数值分析作业(1)
数值分析大作业一
数值分析大作业一一、算法设计方案1、求λ1和λ501的值：思路：采用幂法求出按模最大特征值λmax，该值必为λ1或λ501，若λmax小于0，则λmax=λ1；否则λmax=λ501。
再经过原点平移，使用幂法迭代出矩阵A-λmax I的特征值，此时求出的按模最大特征值即为λ1和λ501的另一个值。
2、求λs的值：采用反幂法求出按模最小的特征值λmin即为λs，其中的方程组采用LU分解法进行求解。
3、求与μk最接近的特征值：对矩阵A采用带原点平移的反幂法求解最小特征值，其中平移量为：μk。
4、A的条件数cond(A)=| λmax/λmin|；5、A的行列式的值：先将A进行LU分解，再求U矩阵对角元素的乘积即为A 行列式的值。
二、源程序#include<iostream>#include<iomanip>#include<math.h>#define N 501#define E 1.0e-12 //定义精度常量#define r 2#define s 2using namespace std;double a[N];double cc[5][N];void init();double mifa();double fmifa();int max(int aa,int bb);int min(int aa,int bb);int max_3(int aa,int bb,int cc);void LU();void main(){double a1,a2,d1,d501=0,ds,det=1,miu[39],lamta,cond;int i,k;init();/*************求λ1和λ501********************/a1=mifa();if(a1<0)d1=a1; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a1; //若大于0则表示λ501的值for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-a1;a2=mifa()+a1;if(a2<0)d1=a2; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a2; //若大于0则表示λ501的值cout<<"λ1="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d1<<"\t";cout<<"λ501="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d501<<endl;/**************求λs*****************/init();ds=fmifa();cout<<"λs="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<ds<<endl;/**************求与μk最接近的特征值λik**************/cout<<"与μk最接近的特征值λik:"<<endl;for(k=0;k<39;k++){miu[k]=d1+(k+1)*(d501-d1)/40;init();for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-miu[k];lamta=fmifa()+miu[k];cout<<"λi"<<k+1<<"\t\t"<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<lamta<<en dl;}/**************求A的条件数**************/cout<<"矩阵A的条件式";cond=abs(max(abs(d1),abs(d501))/ds);cout<<"cond="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<cond<<endl;/**************求A的行列式**************/cout<<"矩阵A的行列式";init();LU();for(i=0;i<N;i++){det*=cc[2][i];}cout<<"det="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<det<<endl;system("pause");}/**************初始化函数，给a[N]赋值*************/void init(){int i;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin((double)(0.2*i))-0.64*exp((double)(0.1/i)); }/**************幂法求最大绝对特征值**************/double mifa(){int i,k=0;double u[N],y[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++) //控制最大迭代次数为2000{/***求y(k-1)***/double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;}/****求新的uk****/u[0]=a[0]*y[0]+b*y[1]+c*y[2];u[1]=b*y[0]+a[1]*y[1]+b*y[2]+c*y[3]; //前两列和最后两列单独拿出来求中D间的循环求for(i=2;i<N-2;i++){u[i]=c*y[i-2]+b*y[i-1]+a[i]*y[i]+b*y[i+1]+c*y[i+2];}u[N-2]=c*y[N-4]+b*y[N-3]+a[N-2]*y[N-2]+b*y[N-1];u[N-1]=c*y[N-3]+b*y[N-2]+a[N-1]*y[N-1];/***求beta***/double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}//cout<<"Beta"<<k<<"="<<Beta<<"\t"; 输出每次迭代的beta /***求误差***/error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E) //若迭代误差在精度水平内则可以停止迭代{return Beta;} //控制显示位数Beta_=Beta; //第个eta的值都要保存下来，为了与后个值进行误差计算 }if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} //若在最大迭代次数范围内都不能满足精度要求说明不收敛}/**************反幂法求最小绝对特¬征值**************/double fmifa(){int i,k,t;double u[N],y[N]={0},yy[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++){double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;yy[i]=y[i]; //用重新赋值，避免求解方程组的时候改变y的值}/****LU分解法解方程组Au=y，求新的***/LU();for(i=2;i<=N;i++){double temp_b=0;for(t=max(1,i-r);t<=i-1;t++)temp_b+=cc[i-t+s][t-1]*yy[t-1];yy[i-1]=yy[i-1]-temp_b;}u[N-1]=yy[N-1]/cc[s][N-1];for(i=N-1;i>=1;i--){double temp_u=0;for(t=i+1;t<=min(i+s,N);t++)temp_u+=cc[i-t+s][t-1]*u[t-1];u[i-1]=(yy[i-1]-temp_u)/cc[s][i-1];}double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E){return (1/Beta);}Beta_=Beta;}if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} }/**************求两数最大值的子程序**************/int max(int aa,int bb){return(aa>bb?aa:bb);}/**************求两数最小值的子程序**************/int min(int aa,int bb){return(aa<bb?aa:bb);}/**************求三数最大值的子程序**************/int max_3(int aa,int bb,int cc){ int tt;if(aa>bb)tt=aa;else tt=bb;if(tt<cc) tt=cc;return(tt);}/**************LU分解**************/void LU(){int i,j,k,t;double b=0.16,c=-0.064;/**赋值压缩后矩阵cc[5][501]**/for(i=2;i<N;i++)cc[0][i]=c;for(i=1;i<N;i++)cc[1][i]=b;for(i=0;i<N;i++)cc[2][i]=a[i];for(i=0;i<N-1;i++)cc[3][i]=b;for(i=0;i<N-2;i++)cc[4][i]=c;for(k=1;k<=N;k++){for(j=k;j<=min(k+s,N);j++){double temp=0;for(t=max_3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++)temp+=cc[k-t+s][t-1]*cc[t-j+s][j-1];cc[k-j+s][j-1]=cc[k-j+s][j-1]-temp;}//if(k<500){for(i=k+1;i<=min(k+r,N);i++){double temp2=0;for(t=max_3(1,i-r,k-s);t<=k-1;t++)temp2+=cc[i-t+s][t-1]*cc[t-k+s][k-1];cc[i-k+s][k-1]=(cc[i-k+s][k-1]-temp2)/cc[s][k-1];}}}}三、程序结果。
