+，即221111t -<-<+．∴函数()f x 的值域为(1,1)-． …………12分 20．（1）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，有21()0f x x ->． ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+>，即12()()f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增． …………6分（2）由（1）知，3m <3233m<，解得32m <． ∴实数m 的取值范围3(,)2-∞． …………12分21．（1）当4a =-时，令2xt =，则[1,4]t ∈，2243(2)1y t t t =-+=--当2t =时，min 1y =-；当4t =时，max 3y =．∴函数()f x 的值域为[1,3]-． …………6分 （2）令2x t =，由0x >知1t >，且函数2x t =在(0,)+∞单调递增． ∴原题转化为方程230t at ++=在(1,)+∞上有两个不等实根．设2()3g t t at =++，则012(1)0a g ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩，即2120240a a a ⎧->⎪<-⎨⎪+>⎩，解得4a -<<-∴实数a的取值范围是(4,--． …………12分 22．（1）()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩①当2a =时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，()f x 无减区间； …………1分②当2a >时，()f x 的递增区间是(,2)-∞,2(,)2a ++∞；()f x 的递减区间是2(2,)2a +；………3分 ③当2a <时，()f x 的递增区间是2(,)2a +-∞,(2,)+∞，()f x 的递减区间是2(,2)2a +．………5分 （2）由题意，()f x 在[0,1]上的最大值小于等于()g x 在[0,2]上的最大值．当[0,2]x ∈时，()g x 单调递增，∴max [()](2)4g x g ==． …………6分 当[0,1]x ∈时，2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-． ①当202a +≤，即2a ≤-时，max [()](0)2f x f a ==-． 由24a -≤，得2a ≥-．∴2a =-； …………8分②当2012a +<≤，即20a -<≤时，2max 244[()]()24a a a f x f +-+==． 由24444a a -+≤，得26a -≤≤．∴20a -<≤； …10分③当212a+>，即0a>时，max[()](1)1f x f a==-．由14a-≤，得3a≥-．∴0a>．综上，实数a的取值范围是[2,)-+∞．…………12分。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={y|y≥0}，N={y|y=−x2+1}，即M∩N=()A. (0,1)B. [0,1]C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.下列式子正确的是()A. 3a√a=√a(a>0)B. lg6lg2=lg6−lg2C. a−2=√a(a>0) D. lg[(−3)⋅(−5)]=lg(−3)+lg(−5)3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是()A. y=√x+1B. y=(x−1)2C. y=2−xD. y=log0.5(x+1)4.函数的图象恒过的定点是()A. (0,−3)B. (0,−2)C. (1,0)D. (0,0)5.已知a=log32，b=(log32)2，c=log423，则()A. a<c<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<a<c6.函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)7.若函数f(x)=1−2x，g[f(x)]=x2−1x2(x≠0)，则g(3)=()A. 1B. 0C. 89D. 24258.若函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)的解析式是f(x)=x(1−x)，则当x>0时，f(x)的解析式是f(x)=()A. −x(1−x)B. x(1−x)C. x(1+x)D. −x(1+x)9.设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上是增函数，则f(−2)与f(a2−2a+3)(a∈R)的大小关系为()A. f(−2)<f(a2−2a+3)B. f(−2)≥f(a2−2a+3)C. f(−2)>f(a2−2a+3)D. f(−2)=f(a2−2a+3)10.函数y=log3|x−1|的图象是()A. B. C. D.11. 已知函数y =√ax 2−ax +1的定义域R ，则实数a 的取值范围为( )A. a ≤0或a ≥4B. 0<a <4C. 0≤a ≤4D. a ≥412. 设函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，若f(−4)=f(0)，则函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有( )A. 6B. 4C. 5D. 7 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式3x−42x+5>0的解集为______ ．14. 若3a =2，b =log 23，则ab =________，2b +2−b =________．15. 若幂函数y =(m 2−2m −2)x −4m−2在x ∈(0,+∞)上为减函数，则实数m 的值是______．16. 已知函数f(x)=ax 2−12x −34(a >0)，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1、x 2，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，则a 的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x 2−3x +2=0}，B ={x|ax +1=0}．(1)若A ∩B ={2}，求实数a 的值；(2)若B ⊆A ，求实数a 的值．18. 求值：(1)(√23×√3)6−4×(1649)−12−(−2008)0(2)2log32−log3329+log38−52log5319.已知函数f(x)=√2−x+lg(3x−13)的定义域为M．(Ⅰ)求M；(Ⅱ)当x∈M时，求g(x)=4x−2x+1+2的值域．20.已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．(1)当a=4时，求f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)−log2[(a−3)x+2a−4]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值集合；(3)设a>0，若对任意t∈[1,2]，函数f(x)在区间[t,3t−1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．21.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对于任意正实数a、b，都有f(a⋅b)=f(a)+f(b)−1，f(2)=0，且当x>1时，f(x)<1．)的值；(1)求f(1)及f(12(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数．22.已知函数f(x)=−2x+b(x∈R)是奇函数．2x+1+a(1)求实数a，b的值;(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集运算，考查计算能力，属于基础题．可求出集合N ={y|y ≤1}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：N ={y|y ≤1}，且M ={y|y ≥0}；∴M ∩N =[0,1]．故选B ．2.答案：A解析：解：∵a >0，∴3a √a =(a ⋅a 12)13=(a 32)13=a (32×13)=a 12=√a ，故A 正确；对于B ，lg6lg2≠lg6−lg2，故B 错误；对于C ，a −2=1a 2≠√a ，故C 错误；而D ，lg(−3)与lg(−5)无意义，故D 错误；故选A ．利用指数幂的运算性质与对数的性质即可得到答案．本题考查不等关系与不等式，考查有理数指数幂的化简求值与对数的运算性质，属于基础题． 3.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误． 4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了对数函数及其性质，属于基础题．根据对数函数图象恒过定点(1,0)求出对应x ，y 的值，点(x,y)即为函数所过定点．解析：解：令x+1=1，得x=0，此时，故函数的图象恒过定点(0,−3)，故选A．5.答案：B解析：解：∵0=log31<a=log32<log33=1，∴0<b=(log32)2<a=log32，<log41=0，∵c=log423∴c<b<a．故选：B．本题考查对数函数比较大小，利用对数函数性质求解即可，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题考查复合函数的单调区间以及对数函数的性质，属于基础题．令t=x2−2x−8>0，则y=lnt，在定义域内单调递增，根据复合函数的单调性，就是求t=x2−2x−8>0的单调增区间，由此即可得到答案．【解答】解：由x2−2x−8>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=x2−2x−8，则y=lnt，在定义域内单调递增，而x∈(−∞,−2)时，t=x2−2x−8为减函数；x∈(4,+∞)时，t=x2−2x−8为增函数；故函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D．7.答案：B解析：本题考查函数的表示法，利用函数的解析式求值.要求g(3)，只要令f(x)=1−2x=3，求出x，再代入g[f(x)]的解析式即可．【解答】解：令f(x)=1−2x=3，得：x=−1，∴g(3)=g[f(−1)]=(−1)2−1=0．(−1)2故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查利用奇函数的性质求解析式，属于基础题．利用奇函数的性质即可求出f(x)的解析式是解题的关键．【解答】解：当x>0时，−x<0，则f(−x)=−x[1−(−x)]=−x(1+x)，由函数f(x)为奇函数可得f(x)=−f(−x)=x(1+x)，故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的大小比较，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在(0,+∞)上为减函数，进而分析可得f(2)≥f(a2−2a+3)，可得f(−2)=f(2)≥f(a2−2a+3)，即可得出答案．【解答】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上是增函数，则f(x)在(0,+∞)上为减函数，因为a2−2a+3=(a−1)2+2≥2，所以f(2)≥f(a2−2a+3)，又由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−2)=f(2)≥f(a2−2a+3)，故选：B．10.答案：B解析：解：当x−1≥0时，即x≥1时，函数y=log3(x−1)，此时为增函数，当x−1<0时，即x>1时，函数y=log3(1−x)，此时为减函数，故选：B．根据函数的单调性即可判断．本题考查了复合函数的单调性和函数图象的识别，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】根据根式函数的性质将定义域转化为ax 2−ax +1≥0恒成立即可．本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对a 进行讨论．【解答】解：要使函数y =√ax 2−ax +1的定义域R ，则ax 2−ax +1≥0恒成立，若a =0，则不等式ax 2−ax +1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a ≠0，要使ax 2−ax +1≥0恒成立，则{a >0△=a 2−4a ≤0, 即{a >00≤a ≤4，解得0<a ≤4， 综上0≤a ≤4．故选C ．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点的个数判断，函数图象的应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 先求出b ，再画出f(x)与y =ln(x +2)的图象，即可得出结论．【解答】解：∵函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，f(−4)=f(0)， ∴b =4，∴f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0， f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0与y =ln(x +2)的图象如图所示，∴函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有4个，故选：B ．13.答案：{x|x >43或x <−52}解析：解：不等式3x−42x+5>0化为(3x −4)(2x +5)>0，所以不等式的解集为{x|x >43或x <−52}；故答案为：{x|x >43或x <−52}.将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可．本题考查了分式不等式的解法，关键是转为整式不等式，然后解之． 14.答案：1;103解析：【分析】本题考查了对数的运算和指数幂的运算，属于基础题．根据对数的运算和指数幂的运算法则表示出a ，b ，即可求出ab 的值和2b +2−b 的值．【解答】解：3a =2，则a =log 32∵b =log 23，∴ab =log 32·log 23=1，，故答案为1;103． 15.答案：m =3解析：解：因为函数y =(m 2−2m −2)x −4m−2既是幂函数又是(0,+∞)的减函数，所以{m 2−2m −2=1−4m −2<0，⇒{m =3或m =−1m >−12，解得：m =3． 故答案为：m =3．根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m 2−m −1=1，再根据函数在(0,+∞)上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．本题考查了幂函数的概念及性质，解答此题的关键是掌握幂函数的定义，此题极易把系数理解为不等于0而出错，属基础题．16.答案：14解析：【分析】要使函数f(x)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1，x 2，使|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，只需要|f(14a −1)−f(14a )|≥14恒成立，从而可求实数a 的最小值．本题以新定义为素材，考查对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为恒成立．【解答】解：要使函数f(x)=ax 2−12x −34(a >0)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1，x 2，使|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，只需要|f(14a −1)−f(14a )|≥14恒成立，∵f(x)=ax 2−12x −34=a(x −14a )2−116a −34，∴|f(14a −1)−f(14a )|=|a|≥14，∵a >0，∴a ≥14，∴实数a 的最小值为14，故答案为：14． 17.答案：解：(1)因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，则2a +1=0，解得a =−12，(2)由x 2−3x +2=0得，x =1或x =2，则A ={1,2}，因为B ⊆A ，所以B =⌀或{1}或{2}，当B =⌀时，则a =0，当B ={1}时，则a +1=0，得a =−1，当B ={2}时，则2a +1=0，得a =−12，综上得，实数a 的值是0或−1或−12．解析：(1)由A ∩B ={2}得2∈B ，把2代入ax +1=0代入求出a 的值；(2)由x 2−3x +2=0求出集合A ，由子集的定义和B ⊆A 求出B 所有的情况，再依次代入求出a 的值．本题考查交集及其运算，子集的定义，以及一元二次方程的解法，属于基础题．18.答案：解：(1)(213×312)6−4×[(47)2]−12−1=22×33−4×74−1=100 (2)2log 32−log 3329+log 38−52log 53=log 34−log 3329+log 38−5log 59=log 3(4×932×8)−9=log 39−9=−7解析：本题考查了对数与指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用指数的运算性质即可得出；(2)利用对数的运算性质即可得出．19.答案：解：(Ⅰ)要使f(x)有意义，则{2−x ≥03x −13>0，∴−1<x ≤2，∴M =(−1,2]，(Ⅱ)g(x)=4x −2x+1+2=(2x )2−2⋅2x +2=(2x −1)2+1；∵x ∈(−1,2]；∴2x ∈(12,4]； ∴2x =1，即x =0时，g(x)min =1；2x =4，即x =2时，g(x)max =10；∴g(x)的值域为[1,10]．解析：本题考查函数的定义域、值域的概念及求法，指数函数的单调性，是基础题．(Ⅰ)要使得函数f(x)有意义，则需满足{2−x ≥03x −13>0，从而得出定义域M =(−1,2]；(Ⅱ)变形g(x)=(2x −1)2+1，根据x ∈M 即可得出2x ∈(12,4]，从而可求g(x)的最大和最小值，从而得出g(x)的值域．20.答案：解：(1)函数f(x)=log 2(1x +4)，由4+1x >0，即x(1+4x)>0，解得x >0或x <−14，可得f(x)的定义域为{x|x >0或x <−14}；(2)由f(x)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0得log 2(1x +a)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0．即log 2(1x +a)=log 2[(a −3)x +2a −4]，即1x +a =(a −3)x +2a −4>0，①则(a −3)x 2+(a −4)x −1=0，即(x +1)[(a −3)x −1]=0，②，当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立；当a =2时，方程②的解为x =−1，代入①，成立当a ≠3且a ≠2时，方程②的解为x =−1或x =1a−3，若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1，若x =1a−3是方程①的解，则1x +a =2a −3>0，即a >32，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤32．综上，若方程f(x)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是(1,32]∪{2，3}；(3)函数f(x)在区间[t,3t −1]上单调递减，由题意得f(t)−f(3t −1)≤1，即log 2(1t +a)−log 2(13t−1+a)≤1，即1t +a ≤2(13t−1+a)，即a ≥1t −23t−1=t−1t(3t−1)，设r =t −1，则0≤r ≤1，可得t−1t(3t−1)=r (r+1)(3r+2)=r 3r 2+5r+2，当r =0时，r 3r 2+5r+2=0；当0<r ≤1时，r 3r +5r+2=13r+2r +5在(0,√63)递增，在(√63,1)递减， 可得r =√63处r3r 2+5r+2取得最大值5−2√6， 可得a 的取值范围是a ≥5−2√6．解析：本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大(1)由对数的真数大于0，结合分式不等式的解法，可得所求定义域；(2)根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；(3)根据f(x)的单调性得到f(t)−f(3t −1)≤1恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．21.答案：解：(1)令a =b =1得f(1)=f(1)+f(1)−1，得f(1)=1，∵f(2)=0，∴f(2×12)=f(2)+f(12)−1=f(1)，则0+f(12)−1=1，得f(12)=2(2)证明：设0<x 1<x 2，可得x 2x 1>1， 可得f(x2x 1)<1， 由f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)+f(x 2x 1)−1<f(x 1)，可得函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．解析：(1)令a =b =1，a =2，b =12，即可求得f(1)及f(12)的值；(2)当x >1时，f(x)<1，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义进行转化是解决本题的关键． 22.答案：解：(1)因为函数f(x)=−2x +b 2x+1+a (x ∈R)是奇函数，所以f(0)=0，得b =1，所以f(x)=−2x +12x+1+a ，又函数的定义域为R ，所以f(−1)=−f(1)，可得：−12+11+a =−−2+14+a ，解得a =2，所以a =2，b =1;(2)由(1)可得f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，易得f(x)在(−∞,+∞)是减函数，又f(x)是奇函数，所以f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0可化为f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)=f(k −2t 2)，所以t 2−2t >k −2t 2，即3t 2−2t −k >0恒成立，所以Δ=4+12k <0，解得k <−13．解析：本题考查函数的奇偶性和函数的单调性，属于中档题．(1)根据函数是奇函数，可得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，即可解得；(2)先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，转换为3t 2−2t −k >0恒成立，从而解答即可．。
