牛顿法最优潮流
电力系统最优潮流分析
电力系统最优潮流分析电力系统是现代社会中最重要的系统工程之一,为社会生产和人民生活提供了绝大部分能量。
电能的生产需要耗费大量的燃料,而目前电能在输送、分配和消费过程中存在着大量的损耗。
因此如何采取适当措施节约能源,提高整个电力系统的运行效率,优化系统的运行方式,是国内外许多学者一直关注与研究的热点。
电力系统的最优化运行是指在确保电力系统安全运行、满足用户用电需求的前提下,如何通过调度系统中各发电机组或发电厂的运行,从而使系统发电所需的总费用或所消耗的总燃料达到最小的运筹决策问题。
数学上可将此问题描述为非线性规划或混合非线性规划问题。
最优潮流问题是指在满足必须的系统运行和安全约束条件下,通过调整系统中可利用控制手段实现预定目标最优的系统稳定运行状态。
同经典的经济调度法相比,最优潮流具有全面规划、统筹考虑等优点,它可将安全运行和最优经济运行等问题进行综合考虑,通过统一的数学模型来描述,从而将电力系统对经济性、安全性以及电能质量等方面的要求统一起来。
最优潮流问题的提出把电力系统的最优运行理论提高到一个新的高度,受到了国内外学者高度重视。
最优潮流已在电力系统中的安全运行、电网规划、经济调度、阻塞管理、可靠性分析以及能量管理系统等方面得到了广泛应用,成为了电力系统网络运行分析和优化中不可或缺的工具。
一、最优潮流问题研究的意义最优潮流可将电力系统可靠性与电能质量量化成相应的经济指标,并最终达到优化资源配置、降低成本、提高服务质量的目的。
因此最优潮流研究具有传统潮流计算无法比拟的意义,主要体现在以下两个方面。
一方面,通过最优潮流计算可指导系统调度员的操作,保证系统在经济、安全、可靠的状态下运行。
具体表现为:第一,当所求问题以目标函数、控制变量和约束条件的形式固定下来后,就一定可以求出唯一最优解,并且该结果不受人为因素的影响。
第二,最优潮流的寻优过程可以自动识别界约束,在解逐渐趋于最优的过程中可得到网络传输瓶颈信息,从而可以指导电网扩容与规划。
牛顿法最优潮流
j=1,2……N
ij
令 Vi ei jfi 展开得 P i jQi (ei jf i )
(G
ji
jBij )(e j jf j )
ji
Pi jQi ei jfi ai jbi , ai (Gij e j Bij f j ) bi (Gij f j Bij e j )
ji
Qi Q sp Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........n r
ji
为了清晰的表达潮流方程中的未知量请看下表。平衡节 点为第N节点、剩余N-1=n个节点中，含有r个PQ节点， n-r个PV节点。
节点 PQ
ji
Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij )i 1, 2,........N
ji
Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........N
ji
上式即为电力系统的潮流方程
数学描述
潮流计算
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
潮流方程的描述 对于N个节点的电力网络若元件参数已知则网络方程表示为
YU I E*I S *
其中Y为n*n阶节点导纳矩阵， U为N*1阶，I*为N*1阶节点注入电 流列向量 但是电力网络中给定的往往是S而不是电流，所以线性方程就变成
E *YU S *
* P i jQi Vi YijV j ji
ji ji
Pi P sp ei ai f i bi , Qi Q sp f i ai ei bi H ii N ii M ii Lii Pi Pi ai Gii ei Bii f i , H ij Gij ei Bij f i ei e j Pi Pi bi Bii ei Gii f i , N ij Bij ei Gij f i , fi f j Qi Qi bi Bii ei Gii f i , M ij N ij ei e j
潮流的计算机算法ppt课件
2020/3/31
1
带有最优 乘子的牛 顿潮流算
法
牛拉 法
保留非线 性直角坐
标法
保留非线 性直角坐 标快速潮
流法
简
简化
化
满足初 始条件 时为等 效算法
PＱ分 解法
定雅克 比牛顿
法
2020/3/31
基本潮流
最优潮流牛顿算法
最优潮流简化梯度 算法
优化潮流
2
算法名称
算法特性
最优乘子法
能够有效地解决病态系统的潮流计算，且 永远不换发散
2020/3/31
3
内容提要
功率方程 牛拉法 P-Q分解法 保留非线性潮流算法 最小化潮流算法 最优潮流 潮流计算中稀疏技术的运用
2020/3/31
4
➢功率方程
电力系统中已知的往往是功率，需要用已知的功率来代替未
知的电流：
S%i
Pi
代入H、L的表达式
i j时
H ij
Pi
j
UiU j (Gij sin ij
Bij cosij )
cosij 1,Gij sinij 0 U iU j Bij
Lij
Pi U j
Uj
UiU j (Gij
sin ij
Bij
cosij )
cosij 1,Gij sinij 0 U iU j Bij
2020/3/31
15
i j时
H ii
Pi
i
Qi
U
2 i
Bii
U
B2
i ii
Lii
Qi
U
2 i
Bii
U
2 i
最优化理论方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。
由泰勒展开式： ()()()()()Tk k k k fx f x x x f x x x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0Tk k d g <的方向k d 是下降方向。
当α取定后，Tk k d g 的值越小，即T kk d g -的值越大，函数下降的越快。
由Cauchy-Schwartz 不等式：T k k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，Tk k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。