数值分析作业(C++)
数值分析上机题Chapter 1（1）从大到小顺序#include<iostream>#include<math.h>#include<string>using namespace std;void main(){int N;cout<<"Please input N:"<<endl;cin>>N;cout<<"The number you input is:N="<<N<<endl;float sn=0;for(int i=2;i<=N;++i)sn+=1.0/(i*i-1);cout<<"The result you want is:"<<endl<<"Sn="<<sn<<endl; }（2）从小到大的顺序#include<iostream>#include<math.h>#include<string>using namespace std;void main(){int N;cout<<"Please input N:"<<endl;cin>>N;cout<<"The number you input is:N="<<N<<endl;float sn=0;for(int i=N;i>1;--i)sn+=1.0/(i*i-1);cout<<"The result you want is:"<<endl<<"Sn="<<sn<<endl; }（3）结果：N 100 10000 1000000(1) 0.740049 0.749852 -14.2546(2) 0.74005 0.7499 -14.2551 Chapter 2(1) 通用程序：#include <iostream>#include <string>#include <math.h>using namespace std;double h;//允许误差double x[100];double x0;//初值double xl;//所求结果double f(double x) //原函数{double a;//函数值a=f(x);return a;}double f1(double x)//导函数{double b=0.01,c[100];d;for(int i=0; ;++i){c[i]=(f(x+b)-f(x))/b;//导函数if(i>=1){if(fabs(c[i]-c[i-1])<=h){d=c[i];break;}}b/=10;}return d;}void main(){for(int k=0; ;++i){x[0]=x0;//初值x[k+1]=x[k]-f(x[k])/f1(x[k]);if(fabs(x[k+1]-x[k])<=h)break;}cout<<"xl="<<x[k+1]<<endl;//输出结果}（2）#include <iostream>#include <string>#include <math.h>using namespace std;int k;double h=0.001;//允许误差double x[100];double x0;//初值double xl;//所求结果double f(double x) //原函数{double a;//函数值a=x*x*x/3-x;return a;}double f1(double x)//导函数{double b=0.01,c[100],d;for(int i=0; ;++i){c[i]=(f(x+b)-f(x))/b;//导函数if(i>=1){if(fabs(c[i]-c[i-1])<=h){d=c[i];break;}}b/=10;}return d;}int main(){for(int i=1;i<=1000;++i){x0=i/1000.0;for(k=0; ;++k){x[0]=x0;x[k+1]=x[k]-f(x[k])/f1(x[k]);if(fabs(x[k+1]-x[k])<=h)break;}if(fabs(x[k+1])>=1)break;}cout<<"when deta="<<x0<<": "<<"xl*="<<x[k+1]<<endl;//输出结果cout<<"This is the biggest deta,or the result will not be zero."<<endl;return 0;}Chapter 3(1).通用程序：#include <iostream>#include <string>#include <math.h>#define n 3//定义阶次using namespace std;void main(){int i,j;double a[n][n+1],temp,x[n];cout<<"请输入需求解矩阵:"<<endl;//输入求解矩阵for(i=0;i<n;++i)for(j=0;j<=n;++j)cin>>a[i][j];for(j=0;j<n;++j)//列主元{ int k=j;double h=a[j][j];//列首元int b=j;for(i=j+1;i<n;++i)//列最大元素并标记{if(fabs(a[i][k])>fabs(h)){h=a[i][k];b=i;}}for(int m=j;m<=n;++m)//交换主元{temp=a[k][m];a[k][m]=a[b][m];a[b][m]=temp;}for(int c=j+1;c<n;++c)//化为上三角矩阵for(int z=j;z<=n;++z){double yz=a[c][j]/h;a[c][z]=a[c][z]-a[j][z]*yz;}}//求解过程x[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];cout<<"x"<<"["<<n-1<<"]="<<x[n-1]<<endl;for(int e=n-2;e>=0;--e){ double l=0;for(int w=e+1;w<n;++w){l=l+a[e][w]*x[w];}x[e]=(a[e][n]-l)/a[e][e];cout<<"x"<<"["<<e<<"]="<<x[e]<<endl;}}x0=-0.23645,x1=0.47743,x2=-0.76698,x3=-0.077649,x4=-0.30792,x5=0.14634,x6=-0.17 073,x7=0.28480,x8=0.34483;Chapter 437.(1)通用程序程序在使用前要先设定n的值#include<iostream>#include<math.h>#include<string>using namespace std;#define n 10double x[n+1],y[n+1],h[n],u[n],u_u[n],d[n+1];double a[n+1][n+1],m[n+1];double F0,Fn,arr;double b[n+1][n+1];double f(double &a){double function;for(int i=0;i<n+1;++i)if(a==x[i])function=y[i];return function;}double f1(double &a,double &b){if(a!=b)return (f(b)-f(a))/(b-a);else{if(a==x[0])return F0;elsereturn Fn;}}double f2(double &a,double &b,double &c){return (f1(b,c)-f1(a,b))/(c-a);}double s(double x0){double sx;if(x0<=x[0]||x0>=x[n]){cout<<"不?在¨²定¡§义°?