数学初一秋下勤思
初一数学学习心得3篇
初一数学学习心得3篇初一数学学习心得一:初一数学学习心得初一学生是从小学六年学习结束过来的,思维模式还是在小学生的那个阶段。
而踏进初中的大门,学习方式也就要更加的进步。
那么如何学好数学呢？下面谈谈我的看法。
一、预习。
初一学生往往不善于预习,也不知道预习起什么作用,预习仅是流于形式,草草看一遍,看不出问题和疑点。
在预习时应做到:一粗读,先粗略浏览教材的有关内容,掌握本节知识的概貌。
二细读,对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、体会、思考,注意知识的形成过程,对难以理解的概念作出记号,以便带着疑问去听课。
方法上可采用随课预习或单元预习。
预习前教师先布置预习提纲,使学生有的放矢。
实践证明,养成良好的预习习惯,能使学生变被动学习为主动学习,同时能逐渐培养学生的自学能力。
二、初一数学学习方法之:听课。
在听课方法的指导方面要处理好“听”、“思”、“记”的关系。
“听”是直接用感官接受知识,应在听的过程中注意:(1)听每节课的学习要求;(2)听知识引入及知识形成过程;(3)听懂重点、难点剖析(尤其是预习中的疑点);(4)听例题解法的思路和数学思想方法的体现;(5)听好课后小结。
“思”是指思维。
没有思维,就发挥不了自主学习的主体能动作用。
三、多想主要是指养成思考的习惯,学会思考的方法。
独立思考是学习数学必须具备的能力,听课方面:在听课方面要处理好“看”、“听”、“思”、“记”的关系。
“看”就是上课要注意观察,观察教师的板书的过程、内容、理解老师所讲的内容。
“听”直接用感官接受知识,在听的过程中明确:(1)听每节课的学习目的和学习要求;(2)听新知识的引入及知识的形成过程;(3)理解教师对新课的重点、难点的剖析(尤其是预习中的疑问);(4)听例题解法的思路和数学思想方法的体现;“思”是指思考问题。
没有思考,就发挥不了学生的主体作用。
古人说的好“学而不思则罔.”学生是学习的主人,在课堂上对于老师的讲解,学生不仅仅只是会做,而且要经常思考;在思考方法指导时,应使学生明确:(1)多思、勤思,随听随思;(2)深思,即追根溯源地思考,要善于大胆提出问题,如:本节课教师为什么要这样讲?这道题为什么要这样做?等等;(3)善思,由听和观察去联想、猜想、归纳;如:23*27=62138*32=1216 46*44=202473*77=5821上述这些数的计算有什么规律？应如何计算？怎样表征规律？又如何验证呢？(4)树立辩证意识,学会反思。
学而思初一数学秋季班第7讲.期中复习.尖子班.教师版
1初一秋季·第7讲·尖子班·教师版一 有理数基本概念1. 正数、负数及有理数概念2. 用正、负数表示相反意义的量3. 有理数: 整数与分数统称有理数.4. 有理数的分类：⑴ 按整数和分数分类； ⑵ 按正数、负数和零分类.注：①正数和零统称为非负数；②负数和零统称为非正数； ③正整数和零统称为非负整数； ④负整数和零统称为非正整数.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式，是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数二 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；2. 相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．如果a 与b 互为相反数，则有0a b =+，反之亦然．3. 绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =-； 7期中复习2初一秋季·第7讲·尖子班·教师版⑹ a b - 数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离，且a b b a -=-.教师备案：1. 解决绝对值的相关问题大多数都是去绝对值符号问题．（看到绝对值就想到去绝对值符号）2. 让学生掌握绝对值的几何意义，利用数形结合及分类思想解题．3. 让学生灵活运用绝对值的基本性质．4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；倒数是它本身的数是1±，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．5. 负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；a 、b 互为负倒数，则有1ab =-，反之亦然．三 有理数的加减法1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.例：()a b a b -=+-四 有理数乘除法1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0.2. 有理数乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.3. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.4. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.5. 有理数乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n叫做指数. 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 6. 有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减. 7. 科学记数法科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a <≤，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．【例1】 ⑴在有理数1-，0，35-，(4)--，()1.2+-，4--，56%，()3---中，整数有________有理数综合复习3初一秋季·第7讲·尖子班·教师版个，负数有_________个．⑵下列代数式：2m 、22x +、x 、1a +、1||2a +、21x -、2()|1|ab ---的值，一定为正数的有 个.⑶下列说法正确的有（ ）个①正数和负数统称为有理数；②1是最小的自然数；③整数和分数统称为有理数；④非 负数是正数和0；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥分数都可以化为小数，反过来小数 不一定能化为分数。
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.教师版
