第三章 条件概率与条件期望
条件分布与条件期望ppt课件
P{x X x dx | y Y y dy}
13
pX|Y ( x | y)dx P{x X x dx | y Y y dy} 换句话说，对很小的dx和 dy，pX|Y ( x | y)dx 表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下，X 取值 于x和x+dx之间的条件概率.
解: 由例3.2.2 有X+Y~P(1+ 2).
注意: X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立． P(X k | X Y n) P(X k, X Y n) P(X Y n) P( X k,Y n k) P(X Y n)
9
k
1 e1
4
一、离散型r.v的条件分布 形式实下际的上重变是复类量第.似Y一的定章条义讲件在过概X的率=x条函i 条件数件概. 下率，概随念机在另一种
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固 定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
P(X=xi|Y=yj)=
P
(
X xi ,Y P(Y y
j)
y),
( X ,Y )为离散 ( X ,Y )为连续
其中P(X = xi | Y = y)为在给定Y = y下X的条件分布列， p(x | y)为在Y=y下X的条件密度函数．
注意：条件期望E(X | y)与(无条件)期望E(X)的不同含义
27
例:若X表示中国人的年收入，则 注意:条件期望E(X|y)与 E(X)表示: 中国人的平均年收入. (无条件)期望E(X)的不同含义.
),
2 2
(1
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
条件概率-条件分布-条件期望
y}.
定义 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
（2）无放回抽样
YX
01
02
2
7
7
12
1
7
7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随机变量取某个确定值 的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接 用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的注意点 • E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
f (x, y)d x
1 π
1 y2 d x 2
1 y2
π
1 y2 , 1 y 1,
0,
其他.
于是当 1 y 1时,有
fX
Y
(x
y)
(2
1 π)
π 1
y2
2
1 , 1 y2
1 y2 x
1 y2,
0,
其他.
条件数学期望
定义
E ( X
|Y
y)
i
xi P( X xi | Y y)
二 条件分布
一、离散型随机变量的条件
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等概率论是数学中的一门重要学科，研究的是随机事件的概率性质以及它们之间的关系。
条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理，它们在解决实际问题中具有广泛应用。
本文将对这些概念进行详细解释和讨论。
一、条件概率公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)≠0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率记作P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生”。
条件概率公式的形式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，又称为A与B的交集的概率。
通过这个公式，我们可以根据已知的条件概率来计算其他事件的概率。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的核心定理之一，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率如何更新。
设A和B是两个事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，那么贝叶斯定理的表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯定理的主要应用在于通过已知的先验概率和条件概率来计算后验概率。
它在统计学、生物信息学、机器学习等领域有着广泛的应用。
三、条件期望条件期望是在已知某一事件发生的条件下，随机变量的期望值。
设X和Y是两个随机变量，且P(Y=y)≠0，那么在事件Y=y已经发生的条件下，随机变量X的条件期望记作E(X|Y=y)。
条件期望的计算公式为：E(X|Y=y) = Σx(x * P(X=x|Y=y))其中，Σ表示对所有可能的取值进行求和。
通过条件期望，我们可以得到在给定条件下随机变量的平均值，从而更好地理解和分析随机事件的分布特性。
综上所述，条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理。