域®¨°内¨²"<<endl;return 0;}else{int j;for(int i=0;i<n+1;++i)if(x0>=x[i]&&x0<=x[i+1]) j=i;sx=y[j]+(f1(x[j],x[j+1])-(m[j]/3.0+m[j+1]/6.0)*h[j])*(x0-x[j])+(m[j]/2.0)*(x0-x[j])*(x0-x [j])+((m[j+1]-m[j])/6*h[j])*(x0-x[j])*(x0-x[j])*(x0-x[j]);return sx;}}int main(){cout<<"please input x:";for(int i1=0;i1<n+1;++i1)cin>>x[i1];cout<<endl<<endl;cout<<"please input y:";for(int i2=0;i2<n+1;++i2)cin>>y[i2];cout<<endl<<endl;cout<<"please input F0,Fn:";cin>>F0>>Fn;cout<<endl<<endl;for(int i3=0;i3<n;++i3)h[i3]=x[i3+1]-x[i3];for(int i4=1;i4<n;++i4){u[i4]=h[i4-1]/(h[i4-1]+h[i4]);u_u[i4]=1-u[i4];}for(int i=0;i<n+1;++i)for(int j=0;j<n+1;++j){if(i==j)a[i][j]=2;else if(j==i-1){if(i!=n)a[i][j]=u[i];elsea[i][j]=1;}else if(j==i+1){if(i!=0){a[i][j]=u_u[i];}elsea[i][j]=1;}elsea[i][j]=0;cout<<a[i][j]<<" ";if(j==n)cout<<endl<<endl;}cout<<"d[i]的Ì?值¦Ì：êo"<<endl;for(int i5=0;i5<n+1;++i5){if(i5==0)d[i5]=6*f2(x[0],x[0],x[1]);else if(i5==n)d[i5]=6*f2(x[n-1],x[n],x[n]);elsed[i5]=6*f2(x[i5-1],x[i5],x[i5+1]); cout<<d[i5]<<" ";}cout<<endl<<endl;cout<<"系¦Ì数ºy矩?阵¨®：êo"<<endl<<endl; for(int i=0;i<n+1;++i)for(int j=0;j<=n+1;++j){if(j<n+1)b[i][j]=a[i][j];elseb[i][j]=d[i];cout<<b[i][j]<<" ";if(j==n+1)cout<<endl;}cout<<endl<<endl;for (int i=1;i<=n;i++){ arr=b[i][i-1];for (int j=0;j<=n+1;j++)b[i][j]=b[i][j]-a[i-1][j]*arr/b[i-1][i-1]; }m[n]=b[n][n+1]/b[n][n];for(int i=n-1;i>=0;i--) m[i]=(b[i][n+1]-b[i][i+1]*m[i+1])/b[i][i];for(int i=0;i<n+1;++i)cout<<m[i]<<" ";cout<<endl<<endl;for(int j=0;j<n;++j){cout<<"当Ì¡Àx在¨²区?间?["<<x[j]<<","<<x[j+1]<<"]时º¡À:";cout<<"S(x)="<<y[j]<<"+"<<(f1(x[j],x[j+1])-(m[j]/3.0+m[j+1]/6.0)*h[j]) <<"(x-"<<x[j]<<")+"<<m[j]/2.0<<"(x-"<<x[j]<<")^2+"<<(m[j+1]-m[j])/6*h[j]<<"(x-"<<x[j]<<")^3"<<endl<<endl;}for(int i=0;i<10;++i)cout<<"s("<<i<<"+0.5)="<<s(i+0.5)<<" "<<endl;return 0;}（2）此时n为10，将程序中的n设为10，输入数据运行，得到结果：Chapter 523（1）通用程序程序在运行之前要先设定积分区间，即a,b,c,d的值，本题为了编程方便，已经把数据写入程序中。
数值分析大作业
数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。
但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。
对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。
求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。
使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。
求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。
数值分析作业(完整版)
的逆阵 A ，用左除命令 A \ E 检验你的结果。
clc clear close all A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; fprintf('对上述矩阵进行列主元素分解：\n') for i=1:1:r-1 [mx,ro]=max(abs(A(i:r,i))); % 寻找a阵第i列的最大值 [A(i,:),A(ro+i-1,:)]=exchange(A(i,:),A(ro+i-1,:)); % 进行行与行交换 for j=i+1:1:r A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i)*A(i,:); end A End %--矩阵A的逆阵 A1=inv(A) %--左除验证 E=eye(5); A2=A\E % 5x5单位阵 % A阵的逆矩阵 % 输出每次交换后的A
第一章
1、计算积分 I n
Code： clc clear close all n=9; %--梯形积分法 x=0:0.01:1; y=(x.^n).*exp(x-1); In = trapz(x,y); In2=vpa(In,6) % 6位有效数字 %--高精度积分法 F = @(x1)(x1.^n).*exp(x1-1); s = quad(F,0,1); s1=vpa(s,6)
0
0, 0, 0, 0, 0 。
T
if abs(er(:,i-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',i); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x(1,i),x(2,i),x(3,i),x(4,i),x(5,i)); break end end %--绘图 figure(1) plot(1:1:i,x(1,:),'b',1:1:i,x(2,:),'k',1:1:i,x(3,:),'g',1:1:i,x(4,:), 'r',1:1:i,x(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5') grid on title('Jacobi迭代法——x值随迭代次数变化曲线') figure(2) plot(1:1:i-1,er(1,:),'b',1:1:i-1,er(2,:),'k',1:1:i-1,er(3,:),'g',1:1: i-1,er(4,:),'r',1:1:i-1,er(5,:),'c') legend('△x1','△x2','△x3','△x4','△x5') grid on title('Jacobi迭代法——△x值随迭代次数变化曲线') %% fprintf('\n-------------Gauss-Seidel迭代法---------------------\n'); U=-(A1-D); L=-(A2-D); DL_1=inv(D-L); M1=DL_1*U; b2=DL_1*b; x1(:,1)=M1*x0+b2; for j=2:1:100 x1(:,j)=M1*x1(:,j-1)+b2; er1(:,j-1)=x1(:,j)-x1(:,j-1); if abs(er1(:,j-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',j); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x1(1,j),x1(2,j),x1(3,j),x1(4,j),x1(5,j)); break end end %--绘图 figure(3) plot(1:1:j,x1(1,:),'b',1:1:j,x1(2,:),'k',1:1:j,x1(3,:),'g',1:1:j,x1(4 ,:),'r',1:1:j,x1(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5')
北航数值分析大作业一
北京航空航天大学数值分析大作业一学院名称自动化专业方向控制工程学号ZY*******学生姓名许阳教师孙玉泉日期2021 年11月26 日设有501501⨯的实对称矩阵A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5011A a b c b c c b c b a其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==⋅⋅⋅=--=c b i e i i a ii 。
矩阵A 的特征值为)501,,2,1(⋅⋅⋅=i i λ，并且有||min ||,501150121i i s λλλλλ≤≤=≤⋅⋅⋅≤≤1λ，501λ和s λ的值。
