一元六次方程有一种等价形式存在代数解法

R ± R2 − 4 PT 2P ( P ≠ 0) P 2 R ± R 2 − 4 PT + −Q 4 P
4 、1、1 代人 ○ 1 得到： ○ 4 、1、1 代人 ○ ○
e=±
R ∓ R 2 − 4 PT f = 4 2 、1 得到： R ∓ R 2 − 4 PT 2 g =± ( ) −U 4
2 、1、1 代人 ○ 5 得到： ○
6
3 、1 是一个关于 P 的方程，无论是否求出它的根，它的根总是存在 ○ 的。现在，本文在这里已经证明了本文提出的——总是存在合适的 k， 使得（1）的等价形式（2）有代数解法或者根式解。 另一种变换： 令
y=z− P 6 ，y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 化为：
z3 −
P2 P3 P P P2 z+ = −dz + d − f ± ( ez 2 − ez + e + g) 12 108 6 3 36
一元六次方程有一种等价形式存在代数解法1
前言
阿贝尔定理认为五次及更高次数的一元方程不存在代数解法或者 根式解。根据该定理对于一般六次方程 x6+px5+qx4+rx3+sx2+tx+u=0 （1） 不存在代数解法或者根式解。 将伽罗瓦群应用到用根式解方程的问题是按下迷方式实现的.设 f 是域 k 上的 X 的多项式，k 是 f 的分解域。设 G 是扩张 K/k 的伽罗瓦群， 它叫做域 k 上多项式 f 的伽罗瓦群 (它的元素当然用方程 f (x) = 0 的根的 置换来描述)。原来，当且仅当多项式 f 的伽罗瓦群为多循环群时，方 程 f (x)=0 才可用根式来解。2 令 x = y + k ，所得到的关于 y 的六次方程 y6+（p+6k）y5+(q+5pk+15k2)y4+( r+ 4kq+10pk2+20k3)y3 +( s+3rk +6k2q+10pk3+15k4)y2 +(r +(s 3rk+ +3k2r+4k3q+5pk4+6k5)y+( u+tk +sk2+rk3+qk4+pk5+k6)=0 +(t+2ks 2ks+ +(u+tk u+tk+ 本文记为: y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 （2） 。 如果（2）有代数解法或者根式解，则也可以说（1）有代数解法或 者根式解。显然， （1）的根 x 和（2）根 y 存在关系 x = y + k 。 本文提出：总是存在合适的 k，使得（1）的等价形式（2）有代数 解法或者根式解。 另 外 一 种表 达 是 ： 存 在 代 数 解 法或 者 根 式 解 的
R P − d 2 2 R ± R2 − 4 PT 2P
y3+(P/2+e)y2+dy+f+g=0 和
参 数 说 明 ：
f =
f =
；
d=
( P≠0 )
；
P 2 R ± R 2 − 4 PT R ∓ R 2 − 4 PT 2 R ∓ R 2 − 4 PT e=± + −Q g =± ( ) −U 4 P 4 4 ; ；
结论
本文提出： +u=0 在取得 y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 的具体形式时， x6+px5+qx4+rx3+sx2+tx tx+ 的根是可求的（
x = y+ P− p 6 ） 。
由令
x = z−
p 6 得到缺项六次方程 z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η=0
6
令 z = y + k 得到：z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η=y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 的根分别包含在 y3+(P/2-e)y2+dy+f-g=0 中。
（1 ） 、系数满足
2
UQ U 2 UQ U 2 − e ) *( Q + e 2 − − e ) = T −U T T T T （T ≠ 0 ）
d = Q+Biblioteka Baidu − h; e4 + 2
h=
T UQ U 2 g = Q + e2 g = + e U T T ；
e 满足
U 3 UQ e + Qe 2 + (2 − R )e − S = 0 T T ，可用四次方程的解法求出。
把 d,e,f,g 代人○ 3 得到系数关系式：
(
R ± R 2 − 4PT 2 RP ∓ P R 2 − 4PT R ∓ R 2 − 4PT 2 P 2 R ± R 2 − 4PT ) + − S = ±2 ( ) −U × + −Q 2P 4 4 4 P
3 、1 ○ 对于 x6+px5+qx4+rx3+sx2+tx+u=0,按照对应关系 p=P…u=U,带入 3 、1， ○
e =0；
f,g =
或有其他形式，从略。 当 y5+Py4 +Qy3+Ry2+Sy+U=0 的系数满足 2 3 Sf − f − UP R ± R − 4UP 5 e= 2 Sf − 2 f 3 − UP = ±U P2 + 8 f , f = 2P U （ P ≠ 0 ）时；
2
y2+(2P/5+e)y+f=0 和 y3+(3P/5-e)y2 +fy+U/f=0 包含 y5+Py4+Qy3+Ry2 +Sy+U=0 的六个根。
y3 + P 2 y = − dy − f ± ( ey2 + g) 2 P P + e) y 2 + dy + ( f + g )] × [ y 3 + ( − e) y 2 + dy + ( f − g )] = 0 2 2 。
即
[ y3 + (
命 题 y3+(P/2+e)y2+dy+f+g=0 和 y3+(P/2-e)y2+dy+f-g=0 包 含 y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 的六个根成立的全部条件是下面的方程组Ⅰ P 2/4+2d-Q=e2 Pd+2f-R=0 4d2+4Pf- 4S=8ge 8df-4T=0 f2-U=g2 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○
一、思路
容易证明(y3+Py2/2)2+(2dy+2f)(y3+Py2/2)+(Q-2d-P2/4)y4+(R-Pd-2f)y3+(S-Pf)y2+Ty+U =y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U 令 4d2y2+8dfy+4f2-4(Q-2d-P2/4)y4-4(R-Pd-2f)y3-4(S-Pf)y2-4Ty-4U=(2ey2+2g)2 则， (y3+Py2/2)2+(2dy+2f)(y3+Py2/2)+(2d-P2/4+Q)y4+(Pd+2f+R)y3+(Pf+S)y2+Ty+U=0 的 等价形式是