最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。
电力系统稳态分析-牛顿拉夫逊法
0 引言潮流是配电网络分析的基础，用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划,同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容.潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员,从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点。
随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素.及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布，从而为配电网的安全经济运行提供参考.从数学的角度来看，牛顿—拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用.随着现代计算机技术的发展,利用编程和相关软件,可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿—拉夫逊法的基本原理,利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。
1 牛顿-拉夫逊法基本介绍1。
1 潮流方程对于N个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知,则网络方程可表示为：YV I (1—1）=式中,Y为N＊N阶节点导纳矩阵;V为N＊1维节点电压列向量；I为N＊1维节点注入电流列向量。
如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器，则Y为对称矩阵。
电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率,而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系：ˆˆ=EI S（1—2）式中,S为节点的注入复功率,是N＊1维列矢量；ˆS为S的共轭；ˆˆi diag ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。
由（1-1）和（1-2），可得：ˆˆ=S EYV上式就是潮流方程的复数形式,是N 维的非线性复数代数方程组.将其展开,有:ˆi i iij j j iP jQ V Y V ∈-=∑ j=1,2，….，N （1—3)式中， j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。
牛顿、拉夫逊法在潮流计算中的应用
牛顿-拉夫逊法在潮流计算中的应用简介牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
由于便于编写程序用计算机求解，应用较广。
下面以一元非线性代数方程的求解为例，来说明牛顿-拉夫逊法的基本思想。
设欲求解的非线性代数方程为f(x)=o设方程的真实解为x*，则必有f(x*)=0。
用牛顿-拉夫逊法求方程真实解x*的步骤如下：首先选取余割合适的初始估值x°作为方程f(x)=0的解，若恰巧有f(x°)=0，则方程的真实解即为x*= x°若f(x°)≠0，则做下一步。
取x¹=x°+Δx°为第一次的修正估值，则f(x¹)=f(x°+Δx°)其中Δx°为初始估值的增量，即Δx°=x¹-x°。
设函数f(x)具有任意阶导数，即可将上式在x°的邻域展开为泰勒级数，即：f(x¹)=f(x°+Δx°)=f(x°)+f'(x°)Δx°+[f''(x°)(Δx°)2]/2+…若所取的|Δx°|足够小，则含(Δx°)²的项及其余的一切高阶项均可略去，并使其等于零，即：f(x¹)≈f(x°)+f'(x°)Δx°=0Δx°=-f(x°)/f'(x°)x¹= x°-f(x°)/f'(x°)可见，只要f'(x°)≠0，即可根据上式求出第一次的修正估值x¹，若恰巧有f(x¹)=0，则方程的真实解即为x*=x¹。
最优潮流
线性规划法（linear Programming, LP） 混合规划法 内点算法 人工智能方法
非线性规划法
有约束非线性规划方法的基本思想是利用拉 格朗日乘子法和罚函数法建立增广目标函 数，使有约束非线性规划问题转化为无约束 的非线性规划问题，然后利用不用的数学方 法优化求解。
第一个成功的最优潮流算法是Ｄｏｍｍｅｌ 和Ｔｉｎｎｅｒｙ于１９６８年提出的简化 梯度算法。
μ = lT z − uT w
2r
Gap = lT z − uT w
如果参数 μ 按上式取值时，算法的收敛性较
差，所以建议采用
μ = σ Gap
2r
σ ∈ (0,1) 为中心参数，一般取0.1，在大多数
场合可获得较好的收敛效果。
线性化的方程为
[ ] −
∇
2 x
f
(
x
)
−
∇
2 x
h(
x)
y
−
∇
2 x
⎢⎢∇
T x
h(
x
)
0
高斯法和牛顿法
缺点： 本算法的主要缺点是收敛速度很慢。 病态条件系统，计算往往会发生收敛困难 节点间相位角差很大的重负荷系统； 包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电 容等)的系统； 具有较长的辐射形线路的系统； 长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长 度比值又很大的系统。
此外，平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。 目前高斯一塞德尔法已很少使用