A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,,2,1(⋅⋅⋅=k k i λ。
A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。
一 方案设计1 求1λ，501λ和s λ的值。
s λ为按模最小特征值，||min ||5011i i s λλ≤≤=。
可使用反幂法求得。
1λ，501λ分别为最大特征值及最小特征值。
可使用幂法求出按模最大特征值，如结果为正，即为501λ，结果为负，那么为1λ。
使用位移的方式求得另一特征值即可。
2 求A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。
题目可看成求以k μ为偏移量后，按模最小的特征值。
即以k μ为偏移量做位移，使用反幂法求出按模最小特征值后，加上k μ，即为所求。
3 求A 的(谱范数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。
矩阵A 为非奇异对称矩阵，可知，||)(min max2λλ=A cond(1-1)其中m ax λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值。
detA 可由LU 分解得到。
因LU 均为三角阵，那么其主对角线乘积即为A 的行列式。
二 算法实现1 幂法使用如下迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅===⋅⋅⋅=------||max |)|sgn(max ||max /),,(111111)0()0(10k k k k k k k k Tn u u Ay u u u y u u u β任取非零向量 (2-1)终止迭代的控制理论使用εβββ≤--||/||1k k k ， 实际使用εβββ≤--||/||||||1k k k(2-2)由于不保存A 矩阵中的零元素，只保存主对角元素a[501]及b,c 值。
清华大学高等数值分析 第一次实验作业
10
-10
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
迭代次数
图9
m=100时，Lanczos法求解Ax=b的收敛曲线
高等数值分析实验作业一
10
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
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图12 m=10时，Minres法求解Ax=b的收敛曲线
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Minres 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
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图13
10
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m=50时，Minres法求解Ax=b的收敛曲线
10
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
m=10 m=50 m=100 m=400 m=800
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数值分析习题集及答案[1](精)
](https://img.taocdn.com/s3/m/7eabbe90cc22bcd126ff0c65.png)
数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析作业题(1)
第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，， 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
数值分析作业
数值分析课后作业：习题一1.在字长为3的十进制计算机上计算f （3.33）和g （3.33），其中f(x)=x 4-x 3+3x 2+x-2,g(x)=(((x-1)x+3)x+1)x-2解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 2.下列各近似值的绝对误差限都是1021⨯-3，试指出它们各有几位有效数字：x=1.00052， y=0.05， z=0.00052.解：当 x=1.00052时， 由丨X*—X 丨 ≤0.5×10-3 得 x=1.00052 有四位有效数字； 同理 y=0052 有两位有效数字 Z=0.00052有零位有效数字 3,计算圆的面积，要使其相对误差限为1%，问测量半径r 允许的相对误差限是多少？ 解：设圆的面积为S ， 由题意有|e(S)|≤1%。
又S=πr 2 dS=2πr dr 所以 dS/S=(2πrdr)/(πr 2)=2(dr/r)∴|e(r)|≈21|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 11.数组与矩阵是Matlab 编程的基础，试学习Matlab 的数组与矩阵的表示方法，并举例介绍数组、矩阵的常见运算. 解：>> syms a b c d; >> a=[1 2 3];>> b=[4 5 6];>> a+bans =5 7 9>> b-aans =3 3 3>> a.*bans =4 10 18 >> a.^2 ans = 1 4 9>> c=[1 2 3;1 2 3;1 2 3];>> d=[4 5 6;4 5 6;4 5 6];>> cc = 1 2 3 1 2 3 1 2 3d = 4 5 6 4 5 6 4 5 6 >> c+dans =5 7 9 5 7 9 5 7 9>> d-cans = 3 3 33 3 33 3 3 12.学习使用Matlab 命令help 和doc 学习自己感兴趣的Matlab 的运算、函数或命令的用法，并对于任意给定的实数a,b,c,编写Matlab 程序求方程ax 2+bx+c=0的根. 解：x 1=a ac b b b 24)sgn(2---, x 2=1ax c1 x>0 其中 sgn = 0 x=0 -1 x<0 disp('Please input the coefficients of');disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c=');m=3; if abs(a)<eps & abs(b)<eps error End if abs(a)<eps disp('Since a=0, quadrtic equation degen erates into a linear equation.') disp('The only solution of the linear equtio n is')x=digit(-c/b,m) return Enddelta=b^2-4*a*c; temp=sqrt(delta); x 1=(-b+temp)/(2*a) ; x 2=(-b-temp)/(2*a) ;err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) ; err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) ; if b>0x 1=(-b-temp)/(2*a) End if b<0x 1=(-b+temp)/(2*a) End if b=0x 1=temp/(2*a) Endx 2=c/(a*x 1)err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) if abs(a)<epsdisp('Since a=0, quadrtic equation degen erates into a linear equation.')disp('The only solution of the linear equtio n is')x=digit(-c/b,m) return Enddelta=digit(digit(b^2,m)-digit(4*digit(a*c,m),m),m);temp=digit(sqrt(delta),m);x 1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m); x 2=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m); err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c); err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c); if b>0x 1=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m) ; End if b<0x 1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m); End if b=0x 1=digit(temp/digit(2*a,m),m); Endx 2=digit(digit(c/a,m)/x1,m) ; err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) ; err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) ; 14分别利用ln (1+x)=11,)1(11≤<--+∞=∑x nx nn n 和ln11...),12...53(2111253<<-++++++=-++x n x x x x x x n ，给出计算ln2的近似方法，编写相应的Matlab 程序，并比较算法运行情况. 解：方法一： x=1; s=0;for k=1:100s=s+(-1)^(k+1)*(x^k)/k; end sq=log(2)err=abs(t-q) ans= t =0.6882 q =0.6931 err = 0.0050方法二x=1/3; s=0;for k=1:2:100 s=s+(x^k)/k; end t=2*s q=log(2)err=abs(t-q) Ans= t =0.6931 q =0.6931 err =2.2204e-16所以方法二较方法一好。