学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.教师版1初一秋季·第2讲·尖子班·教师版如何计算？实数7级实数初步实数6级绝对值实数5级有理数综合运算满分晋级阶梯漫画释义2有理数综合运算2初一秋季·第2讲·尖子班·教师版知识点切片（4个） 7+2+1+1知识点目标有理数综合运算（7）1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序裂项技巧（2）1、分数裂项；2、整数裂项连锁约分（1） 1、连锁约分，简便运算整体思想（1）1、整体思想，化繁为简题型切片（6个）对应题目题型目标乘法分配律的应用例1、练习1 连续自然数的加减交替例2、练习1 有理数综合运算例3、练习2裂项例4、例5、练习3、练习4 连锁约分例6、练习5 整体思想例7、练习6有理数综合运算1．有理数加法法则：① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③ 一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律）②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． ()()a b c a b c ++=++（加法结合律）.3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，()a b a b -=+-.4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0.5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.1a b a b÷=?，(0b ≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0. 6. 有理数乘方知识导航知识、题型切片3初一秋季·第2讲·尖子班·教师版概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，它表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘. 特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.7. 有理数混合运算的运算顺序：① 先乘方，再乘除，最后加减；② 同级运算，从左到右进行；③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例1】计算：⑴735(1)(36)1246??-+---?-⑵11171110()71110++⑶111(0.25)(5)( 3.5)()2244-?-+?-+-?⑷371(8)32-?-⑸112571113623461236-÷+---+ ? ?????【解析】⑴原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246-?-+?-+-?---?-=-+-=- ? ?????.⑵原式11107107111107077257=?+?+?=++=.⑶原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-?---?-+-?=-?-++=.⑷原式33337187188568568323244?=+?=?+?=+= .⑸设112571113623461236a b =-=+---+，，题目中要求a b ，可以先求ba ，则原式=()125711136=182********=7723461236??+---+?---+++- ，∴原式=177.【例2】连续自然数加减交替问题乘法分配律的应用4初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑴填空：12344950-+-++-=L L ；123499100101-+-++-+=L L ；⑵计算：()112341n n +-+-++-?L L .【解析】⑴25-，51；⑵2n -（n 为偶数）或12n+（n 为奇数）.针对例2的拓展：⑴1234567891011122009201020112012--++--++--+++--+L ；⑵1234567891011122009201020112012+--++--++--+++--L . 【解析】⑴原式()()()()12345678910111220092010201120120=--++--++--+++--+=L .⑵原式()()()()12345678910111213200620072008200920102011201 2=+--++--++--+++--++--L 1201020112012=+-- 2012=-..【例3】计算：⑴()216123113284 2.5242523412??-÷-?+++--? ???⑵()22213111112190.75242222÷÷-+÷--?--?? ? ?????????⑶()()3220132231313 1.20.33??--?-÷--?÷⑷()()231814511722851755??-?-+-?----?-?? ? ?????????⑸()2323510.3534124111159650.52-÷-÷-?-? ? ? ÷【解析】⑴解：原式16132 6.25121618222532?=--?-+++-- ? ??11 6.251250=++-1.02 6.2512=+- 4.73=-.有理数综合运算5初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑵解：原式341119199232244216=??-+÷-?- ? ????? 11199122216??=-+?-?- 1991816=---69121616=----15316=-.⑶解：原式()32213 1.2 1.23130.30.30.3=?÷-- 14803=--14803=-.⑷解：原式()()11716525285525??=-?-+----?-16112517165=-++-1241 3.2=-++ 119.8=-.⑸解：原式()322855255159650.52-=?÷?-? ???????????÷2281093=÷-? ? ????? 0=.1.分数裂项技巧：⑴()11111n n n n =-++；⑵()1111n n k k n n k ??=- ?++??；⑶()()()()()1111122112n n n n n n n ??=-??+++++；⑷()()()()()1111222n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++.2.整数裂项技巧：⑴()()()()()()()()111121121133n n n n n n n n n n n n +=++--=++--+；⑵思路导航6初一秋季·第2讲·尖子班·教师版()()()()()()()()()()()()1112123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ++=+++--=+++--++.3.连锁约分多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.【例4】计算：⑴11111161111161621212626313136+++++；⑵2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----++++++++++L L L . 【解析】⑴原式1111111111111561111161621212626313136??=-+-+-+-+-+-1115636??=- 136=. ⑵注意到每一项分母两个因子的差恰好等于分子，因此考虑拆项；经过尝试，发现有：2111(12)12=-?++，311(12)(123)12123=-++++++…，所以原式111111212123=----- ? ?++++11129912100??-- ?++++++??L L L112100=+++L 15050=.