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数 方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变 成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称 的逐次线性化过程。
y
y f (x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y(k)
x(k )
o
x x (k 2) (k 1)
x(k)
x
PV节点 PQ节点
P1 H11
Q1
J11
QP22 Hn1
N 11 L11 N 21 L21 N p1
N n1
H12 J12 H 22 J 22 H p2
of Power Flow Pr-oblems．AIEE Trans，1956，75，III：398~404
该2参IP特参NN1参TP1R11最 1参E含tAA、、5erc、99eeoar法考点考考考8otwSSav优 直77na116nt--isit1411特文：文文文9～9o89vno9o66潮 流9年 年m23inmn6点献收献献献n123：（7’iges7年5年qP流 和， 和8t，：：敛：：9h13MuNo年o，9，~）ewodeP原性BTSIJ．F法F11wn．tA最e基ti：r0CA，D9honolr理好BaiSoICawL8tnnmA优于E8tdu-reeT保nF1简、85pEB．lpoyal潮阻6S9法 年eHEpt．r，单内onW：～i元留IaTtE流tE抗rySiSAr，、存，a18eaE．Fo，t件非数nrl矩46uE，sc．es内占49最Iast．T学aoE阵9Tc的线HaClan存用～E．rFnOm优a模ao的PEdrrn潮需量性Pn1．ou．ts型otwS4的r乘TCraw求大6FoyiEer的流bar0算ensaYEl子un较大rtAese．P．ttFs快计c法pim．o．l少增oDp法oPAwsnawe速算Po，r1、 加ecaaFAw潮9SrtoauM6lo算 （潮SuAe’ssl2re．p流utapa．法 限ttlFLyn流upieo1dl/doad8o收 制Jn9reaSu8w算La7bdyn（敛 解dty8osueSuFt．aI法es1性 题oml1dmDo0al99puwsFn）i差 规77es，tdldi（4poMo：模a1a，Swnnt59eycc．）b）6teshhyt3iMeoIn：，EmdgaEtsr，Eix 2参A1参T9参112参S3参参oP2参EiMf、、、、0095noohn、n考考考考考考考（187lwDrteRuaoE1111（17teCtth1ue文文文文文文文59999．～xiiroocog9）68799aCFtdnnh献献献献献献献）118462ca8lost：年年年年05nfooa．2no：：：：：：：F：08gwfvM年r1，，，，（1auFI．eRSIDSBGs39ilEAilwrat最最交含274aunlart，oErI-LCeNsa64）anioEcmmECsrum优优直F～1oTooEDPTn包am：～aoainTSonzEnaad潮潮流c1oSdterIagrdtAD319ora，il括sFaTtdetN流流潮278ni元TnieHlSolriMo631soeanavtrnD，．二on的计流86tawgn件aiW，ac，en～TetslATeePds简算计．Mn．的e，阶essmAaL，1dcPt．mei化的算aPh7Or潮SiTonMtaslA项Kn4uh．iI．wps，梯牛nPi3E流roStrtqVaeiniaodE1I的．ouRmr度顿efmw计Y9nEetGIyaSa6n1．Eep．Lo快法算ly算T8Wcr9rPqsPAol．Kr7IFAuitu法aEvone速6，FladnoSemwt8E．Lt．oisdiw7nE． Wooes，P潮（g9．ranNOrET5hdaPsFMSep1rc（流kyAIlewDaFtE0oasicnSVln）omsw1Etioos算or．aon）Ee．wnaFn，：mgbcld’1y：T法tsPCPiJPlN91OcryAeNLoaL8a87arrDlwoSin2ee6．dn6cnas．iw．i6uede～rs．darr～Ilaaptano1．T8FFNatJPcn91i8tell．Aloecoo7R8runwhmww1S7se．i．6t．psoornnes-
牛顿-拉夫逊法潮流计算
目录摘要11.设计意义与要求2 1.1设计意义21.2设计要求32.牛顿—拉夫逊算法3 2.1牛顿算法数学原理：32.2 直角坐标系下牛顿法潮流计算的原理43 详细设计过程10 3.1节点类型103.2待求量103.3导纳矩阵103.4潮流方程113.5修正方程124.程序设计15 4.1 节点导纳矩阵的形成154.2 计算各节点不平衡量164.3 雅克比矩阵计算- 19 -4.4 LU分解法求修正方程- 22 -4.5 计算网络中功率分布- 25 -5.结果分析- 25 -6.小结- 29 -参考文献- 30 -附录：- 31 -摘要潮流计算是电力网络设计及运行中最基本的计算，对电力网络的各种设计方案及各种运行方式进行潮流计算，可以得到各种电网各节点的电压，并求得网络的潮流及网络中各元件的电力损耗，进而求得电能损耗。
在数学上是多元非线性方程组的求解问题，求解的方法有很多种。
牛顿—拉夫逊法是数学上解非线性方程式的有效方法，有较好的收敛性。
将牛顿法用于潮流计算是以导纳矩阵为基础的，由于利用了导纳矩阵的对称性、稀疏性及节点编号顺序优化等技巧，使牛顿法在收敛性、占用存、计算速度等方面都达到了一定的要求。
本文以一个具体例子分析潮流计算的具体方法，并运用牛顿—拉夫逊算法求解线性方程关键词：电力系统潮流计算牛顿—拉夫逊算法1.设计意义与要求1.1设计意义潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，他的任务是对给定运行条件确定系统运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布及功率损耗等。
潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基础。