它们可以帮助我们计算和预测事件的概率，以及根据已知条件更新概率。
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
概率论基础3——条件概率
一、条件概率生活中很多概率都是在某些特殊条件下的概率。
比如你想知道你在家感染新冠的概率，这是取决于很多方面的，比如，政策有没有放开、是否位于高风险区等等。
只有在这些条件的限制下，我们才能较为准确的求出你想知道的概率。
基本概念：设A，B是随机试验E的两个随机试验，且P(B)>0，称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
韦恩图：上面A、B分别有两个椭圆，代表了他们的事件范围。
我们想要求在B的条件下A发生的概率，那么直观上分母应该是P(B)，因为条件是事件B就相当于要以事件B作为基础；而由于事件B的限制，事件A中不属于B的部分应该被舍去，它们不在B的控制之下。
所以也很容易理解，分子是A和B的和事件（交集）的概率。
性质条件概率也属于概率，所以它也满足概率的基本性质，只不过会有所改变。
（1）对于每一事件A，0≤P(A|B)≤1（2） P(\Omega|B)=1（3）若A_1,A_2,……,A_n 互不相容，则P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i|B)=\sum_{i=1}^mP(A_i|B) （4） P(A|B)+P(\overlineA|B)=1（5）容斥原理： P(A\bigcup B|B)=P(A|B)+P(B|B)-P(AB|B)二、乘法公式在上文我们知道条件概率的公式为： P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 。
那如果我们此时知道P(B)和P(A|B)，相求P(AB)，可以通过移项转化成下列公式： P(A|B)P(B)=P(AB)同理，我们也可以得到： P(B|A)P(A)=P(AB) 这两个公式我们称其为乘法公式。
上面两个式子在实际计算中要根据问题灵活选择。
我们也可以将其拓展到n个事件中：P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_n…A_2A_1) 我们可以这样理解：$P(A_1)$是假设A1正确，$P(A_2|A_1)$是假设A1正确的情况下A2正确，以此类推三、全概率公式有限划分基本概念：设 \Omega 为随机试验E的样本空间，B1，B2 ，…，Bn为E的一组事件，若(1) Bi∩Bj =f ,i ≠ j(2) B_1∪B_2 ∪…∪B_n=\Omega则称B1，B2，…，Bn 为 \emptyset 的一个有限划分，或称完备事件组。
§3.5条件分布与条件期望
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 + y 2 ≤ 1, p( x , y ) = 0, 其 它.
已知条件概率密度
p( x , y ) p( x y ) = , pY ( y )
又知边际概率密度为
pY ( y ) =
∫
+∞ −∞
p( x , y ) d x
x −∞
p( u, y ) d u. pY ( y )
同理, 定义在 X = x 的 条件下 Y 的 条件概率 密度为
p( x, y ) p( y x ) = pX ( x )
⇔
p( x, y ) = pX ( x ) p( y x ).
称∫ p( y x )d y = ∫
−∞
y
x
−∞
p(u, y ) d u 在 X = x 的条件下, pY ( y)
(1) 求在Y = 1 的条件下,X 的条件分布列; (2) 求在 X = 0 的条件下, 的条件分布列. Y
解 由上述分布律的表格可得
P{ X = 0,Y = 1} 0.030 2 = = , P{ X = 0 Y = 1} = 0.045 3 P{Y = 1}
P{ X = 1,Y = 1} 0.010 2 P{ X = 1 Y = 1} = = = , P{Y = 1} 0.045 9
2 2 1 1− y dx = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1, ∫− 1− y 2 = π π 0, 其他 .
于是当 − 1 < y < 1 时, 有
1π 1 , − 1 − y2 ≤ x ≤ 1 − y2 , = p( x y) = (2 π ) 1 − y2 2 1 − y2 其他 . 0,
条件期望和条件概率的关系
条件期望和条件概率的关系条件概率直接决定条件期望的大小。
设X,Y是两个离散的随机变量，X可能的取值是x1,x2,...,xm；Y可能的取值是y1,y2,...,yn。
那么如果已经知道X,Y的联合概率分布，即知道：Pr(X=xi,Y=yj)是多少的话（Pr（A）是说A的概率，i=1,2,...,m;j=1,2,..,n，此表达式的含义就是随机变量X取第i个结果，同时Y取第j个结果的概率），那么X,Y的条件概率就可以表达为：Pr(X=xi|Y=Yj)（含义是给定随机变量Y取第j个数，在这种情况下X取第i个数的概率，竖线右边的事件是条件事件），它等于Pr(X=xi,Y=yj)/Pr(Y=Yj)。
此时，在给定Y=Yj这一条件下，X的条件期望是：E(X|Y=Yj)=Sum(i 从1到m){xi*Pr(X=xi|Y=Yj)}(Sum是求和)。
所以，条件期望和条件概率的关系就和普通的期望-概率关系一样，知道条件概率分布就可以求条件期望，但是反过来不可以。
