基本不等式知识点归纳
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
高中不等式全套知识点总结
高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。
一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。
2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。
3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。
二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。
2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。
3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。
三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。
2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。
2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳不等式是数学中重要的概念之一，其在代数中应用广泛。
基本的不等式知识点包括一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及高次不等式等内容。
本文将对这些基本不等式知识点进行归纳总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0，其中a、b均为已知常数，x为未知变量。
解一元一次不等式的关键是将其转化为等价的简单形式。
具体解法如下：1.当a>0时，将不等式转化为x>-b/a或x<-b/a，即可得到不等式的解集。
令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
2.当a<0时，将不等式转化为x<-b/a或x>-b/a，即可得到不等式的解集。
同样令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
二、二元一次不等式二元一次不等式即含有两个变量的一次方程，形如ax+by>c或ax+by<c，其中a、b、c均为已知常数，x、y为未知变量。
解二元一次不等式的关键是确定不等式的解集。
具体解法如下：1. 将不等式转化为等价的简单形式，即将不等式化为一个以上的不等式。
例如，对于ax+by>c，可以根据a、b的正负情况，分别得到x>c/a、x<c/a、y>c/b和y<c/b四个不等式。
2.根据得到的不等式，确定不等式的解集。
根据不等式的关系，将x、y的解集分别标在坐标平面上，其中各个解集的交集即为该二元一次不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式，形如，ax+b，>c或，ax+b，<c，其中a、b、c均为已知常数，x为未知变量。
解绝对值不等式的关键是确定绝对值不等式的情况，然后将其转化为简单的不等式。
具体解法如下：1. 当a>0时，原绝对值不等式可以转化为ax+b>c或ax+b<c的形式。
《基本不等式》知识点及题型总结
基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数的大小关系。
在不等式中，通过使用不等号（<, ≤, >, ≥）来表示不同数的大小关系。
1. 基本不等式：- 加减法不等式：如果a > b，则有a + c > b + c，a - c > b - c； - 乘法不等式：如果a > b 且 c > 0，则有ac > bc；如果a > b且 c < 0，则有ac < bc；- 除法不等式：如果a > b 且 c > 0，则有a/c > b/c；如果a >b 且c < 0，则有a/c < b/c；- 幂不等式：如果a > b 且 n > 1，则有a^n > b^n；如果0 < a < b 且 0 < n < 1，则有a^n > b^n。
2. 不等式的性质：- 传递性：如果a > b 且 b > c，则有a > c；- 对称性：如果a > b，则有b < a；- 反身性：对于任意的a，有a = a；- 加减性：如果a > b，则有a + c > b + c；- 乘除性：如果a > b 且 c > 0，则有ac > bc，a/c > b/c。
3. 不等式的求解：- 确定不等式的解集：通过比较不等式中的数的大小关系，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 1 > 5，可以通过移项得到2x > 4，再除以2得到x > 2，解集为{x | x > 2}。
- 不等式的逆运算：对于不等式a > b，可以通过取倒数、开平方、开n次方等逆运算来改变不等式的大小关系。
- 不等式的绝对值：当不等式中存在绝对值时，需要对绝对值进行分类讨论，分别讨论绝对值的正负情况，然后求解不等式。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。
在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。
本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。
一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。
二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。
3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。
5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。
若c ≤ 0，则ac ≥ bc。
6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。
若 c < 0，则a/c ≥ b/c。
三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。
柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。
该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。
3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式知识点总结上学的时候，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？以下是小编收集整理的不等式知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
不等式知识点总结篇1不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0)在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
不等式知识点总结篇21.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a>bb>a②传递性:a>b，b>ca>c③可加性:a>ba+c>b+c④可积性:a>b，c>0ac>bc⑤加法法则:a>b，c>da+c>b+d⑥乘法法则：a>b>0，c>d>0ac>bd⑦乘方法则：a>b>0，an>bn(n∈N)⑧开方法则：a>b>02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+，那么(当且仅当a=b时等号)如果为实数，则重要结论(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
高中不等式知识点大全总结
高中不等式知识点大全总结一、基本不等式性质1. 两个数的比较：（1）当 a > b 时，a-b>0；（2）当 a < b 时，a-b<0；（3）当 a = b 时，a-b=0。
2. 不等式的四则运算：不等式有“加减乘除”运算律，即不等式两边都同时加减(乘除)同一个数，不等式依然成立。
3. 绝对值不等式：对于任何实数 a 和正实数 b，有|a| > b 的不等式解集是 a > b 或 a < -b。