具体表现在以下方面：(1)在电网规划阶段,通过潮流计算,合理规划电源容量及接入点,合理规划网架,选择无功补偿方案,满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。
(2)在编制年运行方式时,在预计负荷增长及新设备投运基础上,选择典型方式进行潮流计算,发现电网中薄弱环节,供调度员日常调度控制参考,并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。
最优化理论方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行使用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。
由泰勒展开式： ()()()()()T k k k k fx f x x x f xx x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0T k k d g <的方向k d 是下降方向。
当α取定后，T k k d g 的值越小，即T k k d g -的值越大，函数下降的越快。
由Cauchy-Schwartz 不等式：Tk k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，T k k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。
最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。
带最优乘子的牛顿法潮流计算的基本原理与求解步骤
i 1 i 1 n n
(3) (4)
或
F ( x) [ f ( x)]T f ( x)
若式(1)表示的非线性代数方程的解存在，则以平方和形式出现的标量函数 F(x) 的最小值应该为零。 若此最小值不能变为零，则说明不存在能满足原方程组即式
(10) 其中
f ( x) [ f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)]T
为使表达式简明起见，定义如下三个向量 a [a1 , a 2 , , a n ]T y s y ( x ( 0) ) b [b1 , b2 ,, bn ]T J ( x ( 0) )x c [c1 , c 2 , , c n ]T y (x) 于是式(10)可简化成
n d( ) d n [ (ai bi 2 c i ) 2 ] 2[(ai bi 2 ci )(bi 2ci )] 0 d d i 1 i 1
(14)
将式(14)展开，可得
g 0 g1 g 2 2 g 3 3 0
f ( x) a b 2 c 0
(11)
(12)
将式(12)代入式(3)，原来的目标函数可写为
F ( x) f i ( x) 2 (ai bi 2 c i ) 2 ( )
i 1 i 1 n n
(13)
将 F ( x) 也即 ( ) 对 求导，并令其等于零，由此可以求得最优乘子
(6)
作为搜索方向，并称之为目标函数在 x(k)处的牛顿方向。 在决定最优步长因子 ( k ) 的问题上，对一定的 x ( k ) ，目标函数 F(k+1)是步长因子
最优潮流
gTΒιβλιοθήκη 1 fx x
(5)将已经求得的u、x及 代
L f g T 0
入式(2)，则有
x x x
L f
g
T
g
T
1
f
0
L f g T 0
u u u
u u u x x
L g(u, x) 0
(6)若 L 0 ，则说明这组解就是待求 的最优解，
计算结u 束。否则，转入下一步；
式中：NG为全系统发电机的集合，其中包括平衡 节点s的发电机组；
Ki(PGi)为发电机组 Gi的耗量特性，可以采用 线性、二次或更高次的函数关系式。
(2)有功网损 f (Pij Pji ) (i, j)NL
式中：NL表示所有支路的集合。
✓除此之外，最优潮流问题根据应用场合不 同，还可采用其它类型的目标函数，如偏 移量最小、控制设备调节量最小、投资及 年运行费用之和最小等。
三、最优潮流的算法
（一）概述 ✓ 由于电力系统的规模日益扩大，其节点数可以成百上千，
最优潮流计算模型中包含的变量数及等式约束方程数极为 巨大，至于不等式约束的数目则更多，兼以变量之间又存 在着复杂的函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身 于极其困难的大规模非线性规划的行列。
✓ 寻找能够快速、有效地求解各种类型的大规模最优潮流计 算问题，特别是能够满足实时应用的方法，对广大研究者 来说，仍然是一个巨大的挑战。
✓ 主要包括简化梯度算法、牛顿法、二次规划法等。
1简化梯度算法
✓ 1968年,由Dommel和Tinney提出最优潮流计算 的简化梯度法。
✓ 该算法是最优潮流问题被提出以后，能够成功地 求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第 一个算法。
最优潮流现代内点算法
n
j 1 n
i 1,..., n
P Gi PGi P Gi
Q
Ri
i SG
QRi Q Ri
2
i SR i SB
i j
i ST
2 Vi (ei2 f i2 ) V i
P ij Pij P ij
T i Ti T i
二、最优潮流计算方法现状
• 形成拉格朗日函数：
~u L f ( x) y T h( x) z T [ g ( x) l g ] wT [ g ( x) u g ] ~ zl w
三、现代内点Biblioteka 法• 导出KKT一阶最优性条件：
L x0 x f ( x) x h( x) y x g ( x)( z w) 0
五、仿真结果
算法性能
Ô Å ¶ ¼ ¼ ä Ï ¶ 1.E+3 1.E+2 1.E+1 1.E+0 1.E-1 1.E-2 1.E-3 1.E-4 1.E-5 1.E-6 1 6 11 16 21 ü ´ µ ú ´ Î Ê ý
Â Õ ú ó ¡ Ê Ï è
六、结论
a.