(完整版)数值分析第一次作业
问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
北航数值分析-实习作业1(C语言详细注释)
《数值分析》计算实习作业《一》北航第一题 设有501501⨯的矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=501500499321a bc b a b cc b a b ccb a bc c b a b c b a A其中.064.0,16.0);501,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-===--=c b i e i i a i i 矩阵的特征值)501,,2,1( =i i λ满足||min ||,501150121i i s λλλλλ≤≤=<<<试求1. 5011，λλ和s λ的值2. 的与数4015011λλκλμ-+=k 最接近的特征值)39,,2,1( =K κλi3. 的（谱范数）条件数2)A (cond 和行列式A det 要求1. 算法的设计方案（A 的所有零元素都不能存储）2. 全部源程序（详细注释）。
变量为double ，精度-1210=ε，输出为e 型12位有效数字3. 特征值s 5011，，λλλ和)39,,2,1( =K κλi 以及A cond det ,)A (2的值4. 讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响，并说明原因解答：1. 算法设计对于s λ满足||min ||5011i i s λλ≤≤=，所以s λ是按模最小的特征值，直接运用反幂法可求得。
对于5011，λλ，一个是最大的特征值，一个是最小的特征值，不能确定两者的绝对值是否相等，因此必须首先假设||||5011λλ≠，然后运用幂法，看能否求得一个特征值，如果可以求得一个，证明A 是收敛的，求得的结果是正确的，然后对A 进行带原点平移的幂法，偏移量是前面求得的特征值，可以求得另一个特征值，最后比较这两个特征值，较大的特征值是501λ，较小的特征值就是1λ。
如果在假设的前提下，无法运用幂法求得按模最大的特征值，即此时A 不收敛，则需要将A 进行带原点平移的幂法，平移量可以选取1，再重复上述步骤即可求得两个特征值。
数值分析作业1
拉格朗日插值法摘要：本篇综述是从插值法的原理入手，通过线性插值(一次插值) 、抛物线插值(二次插值)的分析，从特殊到一般，从简单到复杂，引入拉格朗日插值多项式。
关键词：插值法线性插值抛物插值拉格朗日插值一、引言在科学研究和其他许多实际问题中，常常有函数不便于处理和计算的情形。
有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验观测或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时函数虽有解析表达式，但是使用很不方便。
因此，希望对这些问题中的函数建立一个简单的便于计算和处理的近似表达式，即用一个简单的函数来近似代替这些不变处理的函数。
与用近似数代替准确数一样，这也是数值计算方法中最基本的概念和方法之一，也就是插值法。
二、插值法的基本原理1. 插值法设函数y =f(x)定义在区间〔a , b ］上，x°,X i，…，X n是la , b 1上取定的n+1个互异的节点，且在这些点处的函数值f (X o),f (xj,…，f (X n)为已知，即y i二f(X i)，若存在一个f(x)的近似函数P(X)，满足p(Xi)= yi i = 0, 1,2, , , n。
( 1),则称p( x )为f (x)的插值函数。
(1)式称为插值条件，f ( x )称为被插函数，［a , b ］称为插值区间，求p ( x )的方法就是插值法。
插值函数p ( x )在n+1个互异插值节点X i ( i = 0, 1, 2, , , n)处与f (x )相等，在其他点x就用p( x )的值作为f (x)的近似值。
这一过程称为插值，点x称为插值点。
换句话说，插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。
用p ( X )的值作为f (x)的近似值。
不仅希望p ( X )能较好的逼近f(X)，而且还希望它简单。
由于代数多项式计算既简单又便于计算，这是我们选择用多项式作为插值函数的原因。
我们数值分析课主要学习了代数多项式插值。
数值分析第一次作业答案
作业1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式2. P55 11题.给出概率积分⎰-=xxdxey 022π的数据表用2次插值计算，试问：(1) 当x = 0.472时，积分值等于多少? (2) 当x 为何值时，积分值等于0.5？ 解：(1) 取x 0 = 0.47， x 1 = 0.48, x 2 = 0.4980.4955530040.04093346-80.1809899240.355496540.51166830.50274980.4937452=+=----⨯+----⨯+----⨯==----+----+----≈)48.049.0)(47.049.0()48.0472.0)(47.0472.0()49.048.0)(47.048.0()49.0472.0)(47.0472.0()49.0472.0)(48.047.0()49.0472.0)(48.0472.0()472.0())(())(())(())(())(())(()472.0(2120210221120121210y Lxx xx xxy x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y(2)90.4769359350.05272367-80.4362204360.093439170.50274980.51166830.49374520.51166830.50274980.49374520.49 0.51166830.50274980.49374520.50274980.51166830.49374520.48 0.51166830.49374520.50274980.49374520.51166830.50274980.47=+=----⨯+----⨯+----⨯==----+----+----≈))(()5.0)(5.0())(()5.0)(5.0())(()5.0)(5.0()5.0())(())(())(())(())(())(()5.0(212210221120121210Lyyy y yy xy y yy y y xyyyy yy xy y y y y y x3. 证明方程e x +10x －2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过10－6，试问需要二分区间[0，1]多少次？4. 设x t ＝451.01为准确值，x a ＝451.023为x t 的近似值，试求出x a 有效数字的位数及相对误差 作业答案1.解：N 2(x ) = f (0)+f [0，1](x -0)+ f [0，1，2](x -0) (x -1) 1＋1×(x -0) ＋3×(x -0) (x -1)＝3x 2-2x +1 为求得P 3(x )，根据插值条件知，P 3(x )应具有下面的形式 P 3(x )＝N 2(x )＋k (x -0) (x -1) (x -2)，这样的P 3(x )自然满足：P 3(x i )= f (x i )由P 3’(1 )=3P 3’(1 )= N 2’(1 )+k (1-0) (1-2) =N 2’(1 )－k = 4－k=3∴ k =1∴ P 3(x )＝N 2(x )＋ (x -0) (x -1) (x -2)=x 3+1 3. 证明 令f (x )＝e x +10x －2，∵ f (0)=-1<0，f (1)=e+8> 0∴ f (x )= e x +10x －2 =0在[0，1]有根。
北航研究生数值分析编程大作业1