如果X是连续型随机变量，那么求和符号要变成定积分，但其原理还是和上面一样的。
注意任何条件期望的计算都必须讲清楚条件，不给条件求条件期望是不可能的。
有时候我们把E(X|Y=y)简写为E(X|Y)，但是这只是为了方便。
要求条件期望，必须知道条件分布，求条件分布的公式，在离散情况下就是Pr(X=xi,Y=yj)/Pr(Y=Yj)，连续情况下另有公式，为{偏导数F(x,y)对y/f(y)}。
F(x,y)为X和Y的联合分布函数，f(y)为Y的分布密度函数。
你如果需要知道这个再问。
另外，条件事件不一定是Y=y，也可以是任何关于随机变量Y的函数方程，比如：E(X|Y^2<=4)，这就是说，给定Y的取值范围是（-2,2），求X的平均值。
此时就需要用到二重积分，因为Y的取值已经是一个区间了，合上X可能取值的范围，就组成了一个平面区域，所以要对x,y的联合分布密度函数f(x,y)二重积分来计算。
概率论（PDF）
条件期望与条件分布我们已经学习了条件概率的基本概念和性质，但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情形。
事件作为条件，意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化，从而影响概率计算。
由于随机变量是概率论研究的核心内容，很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变量中来。
特别地，条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响，容易由此联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。
所以，本章引入条件期望和条件分布的概念，并讨论其性质和应用，让读者体会“条件”对于研究随机变量间关联的重要意义，明确基本概念，掌握与之相关的基本计算方法。
PART A条件期望我们用一个简单例子作为引入。
设离散随机变量X和Y，X取值于{x1,···,x n}，Y取值于{y1,···,y m}。
考虑事件{Y=y k}，在其条件下，X的概率分布会发生变化，P({X=x i}|{Y=y k})=P({X=x i}∩{Y=y k})P({Y=y k}),通常称该概率分布为条件分布，记作P(X=x i|Y=y k)=P(X=x i,Y=y k)P(Y=y k),(1-1)这个概率中包含了Y所提供的先验信息，并将该信息带入到了期望的计算中。
E(X|Y=y k)=n∑i=1x n P(X=x i|Y=y k),(1-2)称该期望为条件期望。
条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下，随机变量X取值的平均水平。
上述讨论对于离散随机变量比较准确，但是推广到连续情形会遇到本质的问题。
如果Y是连续随机变量，则P(Y=y)=0，(1-1)没有明确的含义。
如何克服这一困难呢？现代概率论中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。
基本概念首先，明确一个基本事实，条件期望是随机变量，不同于普通期望是确定性常数。
事实上，条件期望的取值取决于随机变量Y，并由此依赖于样本空间。
具体地说，设概率空间为(Ω,F,P)，如果Z(ω)=E(X|Y=Y(ω)),ω∈Ω,(1-3)则有Y(ω)=y k=⇒Z(ω)=E(X|Y=y k),为方便，记Z(ω)为E(X|Y)(ω)。
茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (5)
p( x , y )dy]dx pY ( y )dy
积分中值定理
x
p( u, y )du pY ( y )
x
p( u, y ) du pY ( y )
所 以与 一 维 随机 变 量概 率 密度 的 定 义 : F ( x) 不 难得 出 如 下定 义 :
x
f ( x )dx相 类比 ,
这称为 在Y y j的条件下 , X的条件分布列 .
类似地 , 在X xi的 前 提 下 , Y的 条 件 分 布 列 为 P (Y y j | X xi ) pij pi , j 1,2,
例一. 设(X,Y)的联合分布为 X Y
1 2 3
5 0.08 0.11 0.03
i 1 i 1
当( X , Y )为 连 续 型 时 , p( x , y ) E ( g( X ) | Y y ) g( x ) p( x | y )dx g( x ) dx pY ( y )
条件数学期望 E ( X | Y y )为 常 数 , 而E ( X | Y )可 以 看 成 是一个变量 ,以 离 散 情 形 为 例 ,该变量的取值和相应 的概率为
E(X|Y) E(X|Y=y1)
P P(Y=y1)
E(X|Y=y2)
…
P(Y=y2)
…
故E ( X | Y )作为随机变量 , 因而有相应的数学期望 E[ E ( X | Y )],对此, 我们有如下重要结果 :
(4)重 期 望 公 式 : E[ E ( X | Y )] E ( X )
性质(4)的证明: (仅证连续情形 )
条件概率、条件分布与条件数学期望
练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
高等数学(第2版)课件：条件概率
21 32 2 5454 5
2 P( A1 ) P( A2 ) 5
说明抓阄与次序无关.