采用节点电压直角坐标模型，使其Hessian矩阵元素为常数， 不需每次迭代形成，方便编程的同时，加快计算速度； 新颖的数据结构定义了一个 4 4 的块矩阵，使待分解的系数 矩阵某部分具有与节点导纳矩阵相同的稀疏结构，方便使用稀 疏编程技巧，减少算法的计算时间； 新颖的数据结构减少注入元的产生，大大节约计算机内存，提 高算法的计算速度； 现代内点算法的超线性收敛性保证了算法的速度，其多项式时 间特性使算法具有良好的鲁棒性，更适合于大型电力系统的应 用。
高电分简答题总结
高电分简总结潮流计算1、牛顿法的计算流程：a) 初始化，形成节点导纳矩阵，给出初值x (0)；b) 令k=0，进入迭代循环；c) 计算函数值f （x （k ）），判断是否收敛‖f(x (k))‖≤εd) 计算雅克比矩阵∇f(x (k));e) 计算修正量∆x (k)=−(∇f(x (k )))−1f(x (k))f) 对变量进行修正x (k+1)=x (k )+∆x (k )，k =k +1返回 g) 输出计算结果高斯赛德尔法流程初始化，形成节点导纳矩阵；迭代计算各节点电压Ui ；计算功率2、牛拉法、高斯、PQ （快速解耦）法的优缺点比较；潮流计算中G-S （高斯-赛德尔）\N-R （牛顿-拉夫逊法）\FDLF （快速分解法）的优缺点i. 高斯法：原理简单，存储量小，但具有一阶敛速，收敛速度慢，迭代次数过多，在系统病态的情况下，收敛困难，每次迭代速度快，但节点间相互影响太小，收敛缓慢，编程简单灵活（阻抗矩阵法的收敛性要比导纳矩阵法的收敛性好）；ii. 牛顿-拉夫逊法：具有二阶收敛性，开始时收敛慢，在几次迭代后收敛速度非常快，对初值很敏感，对函数的平滑性敏感，处理的函数越接近线性，收敛性越好，对以节点导纳矩阵为基础的G-S 法呈病态的系统，N-L 法一般可以可靠收敛，但需要在每次迭代过程中重新生成雅克比矩阵，计算量大；iii. PQ 法：迭代矩阵为常数阵，只需形成求解一次，大大缩短了迭代时间，迭代矩阵对称，可上（下）三角储存，减少内存量和计算量，初始计算线性收敛度迭代次数多于牛拉法，但每次迭代时间短，因此整体计算速度比牛拉法有很大地提高。
PQ 分解法派生于极坐标表示下的牛拉法修正方程：N-L (∆P ∆Q)=(H N J L )(∆δ∆U/U ) PQ (∆P ∆Q )=(H 00L )(∆δ∆U/U) 3、直流潮流的前提是什么？可用在那些地方？● 应用条件：正常运行电力系统，节点电压运行于额定值附近；之路两端相角差很小； 高压电网中，要求R ≪X .● 应用范围：专门研究电网中有功潮流分布；对计算精度要求不高，如电网规划；对计算速度要求较高，如在线实时应用。
潮流、最优潮流、状态估计的异同分析
本文针对潮流、状态估计及最优潮流三个问题，给出这三个问题的定义，并论述他们之 间的关系，在有功方式给定的前提下，若以电网损耗最小为目标，给出数学模型和核心的求 解过程。 1、潮流 潮流就是电力系统网络拓扑中功率的分布、流动。系统中的功率，总是从电压高的地方 流向电压低的地方。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条 件， 确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。 通常给定的运行条件有系统中各电源和 负荷点的功率、节点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节 点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。 2、状态估计 电力系统状态估计是 EMS 的重要组成部分，也叫做实时潮流，是在给定网络接线、支 路参数和量测系统的条件下所进行的估计以及对不良数据进行的检测辨识过程， 利用实时量 测系统的冗余度来提高系统运行能力。 具体过程为利用各种量测工具， 获得系统中电气量的 实时数据， 然后运用最小二乘法等工具， 对获得的生数据进行筛选、 加工， 并剔除错误数据， 或者得到量测系统无法直接测出的电气量， 使最后得到系统电气量的实时数据最为精确、 可 靠。 状态估计过程为：传入遥测，遥信数据-->遥信验错-->网络拓扑分析-->最小二乘状态估 计<-->不良数据辨识-->估计出系统状态。其中最小二乘状态估计和不良数据辨识是交替进行 的。 3、最优潮流 最优潮流，简单来说就是针对不同目标函数，带约束条件的潮流优化问题。严格来说， 就是当系统的结构和参数以及负荷情况给定时， 通过优选控制变量所找到的能满足所有指定 约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。 最优潮流的目标函数有许多形式，包括全系统火电机组燃料总费用、有功网损、系统总 发电成本、有功传输容量等；约束包括功率出力上下限、变压器抽头位置约束、线路传输最 大功率容量约束、节点电压幅值约束等。 4、潮流、状态估计、最优潮流的关系 在电力系统的实际调度操作中， 潮流和最优潮流都要在状态估计的基础上进行。 状态估 计是在量测类型和数量上扩展了的一种广义潮流， 常规潮流算法则是限定量测类型为节点注 入功率或电压幅值条件下的侠义潮流； 最优潮流则是针对不同目标函数， 带约束条件的潮流 优化问题。 我们往往预先知道系统的网络接线和线路参数， 若要进行系统调度， 还需要知道系统运 行中的各种实时数据，比如电压幅值、相角、电流、功率等。这些电气量只能根据系统中各 种量测元件获得。 然而由于量测工具本身的误差、 数据传输的干扰以及采集数据不同步等因 素，造成获得的实时数据精度低、不完整，有时甚至有错误数据。因此要利用状态估计对系 统的实时数据进行筛选加工、 并剔除错误数据或者得到量测系统无法直接测出的电气量。 通 过状态估计得出系统较为准确的实时数据后， 再利用这些数据进行系统的潮流计算、 最优潮 流、经济调度等工作。 在本质上， 状态估计是在量测类型和数量上扩展了的一种广义潮流， 由于量测系统的冗 余导致状态估计的量测类型和变量数目远多于常规潮流； 而常规潮流算法则是限定量测类型 为节点注入功率或电压幅值条件下的侠义潮流。 最优潮流可以理解为“在潮流中选择最好的潮流” 。当进行特定目标的计算，比如系统