数值分析大作业一、算法设计方案1、矩阵初始化矩阵[]501501⨯=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2，设置矩阵[][]5011++s r C ，在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是：j s j i ij c a ,1++-=。
这样所需要的存储单元数大大减少，从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ，幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ，然后求出矩阵B ，其中I A B λ-=(I 为单位矩阵），对矩阵B 进行幂法迭代，求出λ'，之后令λλλ+'=''，比较的大小与λλ''，大者为501λ，小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik s λλ,反幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u Au y y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止，1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ，求解过程为：（1）作分解LU A =对于n k ,...,2,1=执行[][]s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c cc c k s ks k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i js j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1（2）求解y Ux b Ly ==,（数组b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y))1,...,2,1(/)(:/:),...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i ns n n ti r i t t s t i i i使用反幂法，直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
北航数值分析作业第一题
数值分析作业第一题一、 算法设计方案利用带状Dollittle 分解，将A[501][501]转存到数组C[5][501]，以节省存储空间1、计算λ1和λ501首先使用幂法求出矩阵的按模最大的特征值λ0：如果λ0>0，则其必为按模最大值，因此λ501=λ0，然后采用原点平移法，平移量为λ501，使用幂法迭代求出矩阵A -λ501I 的按模最大的特征值，其特征值按从小到大排列应为λ1-λ501、λ2-λ501、……、0。
因此A-λ501I 的按模最大的特征值应为λ1-λ501。
又因为λ501的值已求得，由此可直接求出λ1。
2、计算λSλS 为矩阵A 按模最小的特征值，可以通过反幂法直接求出。
3、计算λikλik 是对矩阵A 进行λik 平移后，再用反幂法求出按模最小的特征值λmin ，λik =λik +λmin 。
4、计算矩阵A 的条件数计算cond （A ）2和行列式det(A)矩阵A 的条件数为n12cond λλ）（ A ，其中λ1和λn 分别是矩阵A 的模最大和最小特征值，直接利用上面求得的结果直接计算。
矩阵A 的行列式可先对矩阵A 进行LU 分解后，det(A)等于U 所有对角线上元素的乘积。
二、源程序：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream.h>#define s 2#define r 2int Max(int v1,int v2);int Min(int v1,int v2);int maxt(int v1,int v2,int v3);void storage(double C[5][501],double b,double c);double mifa(double C[5][501]);void LU(double C[5][501]);double fmifa(double C[5][501]);int Max(int v1,int v2) //求两个数的最大值{ return((v1>v2)?v1:v2);}int Min(int v1,int v2) //求两个数最小值{ return ((v1<v2)?v1:v2);}int maxt(int v1,int v2,int v3) //求三个数最大值{ int t;if(v1>v2) t=v1;else t=v2;if(t<v3) t=v3;return(t);}/***将矩阵值转存在一个数组里，以节省存储空间***/void storage(double C[5][501],double b,double c){ int i=0,j=0;C[i][j]=0,C[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)C[i][j]=c;i++;j=0;C[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)C[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)C[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1));i++;for(j=0;j<=499;j++)C[i][j]=b;C[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)C[i][j]=c;C[i][j]=0,C[i][j+1]=0;}//用于求解最大的特征值，幂法double mifa(double C[5][501]){ int m=0,i,j;double b2,b1=0,sum;double u[501],y[501];for (i=0;i<501;i++){ u[i] = 1.0;}do{ sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){ u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+C[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=1.0e-12);return b2;}/*****行列式LU分解*****/void LU(double C[5][501]){ double sum;int k,i,j;for(k=1;k<=501;k++){ for(j=k;j<=Min(k+s,501);j++){ sum=0;for(i=maxt(1,k-r,j-s);i<=k-1;i++)sum+=C[k-i+s][i-1]*C[i-j+s][j-1];C[k-j+s][j-1]-=sum;}for(j=k+1;j<=Min(k+r,501);j++){ sum=0;for(i=maxt(1,j-r,k-s);i<=k-1;i++)sum+=C[j-i+s][i-1]*C[i-k+s][k-1];C[j-k+s][k-1]=(C[j-k+s][k-1]-sum)/C[s][k-1];}}}/***带状DOOLITE分解，并且求解出方程组的解***/void solve(double C[5][501],double x[501],double b[501]){ int i,j,k,t;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){ for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=C[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){ for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){ for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){ for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k];B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){ x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//用于求解模最大的特征值，反幂法double fmifa(double C[5][501]){ int m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){ [i] = 1.0;}do{ if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);solve(C,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=1.0e-12);return 1/b2;}/***主程序***/void