4. 不等式的取反：若不等式 a > b 成立，则其取反 a < b 也成立；若不等式 a > b 不成立，则其取反 a < b 亦成立。
5. 不等式的合并：若不等式 a > b 和 c > d 同时成立，则其合并为 a + c > b + d 成立。
6. 不等式的分拆：若不等式 a + b > c + d 成立，则其分拆为 a > c - b + d 或 b > d - a + c 成立。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+b > 0 或ax+b < 0。
1. 解不等式的方法一元一次不等式的解法包括两种：一是化简法，即通过使用运算律化简不等式，然后求出不等式的解集；二是图解法，即将不等式用图形表示出来，然后求出不等式的解集。
2. 一元一次不等式组一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的系统。
解一元一次不等式组的方法同样包括化简法和图解法。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式，通常具有形式 ax^2+bx+c > 0 或 ax^2+bx+c < 0。
1. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法通常使用折线法和区间法。
折线法是利用二次函数的拐点和零点来求解不等式的解集；区间法是将一元二次不等式用图像表示出来，然后找出其零点和开口方向，从而求出解集。
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
基本不等式知识点
基本不等式知识点1. 算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）- 表述：对于所有非负实数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，算术平均数总是大于或等于几何平均数。
- 数学表达：\(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}\)。
- 等号成立条件：当且仅当所有 \(a_i\) 相等时，等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）- 表述：对于所有实数序列 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 和 \(b_1,b_2, ..., b_n\)，两序列对应元素乘积的和的平方不超过各自平方和的乘积。
- 数学表达：\((a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\)。
- 等号成立条件：当且仅当 \(a_i = \lambda b_i\) 对所有 \(i\) 成立时，等号成立，其中 \(\lambda\) 是一个常数。
3. 詹森不等式（Jensen's Inequality）- 表述：如果 \(\phi\) 是一个实数上的凸函数，对于任意实数序列 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，算术平均数的函数值总是小于或等于这些数的函数值的算术平均数。
- 数学表达：\(\phi\left(\frac{x_1 + x_2 + ... +x_n}{n}\right) \leq \frac{1}{n}\phi(x_1) +\frac{1}{n}\phi(x_2) + ... + \frac{1}{n}\phi(x_n)\)。
- 等号成立条件：当且仅当 \(x_1 = x_2 = ... = x_n\) 时，等号成立。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1.不等式的性质：不等式具有与等式类似的运算性质，例如可以进行加减乘除运算，并且可以对不等式的两边同时进行相同的运算。
但需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向会发生改变。
2.加法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a+c<b+c。
即不等式两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。
3.减法不等式：对于实数a、b和c，若a<b，则a-c<b-c。
即不等式两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。
4.乘法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a·c<b·c。
即不等式两边同时乘以正数，不等式的关系保持不变。
需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。
5.除法不等式：对于实数a、b和正数c，若a<b且c>0，则a/c<b/c。
即不等式两边同时除以正数，不等式的关系保持不变。
需要注意，当c为负数时，不等号的方向会发生改变。
6.平方不等式：对于实数a和正实数b，若a>b，则a²>b²。
即不等式两边同时取平方，不等式的关系保持不变。
7.绝对值不等式：对于任意实数a和正实数b，若，a，<b，则-b<a<b。
即如果一个实数的绝对值小于一个正实数，则这个实数的取值范围在-b和b之间。
8.基本不等式的应用：基本不等式可以应用于各类数学问题的解决，例如求解方程组、解决最值问题等。
这些应用需要根据具体问题，结合基本不等式的性质，并运用合适的不等式进行推导。
以上是基本不等式的主要知识点。
通过掌握这些知识点，我们能够更好地理解不等式的性质，并有效地运用于解决实际问题。
在学习和应用过程中，我们可以通过大量的练习，加深对基本不等式的理解和掌握，提高解决问题的能力。
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基本不等式知识点归纳————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:基本不等式知识点总结向量不等式：||||||||||||a b a b a b -±+≤≤【注意】： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+; a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似)代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥;,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等双向不等式:a b a b a b -±+≤≤(左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.)放缩不等式：①00a b a m >>>>，，则b m b b ma m a a m-+<<-+. 【说明】：b b m a a m+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题)． 【拓展】:，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1． ②,,a bc R +∈，b d ac <,则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈,1112n n n n n+-<<--; ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈．函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1）函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ;xab ab2-ab 2ab -oy②单调递增区间：(,]b a -∞-，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]ba ,[,0)ba-.基本不等式知识点总结重要不等式１、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”).