哈尔滨师范大学附属中学数学高一上期中基础练习(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：11806]已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤< B ．0a < C ．2a ≤-D ．32a --≤≤4．(0分)[ID ：11805]三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．(0分)[ID ：11797]关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③6．(0分)[ID ：11780]设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，7．(0分)[ID ：11775]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．(0分)[ID ：11757]设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，9．(0分)[ID ：11752]已知函数()245f x x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥10．(0分)[ID ：11794]已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-11．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]12．(0分)[ID ：11770]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）A ．3B ．2-C ．3-D ．213．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-14．(0分)[ID ：11803]设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>15．(0分)[ID ：11781]函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：11928]若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.17．(0分)[ID ：11921]函数232x x --的定义域是 .18．(0分)[ID ：11903]若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．19．(0分)[ID ：11902]设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____20．(0分)[ID ：11898]已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________. 21．(0分)[ID ：11892]若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________22．(0分)[ID ：11882]函数6()12log f x x =-__________． 23．(0分)[ID ：11872]已知()21f x x -=，则()f x = ____.24．(0分)[ID ：11867]已知函数1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.25．(0分)[ID ：11864]已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：11999]计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+27．(0分)[ID ：11998]已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．28．(0分)[ID ：11981]已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域29．(0分)[ID ：11968]已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.30．(0分)[ID ：11930]已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．D4．A5．C6．D7．A8．A9．B10．C11．A12．A13．C14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：17．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域18．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))19．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则20．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为21．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填22．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(423．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力24．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32．故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．6．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.7．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .8．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.10．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.11．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.12．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q的等比数列，故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.13．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
人教A版数学必修一哈师大附中—上学期高一期中考试.doc
哈师大附中2008—2009学年上学期高一期中考试 数学试题 2008.11.6一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数()()201x f x a a a -=>≠且的图像过定点（ ）A ．()0,1B ．()1,0C ．()2,0D ．()2,1 2． 已知集合{}213122x x A x +-=<，{}2B y y x ==则有（ ）A ．A B = B ． R A C B =∅I C ．R B C A =∅I D ． B ⊂A3．考察函数()(11xy =+，())21y x =-，()343y x=，()2441y x x =-+，其中在()0,+∞单调递增的有（ ） A ．()()12 B ．()()13 C ．()()23 D ．()()344．若log 2log 20m n >>，则,m n 满足的条件是（ ）A ．01n m <<<B ．01m n <<<C ．1n m >>D ．1m n >>5．若函数()()()log 101a f x x a a =+>≠且的定义域和值域都是[]0,1，则a 等于（ ）A ．12B C ．2 D ．26．幂函数()af x x =满足1x >时()1f x >，则a 满足条件（ ）A ．1a >B ．01a <<C ．0a >D ．0a > 且1a ≠ 7．定义在R 上的函数()f x 在()8,+∞上为减函数，且函数()8y f x =+为偶函数，则（ ） A ．()()67f f > B ．()()69f f > C ．()()79f f > D ．()()710f f >8． 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===, 则( ) A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<9．函数2008121xy x-=+的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，则()1f =（ ）A ．2008122-B ．2008122+ C ．0 D ． 2-10．如果某点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”.下面四个点：111(1,2),(,),(2,1),(2,)222M N P Q ，其中“好点”的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．已知1x y >>，01a <<，下列各式正确的是（ ） A. aa xy --> B ．xy aa --> C ．a ax y < D ． 11yxa a <12．下列5个判断: ① 任取x R ∈，都有32xx>； ② 当1a >时任取x R ∈都有xxa a->；③函数xy -=是增函数； ④ 函数2xy =的最小值是1；⑤ 在同一坐标系中函数2x y =与2xy -=的图象关于y 轴对称.其中正确的是( ) A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D.①⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1()3f x ⎛= ⎪⎝⎭的值域为_____________.14．函数121()log (2)1f x x a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦在区间[]1,2上恒为负, 则实数a 的取值范围是____________. 15．函数()142xx f x +=-的单调增区间为____________________.16．关于函数()()2ln 1f x x ax a =+-+，有以下五个结论： （1）)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； （2）)(x f 有最小值；（3）当0a =时,)(x f 的值域为R ； （4）当0a >时,)(x f 在[)2,+∞有反函数； （5）若)(x f 在[)2,+∞单调递增，则实数a 的取值范围是4a ≥-； 其中正确的是_________________（把你认为正确的结论都写上）.三、 解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分） 17．（本小题满分10分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，[])0(,)2)(1(lg )(<---=a x a a x x g 的定义域为B.（1）求A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 18. （本小题满分12分）求函数22()log log (2),(18)8xf x x x =⋅≤≤的最大值 和最小值及相应的x 的值. 19．（本小题满分12分）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不得超过%1.0.若初始含杂质%2，每过滤一次可使杂质含量减少31，问至少过滤多少次才能达到市场要求？（已知：4771.03lg ,3010.02lg ==） 20. （本小题满分12分）函数xx x f 1)(log 2-=. （1）求()f x 的解析式； （2）求证：函数)(x f 为奇函数；（3）若实数m 满足:()()0112<-+-mf m f , 求m 的取值范围.21．（本小题满分12分）定义在),(+∞-∞上的函数)(x f ，对任意的R y x ∈,都有()()()1f x y f x f y +=++成立.（1）令()()1F x f x =+，求证：()F x 为奇函数；（2）若(1)1f =，且函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，解不等式：(32)(23)4f x f x +>++.22．（本小题满分12分）函数22()1f x x x kx =-++. (1)若2k =,求函数)(x f 的零点;(2)若函数)(x f 在(0,2)有两个不同的零点,求k 的取值范围,并证明:12114x x +<. 高一数学答题纸二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．]1,0( 14． )21,0( 15．),0[+∞ 16．(4)(5)三．解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分）17．解：（1）函数)(x f 的定义域：1,10110132≥-<⇔≥+-⇔≥++-x x x x x x 或 所以，A=}1,1|{≥-<x x x 或（2）函数)(x g 的定义域：120)2)](1([+<<⇔<-+-a x a a x a x11,,0-≤+∴⊆<a A B a Θ，所以实数a 的取值范围为}2|{-≤a a .18．解：)1log ()3log ()(22+⋅-=x x x f 令]3,0[log 2∈=t x ，]3,0[,322∈--=t t t y当t=3时，即当x=8时，0max =y ；当t=1时，即当x=2时，4min -=y ； 19.解：设至少过滤n 次才能达到市场要求1)32(20%1.0)311(%2≤⋅⇒≤-⋅nn不等式两边同时取常用对数，得4.70)3lg 2(lg 12lg ≥⇒≤-++n n 因此，至少过滤8次才能达到市场要求. 20.解：（1）令t x =log 2，则2t x =，212)(tt t f -=，即212)(xx x f -=（2）函数定义域为R ，对)(221212)(,x f x f R x x xxx -=-=-=-∈∀--，函数)(x f 为奇函数（3）首先需证明函数)(x f 在R 上是增函数（略）()()0112<-+-m f m f 11)1()1(22-<-⇒-<-⇒m m m f m f所以，21-<>m m 或.21．解：（1）令1)0(0-=⇒==f y x01)0(1)(2)()()()(=+=++-=++-=+-f x x f x f x f x F x F（2）=+++++=++>+11)1()1()32(4)32()23(f f x f x f x f)52(1)2()32(+=+++x f f x f又因为函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，所以35223<⇒+>+x x x ,因此，不等式的解集}3|{<x x22．解：（1）当11-≤≥x x 或时，01222=-+x x ，231--=x 当11<<-x 时，21,012-==+x x ， 所以函数)(x f 的零点为21,231---. （2）⎩⎨⎧∈-+∈+=)2,1(,12]1,0(,1)(2x kx x x kx x f① 两零点在)2,1(],1,0(各一个：当]1,0(∈x 时，10)1(,1)(-≤⇒≤+=k f kx x f当)2,1(∈x 时，12)(2-+=kx x x f ，,127)2(0)1(-<<-⇒⎩⎨⎧><k f f② 两零点都在(1,2)上时，显然不符（x x 21<-1<0）, 综上，,127-<<-k 下面证明：12114x x +<， 不妨设)2,1(],1,0(21∈∈x x ，则48,1221++-=-=k k x k x设288411)(2211kk k k k x x k g -+=++-+-=+=，易证明)(),1,27(k g --是减函数因此，4)27(11)(11=-<+=f x x k g。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
