《微观经济十八讲》第三章价格变化对消费者的配置效应

e( p,u) e( p, v( p, y)) y
引理2：
xi ( p, y) xih ( p, v( p, y))
引理3：
xih ( p, u) xi ( p, e( p, u))
由引理3:xih
(
p, u)
xi
(
p,
e(
p,
u))对p
求偏导得
j
:
xih ( p,u*) xi ( p, e( p,u*)) xi ( p, e( p,u*)) e( p,u*)
将y 2vp11/2 p12/2代入x1*和x2* , 可得:
x1h
vp12/2 p1/ 2
1
,
x2h
vp11/2 p1/ 2
2
因为上式需求取决于效用而非收入，故是X1 和X2的补偿性需求函数。在v不变时（v看作 常数），它只随价格而变，这即是希克斯补
偿性需求函数。
p10 0.25, p2 =1,y=2,所以,v=2. p10 1, x1h =4 x1h 2, x2h =1 x2h 2.
p j
p j
y
p j
由引理1:e( p,u*) e( p, v( p, y)) y,
利用谢泼特引理 : xi
xih ( p0 ,u0 )
e( p0,u0 ) , pi
(i
1, 2,L
, n)
并由1:u* v( p, y),可知:
e( p,u*) p j
xhj (
p, u* )
x
h j
(
p, v(
现需证明：
对于p1, p2 p,t [0,1],有: te( p1,u) (1 t)e( p2 ,u) e((tp1 (1 t) p2 ),u)
假定p p1时, x1使花费最小,且达到u; p p2时, x2使花费最小,且达到u.
于是，对任何别的达到u的x，都有：
p1 x1 p1 x, p2 x2 p2 x
由于希克斯补偿后的支出要保证让 (x1h , x2h ) 在新的价格上收支平衡，即：
e 1 x1h ( p1 1, p2 1, v 2) 1 x2h ( p1 1, p2 1, v 2)
1 2 1 2 4
而原来的收入只有2，因此希克斯补偿=4-2=2。
p1 0.25 p1=1,p2不变, 因此,p 1 0.25 0.75. x1* ( p10 , p20 , y 2) 4
第三章 价格变化对消费者的 配置效应与福利效应
本章要点
➢ 一、价格变动对消费者的配置效应（其 中又分替代效益和收入效应）；
➢ 二、价格变动的福利效应（消费者剩 余）；
➢ 三、显示性偏好理论：研究价格变动的 效应的另一种思路与途径。
§1.价格变化的替代效应与收入效应
一、价格消费曲线与收入消费曲线
x2
(i
1, 2,L
, n)
xih ( p, u) pi
2e( p,u) 2 pi
要证明上式是非正的。需要利用e(p,u)函数的 性质：凹性。
函数f (x)为凹函数,如果对于x1, x2 X , t [0,1],都有: tf (x1) (1 t) f (x2 ) f (tx1 (1 t)x2 )
要在p1变化后仍让消费者购买4单位的x1，因此 斯拉茨基补偿=4×0.75=3。
➢ 对斯拉茨基公式的补充说明 替代效应与收入效应
xi ( p, p j
y)
xih ( p, u*) p j
xj ( p,
y)
xi ( p, y
y)
xi p j
u
常量
x
j
(
p,
y)
xi
( p, y
y)
右边第一项是替代效应。如果无差异曲线凸向 原点，则替代效应是正的。这是为什么？
例：
如效用函数为：u(x1, x2) x1x2 ，p2 不变， （ p2=1），收入y=2 。P1由0.5上升到1。求希 克斯补偿，并与斯拉茨基补偿进行比较。
首先计算马歇尔需求函数：
x1*
ຫໍສະໝຸດ Baiduy ,
2 p1
x2*
y 2 p2
再计算间接效用函数：v( p1, p2, y)
y 2 p11/2 p12/2
IE SE
O x11 x1s x10 B3 B2
B1 x1
§2.斯拉茨基公式
一、斯拉茨基公式的证明
【定理】x(p,y)为马歇尔需求，u*为p和y下的 效用水平，则：
xi ( p, p j
y)
xih ( p, u*) p j
xj
(
p,
y)
xi
( p, y
y)
总效应TE 替代效应SE 收入效应IE
引理1：
斯拉茨基补偿：价格变动时，按价格变动前的 消费量x0为基准，以消费者保持相同的消费计 划为目标，对价格变动后的消费者实行补偿。 m ( p11 p10 )x10
希克斯补偿：以使消费者保持相同效用水平为 目标的补偿。价格变动后，消费计划可改变， 但可达到以前的效用。
如果知道效用函数形式，可先求出希克斯补偿 需求函数，再求出希克斯补偿。
PCC 价格消费曲线
• • ••
O
B1 B2
B3 x1
x2
ICC 收入消费曲线
O
x1
二、替代效应与收入效应的图示
例：福利分房到货币分房的效应
x2
替代效应： x11 x1s 0
收入效应： x1s x10 0
x20
•x1 •xs
TE
总效应：
•x0
u0
SE IE TE x11 x10 0
xj
(
p,
y)
xi ( p, y
y)
二、几点说明
➢ 引理3：马歇尔需求与希克斯需求的关系
x2
希克斯需求：替代效应
p1' p10 p1''
(•x10 , p10 )
马歇尔需求：总效应
x1( p, y)
x1h ( p, u )
O
x1' x1* x10 x1**
x1''
x1
➢ 斯拉茨基补偿与希克斯补偿的计算
x
j
(
p,
y)
xi
( p, y
y)
是收入效应。
此时，符号不确定。
自价格效应
xi ( p, pi
y)
xih ( p, u*) pi
xi
(
p,
y)
xi
( p, y
y)
净替代效应为非正。
xih ( p, u) 0 pi
证明：
利用谢泼特引理 : xi
xih ( p0 ,u0 )
e( p0,u0 ) , pi
p,
y))
由引理2和3:xhj ( p,u*) xj ( p, e( p,u*)) xj ( p, y),所以
e( p,u*) p j
xj
(
p,
y)
因而有
:
xih ( p,u*) p j
xi ( p, p j
y)
xi
( p, y
y)
xj
(
p,
y)
即
xi ( p, p j
y)
xih ( p, u*) p j