5 产生：由 如果成立，则可按照此方法求出。当然系数关系式也可由○ 3 得到： ○ 略。 套用在前面对系数的说明有:
3
g=（4d2+4Pf-4S）/8e； （ e ≠ 0 ）代人○ 5 。当 e=0 容易探讨，从
q+5pk +15k2;R= r+ 4kq +10p k2+20k3;S= s+3rk +6k2q+10p k3+15k4; Q= Q=q +5pk+ ;R=r 4kq+10p +10pk ;S=s 3rk+ +10pk T= t+2ks +3k2r+4k3q+5p k4+6k5;U= u+tk +sk2+rk3+qk4+pk5+k6； k = P − p T=t 2ks+ +5pk ;U=u+tk u+tk+
4
这 样 ， 就 用 具 有 代 数 解 法 的 形 式 把 一 般 六 次 方 程 z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η=0 “绑架” 。 如果能够求解出该方程就可以了。 令 z = y + k ；令
k= P 6 ，则有：
z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η =y6+Py5+(γ+15k2)y4+(δ+ 4kγ+20k3)y3 +(ε+3δk+6k2γ+15k4)y2 +(ζ+2kε+3k2δ+4k3γ+6k5)y+(η+ζk+εk2+δk3+γk4+k6) =y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U 明显：Q=γ+15k2；R=δ+ 4kγ+20k3；S=ε+3δk+6k2γ+15k4； T=ζ+2kε+3k2δ+4k3γ+6k5；U=η+ζk+εk2+δk3+γk4+k6； 只要确定 k ，也就确定了 P = 6 k 。唯一的线索是代人○ 3 、1，得到另一 个关于 P 的方程。
其中，P=6k；Q=γ+15k2；R=δ+ 4kγ+20k3；S=ε+3δk+6k2γ+15k4； T=ζ+2kε+3k2δ+4k3γ+6k5；U=η+ζk+εk2+δk3+γk4+k6； k 满足关于 k 的高次方程：
(
R ± R 2 + 4T 2 RP ∓ P R 2 + 4T ) + ± 2P 4
2
由 ○ 2 得到 当 P=0，
f =
f =
R P − d 2 2
2 、1 ○
R T d= 2; R ( R ≠ 0 );
当 P=0，R=0, f = 0 ……特殊形式是容易求解的，本文从略。 把 2 、1 代人 ○ 4 有 ○
Pd 2 − Rd + T = 0 d=
4 、1 得到： ○ 4 、1、1 ○ 1 、1 ○ 2 、1、1 ○ 5 ○ 、1
= [ z 3 + ez2 + ( d −
x = z−
p 6 ，设所得到的六次 方程为
P2 P P3 P P2 P2 P P3 P P2 − e) z + − d+ f + e + g] × [ z3 − ez2 + ( d − + e) z+ − d+ f − e− g] 12 3 108 6 36 12 3 108 6 36
二：若干特殊形式
3 2 y6+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 可 以 拆 分 成 两 个 三 次 方 程 y + ey + dy + f = 0 和
y 3 − ey 2 + hy + g = 0 。当系数 Q、R、S、T 、U 满足若干条件，d,e,f,g 是能够求解出的。
由于两个三次方程就包含 y6+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0 的所有的根。 ( R − eQ − e3 −
P 2/12)-e2=γ 2(d2(d-P +2e2P/3=δ 2(P 3/108-Pd/6+f) /108-Pd/6+f)+2e (dP2/12)2-e2P2/9-2e (eP2/36+g) =ε (d-P /9-2e(eP P2/12)+2 (eP2/36+g) Pe/3=ζ 2(P 3/108-Pd/6+f)(d/108-Pd/6+f)(d-P /12)+2(eP /36+g)Pe/3= (P3/108-Pd/6+f)2-(eP2/36+g)2=η
T −Q h, d = f,g =± U ； U
T T2 ± − 4S U U 2
R ± R 2 − 4U Q ± Q2 − 4 S R ∓ R 2 − 4U Q ∓ Q2 − 4 S × + × − T =0 2 2 2 2 （4 ） 、系数满足 Q ± Q2 − 4 S R ± R 2 − 4U ; d ,h = 2 2
或：
[ z 3 + ez 2 + (d −
P2 P P3 P P2 P2 P P3 P P2 − e )z + − d+ f + e + g ]× [z 3 − ez 2 + (d − + e )z + − d+ f − e − g ]= 0 12 3 108 6 36 12 3 108 6 36
对 于 x6+px5+qx4+rx3+sx2+tx+u=0 ， 令 , z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η=0 =0, 有：z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η
2 （2 ） 、系数满足 T = ± R S ∓ R − 4U
5
f,g =
R ± R2 − 4U 2 2 2 ； d = ± S ∓ R − 4U ； e = ± ±2 S ∓ R − 4U − Q T2 T − 4 S )( ± − Q) = 0 U U
∓
R ±2 U (
（3 ） 、系数满足
e=± ±
1 2
作者电子邮箱：budgood@126.com 邓应生， 《群论基础》 。页 3. 1
y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0， 令 y = x−k ， 得到 x6+px5+qx4+rx3+sx2+tx+u=0 （1） 。 存在合适的 k 使得（1）是任意所指定的六次方程。对于任意的一元六 次方程（1）在理论上都有存在代数解法或者根式解的等价形式（2） 。 只要有人能确定（2）的具体形式，则（1）的根按照本文的方法必然能 够求出。