哈师大附中2020级高一上期中考试数学试卷第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|0}1x A x x -=≥+，集合{|20}B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{|21}x x -<<-B ．{|21}x x -≤<-C ．{|21}x x -<≤-D ．{|10}x x -≤≤2.函数0()f x =的定义域为（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|3}x x <C ．{|3,1}x x x ≤≠且D ．{|3,1}x x x <≠且 3.若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．22a b >C ．||||a c b c >D ．2211a bc c >++ 4.设a ∈R ，则“38a <”是“11a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知,a b R ∈，且0ab >，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +>C ．2a bb a +≥D ．11a b +>6.函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[2,3]7.已知函数()||2f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数，单调递增区间是[0,)+∞B ．()f x 是偶函数，单调递减区间是(,1]-∞C ．()f x 是奇函数，单调递减区间是[1,1]-D ．()f x 是奇函数，单调递增区间是(,0]-∞8.已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是( )9.如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10.已知定义域(1,1)-的奇函数()y f x =，当[0,1)x ∈时，函数()f x 为增函数，若(3)f a -+2(9)0f a -<，则实数a 的取值范围为（ ）A.（22,3） B ．（3,10） C ．（22,4） D ．(2,3)-11.已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.2332a << B.213a <≤ C.9a ≥ D.293a <≤12.若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒有11122122()()()()x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①2()f x x =；②3()f x x =；③21()21x f x x -=+；④224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置.13.幂函数)(x f y =的图像过点(8,22)，则(9)f =________________．14.函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间,1]-∞（单调递减，则实数a 的取值范围为____________ ． 15. 函数()21f x x x =-+的值域为______________________．16．设函数211()231x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，，,①若()2f x =，则x =____________；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是_____________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知集合2{|}A x a x a =<<，2{|540}B x x x =-+->．（Ⅰ）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+．（Ⅰ）求当0x ≤时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增．19.（本小题满分12分）已知函数2()6f x x ax =-+(0)a >.（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为}32|{<<x x ，求()f x y x=在区间[2,4]的最小值； （Ⅱ）关于x 的不等式1()5f x x a<+. 20.（本小题满分12分）若二函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,3]x ∈时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且128a b +=，若存在,a b 使()2bf t a >+成立，求实数t 的取值范围.22．（本小题满分12分）在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量12x x 、，若都有（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （Ⅱ）若对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2021 学年高一上学期期中考试数学一、选择题：共12 题1．全集,集合,那么A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算；∵全集 ,集合∴∴.2．以下函数是偶函数并且在区间上是增函数的是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题考查命题真假的判断；在 A 中，是偶函数，在区间上是减函数，故 A 错误；在 B 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 B 错误；在 C 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 C 错误；在 D 中，是偶函数并且在区间上是增函数，故 D 正确 .3．不等式的解集为A. 或B. 或C.或D. 或【答案】 B【解析】此题考查了高次不等式的解法；不等式等价于∴将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图：由图可看出不等式的解集为或.4．函数且恒过定点A. B. C. D.【答案】 D【解析】此题考查指数函数的图象和性质，考查恒过定点问题的求解方法;由得此时∴函数且恒过定点5．以下各组函数中不表示同一函数的是A.B.C.D.【答案】 C【解析】此题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题；A.的定义域是 ,的定义域为定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数B.的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；C.的定义域为的定义域为，定义域不同，∴不是同一函数D. 的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数.6．函数,那么函数的解析式为A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了函数解析式的求法；令,那么∴∴.7．,那么A. B. C. D.【答案】 B【解析】此题主要是考查对数值、指数值比拟大小；∵，，．.8．函数的定义域为,那么函数的定义域为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查了求函数的定义域问题，考查不等式问题;∵函数的定义域为∴解得 .9．为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数,又,那么不等式的解集是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识;∵为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数又∴在内是增函数∵∴或∴10．函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查的知识点是复合函数的单调性;函数的定义域为令，那么，∵为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故函数的单调递增区间为.11．函数的图象是【答案】 B【解析】此题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用;由得或∴函数的定义域为所以选项 A 、 D 不正确 ;当时 ,是增函数∴是增函数，排除 C.12．定义函数,假设存在常数,对于任意的,存在唯一的,使,那么称函数在上的“均值〞为,,那么函数在上的“均值〞为A. B. C. D.【答案】 B【解析】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型；由题意，令当时，选定∴.二、填空题：共 4 题13．函数,那么= ________.【答案】 10【解析】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、 y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者；令，那么，由，得所以，所以14．函数的值域为________.【答案】【解析】此题主要考查函数值域的求解，根据根式的性质是解决此题的关键;∵∴则,∴∴∴函数的值域是15．关于的方程有两个不相等的实数解,那么实数的取值范围是 ________.【答案】【解析】此题主要考查方程根的存在性以及个数判断;∵关于的方程有两个不相等的实数解，∴的图象和直线有 2 个交点，当时，，在R 上单调递增，不满足条件，故a＞ 0．当趋于时，的值趋于；当趋于时，的值趋于，故有，那么实数的取值范围为.16．函数在区间上的最大值为,最小值为 ,那么________.【答案】 4【解析】此题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题;∵ 是奇函数，∴而在时取最大值，时取最小值，∴，∴三、解答题：共 6 题17．计算：.【答案】===0【解析】此题考查对数的运算性质; 直接利用对数的运算性质化简得答案.18．集合.(Ⅰ )求集合及；(Ⅱ )假设 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ ),(Ⅱ ),且由 .【解析】此题主要考查了不等式的计算能力和集合的根本运算;(Ⅰ )根据题意化简求出集合，集合．根据集合的根本运算即可求，(Ⅱ )先求出，在根据，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 .19．函数是定义在上的奇函数,当时 ,.(Ⅰ )求；(Ⅱ )求在上的解析式；(Ⅲ )求不等式的解集.【答案】 (Ⅰ )(Ⅱ )当时 ,,.(Ⅲ )①当时 ,,且 .②当时 ,且 .综上：解集为 .【解析】此题考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，不等式的解法; (Ⅰ )利用函数的奇偶性即可求；(Ⅱ )利用函数的奇偶性的性质即可求的解析式；(Ⅲ )利用函数的解析式，列出不等式求解即可.20．函数是奇函数.(Ⅰ )求实数的值；(Ⅱ )用定义证明函数在上的单调性；(Ⅲ )假设对任意的 ,不等式恒成立 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ )∵函数的定义域为R,且是奇函数,∴,解得,此时 ,满足 ,即是奇函数 ,∴.(Ⅱ ) 任取 ,且 ,那么 ,于是 =,即,故函数在上是增函数.(Ⅲ )由及是奇函数 ,知又由在上是增函数,得 ,即对任意的恒成立∵当时 ,取最小值 ,∴ .【解析】此题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性; (Ⅰ )函数的定义域为，且是奇函数，故，解得值；(Ⅱ ) 任取，作差判断与的大小，根据函数单调性的定义，可得函数在上的单调性；(Ⅲ )根据函数的单调性和奇偶性得,即对任意的恒成立，求出的最小值即可.21．二次函数,且.(Ⅰ )求函数的解析式；(Ⅱ )假设函数 ,求函数的最值.【答案】 (Ⅰ )∴∴∴ ,∴ .(Ⅱ )①当时 ,即时 ,当时 ,当时；②当时 ,即时 ,当时 ,当时；③当时 ,即时 ,当时 ,当或 2 时；④当时 ,即时 ,当时 ,当时；⑤当时 ,即时 ,当时 ,当时 .【解析】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质；(Ⅰ ) 由中，求出的值，可得函数f〔 x〕的解析式 .(Ⅱ )的图象开口朝上，且以直线为对称轴，由，对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值 .22．f ( x)当点在的图象上运动时,点在函数的图象上运动 (). log 2 x ,(Ⅰ )求和的表达式；(Ⅱ )关于的方程有实根,求实数的取值范围；(Ⅲ )设 ,函数的值域为 ,求实数的值 .【答案】 (Ⅰ )由得 ,.由得 ,.(Ⅱ )方程有实根 ,,别离得 .设.(Ⅲ )下面证明在上是减函数任取 ,那么即在上递减 ,故在在上递减,即解得 ,故.【解析】此题主要考查了求函数的解析式以及求利用函数的单调性求函数的值域；(Ⅰ )当点在的图象上运动可得，点在函数的图象上运动可得故再用代即可求出的表达式. (Ⅱ )由 (Ⅰ )可得要使关于的方程有实根，，可得：在有实根, 设，求出的取值范围即可. (Ⅲ )在上是减函数，即可求出的值.。
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合2|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}|20B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}|21x x -<<- B ．{}|21x x --<≤ C ．{}|21x x -<≤-D ．{}|10x x -≤≤ 【答案】A【分析】由201x x -≥+求出集合A (注意分母不能为零)，然后根据集合的交运算求交集即可．【详解】由201x x -≥+得：2x ≥或1x <-， 所以{|1A x x =<-或}2x ≥，又{}|20B x x =-<<，所以{}|21A B x x =-<<-．故选：A ．2．函数0()f x = ） A ．{|3}x x B ．{|3}x x < C ．{|3x x ，且1}x ≠ D ．{|3x x <，且1}x ≠【答案】D【分析】可看出，要使得()f x 有意义，需满足1030x x -≠⎧⎨->⎩，然后解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则1030x x -≠⎧⎨->⎩，解得3x <且1x ≠， ()f x ∴的定义域为{|3x x <，且1}x ≠．故选：D ．3．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ．A ．11a b <B ．22a b >C ．a c b c >D ．2211a b c c >++【答案】D【分析】通过反例1a =，1b =-，0c可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b =-，则1111a b =>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误； 211c +≥ 21011c ∴<≤+，又a b > 2211a b c c ∴>++，则D 正确. 故选D 【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.4．设a R ∈，则“38a <”是“|1|1a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简解出不等式，由充分必要条件的定义判断出即可．【详解】解：由“38a <”得2a <，由“|1|1a -<”解得02a <<， 2a <推不出02a <<，02a <<可推出2a <，故“38a <”是“|1|1a -<”的必要不充分条件，故选：B ．5．函数y =的单调增区间是（ ）A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[2，3] 【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性求出增区间即可．【详解】解：由2430x x -+-得2430x x -+，得13x ，设243t x x =-+-，则对称轴为2x =，则y =为增函数，要求函数y =的单调增区间，根据复合函数单调性可知，只需要求243t x x =-+-的递增区间，243t x x =-+-的递增区间为[1，2]，∴函数243y x x =-+-的单调增区间是[1，2]，故选：B ．6．已知函数()||2f x x x x =-，则有（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间为[0，)+∞B ．()f x 是偶函数，递增区间为(-∞，1]C ．()f x 是奇函数，递减区间为[1-，1]D ．()f x 是奇函数，递增区间为(-∞，0]【答案】C【分析】由已知结合函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，作出函数的图象，结合图象可求单调区间．【详解】解：因为()||2f x x x x =-，所以()22()f x x x x x x x f x -=--+=-+=-，故()f x 为奇函数，因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，结合二次函数性质可知，()f x 的单调递减区间为[1-，1]．故选：C ．7．已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再根据基本不等式即可判断．【详解】解：31()()f x xf x x-=--=-，()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， ∴函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD ，当0x >时，333441111111()4?··33333327f x x x x x x x x x x x =+=+++=，当且仅当313x x=，即413x =<时取等号，故排除B ， 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]【答案】C 【详解】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则22404040ADE ABC x S y S ∆∆-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以40y x =-，又300xy ，所以(40)300x x -，即2403000x x -+，解得1030x .【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.9．已知定义域()1,1-的奇函数()y f x =，当[)0,1x ∈时，函数()f x 为增函数，若()()2390f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A．()B．( C．()4 D ．()2,3-【答案】B【分析】推导出函数()f x 是定义在()1,1-上的增函数，且为奇函数，由()()2390f a f a -+-<可得()()233f a f a -<-，根据题中条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，∴由()()2390f a f a -+-<， 得()()()22399f a f a f a -<--=-． 当[)0,1x ∈时，函数()f x 为增函数，所以，函数()f x 在(]1,0-上为增函数，所以，函数()f x 在()1,1-上是增函数，∴2213119139a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得3a <<所以，实数a的取值范围是(．故选：B ．【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2332a <<B ．213a <C ．9aD ．293a < 【答案】B【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围．【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32a x a -=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示， 则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <； 当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅． 综上可得，a 的取值范围是213a <． 故选：B ．【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.11．若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()()11122122x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”．给出下列四个函数：①()2f x x =；②()3f x x =；③()2121x x f x -=+；④()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先确定“理想函数”满足的条件为①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；进一步对①②③④这四个函数进行判断即可．【详解】由（1）知：()f x 为定义域上的奇函数；由（2）知：()()()11120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，可知()f x 单调递增.即“理想函数”满足①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；对于①，()2f x x =是偶函数，在定义域内不单调递增，①不是“理想函数”； 对于②，()3f x x =；满足函数是奇函数，在定义域内单调递增，②为“理想函数”； 对于③，()()21212121x x f x f x x x --+-==≠--+-，函数不是奇函数，③不是“理想函数”； 对于④，()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，当0x <时，0x ->，则()()()2244f x x x x x f x -=--=-=-，又()00f =，可知()f x 为定义域上的奇函数；又当0x ≥时，()f x 单调递增，由奇函数性质知：()f x 在(],0-∞上单调递增，则()f x 在定义域内单调递增，④为“理想函数”.故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够明确新定义函数的具体要求，即函数需为奇函数且在定义域内单调递增，进而利用函数奇偶性和单调性的判断方法依次判断各个选项.二、多选题12．