牛顿法最优潮流

j=1,2……N
ij
令 Vi ei jfi 展开得 P i jQi (ei jf i )
(G
ji
jBij )(e j jf j )
ji
Pi jQi ei jfi ai jbi , ai (Gij e j Bij f j ) bi (Gij f j Bij e j )
由于欧拉公式的存在，我们也可以把直角坐标系下的功率方程变 形为极坐标系下的功率方程，那么极坐标系的牛顿法是怎样的？
P ,V P sp P ,V T f x J *x sp Q , V Q Q , V P P T V T f T T T x , V 1 ,.., nV1 ,..., Vn r , J xT Q Q T V T
f 2 ( x 0 )( x x 0 ) 2 2!
......
f ( x) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) 0, x x 0
f ( x0 ) f ' ( x0 )
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
f1 ( x1 , x2 , x3 ....... xn ) y1 f ( x , x , x ....... x ) y 2 1 2 3 n 2 ........ f n ( x1 , x2 , x3 ....... xn ) yn
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
y f ( x 0 , x 0 ..x 0 ) 1 1 2 n 1 ... yn f n ( x1 0 , x2 0 ..xn 0 )


f1 x1 f n x 1
Q1 , Q2 ,...Qnr
PV
P n r 1 ,...P n
平衡
P N QN
变量
P Qn r 1 ,...Qn 1, P 2 ,...P n r 1 ,2 ,...nr nr 1 ,...n V1 ,V2 ,... Vnr Vnr 1 ,... Vn
N
VN
数学描述
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
牛顿法是解非线性方程 式的一个有效方法，所 以也被广泛的应用于潮 流计算。核心是修正方 程式的建立与求解。如 图所示利用泰勒公式展 开，取其线性部分代替 非线性方程近似求解。
f ( x) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 )
'
潮流计算
最优潮流
总结分析
电力网络方程的一般形式可以写成
y sp y ( x) f x y sp y ( x) 0
（偏差形式）
牛顿法求解如下，在给定初始值的条件下，对上式做一阶泰勒展开
f x

0

f xT
0 x
x 0 x J 0 1 f x 0
T T T T
P sp 给节点i的有功无功给定值 Pi 为注入功率和给定电压的不平衡量 上式方程一共2n个方程，2n个代求量，两者个数相等。
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
Pi P sp Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij )i 1, 2,........n
其近似解与精确解分别相差
x1 , x2 ,..., xn
f1 ( x1 0 x1 , x2 0 x2 ,....... xn 0 xn ) y1 0 0 0 f 2 ( x1 x1 , x2 x2 ,....... xn xn ) y2 ........ 0 0 0 f ( x x , x x ,....... x x ) y n 1 1 2 2 n n n
1
用△x修正X的初始值得到新值，用k表示迭代次数写成表达式即为
x x
k
J x
k

k
f x
k
k 1
x x
k
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
P e, f P sp P e, f sp J * xT f x Q e, f Q P e, f 2 sp 2 2 V e , f i V V (e, f ) P T e Q f T T T x e f , J xT eT V 2 eT V 2 T f P f T Q f T
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
潮流方程的描述 对于N个节点的电力网络若元件参数已知则网络方程表示为
YU I E*I S *
其中Y为n*n阶节点导纳矩阵， U为N*1阶，I*为N*1阶节点注入电 流列向量 但是电力网络中给定的往往是S而不是电流，所以线性方程就变成
E *YU S *
* P i jQi Vi YijV j ji
ji ji
Pi P sp ei ai f i bi , Qi Q sp f i ai ei bi H ii N ii M ii Lii Pi Pi ai Gii ei Bii f i , H ij Gij ei Bij f i ei e j Pi Pi bi Bii ei Gii f i , N ij Bij ei Gij f i , fi f j Qi Qi bi Bii ei Gii f i , M ij N ij ei e j
f1 x2 f n x2
f1 x1 xn x 2 ... f n xn xn

J称函数的雅克比矩阵；△x为列向量， △f称不平衡量的 列向量，把初始值X（0）代入，可得△f，J中的元素，0 x 然后运用解线性方程的方法，求得 f J x i 第一次迭代计算出的值 xi1 xi0 xi0 然后把计算值 再次代入求得△f，J中的元素，直到满足精确度即可。但 是，初值一定要选取的足够接近精确值，否则迭代过程 可能不收敛。（何以见得）
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
N H J M L , Pi jQi (ei jf i ) (Gij jBij )(e j jf j ) ji R S Pi jQi ei jf i ai jbi , ai (Gij e j Bij f j ), bi (Gij f j Bij e j )
电力系统潮流计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法----牛顿法
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
电力系统分析包括潮流、最优潮流、预想故障分析、电 压稳定、暂态稳定和其他分析，电力系统分析是输电系 统规划中的关键技术之一。潮流计算是电力系统分析的 基础，所谓潮流计算即在给定电力系统网络拓扑、元件 参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功 率及电压在电力网中的分布。 手算如何计算？ 一般来说，各个母线所供负荷的功率S是已知的，各个 节点V是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成 节点导纳矩阵B，然后由B列写功率方程，由于功率方 程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样 潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。
最优潮流
总结分析
综上所述，若一个电力系统含有N个节点，选取第N个作平衡节点， 剩余n=N-1各节点中有r个节点是PV节点，有n-r个节点是PQ节点，因 此出平衡节点外，有n个节点注入有功P，有n-r个节点注入无功Q，有 r个节点的电压是已知的。在直角坐标系下，待求未知数共有2n个，
x 代求变量 e f e1e2 e2 ...en f1 f 2 ... f 3 P P sp e a f b i 1, 2, 3,...n i i i i i 潮流方程线性化 sp Qi Q f i ai ei bi i 1, 2, 3,...n r 2 sp 2 2 2 Vi Vi ei f i i n r 1,......n
Qi Qi ai Gii ei Bii f i , Lij H ij fi f j
V 2 V 2 Rii 2ei , Rij 0, Sii 2 f i , Sij 0 ei f i
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
ji
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij )i 1, 2,........N
ji
Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........N
ji
上式即为电力系统的潮流方程
数学描述
潮流计算
上式全部用泰勒展开即可
f1 f1 f1 0 0 0 f ( x , x .. x ) x x ,....... x y 1 1 2 n 1 2 n 1 x1 x2 xn .... f n f n f n f n ( x1 0 , x2 0 ..xn 0 ) x1 x2 ,....... xn yn x x x 1 2 n
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改 写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出 对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为 额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平 衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压 平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得 到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡 量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功 率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的 电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代 三到五次就能收敛。
ji
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
若
Vi Vi i
则潮流方程的极坐标形式如下：
Pi jQi Vi i (Gij jBij ) V j j
ji
Pi jQi Vi V j (Gij jBij ) cos ij j sin ij
ji
Qi Q sp Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........n r
ji
为了清晰的表达潮流方程中的未知量请看下表。平衡节 点为第N节点、剩余N-1=n个节点中，含有r个PQ节点， n-r个PV节点。
节点 PQ