股票指数期权外汇期权和期货期权

股票指数期权外汇期权

和期货期权

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股票指数期权、外汇期权和期货期权

【学习目标】本章的主要学习目标是掌握股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价原理。我们把这三种期权放在一起讨论是因为它们的定价原理相同，三种期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产。对股票指数而言，它的红利是指数所含股票的红利总和，对外汇而言，可以把外汇的利率看成红利，而对期货而言，可以将融资成本和标的资产的储存成本看成红利。

我们还要深入理解各种期权定价模型在本章中的运用。因为股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产，因此可以用默顿（Merton ）模型直接为这三种资产的欧式期权定价。同样，二叉树模型也可以直接应用，二叉树模型还可以直接用来为美式期权定价。

第一节 欧式股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价 默顿（Merton ）模型是B-S （Black-Scholes ）模型的扩展，可以用来为支付连续复利红利的资产的欧式期权定价。

一、默顿模型

默顿模型通过将股票所支付的连续复利的红利看成负的利率来扩展B-S 模型。在前面的章节里，我们证明了红利的支付会降低看涨期权的价值，因为红利会降低期权标的股票的价值。实际上，连续红利支付意味着股票价值的连续漏损，令q 表示漏损率，它等于红利的支付率。因此，我们只要将)(t T q Se --代替式（）和（）中的S 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。根据默顿模型，标的股票支付连续红利的欧式看涨期权的价值为

()()()()12q T t r T t c Se N d Xe N d ----=-

由于

()()ln ln q T t Se S q T t X X --⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭

因此，1d 、2d 分别为：

21221d d d σ===- （） 从中可以看出，默顿模型将标准的B-S 模型中的S 换成了

)(t T q Se -- （）

依据默顿模型得出的欧式看跌期权价值为

()()()()21r T t q T t p Xe N d Se N d ----=--- （）

当q ＝0时，默顿模型就转化为B-S 模型。

二、股票指数期权

默顿模型也可以用来给股票指数期权定价。股票指数综合反映了一系列股票的表现，我们可以将股票指数看成是一个股票组合，每期都可能有一部分股票支付红利。因为我们是给以一个组合为标的的期权定价，所以我们关心的只是组合的红利支付，几乎所有的股票都只是按期支付离散的红利，不过股票指数中包含了众多的股票，因此假设股票指数支付连续红利是比较接近现实的，而且指数所含股票越多，这个假设就越合理。

为了解释默顿模型在股票指数期权定价上的运用，我们用一个例子来进行说明。

例 假设现在有一价值为的股票指数，指数收益的标准差是，无风险利率是8％，指数的连续红利支付率是4％。该指数的有效期为150天的欧式看涨期权和看跌期权的执行价格为，那么，q ＝4％，S =。

()(

)12350150ln 0.080.040.50.20.20.0289880.0246580.4184130.128212

0.4184130.290201d d ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦=+===-=

从而

()()()()()()()()12120.418410.662177;0.2902010.614169;

0.418410.337823;0.2902010.385831.N d N N d N N d N N d N ====-=-=-=-=

因此，期权价值为

三、外汇期权

我们现在考察默顿模型在外汇期权定价中的运用，我们站在美国期权交易者的角度来看这个问题，此时外汇汇率（直接标价）成了S ，外汇的利息可以看成红利，公式中的标准差是标的资产价格即外汇汇率的标准差。

例 考虑一个英镑的欧式看涨期权和欧式看跌期权。英镑目前的汇率是$，标准差是，英国目前的无风险利率为12％，而美国的是8％，看涨期权和看跌期权的执行价价格都为$，有效期都是200天。

根据默顿模型，可以计算得到看涨期权价值为$，看跌期权价值为$。

四、期货期权

假设有一种类似黄金的资产，这种资产的存货相对于消费很大，而且容易保存，该资产生产的季节性不明显，消费的季节性也不明显，而且这种资产可以卖空。当这些条件都满足时，以该资产为标的的期货的理论价格为

()r T t F Se -= （）

如果这个等式不成立，就会有无风险的套利机会存在。一般而言，所有的贵金属（金、银和铂等）和所有的金融工具（股票和债券等）都满足这个关系。

从默顿模型的角度来看，资产即期价格的增长率r ，取代了q ,期货价格取代了（）中的股票价格。也就是说，对于可以纳入持有成本模型的资产，它的期权定价可以将默顿模型中的q 用r 来取代进行，即令q ＝r 即可，这样处理使得期货期权的定价十分简单。因此，欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权的价值分别为

)]()([21)(d XN d FN e c t T r -=--

)]()([12)(d FN d XN e p t T r ---=--

其中，

21221d d d ===- （） 式（）中的标准差是指期货价格的标准差。

例 假设有一个有效期为一年的股票指数期货的欧式期权，指数现在为，无风险利率为7％，因此，根据持有成本模型，期货价格应该为：

()0.07365480$514.80F e ⨯=⨯=

设以该期货为标的的欧式期权的执行价格为，期货价格的标准差为，那么

12514.80ln 0.50.20.2500.000.2458520.2

0.2458520.20.045852

d d ⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭===-= ()()120.597102;0.518286.N d N d ==

因此，期权价格为