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +≥C ．2b aa b +≥ D ．11a b +> 【答案】BC【分析】AD 可举例排除，BC 利用基本不等式来判断..【详解】解：A.当1a b ==-时，112--≥，不成立；B.由基本不等式得222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，成立；C.由基本不等式得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，成立；D.当1a b ==-时，112-->，不成立；故选：BC.【点睛】本题考查基本不等式的应用，是基础题.三、填空题13．幂函数()y f x =的图象过点(8,，则()9f =______.【答案】3【分析】设()af x x =，由已知得出()88a f ==a 的值，进而可求得()9f 的值.【详解】设幂函数()af x x =（a 为常数），幂函数()y f x =的图象过点(8,，8a ∴=，解得12a =， ()f x ∴=，因此，()93f =.故答案为：3.14．函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间(-∞，1]单调递减，则实数a 的取值范围为__．【答案】(-∞，1]2-． 【分析】由已知结合二次函数的单调性与对称轴的位置关系，求出实数a 的取值范围．【详解】解：因为2()(21)5f x x a x =+-+在区间(-∞，1]单调递减， 所以1212a -，解得，12-a ． 故答案为：(-∞，1]2-．15．函数g(x)＝2x ________．【答案】17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】＝t ，(t≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y＝2t 2－t －2＝2117248t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，t≥0， ∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g(x)的值域为17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故填17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.四、双空题16．设函数21,1()23,1x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩． ①若()2f x =，则x =__；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是__．【答案】1 1(2，)+∞． 【分析】①对x 分情况讨论，分段求出x 的值即可．②对x 分1x 和12x <和2x >三种情况讨论，分别求出()f x 和(1)f x -的解析式，化简整理解出x 的取值范围，最后再求并集即可．【详解】解：①当1x 时，()1f x x =+，12x ∴+=，1x ∴=，当1x >时，2()23=-+f x x x ， 2232x x ∴-+=，解得：1x =（舍去），综上所述，若()2f x =，则1x =．②()i 当1x 时，10x -，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：1(1)12x x ++-+>，即212x +>， 解得：12x >， ∴112x <， ()ii 当12x <时，11x -，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：223(1)12x x x -++-+>，即232x x -+>， △140=-<，12∴<x ，()iii 当2x >时，11x ->，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：2223(1)2(1)32x x x x -++---+>，即22670x x -+>，△36427200=-⨯⨯=-<，2x ∴>，综上所述，x 取值范围是：1(2，)+∞． 故答案为：1，1(2，)+∞． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，主要运用分类讨论的数学思想，考查了解一元二次不等式．五、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2540B x x x =-+->． （1）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞；（2）[]0,2．【分析】（1）由1A ∈可得出实数a 的不等式组，求得对应的实数a 的取值范围，利用补集思想可求得当1A ∉时，实数a 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，建立不等式关系，即可求实数a 的取值范围．【详解】（1）若1A ∈，则211a a <⎧⎨>⎩，解得1a <-. 因此，当1A ∉时，1a ≥-，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞；（2）由2540x x -+->，得2540x x -+<，解得14x <<，即()1,4B =， :p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，A ∴ B ，当A =∅时，即2a a ≤，解得01a ≤≤，满足题意；当A ≠∅时，由A B ，可得2214a a a a ⎧>⎪≥⎨⎪≤⎩，解得12a <≤.当2a =时，()2,4A =，()1,4B =，则A B 成立.综上所述，实数a 的取值范围为[]0,2.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+． （Ⅰ）求当0x 时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．【答案】（Ⅰ）0,0()11,0x f x x x =⎧⎪=⎨-<⎪⎩；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据题意，由奇函数的定义可得(0)0f =，当0x <时，0x ->，求出()f x -的表达式，结合函数的奇偶性分析可得()f x 的表达式，综合可得答案；（Ⅱ）根据题意，利用函数的单调性定义可得结论．【详解】解：（Ⅰ）根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，当0x <时，0x ->，则11()11f x x x-=+=+-， 又由()f x为奇函数，则1()()1f x f x x=--=-，则当0x时，0,0()11,0x f x x x =⎧⎪=⎨-<⎪⎩， （Ⅱ）证明：设120x x <<，则1212121111()()11)()f x f x x x x x -=+-+=--121212121()x x x x x x x x -==-，又由120x x <<，则12()0x x -<0>，1210x x >， 则12())0(f x f x -<，则函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -； 3.定号：确定()()12f x f x -的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 19．已知函数2()6(0)f x x ax a =-+>．（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为{|23}x x <<，求()f x y x=在区间[2，4]的最小值；（Ⅱ）解关于x 的不等式1()5f x x a<+．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）根据不等式和方程的关系求出a 的值，从而求出()f x y x=的解析式，求出函数的最小值即可； （Ⅱ）问题转化为()10a x x a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，通过讨论a 的范围，求出不等式的解集即可．【详解】解：（Ⅰ）不等式()0f x <的解集为{|23}x x <<2∴和3是方程260x ax -+=的根23a +=，解得：5a =故2()56f x x x =-+()665255f x y x x x x x∴==+-⋅-=当且仅当x =“=”成立故()f x y x=在区间[2，4]的最小值是5； （Ⅱ）1()5f x x a <+即2165x ax x a-+<+，(0)a >故22(1)0ax a x a -++<，故1()0a x x a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1()0x x a a ⎛⎫∴--< ⎪⎝⎭①1a a <即1a >时，1x a a << ②1a a =即1a =时，不等式无解 ③1a a >即01a <<时，1a x a<< 综上：1a >时，不等式的解集是1{|}x x a a<< 1a =时，不等式无解01a <<时，不等式的解集是1}|{x a x a<<．20．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1x ∈，3]时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2()1f x x x =-+；（Ⅱ）7(5，)+∞.【分析】（Ⅰ）由(0)1f =，可得c ，再由恒等式的性质可得a ，b 的方程，求得a ，b ，即可得到()f x 的解析式；（Ⅱ）由题意可得2(1)120x m x m -++-<在[1x ∈，3]恒成立，考虑二次函数的图象，可得g （1）0<，且g （3）0<，解不等式可得所求范围． 【详解】解：（Ⅰ）由(0)1f =，可得1c =，由22(1)()(1)(1)()22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=， 即为22a =，0a b +=，解得1a =，1b =-， 则2()1f x x x =-+；（Ⅱ）当[1x ∈，3]时，不等式()(2)f x m x <+恒成立， 即为21(2)x x m x -+<+恒成立，则2(1)120x m x m -++-<在[1x ∈，3]恒成立， 设2()(1)12g x x m x m =-++-，可得g （1）1(1)120m m =-++-<，且g （3）93(1)120m m =-++-<，即为13m >且75m >，则75m >，即m 的取值范围是7(5，)+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解析式的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查待定系数法和转化思想、运算能力和推理能力，一元二次不等式恒成立，可转化为求出对应二次函数的最值．由最值满足的关系求得参数范围． 21．已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求()f x 的解析式； （2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1xf x x=+；（Ⅱ）(2⎤-⎦． 【分析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b+=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mxf x x =+，又由()11f =得，则12m=，可得2m =，则22()1xf x x=+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t -<<[]1,1t ∈-，所以实数t的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =； （2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2ba +的最小值． 22．在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量1x 、2x ，若都有1212()()()22++≤x x f x f x f ，则称()f x 为D 上的凹函数；若都有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为D 上的凸函数．已知函数()()af x x a R x =-∈．（1）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （2）若对任意的(0,1)x ∈，都有()()11f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数．证明见解析；（2）1a ≥或14a -≤． 【分析】（1）函数1()f x x x=-在区间(0,)+∞上为凹函数．由函数的凹凸性的定义，运用作差法和因式分解，可得结论；（2）将原不等式化为222(1)[(1)](1)a a ax x x x x x -+-≥+--，可令(1)t x x =-，运用二次函数求得t 的范围，解关于t 的不等式，结合恒成立思想可得a 的范围． 【详解】解：（1）函数1()f x x x=-在区间(0,)+∞上为凹函数． 理由：设1x 、2(0,)x ∈+∞，121212121212()()2111()()2222x x f x f x x x f x x x x x x +++-=---+-+ 22221212121212121212121212121212124()14()()()1·()()2()22()2()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--++-+=++=++++22121212121212124()()02()2()x x x x x x x x x x x x x x -+-==-++，即有1212()()()22++≤x x f x f x f ，即()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数． （2）()()11f x f x ⋅-≥即为()(1)11a ax x x x--+≥-在(0,1)x ∈上恒成立， 由01x <<，可得011x <-<，上式化为22()[(1)](1)a x a x x x ---≥-， 即为2222[(1))][(1)](1)a a x x x x x x -+-+-≥-， 即有222(1)[(1)](1)a a ax x x x x x -+-≥+--，可令(1)t x x =-，2111(1)0,244t x x x ⎛⎫⎛⎤=-=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则上式化为22(21)()0t a t a a +-+-≥，可得()(1)0t a t a ++-≥，解得1t a ≥-，或t a ≤-在104t <≤上恒成立，故10a -≤或14a -≥， 解得1a ≥或14a -≤．【点睛】本题解题关键是紧扣新定义，利用作差法证明1212()()()22++≤x x f x f x f ，即判断()f x 是凹函数；恒成立问题的常见方法是分离参数法、构造函数法和数形结合法，本题采用分离参数法，巧妙换元(1)t x x =-，再进行因式分解，即转化成1t a ≥-，或t a ≤-在104t <≤上恒成立，即突破难点.。
(整理版)哈师大附中上学期期中考试高一数学试题
哈师大附中— 度上学期期中考试高一数学试题〔时间：120分钟，总分值150分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.〕1. )4,2(P 为角β的终边上的一点，那么βsin 的值为 〔 〕A ．55B ．2C ． 21D ． 5522. 以下函数中既是奇函数 ，又在定义域上是增函数的是 〔 〕 A ．31y x =+ B ．1y x =C ．11y x =- D ． 3y x =U =R，集合{|A x y ==，{}2|1B y y x ==-，那么集合()UC A B 等于〔 〕A ．(],0-∞ B ．()0,1C ．(]0,1D ．[)0,14. 函数)2(13)(≥+=x x x f 的反函数是 〔 〕A ．31-=x y B ．)2(13≥-=x x y C ．)7(31≥-=x x y D ．x y = 5. 当0x >时，函数2()(1)xf x a =-的值总大于1，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．12a << B ．1a < C ．a >．a <6. 与函数lg(1)10x y -=的图象相同的函数是 〔 〕A ．1y x =-B ．1y x =-C ．211x y x -=+ D．2y = 7. 函数 3log ,0(),02x x x f x x >⎧=⎨≤⎩， 那么1()9f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 〔 〕A.4B.14C.4-D.14-8. 假设4log 3,a = 3log 4,b =344log 3c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是〔 〕A ．b a c >>B ． b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>9. 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++〔b 为常数〕，那么(1)f -=〔 〕 A. 3-B. 3C.1-D. 110. 函数)1lg()(-=kx x f 在［10,+∞)上单调递增，那么k 的取值范围是 〔 〕A ．0>k B. 1010<<k C.101≥k D ．101>k11.函数2()2x f x x =-的零点的个数为〔 〕 A. 1B. 2C. 3D. 412. 为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点〔 〕A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13. 238log =x ，那么x 的值是___________．14.=+⋅+)3log 3(log )2log 2(log 8493___________．15. 扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，那么扇形的中心角α〔0>α〕的弧度数是________．()lg 1f x x =-〔1〕函数()f x 的定义域和值域均为R ；〔2〕函数()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增； 〔3〕函数()f x 的图象关于y 轴对称；〔4〕函数(1)f x +为偶函数；〔5〕假设()0f a >那么0a <或2a >.三、解答题〔本大题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分〕 17.〔本小题共10分〕 函数42)(542+=++-x x x f .〔1〕求函数)(x f 的定义域； 〔2〕求函数)(x f 的值域.18.〔本小题共12分〕函数)2(22log )(2>-+=x x x x f .〔1〕证明函数)(x f 在),2(+∞为减函数； 〔2〕解关于x 的不等式)5()(f x f <.19．〔本小题共12分〕集合}04)2()1(|{2≥+-+=x x x x A ，集合}0)12)((|{≤+--=a x a x x B〔1〕求集合A ；〔2〕假设A B A = ，求实数a 的取值范围.20. 〔本小题共12分〕函数2()f x x ax =+的最小值不小于1-, 且13()24f -≤-. 〔1〕求函数()f x 的解析式;〔2〕函数()f x在[],1m m+的最小值为实数m的函数()g m，求函数()g m的解析式.21. 〔本小题共12分〕函数xabxf⋅=)(〔其中ba,为常量且1,0≠>aa〕的图像经过点)32,3(),8,1(BA.〔1〕试求ba,的值；〔2〕假设不等式)1()1(≥-+mbaxx在]1,(-∞∈x时恒成立，求实数m的取值范围.22. 〔本小题共12分〕函数)()14(log)(4Rkkxxf x∈++=是偶函数.(1)求k的值；(2)设)342(log)(4aaxg x-⋅=，假设函数)(xf与)(xg的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．参考答案 选择题DDCCC DBAAD CC 填空题13.4 14。
2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷(附参考答案含参考答案)