3.2 电力系统最优潮流解析
2.最优潮流模型
(5)各节点电压幅值上下限约束； (6)各支路通过的最大功率约束； (7)线路两端节点电压相角差约束等。
• 从数学观点来看，(6)为变量函数约束，若在数学模型中 节点电压则采用直角坐标形式，(5)也属于变量函数约束， 其余都属于简单变量约束； • 从约束的物理特性而言，(1)-(4)称为控制变量约束(硬约 束)，(5)-(7)称为状态变量约束(软约束)。 • 可以将上述的不等式约束条件统一表示为
内点法有三种:投影尺度法、仿射变换法、路径跟踪法。
该方法收敛迅速,鲁棒性强, 对初值的选择不敏感,是目 前研究最多的内点算法。
3.最优潮流的算法
6.人工智能方法
近几年随着计算机和人工智能等技术的发展，不断有新的方 法出现，模拟进化规划方法、模糊集理论、模拟退火算法等 人工智能方法先后用于电力系统最优潮流问题。
h(u, x) 0
2.最优潮流模型
• 最优潮流最常用的目标函数：
1.系统运行成本最小 该目标函数一般表示为火电组燃料费用最小，其中机组成本耗费曲 线是模型的关键问题。通常机组燃料费用函数常用其有功出力的多项式 表示，最高阶一般不大于3。 2.有功传输损耗最小 无功优化潮流通常是以有功损耗最小为目标函数，它在减少系统有 功损耗的同时，还能改善电压质量。
控制变量：是可以控制的自变量，通常包括： （1）各火电（核电）机组有功出力、各发电机／同步补偿机无功出 力（或机端电压）； （2）移相器抽头位置、可调变压器抽头位置、并联电抗器／电容器 容量； （3）在某些紧急情况下，水电机组快速启动，某些负荷的卸载也可 以作为控制的手段。 状态变量：是控制变量的因变量，通常包括各节点电压和各支路功 率等。
2.最优潮流模型
• 最优潮流问题在数学上可以描述为：在网络结构和参数以及系统负荷 给定的条件下，确定系统的控制变量，满足各种等式、不等式约束， 使得描述系统运行效益的某个给定目标函数取极值。
在配电网中基于牛顿-拉夫逊法解最优潮流的应用
在配电网中基于牛顿-拉夫逊法解最优潮流的应用赵君;于泓;赵华松【摘要】Power flow calculation is an important solution of determining the basic data of electric system. Optimal power flow is the condition of maintaining low cost for the entire power system. The article expounds how to achieve the minimum value of cost function by adjusting the output of generators on the basis of Newton-Laphson. It has significant meaning for judging the optimum operation and development of present system.%潮流计算是用来确定电力系统基本数据的重要解决方案，最优潮流是整个电力系统成本最低的条件。
基于牛顿—拉夫逊法，通过调节发电机的输出口来实现成本函数的最小值，对于判定现有系统的最佳运行和发展具有重要意义。
【期刊名称】《农业科技与装备》【年(卷),期】2014(000)010【总页数】3页(P34-36)【关键词】电力系统;潮流计算;牛顿-拉夫逊法;最优潮流;目标函数【作者】赵君;于泓;赵华松【作者单位】沈阳农业大学信息与电气工程学院，沈阳 110866;沈阳农业大学信息与电气工程学院，沈阳 110866;沈阳农业大学信息与电气工程学院，沈阳110866【正文语种】中文【中图分类】TP273电力系统潮流中的牛顿—拉夫逊法首次应用于20世纪60年代，该方法解决了早期阿尔瓦拉多和托马斯研究方法的收敛性较差的问题。
电力系统最优潮流
牛顿法优化迭代格式为：
2f xk xk 2f xk
梯度向量
xk 2f xk 1 f xk Hxk 1 f xk
xk1xkxk
Hessian矩阵
收敛判据： f xk
牛顿法在按上述的基本格式进行迭代时，其搜索方向
为
x k H x k 1 fx k
W u
0
L g (u, x) 0
fu Lu fu gTW u
二、最优潮流的牛顿（Hessian矩阵）算法
1984年，Sun D I等人提出。
1.牛顿法的基本原理
牛顿法是一种求无约束极值的方法。设无约束最优化
问题为
m in fx x R n
其极值存在的必要条件是 f x，0一般为一个非线性
( 3 ）电力网络结构确定（不受接线方式影响，不考虑网络重构问题)。
控制变量：是可以控制的自变量，通常包括：
（1）各火电（核电）机组有功出力、各发电机／同步补偿机无功出力（或机端 电压）；