【变形】:①222()22a b a b ab ++≤≤(当ａ = b 时,222()22a b a b ab ++==) 【注意】：(,)2a b ab a b R ++∈≤，2()(,)2a b ab a b R +∈≤2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”2222“”1122ab a b a b ab a b a b a b++===++≤≤≤（当且仅当时取） *．若0x >，则12x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”);若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”)*.若0>ab ,则2≥+ab ba （当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“＝”） ３、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）:3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a )；33a b c abc ++≤ ⇒3()3a b c abc ++≤3333a b c ++≤*不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时，ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或baa b -≥-11。
*,,b a 均为正数，b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤; ③2)2(222b a b a +≤+④)(222b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a ba -≥22；⑥a>0,ｂ＞0,则b a b a +≥+411;⑦若a>0,b>0，则ab b a 4)11(2≥+; ⑧ 若0≠ab ，则222)11(2111b a ba +≥+。
上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。
最值定理（积定和最小）①,0,2x y x y xy >+≥由，若积()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值2p ;（和定积最大）②,0,2x y x y xy >+≥由,若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214s . 【推广】：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.(1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时,||y x +最大;当||y x -最小时,||y x +最小． （２)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大．③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=，则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知，若则和的最小值为:①．②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”:⑴凑系数（乘、除变量系数）.例１．当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项（加、减常数项）:例２.已知54x < ,求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子:例3．求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式:基本不等式2a bab +≥有几个常用变形,2222a b a b ++≥,222()22a b a b ++≥不易想到,应重视; 例4.求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值;⑸连用公式:例5．已知0a b >>,求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例６.已知1,12x y >>,且xy e =，求ln (2)yt x =的最大值;⑺三角变换:例7.已知20y x π<<≤,且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值;⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b=+的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=（a 为定值，0a ≠），可设cos ,sin ,x a y a αα==,其中02απ<≤．①(,)sin cos 2sin()4f x y x y a a a πααα=+=+=+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数，在15[,]44ππ上是减函数;②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11sin cos (,)sin cos x y m x y x y xy a αααα++=+==.令sin cos 2sin()4t a πααα=+=+，其中[2,1)(1,1)(1,2]t ∈---．由212sin cos t αα=+，得22sin cos 1t αα=-，从而222(,)1(1)()t m x y a t a t t==--在[2,1)(1,1)(1,2]---上是减函数.⑵和为定值若x y b +=（b 为定值，0b ≠）,则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y b m x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2b+∞上是增函数．③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2b +∞上是增函数;⑶积为定值若xy c =（c 为定值,0c ≠）,则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时，在[,0),(0,]c c -上是减函数,在(,],[,)c c -∞-+∞上是增函数;当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数;②111(,)()x y c m x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时,在[,0),(0,]c c -上是减函数,在(,],[,)c c -∞-+∞上是增函数;当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数;③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,),(0,]c c -∞-上是减函数，在(,0],[,)c c -+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=(d 为定值,111,,x d y),则.cy x=成等差数列且均不为零，可设公差为z ,其中1z d≠±，则1111,,z z x d y d=-=+得,.11d dx y dz dz==-+.①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d-∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11[0,),(,)d d--+∞上减函数;②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d-∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数;当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d--+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。