2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜45．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f （x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点；15．已知函数，则f（log23）＝．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}【分析】根据补集的定义，写出∁U M．【解答】解：全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝{x|2≤x＜3}．故选：B．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅【分析】由2x＞3，得x＞log23，由（x﹣1）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜1即M＝（log23，+∞），N＝（﹣3，1），得M∩N＝∅．【解答】解：∵2x＞3∴x＞log23，即M＝（log23，+∞）又∵（x﹣1）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜1∴N＝（﹣3，1），又∵log23＞1，∴M∩N＝∅故选：D．【点评】本题考查了指数不等式与二次不等式的解法，属简单题．3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4【分析】根据f（x）的定义域为R，即可得出不等式kx2+kx+1≥0的解集为R，显然k＝0时满足题意，而当k≠0时，则满足，解出k的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴不等式kx2+kx+1≥0的解集为R；①k＝0时，1≥0恒成立，满足题意；②k≠0时，；解得0＜k≤4；综上得，0≤k≤4．故选：B．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集和判别式△取值的关系．5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】由已知得f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，结合简图易得结果．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）图象关于y轴对称，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，∴f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】用a＝1排除A、D，由底数大于0，排除B．【解答】解：a＝1时，2＜1成立，排除A、D又3﹣2a＞0得a＜，排除B，故选：C．【点评】本题考查了其它不等式的解法，属基础题．7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【分析】根据f（x）的定义域，可看出，要使得函数g（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1）；∴要使g（x）有意义，则；解得1＜x＜2；∴g（x）的定义域为（1，2）．故选：A．【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b【分析】直接利用对数的运算性质进行大小比较．【解答】解：∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log23＞1，d＝log45＞1．且．∴b＜a＜d＜c．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）【分析】先求得函数的定义域，本提即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：由函数f（x）＝log（x2﹣4x），可得x2﹣4x＞0，求得x＜0，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞4 }，本题即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x在定义域内的增区间为（4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）【分析】作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象，根据图象得出m的范围．【解答】解：作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象如图所示：∵程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，∴直线y＝m与y＝x2﹣4|x|+3的函数图象有4个交点，∴﹣1＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f （x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由奇偶性的定义可判断①；讨论x＞2，x＜2，求得f（x），以及导数，判断符号，即可判断②；由f（x）的单调性可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，设g（x）＝f（x+2）＝（|x|+1）4，g（﹣x）＝g（x），可得g（x）是偶函数，故①正确；x＞2时，f（x）＝（x﹣1）4的导数为f′（x）＝4（x﹣1）3＞0；x＜2时，f（x）＝（3﹣x）4递，导数为f′（x）＝4（x﹣3）3＜0，可得f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；由②可得f（x）在x＝2处取得最小值1，故③错误．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的求法，考查导数的运用和奇偶性定义的应用，考查运算能力，属于基础题．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．【分析】函数y＝有意义，可得0＜5x﹣3≤1，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y＝有意义，可得，即为0＜5x﹣3≤1，解得＜x≤，则定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，以及偶次根式被开方数非负，考查运算能力，属于基础题．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）；【分析】令幂指数等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1），令x2﹣2x+1＝0，求得x ＝1，y＝3，可得函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3），故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15．已知函数，则f（log23）＝．【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用进行求解．【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log23+2）＝f（log23+3）＝f（log224）＝＝．故答案为：．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝1．【分析】f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，从而a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，进而f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，f（lg3）＝3，∴f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，∴a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，∴f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝，（2）原式＝﹣+lg100+2＝﹣+2+2＝．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】先确定A、B，由B⊆A得，得﹣1≤a≤1．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）＝2，得c＝2，又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各（1分），解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1∈[﹣1，2]，故f min（x）＝f（1）＝1，又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，所以f max（x）＝f（﹣1）＝5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）g（x）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．【分析】（1）f（x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；（2）先求出a，再求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）是增函数．证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则．∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2＝0，即a＝1．（也可利用f（0）＝0求得a＝1）∴，∵2x+1＞1，∴，∴，∴．故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【分析】第一步得到解析式和x的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．【解答】解：（1）由题意可得g（x）＝，且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．【分析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），可得f（0）的值，令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），分析可得f（﹣1）的值；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，进而有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），结合单调性的定义分析可得结论；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4⇒f （x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）•f（b）；令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），又由f（1）＝2，则；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），则f（x2）﹣f（x1）＞0，即函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，则f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则 A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R P C Q ⊆ D ．R Q C P ⊆【答案】B【分析】24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆【详解】24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆.故B 正确.【解析】集合间的关系.2．幂函数()211m y m m x -+=--在(0,)+∞上为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2或1-B ．2-C ．1D ．2【答案】D【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得m 的值.【详解】由于函数是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，11y x x-==，在()0,∞+上递减，符合题意. 当1m =-时，2yx ，在()0,∞+上递增，不符合题意.综上所述，m 的值为2. 故选：D3．命题“存在实数0x 满足200220x x ++≥”的否定为（ ）A ．任意实数x 满足2220x x ++<B ．任意实数x 满足2220x x ++≥C ．任意实数x 满足2220x x ++≤D ．存在实数0x 满足200202x x +<+【答案】A【分析】特称命题的否定为：改量词，否结论，据此解答即可.【详解】因为命题“存在实数0x 满足200220x x ++≥”，所以改量词：“存在实数0x ”改为“任意实数x ”；否结论：200220x x ++≥否为2220x x ++<；故命题“存在实数0x 满足200220x x ++≥”的否定为“任意实数x 满足2220x x ++<”.故选：A.4．函数()212log 2y x x =--的增区间为（ ）A ．1(,)2-∞-B ．1(2,)2--C ．1(,)2-+∞D ．1(,1)2-【答案】D【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】由220x x -->得()()22210x x x x +-=+-<，解得2<<1x -，22y x x =--+的开口向下，对称轴为12x =-，函数12log y x=在()0,∞+上递减，根据复合函数单调性同增异减可知，()212log 2y x x =--的增区间为1(,1)2-.故选：D5．下列函数中图像关于y 轴对称的是（ ） A ．2x y -=- B ．|ln |y x =C ．lg |1|y x =+D ．e 1x y =-【答案】D【分析】画出函数图像即可【详解】对A 选项：如图所示，A 错误对B 选项：如图B 错误对C 选项： 如图C 错误对D 选项：如图D 正确故选：D.6．用二分法求方程383x x =-在()1,2内的近似解时，记()338x f x x =+-，若(1)0f <，(1.25)0f <，(1.5)0f >，(1.75)0f >，据此判断，方程的根应落在区间（ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,1.75) D ．(1.75,2)【答案】B【分析】由零点存在定理及单调性可得()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点，从而得到方程的根应落在(1.25,1.5)上.【详解】因为3x y =与38y x =-在R 上单调递增，所以()338x f x x =+-在R 上单调递增，因为(1.25)0f <，(1.5)0f >，所以()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点0x ，即003380xx +-=，故00383x x =-，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，且为0x x =，对于ACD ，易知选项中的区间与(1.25,1.5)没有交集，故0x 不在ACD 选项中的区间上，故ACD 错误； 对于B ，显然满足题意，故B 正确. 故选：B.7．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．2()e ex x xf x -=+B ．2e e ()x xf x x -+=C ．2()e ex x x f x -=-D ．2e e ()x xf x x --=【答案】B【分析】根据函数图象知()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞且为偶函数，确定各选项函数定义域，判断奇偶性，应用排除法确定答案.【详解】根据函数图象可知，()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞且为偶函数， 对于A ，0020(0)0e e f ==+，即()f x 在0x =处有定义，故A 错误；对于C ，因为()2e ex x x f x -=-，所以()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，又()()()22e e e e x x x x x xf x f x ----==-=---，故2()e e x x x f x -=-是奇函数，故C 错误； 对于D ，因为2e e ()x xf x x--=，所以()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 又22e e e e ()()()x x x x f x f x x x -----==-=--，故2e e ()x xf x x --=是奇函数，故D 错误. 对于B ，因为2e e ()x xf x x -+=，所以()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞，又22e e e e ()()()x x x x f x f x x x --+-==-+=，故3e e ()x xf x x -+=是偶函数， 由于选项ACD 已然排除，而选项B 中的解析式又满足图像的性质，故B 正确. 故选：B8．当21a b a >>>时，log a b ，log b a ，log a ab ，log b b a 的大小关系是（ ） A ．log log log log a b b a a ba b b a <<< B ．log log log log ba b a b aa b a b<<< C ．log log log log ab b a a ba b b a<<< D ．log log log log a ab b a bb a b a<<< 【答案】C【分析】根据对数函数的性质判断出大小关系. 【详解】依题意21a b a >>>，所以01a bb b a<<<<， 20,b a b ba a a a a --=>>，所以01ab a b b a <<<<<，log log 1,log log 1a a b b b a a b >=<=，log log 10aa ab <=，0log 1log log log 1b b b b ba b a=<<<=， 所以log log log log a b b a a ba b b a<<<. 故选：C二、多选题 9．若函数3()f x x x=+，则（ ）A ．()f x 在区间(,3)-∞-上递增B ．()f x 在区间上递减C ．()f x 在x =-D ．()f x 在x =【答案】AB【分析】由对勾函数的性质对选项逐一判断，【详解】由3x x=得x =()f x 在(和上单调递减，在(,-∞和+)∞上单调递增，故A ，B 正确，当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，故C ，D 错误， 故选：AB10．已知0a >，0b >，22a b +=，则（ ）A ．abB ．ab 最大值为12C ．112a b +最小值为2D ．224a b +最小值为2【答案】BCD【分析】利用基本不等式的相关知识计算判断即可.【详解】对于A ，因为0a >，0b >，22a b +=，所以22212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，则12≤ab ， 当且仅当2a b =且22a b +=，即21a b ==时，等号成立， 所以ab 最大值为12，故A 错误； 对于B ，由选项A 的分析易知，B 正确；对于C ，因为()111111212222222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22b aa b=且22a b +=，即21a b ==时，等号成立， 所以112a b+最小值为2，故C 正确；对于D ，因为()()2222244b a a b ≥+=+，则2242a b +≥，当且仅当2a b =且22a b +=，即21a b ==时，等号成立， 所以224a b +最小值为2，故D 正确. 故选：BCD.11．若不等式22log 0a x x -<在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，则a 的值可以是（ ）A ．164 B ．132C ．116D ．1【答案】BC【分析】先由220log a x x >≥与2log a y x =的性质得到102a <<，再由函数单调性的加减性质得到()f x 的单调性，从而求得132a ≥，由此得到a 的取值范围，从而得解. 