main(){ double b=0.16,c=-0.064,det=1.0;int i;double C[5][501],cond;storage(C,b,c); //进行C的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double k1=mifa(C); //利用幂法计算矩阵的最大特征值和最小特征值if(k1<0)printf("λ1=%.12e\n",k1);else if(k1>=0)printf("λ501=%.12e\n",k1);for(i=0;i<501;i++)C[2][i]=C[2][i]-k1;double k2=mifa(C)+k1;if(k2<0)printf("λ1=%.12e\n",k2);else if(k2>=0)printf("λ501=%.12e\n",k2);storage(C,b,c);double k3=fmifa(C); //利用反幂法计算矩阵A的按模最小特征值printf("λs=%.12e\n",k3);storage(C,b,c); //计算最接近特征值double u[39]={0};for(i=0;i<39;i++){ u[i]=k1+(i+1)*(k2-k1)/40;C[2][i]=C[2][i]-u[i];u[i]=fmifa(C)+u[i];printf("与数u%d 最接近的特征值λ%d: %.12e\n",i+1,i+1,u[i]);}if(k1>0) //计算矩阵A的条件数，取2范数cond=fabs(k1/k3);else if(k1<0)cond=fabs(k2/k3);storage(C,b,c);LU(C); //利用LU分解计算矩阵A的行列式for(i=0;i<501;i++)det*=C[2][i];printf("\ncond(A)=%.12e\n",cond);printf("\ndet(A)=%.12e\n",det);}三、计算结果：四、结果分析迭代初始向量的选择对果有一定的影响，选择不同的初始向量可能会得到不同阶的特征值。
北航硕士研究生数值分析大作业一
数值分析—计算实习作业一学院：17系专业：精密仪器及机械姓名：张大军学号：DY14171142014-11-11数值分析计算实现第一题报告一、算法方案算法方案如图1所示。
（此算法设计实现完全由本人独立完成）图1算法方案流程图二、全部源程序全部源程序如下所示#include <iostream.h>#include <iomanip.h>#include <math.h>int main(){double a[501];double vv[5][501];double d=0;double r[3];double uu;int i,k;double mifayunsuan(double *a,double weiyi);double fanmifayunsuan(double *a,double weiyi);void yasuo(double *A,double (*C)[501]);void LUfenjie(double (*C)[501]);//赋值语句for(i=1;i<=501;i++){a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);}//程序一：使用幂方法求绝对值最大的特征值r[0]=mifayunsuan(a,d);//程序二：使用幂方法求求平移λ[0]后绝对值最大的λ，得到原矩阵中与最大特征值相距最远的特征值d=r[0];r[1]=mifayunsuan(a,d);//比较λ与λ-λ[0]的大小，由已知得if(r[0]>r[1]){d=r[0];r[0]=r[1];r[1]=d;}//程序三：使用反幂法求λr[2]=fanmifayunsuan(a,0);cout<<setiosflags(ios::right);cout<<"λ["<<1<<"]="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<r[0]<<endl;cout<<"λ["<<501<<"]="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<r[1]<<endl;cout<<"λ[s]="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<r[2]<<endl;//程序四：求A的与数u最接近的特征值for(k=1;k<40;k++){uu=r[0]+k*(r[1]-r[0])/40;cout<<"最接近u["<<k<<"]"<<"的特征值为"<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<fanmifayunsuan(a,uu)<<endl;}//程序五：谱范数的条件数是绝对值最大的特征值除以绝对值最小的特征值的绝对值cout<<"cond(A)2="<<fabs(r[0]/r[2])<<endl;//程序六：A的行列式的值就是A分解成LU之U的对角线的乘积yasuo(a,vv);LUfenjie(vv);uu=1;for(i=0;i<501;i++){uu=uu*vv[2][i];}cout<<"Det(A)="<<uu<<endl;return 1;}double mifayunsuan(double *a,double weiyi){int i,k;double b=0.16;double c=-0.064;double ee,w,v1,v2,mm,sum;double u[501];double y[505]={0};for(i=0;i<501;i++)u[i]=1;//给u赋初值if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]-=weiyi;}ee=1;k=0;//使得初始计算时进入循环语句while(ee>1e-12){mm=0;for(i=0;i<501;i++){mm=mm+u[i]*u[i];}w=sqrt(mm);for(i=0;i<501;i++){y[i+2]=u[i]/w;//注意此处编程与书上不同，之后会解释它的巧妙之处1 }for(i=0;i<501;i++){u[i]=c*y[i]+b*y[i+1]+a[i]*y[i+2]+b*y[i+3]+c*y[i+4];//1显然巧妙之处凸显出来}sum=0;for(i=0;i<501;i++){sum+=y[i+2]*u[i];}v1=v2;v2=sum;//去除特殊情况，减少漏洞if(k==0){k++;}else{ee=fabs(v2-v1)/fabs(v2);}}if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]+=weiyi;}//还原A矩阵return (v2+weiyi);}double fanmifayunsuan(double *a,double weiyi){int i,k;double b=0.16;double c=-0.064;double ee,w,v1,v2,mm,sum;double u[501];double y[501];double C[5][501];void yasuo(double *A,double (*C)[501]);void LUfenjie(double (*C)[501]);void qiuU(double (*C)[501],double *y,double *u);//把A阵压缩到C阵中for(i=0;i<501;i++)u[i]=1;//给u赋初值if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]-=weiyi;}yasuo(a,C);LUfenjie(C);ee=1;k=0; //使得初始计算时进入循环语句while(ee>1e-12){mm=0;for(i=0;i<501;i++){mm=mm+u[i]*u[i];}w=sqrt(mm);for(i=0;i<501;i++){y[i]=u[i]/w;}qiuU(C,y,u);sum=0;for(i=0;i<501;i++){sum+=y[i]*u[i];}v1=v2;v2=sum;//去除特殊情况，减少漏洞if(k==0){k++;}else{ee=fabs(1/v2-1/v1)/fabs(1/v2);}}if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]+=weiyi;}//还原A矩阵return (1/v2+weiyi);}void yasuo(double *A,double (*C)[501]){double b=0.16;double c=-0.064;int i;for(i=0;i<501;i++){C[0][i]=c;C[1][i]=b;C[2][i]=A[i];C[3][i]=b;C[4][i]=c;}}void LUfenjie(double (*C)[501]){int k,t,j;int r=2,s=2;double sum;int minn(int ,int );int maxx(int ,int );for(k=0;k<501;k++){for(j=k;j<=minn(k+s,501-1);j++){if(k==0)sum=0;else{sum=0;for(t=maxx(k-r,j-s);t<k;t++){sum=sum+C[k-t+s][t]*C[t-j+s][j];}}C[k-j+s][j]=C[k-j+s][j]-sum;}for(j=k+1;j<=minn(k+r,501-1);j++){if(k<501-1){if(k==0)sum=0;else{sum=0;for(t=maxx(j-r,k-s);t<k;t++){sum=sum+C[j-t+s][t]*C[t-k+s][k];}}C[j-k+s][k]=(C[j-k+s][k]-sum)/C[s][k];}}}}void qiuU(double (*C)[501],double *y,double *u){int i,t;double b[501];double sum;int r=2,s=2;int minn(int ,int );int maxx(int ,int );for(i=0;i<501;i++){b[i]=y[i];}for(i=1;i<501;i++){sum=0;for(t=maxx(0,i-r);t<i;t++){sum=sum+C[i-t+s][t]*b[t];}b[i]=b[i]-sum;}u[500]=b[500]/C[s][500];for(i=501-2;i>=0;i--){sum=0;for(t=i+1;t<=minn(i+s,500);t++){sum=sum+C[i-t+s][t]*u[t];}u[i]=(b[i]-sum)/C[s][i];}}int minn(int x,int y){int min;if(x>y)min=y;elsemin=x;return min;}int maxx(int b,int c){int max;if(b>c){if(b>0)max=b;elsemax=0;}else{if(c>0)max=c;elsemax=0;}return max;}三、特征值以及的值λ[1]=-1.070011361502e+001 λ[501]=9.724634098777e+000λ[s]=-5.557910794230e-003最接近u[1]的特征值为-1.018293403315e+001最接近u[2]的特征值为-9.585707425068e+000最接近u[3]的特征值为-9.172672423928e+000最接近u[4]的特征值为-8.652284007898e+000最接近u[5]的特征值为-8.0934********e+000最接近u[6]的特征值为-7.659405407692e+000最接近u[7]的特征值为-7.119684648691e+000最接近u[8]的特征值为-6.611764339397e+000最接近u[9]的特征值为-6.0661********e+000最接近u[10]的特征值为-5.585101052628e+000最接近u[11]的特征值为-5.114083529812e+000最接近u[12]的特征值为-4.578872176865e+000最接近u[13]的特征值为-4.096470926260e+000最接近u[14]的特征值为-3.554211215751e+000最接近u[15]的特征值为-3.0410********e+000最接近u[16]的特征值为-2.533970311130e+000最接近u[17]的特征值为-2.003230769563e+000最接近u[18]的特征值为-1.503557611227e+000最接近u[19]的特征值为-9.935586060075e-001最接近u[20]的特征值为-4.870426738850e-001最接近u[21]的特征值为2.231736249575e-002最接近u[22]的特征值为5.324174742069e-001最接近u[23]的特征值为1.052898962693e+000最接近u[24]的特征值为1.589445881881e+000最接近u[25]的特征值为2.060330460274e+000最接近u[26]的特征值为2.558075597073e+000最接近u[27]的特征值为3.080240509307e+000最接近u[28]的特征值为3.613620867692e+000最接近u[29]的特征值为4.0913********e+000最接近u[30]的特征值为4.603035378279e+000最接近u[31]的特征值为5.132924283898e+000最接近u[32]的特征值为5.594906348083e+000最接近u[33]的特征值为6.080933857027e+000最接近u[34]的特征值为6.680354092112e+000最接近u[35]的特征值为7.293877448127e+000最接近u[36]的特征值为7.717111714236e+000最接近u[37]的特征值为8.225220014050e+000最接近u[38]的特征值为8.648666065193e+000最接近u[39]的特征值为9.254200344575e+000cond(A)2=1.925204273902e+003 Det(A)=2.772786141752e+118四、现象讨论在大作业的程序设计过程当中，初始向量的赋值我顺其自然的设为第一个分量为1，其它分量为0的向量，计算结果与参考答案存在很大差别，计算结果对比如下图2所示（左侧为正确结果，右侧为错误结果），导致了我花了很多的时间去检查程序算法。
《数值分析》课程设计—16题
《数值分析》课程设计—作业实验一1.1水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。
解：一、问题分析：对于本题，比较简单，我们只需要判断原来椰子的个数及每个人私藏了一份之后剩下的是否能被5除余1，直到最后分完。
对于第一个程序，n取2000；对于第二个程序，n取20001，就能得到我们想要的结果，即原先一共有15621个椰子，最终平均每人得4092个椰子。
1.2 当0,1,2,,100n =时，选择稳定的算法计算积分10d 10nxn xe I x e --=+⎰. 解：一、问题分析：由10d 10nxn xe I x e --=+⎰知： 1101001==+⎰dx I I 以及： )1(11010101010)1(1nnx x nx x n n n e ndx e dx e e e I I ----+-+-==++=+⎰⎰ 得递推关系： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-+n nn I e n I I I 10)1(1101101， 但是通过仔细观察就能知道上述递推公式每一步都将误差放大十倍，即使初始误差很小，但是误差的传播会逐步扩大，也就是说用它构造的算法是不稳定的，因此我们改进上述递推公式（算法）如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+-))1(1(101)1(101110n n n I e n I I I通过比较不难得出该误差是逐步缩小的，即算法是稳定的。
二、问题求解：为了利用上面稳定的算法，需要我们估计初值100I 的值。
数值分析作业答案——第五版
数值分析第一次作业及参考答案1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.xk x f x e fx e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).6fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e heξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t th h--+±<<在点取到极大值令 得3.求2()f x x=在［a,b］上的分段线性插值函数()hI x，并估计误差。
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为系数矩阵的线性方程组时的收敛性。
2.3 （计算实习题）请使用MATLAB编写程序, 用SOR 迭代解方程组
Ax b,
4 1 0 1 , b 4 A 1 4 1 0 1 4 3
(0) T 迭代初值选为 x (0, 0, 0) ， ω 分别取1，1.03 和1.1
用Gauss消去求出方程组真解x* ，以此判断SOR迭代误差, 当
x ( k ) x*
5 106 时停止迭代，列表给出每步迭代数据
x(k )，
并写出用每一个ω 时达到题给精度所需要的迭代次数。
（本题计5分平时成绩。）
数值分析
第三章作业
3.1 试分别用Lagrange和Newton插值法求通过点(-2,-3), (-1,-1), (0,1), (1,3) 和 (2,29) 的四次多项式，并验证插值多项式的唯一性。 3.2 已知
数值分析
第二章习题
2.1 求矩阵
2 1 1 2 1 A 1 2 1 1 2
的CholeΒιβλιοθήκη ky分解。 2.2 研究Jacobi 迭代和Gauss-Seidel迭代应用于解以
2 1 1 A 2 2 2 1 1 2
xi
y xi
1.9600 1.4000
1.9881 1.4100
2.0164 1.4200
2.0252 1.4231
应用Lagrange抛物插值公式，计算
2 的近似值，并估计误差。
本次作业请于10月11日课间提交。