例. 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行 存款利率的变化.经分析，该时期内利率下调的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验在利息下调时某支股 票上涨的概率为80%，在利率不变时求这支股票上涨的概率？
二、乘法公式
乘法定理 设P( A) 0 , 则有 P( AB)P(B A)P( A).
或者 P( AB) P( A | B)P(B) (P(B) 0)
推广 一般地, 设A1, A2,, An为n个事件 , n 2 , 且
P( A1 A2 An1 ) 0 , 则有 P( A1 A2 An ) P( An A1A2 An1 )P( An1 A1 A2 An2 )
解：设 A {利率下调}，则A {利率不变}，B {股票上涨}
A1和A1 是样本空间的划分，所以由全概率公式 P( A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 )
60%80% 40%40% 64%
即在利率不变时，这支股票上涨的概率为64%.
3.贝叶斯公式 定理 设试验E的样本空间为S . B为 E 的事件 ,
从中不放回的取产品，每次1个，求 1）取两次，两次都取得一等品的概率； 2）取两次，第二次取得一等品的概率； 3）取三次，第三次才取得一等品的概率.
解：设 Ai {第i次取到一等品}(i 1, 2)
则有1）P( A1A2 )
P( A1)P( A2
|
A1 )2) P(A1A2 A1A2 ) P(A1A2 ) P(A1A2 ) 2 3 3 2 3； 54 54 5
可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718， 存活到51岁的概率为0.90135.问现在已经50岁的人 能活到51岁的概率是多少？ 解：A {活到50岁}，B {活到51岁}
第二节：条件概率与条件期望
N
i =1
n ） 而 E ∑ Xi | N = n = E ∑ Xi | N = n = E ∑ Xi = nE( X ) i =1 i =1 i =1
N n
N ∴ E ∑ Xi | N = N ⋅ E( X ) i =1
Xi ∈[ ti−1, ti ), 且有 0 = t0 < t1 < L < tk < t k +1 = ∞ ，
求 E[ ti −1 ,ti ) X .
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4.
设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于 100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学 的随机变量， 期望是10元的相互独立的随机变量， 期望是 元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 元的相互独立的随机变量 花钱时和进入该商店的总人数独立， 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？ 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？
N E ∑ X i = E [ N ⋅ E ( X )] = E ( N ) ⋅ E ( X ) i =1
由假设 E ( N ) = 100, E ( X ) = E ( X i ) = 10
N 于是 E ∑ X i = 100 × 10 = 1000 i =1
表示进入该店的顾客人数， 解：设N 表示进入该店的顾客人数， X i 表示第 i 个顾 客所花的钱数， 客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 ∑ X i . 则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
N N E ∑ X i = E E ∑ X i | N） （ i =1 i =1
概率3.5节-条件分布和条件期望.ppt
1 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 2 2 1 2 2 (1 ) 1 2
1 e 2 2
( y 2 )2 2 2 2
2 2 2 fY X ( y x) ~ N 2 ( x 1 ), 2 (1 ) 1
条件数学期望
离散r.v.的条件期望
E ( X | Y y ) xk P( X xk | Y y )
k 1
连续r.v.的条件期望
E ( X | Y y)
为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布列
若
P( X xi , Y y j ) pij P( X xi Y y j ) 则称 P(Y y j ) p j
p j P(Y y j ) pij 0,
i 1
i 1,2,
为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布列 类似于乘法公式，有
P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j X xi )
或
P(Y y j ) P( X xi Y y j )
i, j 1,2,
类似于全概率公式，有
P( X xi ) pij P( X xi ,Y y j )
r 2 y2
f ( x , y ) f X Y ( x y) fY ( y ) 1 , r 2 y2 x r 2 y2 2 2 2 r y 其他 0,
故当Y = y 时，
y
r 2 y2
X ~U r y , r y
条件概率和条件期望的简易算法
五 [ g (言 )
“
2
,
,
2
,
: 粉 ,
=
夕:
二
,
…刀
,
。
。
:
=
,
。
」
二
由于
,
,
二
夕 g
=
,
,
,
=
:
万
,
… 。 …若
,
=
在此 条 件 下 g 烤 )
万: … 之 ,,
g
(言
“
;
,
’
言
:
,
2
,
…言
。
,
,
;
,
,
=
2
,
。, ) 只
能 取值
; (七
看
(参
,
,
,
,
。
;
,
)
,
,
’ . E
。 一夕
刀; [g 传) 1
_
,
一 般 教科 书上 介 绍 了两 种方 法
’“’ ”,
二
:
即若 A
,
B为 两
.
