基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳

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基本不等式知识点总结

向量不等式：

||||||||||||a b a b a b -±+≤≤

【注意】： a b 、

同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+; a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中

类似)

代数不等式：

,a b 同号或有

0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥;

,a b 异号或有

0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.

绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤

(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等

双向不等式:a b a b a b -±+≤≤

(左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.)

放缩不等式：

①00a b a m >>>>，，则b m b b m

a m a a m

-+<<-+. 【说明】：

b b m a a m

+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题)． 【拓展】:，则，，000>>>>n m b a b

a n

b n a m a m b a b <++<<++<1． ②,,a b

c R +

∈，

b d a

c <,则b b

d d

a a c c

+<<+； ③n N +∈,1

112n n n n n

+-<

<--; ④,1n N n +∈>,211111

11n n n n n

-

<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x

e x +≥()x R ∈．

函数()(0)b

f x ax a b x

=+

>、图象及性质 (1）函数()0)(>+

=b a x

b

ax x f 、图象如图：

(2)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、性质：

①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ;

x

a

b ab

2-ab 2a

b -

o

y

②单调递增区间：(,]b a -∞-

，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]b

a ,[,0)b

a

-.

基本不等式知识点总结

重要不等式

１、和积不等式：,a b R ∈⇒2

2

2a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”).

【变形】:①222()22a b a b ab ++≤≤(当ａ = b 时,22

2()22

a b a b ab ++==) 【注意】：

(,)2a b ab a b R ++∈≤，2

(

)(,)2a b ab a b R +∈≤

2、均值不等式：

两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”

222

2“”1122ab a b a b ab a b a b a b

++===++≤≤≤（当且仅当时取） *．若0x >，则1

2x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”);

若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠,则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”)

*.若0>ab ,则2≥+a

b b

a （当且仅当

b a =时取“=”)

若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取

“＝”） ３、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）:

3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立，

时取等或0=++==c b a c b a )；

3

3a b c abc ++≤ ⇒3()3

a b c abc ++≤333

3a b c ++≤

*不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时，

ab b a 222≥+同时除以ab 得

2≥+b a a b 或b

a

a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b

a -≥22

八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2

)2

(b a ab +≤; ③2)2(222b a b a +≤+

④)(22

2

b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b

a -≥22

；⑥a>0,ｂ＞0,则b a b a +≥

+411;⑦若a>0,b>0，则ab b a 4

)11(2≥+; ⑧ 若0≠ab ，则2

2

2)11(2111b a b

a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“

b a =”。

最值定理

（积定和最小）

①,0,2x y x y xy >+≥由，若积()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值2p ;

（和定积最大）

②,0,2x y x y xy >+≥由,若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值

2

14

s . 【推广】：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(2

2

+-=+.

(1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时,||y x +最大;当||y x -最小时,||y x +最小． （２)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大．

③已知,,,R a x b y +

∈,若1ax by +=，则有则的最小值为：

2

11

11()()2 ()by ax

ax by a b a b ab a b x y x y x y

+=++=+++++=+≥