（2）移相器抽头位置、可调变压器抽头位置、并联电抗器／电容器容量；
（3）在某些紧急情况下，水电机组快速启动，某些负荷的卸载也可以作为控制 的手段。
，则构成的拉格朗日函数为
L ( u ,x ,) f( u ,x ) T g ( u ,x )
采用经典的函数求极值的方法，将L分别对变量x、u
及
求导并令其等于零，即得到求极值的一组必要条件为
（Kuhn-Tuck Lxer 条 fx件 ） gx
T
0
L u
f u
g u
T
0
雅可比矩阵
L g (u , x) 0
(1)目标函数采用发电燃料耗量(或费用)最小，以除去平衡节点以 外的所有有功电源出力及所有可调无功电源出力(或相应的节点电 压幅值)，还有带负荷调压变压器的电压比作为控制变量，就是对 有功及无功进行综合优化的泛称的最优潮流问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
N H J M L , Pi jQi (ei jf i ) (Gij jBij )(e j jf j ) ji R S Pi jQi ei jf i ai jbi , ai (Gij e j Bij f j ), bi (Gij f j Bij e j )
其近似解与精确解分别相差
x1 , x2 ,..., xn
f1 ( x1 0 x1 , x2 0 x2 ,....... xn 0 xn ) y1 0 0 0 f 2 ( x1 x1 , x2 x2 ,....... xn xn ) y2 ........ 0 0 0 f ( x x , x x ,....... x x ) y n 1 1 2 2 n n n
1
用△x修正X的初始值得到新值，用k表示迭代次数写成表达式即为
x x
k
J x
k
k
f x
k
k 1
x x
k
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
P e, f P sp P e, f sp J * xT f x Q e, f Q P e, f 2 sp 2 2 V e , f i V V (e, f ) P T e Q f T T T x e f , J xT eT V 2 eT V 2 T f P f T Q f T
f1 x2 f n x2
f1 x1 xn x 2 ... f n xn xn
J称函数的雅克比矩阵；△x为列向量， △f称不平衡量的 列向量，把初始值X（0）代入，可得△f，J中的元素，0 x 然后运用解线性方程的方法，求得 f J x i 第一次迭代计算出的值 xi1 xi0 xi0 然后把计算值 再次代入求得△f，J中的元素，直到满足精确度即可。但 是，初值一定要选取的足够接近精确值，否则迭代过程 可能不收敛。（何以见得）
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
y f ( x 0 , x 0 ..x 0 ) 1 1 2 n 1 ... yn f n ( x1 0 , x2 0 ..xn 0 )
f1 x1 f n x 1
ji
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
若
Vi Vi i
则潮流方程的极坐标形式如下：
Pi jQi Vi i (Gij jBij ) V j j
ji
Pi jQi Vi V j (Gij jBij ) cos ij j sin ij
Qi Qi ai Gii ei Bii f i , Lij H ij fi f j
V 2 V 2 Rii 2ei , Rij 0, Sii 2 f i , Sij 0 ei f i
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
Q1 , Q2 ,...Qnr
PV
P n r 1 ,...P n
平衡
P N QN
变量
P Qn r 1 ,...Qn 1, P 2 ,...P n r 1 ,2 ,...nr nr 1 ,...n V1 ,V2 ,... Vnr Vnr 1 ,... Vn
N
VN
数学描述
电力系统潮流计算方法----牛顿法
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
电力系统分析包括潮流、最优潮流、预想故障分析、电 压稳定、暂态稳定和其他分析，电力系统分析是输电系 统规划中的关键技术之一。潮流计算是电力系统分析的 基础，所谓潮流计算即在给定电力系统网络拓扑、元件 参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功 率及电压在电力网中的分布。 手算如何计算？ 一般来说，各个母线所供负荷的功率S是已知的，各个 节点V是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成 节点导纳矩阵B，然后由B列写功率方程，由于功率方 程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样 潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。
由于欧拉公式的存在，我们也可以把直角坐标系下的功率方程变 形为极坐标系下的功率方程，那么极坐标系的牛顿法是怎样的？