, P ( 刀) 年 。
则
g
p
(川 B )
,
P ( A 刀) P (B )
蹂瑟黯 馨
篙督
当作 基 本 事
,
前 者是 在 原 基 本 事件 空 间 中考 虑 件 空 间奋 )
例1
月
二
, .
后 者 是 在 压 缩 的 基本 事 件 空 间 中 考 虑 ( 即 把 B
:
由 于若
二
x
,
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Copyright©Pei Zhang ,2012
6
例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
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例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
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例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
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三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
7
第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
E[ X | Y y] xf X |Y ( x | y)dx
E[ X ] E[ E[ X | Y ]]
注意： E[X|Y]本身是一个随机变量，是随机变量Y的 函数，在Y=y处取值是E[X|Y=y]
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例3.5
• 假设我们正在读一本概率书和一本历史 书，在读的一章概率书中的印刷错误数 服从均值为2的泊松分布，在读的一章 历史书中的印刷错误数服从均值为5的 泊松分布，假定我们等可能地选取概率 书或历史书，那么遇到的印刷错误数的 期望是多少？
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第一节 离散随机变量的条件概率与条件期望 • 如果X和Y是离散随机变量，在Y=y给定的 条件下，X的条件概率密度函数定义为：
P{ X x, Y y} p( x, y) p X |Y ( x | y ) P{ X x | Y y} P{Y y} pY ( y)
第三章 条件概率与条件期望
为什么要研究条件概率与期望
• 在解决现实问题时，常常需要计算在 部分信息已知时的概率和期望 • 条件概率和条件期望本身是计算概率 和期望的有效方法
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本章主要内容
• 离散随机变量的条件概率与条件期望 • 连续随机变量的条件概率与条件期望 • 条件概率与条件期望的作用
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二、通过取条件期望计算方差
• 方差的计算公式为：
Var ( X ) E[ X 2 ] ( E[ X ]) 2
用取条件期望分别计算两个期望值
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例3.8
四、其他应用
例3.10（列表模型） • 考虑n个元素e1,…，en，是一个有序的 列表，在每个单位时间对于其中的一个 元素ei有需求的概率Pi独立于过去的情 形。在这个元素被需求后，它就移至列 表的第一个位置。此过程经长时间运作 后，确定被需求元素位置的期望。
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例3.4
• X和Y的联合密度为
1 xy ye ,0 x ,0 y 2 f ( x, y ) 2 0, 其他
求 E[e
x/2
| Y 1]
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第三节
条件概率与条件期望的应用
一、通过取条件期望计算期望 • 对于任何的随机变量X和Y，条件期望的重 要性质：
x x
• 特别地，如果X和Y独立，那么，前面所有 的定义和无条件时的一样。
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例3.1
• 假定X和Y的联合概率密度函数p(x,y)为： p(1,1)=0.5, p(1,2)=0.1, p(2,1)=0.1, p(2,2)=0.3 计算在Y=1给定的条件下X的条件概率密度函 数。
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由此可以推出：
P( E | Y y ) P(Y y )，若Y是离散的 y P( E ) P（E | Y y）fY ( y )dy, 若Y是连续的 -
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• 在Y=y给定的条件下，X的条件分布密度函 数定义为：
FX |Y ( x | y) P{ X x | Y y} p X |Y (a | y)
a x
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• 在Y=y的条件下，X的条件期望定义为：
E[ X | Y y] xP{ X x | Y y} xp X |Y ( x | y)
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例3.3
• 假定X和Y有联合密度
6 xy (2 x y),0 x 1,0 y 1 f ( x, y ) 0, 其他
对于0<y<1，计算给定Y=y时X的条件期望。
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例3.9
• 保险公司假定参保人每年发生事故数是 均值依赖于参保人的泊松随机变量，假 定一个随机选取的参保人的泊松均值具 有密度函数为：
g ( ) e , 0
的伽马分布。问一个随机选取的参保人明 年恰有n次事故的概率是多少？
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