【详解】因为22log 0a x x -<在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，而20x ≥，所以220log a x x >≥在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，故021a <<，即102a <<，则2log a y x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，令()22log a f x x x =-，又因为2y x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()12f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则102f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2211log 022a ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得132a ≥，所以11322a ≤<， 由此易得AD 错误，BC 正确. 故选：BC.12．设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈，则下列命题正确的是（ ）A ．当0k =时，{}0,5,7M =B ．当1k >时M =∅C ．若{},,M a b c =，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则2214a b c d +++= 【答案】ABD【分析】A 解一元二次方程直接求解集即可；B 由题设易知集合中方程无解即可判断；C 、D 画出()f x 的图象，令()()22y f x f x k =++根据二次函数的性质及所得()f x 的图象判断正误即可.【详解】A ：0k =时，{|()0M x f x ==或()2}f x =-，结合()f x 解析式：()0f x =时有0x =或5x =，()2f x =-时有7x =，所以{0,5,7}M =，正确；B ：1k >时，方程()()220f x f x k ++=无解，则M =∅，正确；由()f x 解析式可得其函数图象如下图示：令()()22y f x f x k =++，开口向上且对称轴为()1f x =-，若{},,M a b c =，则440k ∆=->，即1k <，有以下情况： 1、()f x m =(13)m ≤<，()f x n =(0)n <：此时，令2()2g x x x k =++，则()g x 在[1,3)x ∈上有一个零点，∴(1)(3)(15)(3)0(3)01g g k k g k =++≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩，可得153k -<≤-， 2、()0f x =，()2f x =-，由A 知：0k =. 综上：(15,3]{0}k ∈--⋃，故C 错误；若{},,,M a b c d =，由函数y 的性质及()f x 图象知：必有()f x m =(01)m <<，()f x n =(23)n -<<-.此时，()2121a b-=--，()()()552f c f d c d +=-++-+=-，所以222a b +=，12c d +=，所以2214a b c d +++=，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：C 、D 选项中，画出()f x 大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合M 对应的()f x 的可能取值，再结合图象判断正误.三、填空题13．若函数()2x f 的定义域为[]0,2，则函数()14xf -的定义域为____________.【答案】[]0,1【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.【详解】对于()2xf ，因为02x ≤≤，所以由2x y =的单调性得02222x ≤≤，即124x ≤≤，所以对于()14xf -，有1144x -≤≤，即011444x -≤≤，由4x y =的单调性得011x ≤-≤，解得01x ≤≤，所以()14xf -的定义域为[]0,1.故答案为：[]0,1.14．()f x 为R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21f x x =-，则(5.5)=f ______________. 【答案】0【分析】根据条件可得()()()1.50.50.5f f f =--=，然后可得答案.【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21f x x =-， 所以()()()()(5.5) 3.5 1.50.50.520.510f f f f f =-==--==⨯-=， 故答案为：015．设函数()31,1,()log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是______________.【答案】11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数， 所以()31001311log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⋅+≥⎩，解得1143x ≤<,所以a 的取值范围为11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．函数y =A ，关于x 的不等式222ax a x +<的解集为B ，若A B A =，则a 的取值范围是_______. 【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据函数定义域，指数函数单调性，不等式解法，求得{}|12A x x =<≤，{}|(21)B x a x a =-<，然后对a 分类讨论，由A B A =解决即可. 【详解】由题知，y = 所以201xx -≥-，解得12x <≤，即{}|12A x x =<≤，因为2x y =是R 上的增函数， 所以由222ax a x +<得2ax a x <+， 所以{}|(21)B x a x a =-< 当210a ->，即12a >时，21a x a <-， 又因为A B A =，即A B ⊆， 所以221a a >-，解得1223a <<； 当210a -=，即12a =时，x R ∈，满足A B A =； 当210a -<，即12a <时，21a x a >-，又因为A B A =，即A B ⊆，所以121aa ≤-，解得12a <或1a ≥， 所以12a <‘ 综上可得，a 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题 17．计算：(1)3log 2lg1.253lg23lg 2lg2lg5lg5++++⋅+；(2)11124211310.7562)4300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)6 (2)18-【分析】利用对数与指数幂运算法则及对数的换底公式求解即可. 【详解】（1）原式3log 43lg 2(lg 2lg 5)lg 5lg1.25lg8=+++++lg(1.258)4lg 2lg10lg5⨯+++= lg104lg 2lg5+++=1416=++=； （2）原式11112423271030044-⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1241023⎫=⨯-+⎝⎭43201832=⨯-=-. 18．已知()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，函数解析式1()()42x xaf x a R =-∈． （1）写出()f x 在0,1上的解析式； （2）求()f x 在0,1上的最大值． 【答案】（1）()24x x f x =-；（2）0.【解析】（1）根据函数为奇函数即可求出解析式； （2）令2(0)x t t =>，转换为二次函数求最值即可. 【详解】（1）∵()f x 为奇函数，且()f x 在0x =处有意义，∴(0)0f =， 即001(0)1042a f a =-=-=． ∴1a =．设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-， ∴11()4242x x x x f x ---=-=-； 又∵()()f x f x -=-，∴()42x x f x -=-；所以()24x x f x =-．（2）当[]0,1x ∈时，2()242(2)x x x x f x =-=-∴设2(0)x t t =>，则2()f t t t =-∵[]0,1x ∈∴[]1,2t ∈，当1t =时，取最大值，所以最大值为110-=19．对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >，那么()log log n a a M n M n =∈R ；(2)因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断220219的位数；（注：lg 219 2.34≈）(3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为3613=M ，二阶魔方复杂度上限约为85603N =⨯，甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是16010，乙认为是16510．现有一种定义：若实数x ，y 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，试判断哪个同学的近似值更接近M N ，并说明理由．（注：lg 20.30≈，lg30.48≈，lg 70.85≈）【答案】(1)答案见解析；(2)515；(3)乙同学的近似值更接近M N，理由见解析.【分析】（1）由对数的概念与指数的运算性质证明，（2）由对数的运算性质求解，（3）由对数的运算性质求解M N的近似值后判断， 【详解】（1）法一：设log a M m =，m a M ∴=，()n m n mn M a a ∴==，log log ,n a a M mn n M ∴==法二：()m n mn a a =，设m a M =，则log log log log n mn n n a a a a M a mn M m M n M M =∴==∴=，log log n a a M n M ∴=.（2）220lg 219220lg 219220 2.34514.8=≈⨯=，220514.8514220515219101021910∴≈∴<<，220219∴的位数为515.（3）36135336188333,5603,5603560M M N N ==⨯==⨯ ， 353lglg3lg560353lg3lg 73lg 213530.480.850.91166.69M N =-=---≈⨯---=， 166.6910,M N∴≈ 165166.69160166.6910101010-<-，∴乙同学的近似值更接近M N. 20．已知函数()()221x x a f x a -=∈+R 是奇函数. (1)求a 的值，并判断()f x 的单调性（不必说明理由）；(2)若存在(1,2)x ∈，使不等式()(21)0x f x b -+>成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)1a =，()f x 为增函数 (2)18b <【分析】（1）由(0)0f =求得a ，再检验即可；由1a =得到212()12121x x x f x -==-++，再利用指数函数的单调性判断；（2）将()(21)0x f x b -+>转化为21221(21)x x b <-++成立，再令121x t =+求解. 【详解】（1）0021(0)0212a a f --===+ ，1a ∴=， 检验：21()21x x f x ，定义域为R ， 2112()()2112x x x x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，故1a =.∴212()12121x x x f x -==-++， ∴()f x 为增函数.（2）()(21)0x f x b -+> ，2222121212(21)(21)21(21)x x x x x x b -+-∴<==-++++， 设121xt =+， 因为()1,2x ∈，即存在11,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使b 22112248t t t ⎛⎫<-=--+ ⎪⎝⎭成立， 当14t =时，2max 1(2)8t t -=， 18b ∴<. 21．定义在R 上的函数()y f x =，当0x >时()1f x >，且对任意的,R a b ∈，有()()()f a b f a f b +=．(1)证明：(0)1f =；(2)证明：对任意的x ∈R 恒有()0f x >；(3)证明：()f x 是增函数；(4)若2()(2)1f x f x x ->，求x 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(4)(0,3)【分析】（1）利用赋值法求得正确答案. （2）通过证明0x <时，()()()10,1f x f x =∈-，进而证得结论成立.（3）由12x x >，证得()()12f x f x >，从而证得结论成立.（4）根据已知条件化简不等式2()(2)1f x f x x ->，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】（1）令1,0a b ==，(1)(0)(1)f f f =，(1)1f >，(0)1f ∴=.（2）令,==-a x b x ，(0)()()1f f x f x =-=，由已知，当0x >时，()1f x >， 0x ∀<，0x ->，()1f x ∴->，1()()f x f x =-，0()1f x ∴<<， (0)1f =， R x ∴∀∈，()0f x >.（3）12,R x x ∀∈，且12x x >，112212212222()()()()()1()()()f x f x x x f x x f x f x x f x f x f x -+-===-> 2()0f x >，12()()f x f x ∴>，∴()f x 是增函数.（4）22()(2)(3)f x f x x f x x -=-， (0)1f =，∴2(3)(0)f x x f ->，∴230x x ->，即()30x x ->，解得03x <<.∴x 的取值范围是(0,3).22．函数()|2|||2(0)f x ax a x x a a =-+-->，方程()0f x =有三个互不相等的实数根，从小到大依次为123,,x x x .(1)当2a =时，求123x x x +的值； (2)求符合题意的a 的取值范围；(3)若对于任意符合题意的a ，2310x x x λ-<恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)0(2)()1,3(3)(),1-∞【分析】（1）代入2a =，令()0f x =，求得123x x x ===（2）结合（1）中结论，分类讨论2a =、2a >与02a <<三种情况，结合图像即可得到a 的取值范围；（3）分类讨论2a =、23a <<与12a <<三种情况，结合图像分析得到3x λ<-与3x -的范围，从而得到λ的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()226,224222,2x x f x x x x x x ⎧-≥=-+--=⎨-<⎩， 令()0f x =，1232,2,6x x x =-==， 所以1230x x x +=. （2）因为0a >，所以()22f x a x x x a =-+--①当2a =时，由（1）知，()0f x =有三个相异实根；.②当2a >时，()22222,222,222,2x a x a f x x ax a x a x a x ⎧--≥⎪=-+--<<⎨⎪-+-≤⎩，.所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，则(0)220,(2)260f a f a =->=-<，所以13a <<，则23a <<；③当02a <<时，()22222,2222,222,x a x f x x ax a a x x a x a ⎧--≥⎪=-+-<<⎨⎪-+-≤⎩，.所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，2(0)220,()220f a f a a a =->=-+-<，所以1a >，则12a <<；由①②③知：符合题意的a 的取值范围是()1,3.（3）由（1）与（2）①知，当2a =时，23126(2)0x x x λλ-=⨯--<，所以6λ<-； 由（2）②知，当23a <<时，因为()2260f a =-<，所以12,x x 是方程2220x a -+-=的两根，210x x =->，因为2312320x x x x x x λλ-=+<，所以3x λ<-，(i)当()0f a ≥，即313a +≤<时，3x 为方程22220x ax a -+--=较小根，所以2322x a a a =---，因为23231(1)3111(1)3x a a a a =----+=+-+--在[31,3)+单调递减，所以3(2,31]x ∈+，则)331,2x ⎡-∈---⎣，所以31λ<--；(ii)当()0f a <，即231a <<+时，3x 为方程2220x a --=较大根，∴322(6,31)x a =+∈+，3(31,6)x -∈---，31λ∴≤--； 由（2）③知，当12a <<时，(2)220()f f a a =<-<，.因为12,x x 是方程2220x a -+-=的两根，210x x =->，所以2312320x x x x x x λλ-=+<，所以3x λ<-，又因为3x 为方程2220x a --=较大根，3x ，则3(2)x -∈-，所以λ≤综上：实数λ的取值范围是(),1-∞.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
又 f (x) g(x) 3x ， ①
f (x) g(x) 3x ，
f (x) g(x) 3x ， ②
由①②得 f (x) 3x 3x ； 2
故选： D ．
9．若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，在 ( ， 0] 上是减函数，且 f （2） 0 ，则
a ， b ， c 的大小关系为 a c b ．
故选： D ．
) D． a c b
6．函数 f (x) lg(x2 x 2) 的单调递增区间是 ( )
A． (1, )
B． ( 1 , ) 2
C． (, 1) 2
D． (, 2)
【解答】解：函数 f (x) lg(x2 x 2) ， x2 x 2 0 ，求得 x 2 ，或 x 1 ，
故函数的定义域为{x | x 2 ，或 x 1 }．
函数 f (x) 的增区间，即 y 0 时， y x2 x 2 的增区间，
利用二次函数的性质可得， y 0 时， y x2 x 2 的增区间为 (1, ) ，
故选： A ．
7．已知
g(x)
1
2x
，
f
B．若 2M 2N ，则 M N
C．若 loga M 2 loga N 2 ，则 M N
1
1
D．若 M N ，则 M 2 N 2
【解答】解： a 0 ， a 1．
A ．若 M N 0 ，则 loga M loga N 不成立；
B ．若 2M 2N ，则 M N ，正确；
-3-
