《平面向量复习小结》 课件

2 2
2
2


2
2
2
1 4 e1 e 2 4 e1 e2 cos 60 4 1 4 11 1 7 2
∴
a 7
同理可得
b 7
a b 2e1 e2 3e1 2e2 6e1 e1 e 2 2 e2
7 a b 1 2 cos 2 7 7 ab
则 a · b =x1x2+y1y2


五、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中 a （x1，y1）， b （x2，y2）
3、数乘向量的运算律： a a （ ） a a a

（a b） a b
a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
4、共线向量基本定理

有且只有一个
5、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个 不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a 1 e1 2 e2
( b 2 a ) b ，则 a 与 b 的夹角是( ) （A） 30 （B） 60 （C） 120








（D） 150
2
分析:∵ ( a 2 b ) a 0 ,∴ a 2a b 即 a 2a b ① ∵ ( b 2 a ) b 0 ,∴ b 2a b 即 b 2a b ② ∴由①②可得 a b 2a b
x' x h y' y k
知二求一
练习: 1.点 (3,4) 关于点 B(6,5) 的对称点是（ C） 9 1 (A) (3,5) (B) (0, ) (C) (9,6) (D) (3, ) 2 2 Q(2,3) ， 2.已知两点 P(4, 9) ， 则直线 PQ 与 y 轴的交点分 PQ 所 成的比为（C ）
2、坐标运算： A C
a +b a
B
b
设a （x1，y1） ， b （x2，y2） （x1 x2，y1 y2） 则a b D a +b b （二）向量的减法 A a
1、作图 平行四边形法则： AB
C
AD DB
B
2、坐标运算：
设a （x1，y1） ， b （x2，y2）
1 ,∴选(B) ∴ cos a, b ab 2 a b

2
2
2
例：设e1 , e2为两个单位向量，且夹角为60o， 若a 2e1 e2 , b 3e1 2e 2，求a与b的夹角 .
解：∵
a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1 e2 e2

平行四边形法则
OB OA =（x2-x1 , y2-y1）
OA AB OB
三角形法则
实数与 向量的 乘积
AB =λ a λ ∈R


记 a =(x,y) 则 a =(λ x,λ y)


两个向 量的数 量积
a b a b cos a, b 记 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos 2、数量积的几何意义：
等于a 的长度| a | 与 b 在 a 方向上的投影| b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
B
a b x1 x2 y1 y2
O B1 4、运算律: （ 1 ） a b b a （2）（ a ） b （a b ） a（ b ） θ A
坐标表示
2
1.下面五个命题： ⑴所有的单位向量相等； ⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； ⑶若 a， b 满足 | a || b | 且 a， b 同向，则 a b ； ⑷由于零向量的方向不确定，故 0 与任何向量不平行； ⑸对于任何向量 a， b ，必有 | a b | ≤ | a | | b | ． 其中正确命题的序号为(B ) （A）⑴,⑵,⑶ （B）⑸ （C）⑶,⑸ （D）⑴,⑸
七、向量的长度
（ 1 ） a a | a | ， | a | a （ 2 ）设 a （x，y），则 | a | x 2 y 2
2
2 2 （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则| AB | （x1 x 2） （y1 y 2） x1 x2 y1 y2 八、向量的夹角 cos a b 2 2 x12 y12 x2 y2 | a || b |
则a b （x1 x2，y1 y 2）
（三）数乘向量 λ a
（1）长度： a a 1、 a 的大小和方向：
同向 （2）方向： 当 0时， a与a 当 0时， a与a异向
2、数乘向量的坐标运算 ：
a （x，y） （x，y）
当 0时， a 0
C
-3
4、已知 a （ 1， 2）， b （ 3， 2），当 k 为何值时， （） 1 ka b与a 3b 垂直？ （2）ka b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
例：已知向量 a, b 满足 则
a 1, b 2, a b 3 ,
a b _____.
OP OQ
2cos x 2cos x f ( x) ( x , ) cos 2 2 ,∴ 1 cos x OP OQ 1 cos x 4 4
九、线段的定比分点
点P（x，y）分有向线段P （ ），P （ 1P 2所成定比为 ，其中P 1 x1，y1 2 x2，y 2） PP2 即P 1P 中点坐标 定比分点P的坐标
2．已知 ABCD 的顶点 A(1, 2) , B(3, 1) , C (5, 6) ,求顶点 D 的坐标.
3．已知梯形 ABCD 中， | AB | 2 | DC | ， M ，
N 分别是 DC 、 AB 的中点，若 AB e1 ， AD e2 ， 用 e1 ， e2 表示 DC 、 BC 、 MN ．
OA （x，y）
y a j
O
A (x,y)
a
x i
x
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两 向量 a 与 b 相等,记为 a b .
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4. 零向量 :长度为零的向量叫零向量 .零向量只 有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量 有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
基础练习:(解斜三角形的四种类型举例练习) ⑴已知三边可利用余弦定理;
练习 1.在 ABC 中, a 3,b 5, c 7 , 则此三角形最大角大小为__.
用余弦定理：
2 2 2
120 .
⑵已知两角及一边可利用正弦定理;
a b c 9 25 49 1 cos C ,∴ C 120 . 2ab 2 35 2

十一、正弦余弦定理
1、正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
（R为外接圆半径）
两边一对角 2、余弦定理：
两角任一边
c2=a2＋b2－2abcosC b2=c2＋a2－2cacosB;
cosA= cosB= cosC=
b2 c2 a2 2bc
a2=b2＋c2－2bccosA;
法一:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
2
2
2
代入求得
2
a b =-2.
2
2
得
2
ab 1
2
法二:发现
a b a b 2( a b ) 代入求得.
例：已知 a 、 b 是非零向量且满足 ( a 2 b ) a ，
一、向量的基本概念 向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量等.
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的大小又叫向量的模 ( 也就是用来表示向 量的有向线段的长度).
2、向量的表示 B
1、字母表示：AB或a
2、坐标表示：
A
y
a xi y j （x，y）
∴ AB e1 4e2 又∵ AB 2e1 ke2
2 ∴ ∴ k = 8 k = 4
1.已知 a (1,3), b ( x, 1), 且 a ∥ b ,则 x 等于( ) 1 1 (A)3 (B) 3 (C) (D) 3 3 2.已知 a (1,3), b ( x, 1), 且 a ⊥ b ,则 x =____. 3.已知 a (1,3), b ( x, 1), ,且 a 2b 与 2 a b 平行, 则 x 等于（ ）
1 (A) 3
1 (B) 2
(C)2

3
(D)3
3. 把一个函数图像按向量 a ( ,2) 平移后，得到的图象的表
达式为 y sin( x ) 2 ，则原函数的解析式为
6
y cos x． ___
4、函数y sin x的图象F源自按 a （ ， 2）平移得到F ` ， 3 求F ` 的函数解析式。