P ,V P sp P ,V T f x J *x sp Q , V Q Q , V P P T V T f T T T x , V 1 ,.., nV1 ,..., Vn r , J xT Q Q T V T
最优潮流
总结分析
综上所述，若一个电力系统含有N个节点，选取第N个作平衡节点， 剩余n=N-1各节点中有r个节点是PV节点，有n-r个节点是PQ节点，因 此出平衡节点外，有n个节点注入有功P，有n-r个节点注入无功Q，有 r个节点的电压是已知的。在直角坐标系下，待求未知数共有2n个，
x 代求变量 e f e1e2 e2 ...en f1 f 2 ... f 3 P P sp e a f b i 1, 2, 3,...n i i i i i 潮流方程线性化 sp Qi Q f i ai ei bi i 1, 2, 3,...n r 2 sp 2 2 2 Vi Vi ei f i i n r 1,......n
f 2 ( x 0 )( x) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) 0, x x 0
f ( x0 ) f ' ( x0 )
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
f1 ( x1 , x2 , x3 ....... xn ) y1 f ( x , x , x ....... x ) y 2 1 2 3 n 2 ........ f n ( x1 , x2 , x3 ....... xn ) yn
ji
Qi Q sp Qi Vi V j (Gij sin ij Bij cos ij )i 1, 2,........n r
ji
为了清晰的表达潮流方程中的未知量请看下表。平衡节 点为第N节点、剩余N-1=n个节点中，含有r个PQ节点， n-r个PV节点。
节点 PQ
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
潮流方程的描述 对于N个节点的电力网络若元件参数已知则网络方程表示为
YU I E*I S *
其中Y为n*n阶节点导纳矩阵， U为N*1阶，I*为N*1阶节点注入电 流列向量 但是电力网络中给定的往往是S而不是电流，所以线性方程就变成
E *YU S *
* P i jQi Vi YijV j ji
ji ji
Pi P sp ei ai f i bi , Qi Q sp f i ai ei bi H ii N ii M ii Lii Pi Pi ai Gii ei Bii f i , H ij Gij ei Bij f i ei e j Pi Pi bi Bii ei Gii f i , N ij Bij ei Gij f i , fi f j Qi Qi bi Bii ei Gii f i , M ij N ij ei e j
T T T T
P sp 给节点i的有功无功给定值 Pi 为注入功率和给定电压的不平衡量 上式方程一共2n个方程，2n个代求量，两者个数相等。
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
Pi P sp Pi Vi V j (Gij cos ij Bij sin ij )i 1, 2,........n
j=1,2……N
ij
令 Vi ei jfi 展开得 P i jQi (ei jf i )
(G
ji
jBij )(e j jf j )
ji
Pi jQi ei jfi ai jbi , ai (Gij e j Bij f j ) bi (Gij f j Bij e j )
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改 写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出 对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为 额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平 衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压 平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得 到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡 量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功 率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的 电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代 三到五次就能收敛。
潮流计算
最优潮流
总结分析
电力网络方程的一般形式可以写成
y sp y ( x) f x y sp y ( x) 0
（偏差形式）
牛顿法求解如下，在给定初始值的条件下，对上式做一阶泰勒展开
f x
0
f xT
0 x
x 0 x J 0 1 f x 0
数学描述
潮流计算
最优潮流
总结分析
牛顿法是解非线性方程 式的一个有效方法，所 以也被广泛的应用于潮 流计算。核心是修正方 程式的建立与求解。如 图所示利用泰勒公式展 开，取其线性部分代替 非线性方程近似求解。