22．已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{|0}M x x =…，{|24}x N x =<，则(M N = )A ．[0，2]B ．(0,2)C ．[0，2)D ．(0，2]2．对于0a >，1a ≠，下列说法中，正确的是( ) A ．若M N =，则log log a a M N =B ．若22M N =，则M N =C ．若22log log a a M N =，则M N =D ．若M N =，则1122MN--=3．下列函数中，在区间(2,)+∞上为增函数的是( ) A ．3x y =-B ．12log y x =C ．2(2)y x =--D ．12y x=- 4．若函数()log (1)(0a f x x a =->，1)a ≠的图象恒过定点，则定点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(1,1)D ．(2,1)5．已知13241(),log 3,log 72a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<6．函数2()(2)f x lg x x =+-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞-D ．(,2)-∞-7．已知()12g x x =-，221[()](0)x f g x x x -=≠，则1()2f 等于( )A ．15B ．1C ．3D ．308．已知函数()f x 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，则()f x 的解析式为( ) A ．()33xxf x -=- B ．33()2x xf x --=C ．()33xx f x -=-D ．33()2x xf x --=9．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f （2）0=，则()()0f x f x x+-<的解集为( )A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)10．函数1()()f x ln x x=-的图象是( )A ．B ．C ．D ．11．函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．02k <<B ．04k 剟C ．04k <<D ．04k <…12．已知21,0()||,0x x f x lnx x +⎧=⎨>⎩… 则方程[()]3f f x =的根的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若不等式2123x x+<-的解集为A ，则R A =ð ． 14．若4log 3a =，则22a a -+= ．15．幂函数253(1)m y m m x -=-+在(0,)x ∈+∞时为减函数，则m 的值为 ． 16．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x …成立，则实数a 的值为 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}A B =-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求满足()()A B M A B ⊆⊆的集合M 的个数．18．计算：（Ⅰ）43425log ln lg lg e ++；（Ⅱ）410.2503216)4()8201949--⨯-．19．已知函数11()()()142x x f x =-+．（Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[2x ∈-，3]时函数()f x 的值域．20．已知1a >，函数131()log (1)log ()222a a f x x x =++-．（1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在[1-，5]2上的最小值为2-，求a 的值．21．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时，()0f x <．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明()f x R 上为减函数；（Ⅲ）若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．22．已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b +-+=+，（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足1()[()2](33)(0)3x x f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x -…恒成立，求实数m 的最大值．2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{|0}M x x =…，{|24}x N x =<，则(M N = )A ．[0，2]B ．(0,2)C ．[0，2)D ．(0，2]【解答】解：{|0}M x x =…，{|2}N x x =<， [0MN ∴=，2)．故选：C ．2．对于0a >，1a ≠，下列说法中，正确的是( ) A ．若M N =，则log log a a M N =B ．若22M N =，则M N =C ．若22log log a a M N =，则M N =D ．若M N =，则1122MN--=【解答】解：0a >，1a ≠．A ．若0M N =<，则log log a a M N =不成立；B ．若22M N =，则M N =，正确；C ．若22log log a a M N =，则||||M N =，因此不正确；D ．若0M N =<，则12M-，12N-没有意义．故选：B ．3．下列函数中，在区间(2,)+∞上为增函数的是( ) A ．3x y =-B ．12log y x =C ．2(2)y x =--D ．12y x=- 【解答】解：3x y =-，12y log x =和2(2)y x =--在(2,)+∞上都为减函数，12y x=-在(2,)+∞上为增函数． 故选：D ．4．若函数()log (1)(0a f x x a =->，1)a ≠的图象恒过定点，则定点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(1,1)D ．(2,1)【解答】解：log 10a =， ∴当11x -=，即2x =时，0y =，则函数log (1)a y x =-的图象恒过定点(2,0)． 故选：B ．5．已知13241(),log 3,log 72a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【解答】解：13241(),log 3,log 72a b c ===，103110()()122a ∴<=<=，2444log 3log 9log 7log 41b c ==>=>=，a ∴，b ，c 的大小关系为a c b <<．故选：D ．6．函数2()(2)f x lg x x =+-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞-D ．(,2)-∞-【解答】解：函数2()(2)f x lg x x =+-，220x x ∴+->，求得2x <-，或1x >， 故函数的定义域为{|2x x <-，或1x >}．函数()f x 的增区间，即0y >时，22y x x =+-的增区间，利用二次函数的性质可得，0y >时，22y x x =+-的增区间为(1,)+∞， 故选：A ．7．已知()12g x x =-，221[()](0)x f g x x x -=≠，则1()2f 等于( )A ．15B ．1C ．3D ．30【解答】解：令1()2g x =，得1122x -=，解得14x =． 221511()11164()[()]151124()416f f g -∴====． 故选：A ．8．已知函数()f x 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，则()f x 的解析式为( ) A ．()33xxf x -=- B ．33()2x xf x --=C ．()33xx f x -=-D ．33()2x xf x --=【解答】解：函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数， ()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=又()()3x f x g x +=，⋯①()()3x f x g x -∴-+-=， ()()3x f x g x -∴-+=，⋯②由①②得33()2x xf x --=；故选：D ．9．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f （2）0=，则()()0f x f x x+-<的解集为( )A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在(-∞，0]上是减函数， 则()f x 在[0，)+∞上为增函数，又由f （2）0=，则在区间(0,2)上，()0f x <，在(2,)+∞上，()0f x >，又由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则在区间(2,0)-上，()0f x <，在(,2)-∞-上，()0f x >， ()()0f x f x x +-<⇒()0()00f x f x x x <⎧<⇒⎨>⎩或()00f x x >⎧⎨<⎩， 则有2x <-或02x <<，即x 的取值范围为(,2)-∞-或(0,2)； 故选：D ．10．函数1()()f x ln x x=-的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为10x x->，解得1x >或10x -<<， 所以函数1()()f x ln x x=-的定义域为：(1-，0)(1⋃，)+∞．所以选项A 、D 不正确． 当(1,0)x ∈-时，1()g x x x=-是增函数， 因为y lnx =是增函数，所以函数1()()f x ln x x=+是增函数．故选：B ． 11．函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．02k <<B ．04k 剟C ．04k <<D ．04k <…【解答】解：函数y =的定义域为R ，∴对于任意x R ∈，都有210kx kx ++>成立，当0k =时，对于任意x R ∈，都有210kx kx ++>成立； 当0k ≠时，需要2040k k k >⎧⎨-<⎩，解得：04k <<．综上，04k <…． ∴使函数y =R 的实数k 的取值范围是04k <…．故选：D ．12．已知21,0()||,0x x f x lnx x +⎧=⎨>⎩… 则方程[()]3f f x =的根的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：由题意得， 2()13f x +=或|()|3lnf x =，即()1f x =（舍去）或3()f x e =或3()f x e -=； 若3()f x e =，则321x e +=或3||lnx e =，故312e x -=（舍去）或3e x e =或3e x e -=；若3()f x e -=，则321x e -+=或3||lnx e -=，故312e x --=或3e x e -=或3e x e --=；故方程[()]3f f x =共有5个解， 故选：B ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若不等式2123x x +<-的解集为A ，则R A =ð 5[,3]4． 【解答】解：因为2123x x+<-， 所以216203x x x +-+<-，所以450(45)(3)03x x x x ->⇔-->-，所以54x <或3x >，所以5{|4A x x =<或3}x >， 所以5{|3}4R A x x =剟ð．故答案为：5[,3]4．14．若4log 3a =，则22a a -+ 【解答】解：4log 3a =，可知43a =，即2a =所以22a a -+==15．幂函数253(1)m y m m x -=-+在(0,)x ∈+∞时为减函数，则m 的值为 0 ． 【解答】解：因为函数253(1)m y m m x -=-+既是幂函数又是(0,)+∞的减函数， 所以211530m m m ⎧-+=⎨-<⎩，解得：0m =． 故答案为：0．16．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x …成立，则实数a 的值为 3．【解答】解：2()23f x x x a =-+在1[0x ∈，3]上先减后增故当1x =时，函数有最小值f （1）31a =-，当3a =时，函数有最大值f （3）33a =+ 故1()[31f x a ∈-，33]a +， 2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，故()[1g x ∈，2]， 对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x …成立， 12|()|()max max f x g x ∴…，∴|(0)||3|2|(1)||31|2|(3)||33|2f a f a f a =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩………， 解可得，13a =-故答案为：13-三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}A B =-．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求满足()()AB M A B ⊆⊆的集合M 的个数．【解答】解：（Ⅰ）{3}AB =-，3B ∴-∈，33a ∴-=-或213a -=-，若33a -=-，则0a =，{3AB ∴=-，1}，不符合题意； 若213a -=-，则1a =-，{3}AB ∴=-，满足题意；1a ∴=-； （Ⅱ）{3}A B =-，{4A B =-，3-，0，1，2}，且()()A B M A B ⊆⊆， ∴集合M 的个数为4216=个．18．计算：（Ⅰ）43425log ln lg lg e ++；（Ⅱ）410.2503216)4()8201949--⨯-． 【解答】解：（Ⅰ）原式331001422lg =+--=-． （Ⅱ）原式314132234472422184⨯⨯=-⨯-⨯-=-． 19．已知函数11()()()142x x f x =-+． （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值；（Ⅱ）求[2x ∈-，3]时函数()f x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）11()()()1342x x f x =-+=， ∴11()()2042x x --=， ∴11[()2][()1]022x x -+=， ∴1()22x =，解得1x =-； （Ⅱ）令1()2x t =，则22131()24y t t t =-+=-+， [2x ∈-，3]，∴1[,4]8t ∈， ∴当12t =时，34min y =；当4t =时，13max y =， ()f x ∴的值域为3[,13]4． 20．已知1a >，函数131()log (1)log ()222a a f x x x =++-． （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在[1-，5]2上的最小值为2-，求a 的值．【解答】解：（1）131()log (1)log ()222a a f x x x =++-， 必有110231022x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解可得23x -<<， 即函数的定义域为(2,3)-；（2）21313()log (1)log ()log ()222442a a a x x f x x x =++-=-++， 设23()442x x g x =-++，[1x ∈-，5]2，其对称轴为12x =， 则()g x 的最小值为59()216g =， 又由1a >，则当()g x 取得最小值时，()f x 也取得最小值 ，此时59()log [()]log ()2216min a a f x g ===-， 解可得：43a =； 故43a =． 21．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时，()0f x <．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明()f x R 上为减函数；（Ⅲ）若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令0x y ==，则(0)(0)(0)(0)0f f f f =+∴=， 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-且(0)0f =，()()0f x f x ∴+-=，且定义域为R ，()f x ∴为奇函数．（Ⅱ）证明：任取1x ，2x R ∈，且12x x >，1212()()()f x f x f x x -=-， 12x x >，120x x ∴->，12()0f x x ∴-<，12()()0f x f x ∴-<，12()()f x f x ∴<，()f x R ∴上为减函数．（Ⅲ）(1)(13)0f a f a -+-<，(1)(13)(31)f a f a f a ∴-<--=-，()f x R 上为减函数，131a a ∴->-，得42a <， ∴12a <， ∴实数a 的取值范围为1(,)2-∞． 22．已知定义在R 上的奇函数13()3x x a f x b+-+=+， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足1()[()2](33)(0)3x x f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x -…恒成立，求实数m 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩， ∴113319a a a b b =⎧⎪⎪⎨--⎪=-⎪++⎩， ∴13a b =⎧⎨=⎩， 当1a =，3b =时，13()3(31)xx f x -=+． 此时1331()()3(31)3(13)x x x x f x f x -----===-++， ()f x ∴是奇函数成立．1a ∴=，3b =．（Ⅱ）任取1x ，2x R ∈，且12x x <，∴12211211121131312(33)()()()0333131(31)(31)x x x x x x x x f x f x ----=-=>++++， ，12()()0f x f x ∴->，12()()f x f x ∴>，()f x R ∴上为减函数．若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，则2222t t t k ->-有解．22k t t ∴>+，当1t =-时，2(2)1min t t +=-，1k ∴>-． （Ⅲ）1()[()2](33)(0)3x x f x g x x -+=-≠， ∴213113[()2]3(31)33x xx xg x --+=+， ∴2(13)()23323x x x x g x -++==++， ()33(0)x x g x x -∴=+≠，且(0)2g =也适合，()33x x g x -∴=+，x R ∈．任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x -…恒成立2233(33)11x x x x m --∴++-… 令3x t =，x R ∈，0t ∴>，令∴133x x u t t-=+=+， 任取1t ，2t R ∈，且12t t <，∴211212121212121212111()()()()t t t t u t u t t t t t t t t t t t t t ---=+--=-+=-， 当1t ，2(1,)t ∈+∞时，12()()u t u t <，()u t ∴上为增函数．当1t ，2(0,1)t ∈时，12()()u t u t >，()u t ∴上为减函数．1t ∴=时()2min u t =即2u …， 2233(33)11x x x x m --++-…，221121()11()2()11t t m t t t t m t t ----∴++-∴+-+-厖，2211u m u ∴--…，且2u …． ∴9u m u+…， 同理∴9y u u=+在(3,)+∞上是增函数，在(2,3)上是减函数． 3u ∴=时9()6min u u+=， 6m ∴…，m ∴的最大值为6．。
黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A. []0,2 B. ()0,2 C. [)02， D. (]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可.【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选：C.【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题. 2.对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） A. 若M N =，则log log a a M N =B. 若22M N =，则M N =C. 若22log log a a M N =，则M N =D. 若M N =，则1122M N --=【答案】B 【解析】 【分析】对数函数真数大于0，所以A 不成立；平方相等，M 、N 不一定相等，所以C 不成立；当M N =0≤时，12x -没有意义，所以D 不对；指数函数单调且定义域为R ，则B 成立，从而得出结果. 【详解】解：A ：当0M N =≤时，对数无意义，故A 不正确；B ：因为指数函数单调且定义域为R ，所以若22M N =，则M N =成立，故B 正确；C ：比如当 ()22222=-2M N =，,时，有22log log a a M N =，但M N ¹；故C 不正确；D ：当M N =0≤时，12x -没有意义，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题.3.下列函数中，在区间()2,+∞上为增函数的是 （ ） A. 3x y =-B.12log y x =C. ()22y x =--D.12y x=- 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质可排除A 、B ，根据二次函数的性质可排除C ，从而得出结果. 【详解】解：A ：3xy =-在R 上单调递减，故A 不正确； B ：12log y x =定义域为()0,∞+且单调递减，故B 不正确；C ：()22y x =--对称轴为2x =，且开口向下，在()2,+∞上单调递减，故C 不正确；D ：12y x=-在()2,+∞上单调递增，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的判断，解题的关键是牢记基本初等函数的单调性，属于基础题.4.若函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠ 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ） A. ()1,0 B. ()2,0C. ()1,1D. ()2,1【答案】B 【解析】 【分析】因为对数函数恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，故而得到答案.【详解】解：因为函数log ay x =的图像恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠的图像恒过定点()2,0. 故选：B.【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质，以及函数图像间的平移变换，属于基础题. 5.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小.【详解】解：1312a ⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.6.函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是（ ） A. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. (,2)-∞-D. (1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先考虑对数的真数取值大于0；其次将函数22lg xx y +-=拆成外层函数lg uy =和内层函数22u x x =+-，根据求复合函数单调性的法则：同増异减，判断出单调增区间；最后即可求得()2lg 2y x x =+-的单调增区间.【详解】由220x x +->可得2x <-或1x >∵22u x x =+-在(1,)+∞单调递增，而lg y u =是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是(1,)+∞， 故选D.【点睛】复合函数单调性的判断方法：同増异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.7.已知函数g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝221x x-(x≠0)，则f(12)等于( ) A. 1 B. 3C. 15D. 30【答案】C 【解析】令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f(12)＝1116116-＝15，故选C.8.已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则（ ） A. ()33xxf x -=-B. 33()2x xf x --=C. ()33x xf x -=-D.33()2x xf x --=【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，可得()()3x f x g x --+-=，即()()3x f x g x --+=，与()()3xf xg x +=联立求解即可解出()f x .【详解】解：因为函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上奇函数、偶函数，所以()()()()3xf xg x f x g x --+-=-+=，即：()()3()()3x xf xg x f x g x -⎧-+=⎨+=⎩，解得：()33()2332x x x xf xg x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 9.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且(2)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ）A. ()2,2-B. ()(),22,-∞-+∞UC. ()()2,02,-+∞UD. ()(),20,2-∞-U【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数可得()f x 在()0,∞+上是增函数，因为(2)0f =，所以(2)0f -=，结合函数的单调性可知()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞U ，()()0f x f x x +-<等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩，结合分析可得出结果. 【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数，则()f x 在()0,∞+上是增函数，且(2)0f =，所以有(2)0f -=，所以()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞U .()()0f x f x x +-<等价于2()0f x x <，等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩ 所以不等式的解集为：()(),20,2-∞-U . 故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性分析出函数的符号，属于中档题. 10.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x+1x）是增函数．故选：B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 11.函数21y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 02k <<B. 04k ≤≤C. 04k ≤<D.04k <<【答案】D 【解析】【分析】 函数y =的定义域为R ，等价于210kx kx ++>恒成立.该函数为二次型的函数，考虑0k =和0k ≠两种情况，∆<0，分情况求解即可求出结果. 【详解】解：因为函数y =的定义域为R ，所以210kx kx ++>恒成立.令()21g x kx kx =++，当0k =时，()10g x =>恒成立，符合题意. 当0k ≠时，00k >⎧⎨∆<⎩，即2040k k k >⎧⎨-<⎩解得：04k <<.故选：D.【点睛】本题考查函数定义域为R 的问题，考查分类讨论的思想和二次函数的性质，属于基础题.12.已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =等价于()213f x +=，()3f x e =或()3f x e -=.再根据21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩分析函数的单调性和值域，分析每一段上的解的个数，进而得出结果.【详解】解：因为函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩, 当()0f x ≤时，[]()()213f f x f x =+=，即()1f x =不符合()0f x ≤，舍去； 当()0f x >时，方程[]()3f f x =等价于()|ln |3f x =，解得：()3f x e =或()3f x e -=，0x ≤Q ，211x ∴+≤，又()ln f x x =在()0,1上单调递减，且()[)0,f x ∈+∞；在()1,+∞上单调递增，且()[)0,f x ∈+∞.若()3f x e =1>，则321x e +=无解，3ln x e =有两个解；若()3f x e -=，则321x e -+=有一解，3ln x e -=有两解，所以共有5解.故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查学生的分析与计算求解能力，解题的关键是对函数分段讨论求解，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若不等式2123x x+<-的解集为,A 则 A =R ð ___________． 【答案】5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对不等式移项、通分、化简、得到4503x x-<-，求解不等式然后对解集求补集即可得到答案. 【详解】解：2123x x +<-等价于2121624520333x x x x x x x++-+--==<---， 即()()4530x x -->，解得：3x >或54x <，则A =R ð5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分式不等式求解集，以及补集的运算，解题的关键是对不等式进行正确的变形，属于基础题.14.若4log 3a =，则22a a -+= ．【解析】【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=222a-+==考点：对数的计算15.幂函数()2531m y m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可知211m m -+=，又函数在()0+∞，上为减函数，可知530m -<，对m 求解即可.【详解】解：因为函数()2531m y m m x-=-+为幂函数，所以211m m -+=，解得：0m =或1m =.又53m y x-=在()0+∞，上为减函数，所以530m -<，即35m <，所以0m =. 故答案为：0.【点睛】本题考查根据幂函数的定义和单调性求参数，解题的关键是熟记幂函数的定义和单调性，属于基础题.16.已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____． 【答案】13- 【解析】 【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()max max f x g x ≤ 当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a ==+ 当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a =-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-，()333f a =+ 当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =- 132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+332a ∴+≤，解得：13a ≤- 13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍）综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知集合{}{}{}22,1,3,3,21,1,3A a a B a a a A B =+-=--+=-I .（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求满足()()A B M A B ⊆⊆I U 的集合M 的个数． 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）16个. 【解析】 【分析】（Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈Q I ，逐个分析集合B 中的元素求解a ，然后代入检验即可. （Ⅱ）因为{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2A B =--U ，()()A B M A B ⊆⊆I U ，所以集合M 中必有-3，只需考虑剩余4个元素即可得到答案.【详解】（Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈Q I 显然213a +≠-,若33,a -=-则0a =，{}3,1A B ∴=-I ，不符合题意,若213,a -=-则1a =-，{}3A B ∴=-I ，满足题意,所以1a =- .（Ⅱ）{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2A B =--U ，因为()()A B M A B ⊆⊆I U ，所以集合M 中必有-3，剩余4个元素：-4,0,1,2都有在与不在两种情况，所以个数为42=16个.【点睛】本题考查了交集、并集的定义和运算，元素与集合的关系，考查了子集的定义，子集个数的求法，属于基础题.18.计算：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++-； （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】（Ⅰ）32-；（Ⅱ）8- . 【解析】【分析】 （Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可.（Ⅱ）根据指数的运算性质和运算律化简即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++- =323lg100log 314+-- =3252+- =32- . （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.=34237414⋅-⨯-=271-=2721---=8-【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题.19.已知函数11()142x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值；（Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域．【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】 （Ⅰ）将12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭看成一个整体，对()3f x =进行化简得到1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦先求解12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再根据对数的运算解x 即可. （Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简()f x 可得21y t t =-+，然后配方即可求出21y t t =-+在1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大最小值，进而求得值域. 【详解】（Ⅰ）11()1342x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 112042x x⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 1x ∴=- .（Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦Q . 则2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y =, 所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ . 【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.已知1a >，函数()131log 1log 222a a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值. 【答案】（1）()2,3- ； （2）43. 【解析】【分析】 （1）由题意，函数()f x 的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）由题意，化简得()()21log 64a f x x x =-++，设()2164u x x =-++，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数()f x 的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。
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哈师大附中
2012—2013学年度上学期期中考试
高一数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．设集合}0)2)(3(|{<-+=x x x M ,}31|{≤≤=x x N
,则=N M I ( ) A [)2,1 B []2,1 C (]3,2 D []3,2
2．设函数
⎩⎨⎧=≥-<-)1(1)1()(x x x x x f 则f[f(1)]= ( ) A 0 B 1 C 2 D 3
3．函数y = log 2 ( x 2 – 5x – 6 )单调递减区间是( ) A )25,(-∞ B ),2
5(+∞ C )1,(--∞ D ),6(+∞ 4．下列函数与y=x 有相同图像的一个函数是( ) A 2x y = B x x y 2= C )1,0(log ≠>=a a a y x a D )1,0(log ≠>=a a y x a a
5．已知x>0时,f(x)=x-2012,且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x<0时,f(x)的解析式是
( )
A f(x)=x+2012
B f(x)=-x+2012
C f(x)=-x-2012
D f(x)=x-2012
6．函数x x y 422+--=值域是( ) A [-2,2] B [1,2] C [0,2] D [2,2-]
7．任意两个幂函数图像的交点个数是( )
A 最少一个，最多三个
B 最少一个，最多二个
C 最少0个，最多三个
D 最少0个，最多二个
8．已知集合}01|{2=++=x m x x A ,若Φ=R A I ,则m 取值范围是( ) Am<4 B m>4 C 0<m<4 D 0≤m<4
9．已知函数f(x)是R 上增函数,A(0,-1) B(3,1)是其图象上两点,那么|f(x+1)|<1的解集的补集是( )
A (-1,2)
B (1,4)
C ),4[]1,(+∞--∞Y
D ),2[]1,(+∞--∞Y
10． 已知函数y=f(x)图象与函数x a y =0(>a 且)1≠a 图象关于y=x 对称,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]若y=g(x)在区间]2,2
1[上是增函数,则a 的范围是( ) A ),2[+∞ B )2,1()1,0(Y C )1,21[ D ]21,0( 二、填空题（每小题4分，共16分）
11．函数12+=-x a y )1,0(≠>a a 图象恒过定点____________
12．已知函数y=f(x+1)定义域为[0,3],则函数)2(x f y =定义域是____________
13．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在[-1,2]上最大值为
4,最小值为m,且函数x m x h )41()(-=在),0[+∞上是增函数,则a =___________
14．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 _____________
三解答题（15,16,17每小题8分，18,19题每小题10分，共44分）
15．已知集合}0|{},41|{<-=<≤=a x x B x x A ,
(1)当a =3时,求B A Y ; (2)若B A ⊆
,求实数a 的取值范围.
16．已知奇函数)(x f 在定义域()1,1-上单调递减，求使不等式()()0362<-+-a f a f 成立的实数a 的取值范围。
17．已知函数)13(2
)1(2log )(,log )(++==x x x g x f , (1) 求出使)()(x f x g ≥成立的x 的取值范围;
(2) 在(1)的范围内，求y=g(x)-f(x)的最小值.
18．已知函数122-+=x x a a y
)1,0(≠>a a 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的
值.
19．已知函数()ln()(10)x x f x a b a b =->>>.
(1) 求函数()f x 的定义域I ；
(2) 判断函数()f x 在定义域I 上的单调性，并说明理由；
(3）当,a b 满足什么关系时，()f x 在[)1+∞，上恒取正值。
参考答案
1,A 2、A 3、C 4、D 5、A 6、C 7、A 8
、D 9、D 10、D 4．（2,2） 12、[]2,0 13、41
14、-4
15、{}4<x x ； 4≥a
16、235
<<a
17、[)∞+，0； 0
18、3或31
19、{}0>x x ； 单调递增； 1>-b a .。