针对例4的铺垫：计算：⑴1111223344599100+++++L ⑵111113355720112013++++L 【解析】⑴原式111111112233499100=-+-+-++-L11100=- 99100=.⑵原式11111111123355720112013??=?-+-+-++-L11122013??=?- 分数裂项运算7初一秋季·第2讲·尖子班·教师版1201222013=?10062013=. 针对例4的拓展计算：⑴111111315131517293133+++L ；⑵1111111111234567892612203042567290++++++++；⑶11120101111201022009201012011120092200820091??+ ++-+++ L L . 【解析】⑴原式111111120411131315131515172931313313299=-+-++-= ?L . ⑵原式1111111111234567892612203042567290=+++++++++++++++++ ? ? ? ? ? ? ? ? ????()1111111111+2+3+4+5+6+7+8+92612203042567290??=+++ ++++++1111111451223349101945(1)=451010=+-+-+-++-=+-L⑶原式11111201011111111120112010220092010201120102009220082009=++++++-?++++++ ? L L 1111111111111201120102200920102009220082009??=++++++-++++++ ? ?????????L L 1220112010=12021055=.【例5】计算：⑴12233499100?+?+?++?L ；⑵1335579799?+?+?++?L ；⑶123234484950??+??++??L .【解析】⑴原式()()()11232341345299100101983=??+??-+??-++??-L ()11231232342343459899100991001013=??-??+??-??+??--??+??L 333300=.⑵原式()()()()11351357157939799101956=??++??-+??-++??-L ()1313513535735757995979997991016=+??-??+??-??+??--??+??L 整数裂项运算8初一秋季·第2讲·尖子班·教师版161651=.⑶原式()()()11234234513456248495051474=+-+-++-?L ()11234123423452345345647484950484950514=-+-+--+L 1499400=.【例6】计算：⑴11111111111111241035911+++---- ??? ????? ?????????????????L L⑵11111111111113243546979998100+?+?+?+??+?+ ? ? ? ? ? ???????????????????L【解析】⑴原式3579112468101246810357911==.⑵原式1312413514619799198100113243546979998100+?+?+?+?+?+=L 2222222345989913243546979998100=L 299100?=9950=.【例7】⑴已知1111111112581120411101640+++++++=，111111112581120411101640---+--++的值为. ⑵计算：11111111111111232006232005232006232005+++?++++-++++?+++ ? ? ? ?L L L L .【解析】⑴1111111111111111111225811204111016401111016402581 120411101640---+--++=++-+++++++ ? ?11121111101640??=++-1121101640??=+-165211640=?-131164=-. 整体思想连锁约分运算9初一秋季·第2讲·尖子班·教师版⑵设111232005a =+++L ，则原式 ()22111111200620062006200620062006a a a a a a a a a a =++-++=+++-++= ? ? ? ?.10 初一秋季·第2讲·尖子班·教师版训练1. 计算：1111111261220304256--+-++--+--+ ? ? ? ???????【解析】 4756.训练2. 计算：1111113243517191820+++++L 【解析】原式111111111111232242171921820=-+-++-+- ? ? ? ?????????L1111111111111123351719224461820=-+-++-+-+-++- ? ?????L L1111112192220=-+- ? ?????995311940760=+=.训练3. 33221129234+==??；33322112336344++==??；33332211234100454+++==??；……．⑴ 若n 为正整数，猜想3333123n ++++=L ；⑵ 利用上题的结论来比较3333123100++++L 与()25000-的大小．【解析】⑴()22114n n ??+; ⑵ 3333221123100100101255025004++++=??=L∵2550250025000000>∴()233331231005000++++>-L .训练4. 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0bb，，的形式，则20042001a b +=【解析】先找出这三个数中的1和0．由已知，这两个数组分别对应相等，于是可断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1．但若0a =，则ba 无意义，所以0a ≠，只能0ab +=，于是a b =-．又0a ≠，那么1ba=-，则1b =，故1a =-．此时，()2004200420012001112a b +=-+=．11初一秋季·第2讲·尖子班·教师版乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替【练习1】⑴ 计算：()()(){}()34|15|73-+---+-----；⑵ 计算：1111181232-÷-+- ? ?????；⑶ 计算： 135********++++-----L L .【解析】⑴26-；⑵29；⑶50-.有理数综合运算【练习2】计算：4343(27)(2)(2)3-÷---?-+-【解析】 25.裂项【练习3】计算：1111112612203042-----= ．【解析】原式11111111111122334455667223677=-----=-----= ? ??L .【练习4】计算：2446688101012?+?+?+?+?. 【解析】原式()()1246468210121486=??+??-++??-L ()1246246468468810121012146=??-??+??-??+-??+??L 11012146=280=. 连锁约分【练习5】计算：111111111111111122334420132013+-+-+-+- ??????????? ???????????????????L【解析】原式111111111111111122334420132013=-+-+-+-+ ??????????? ???????????????L1324352012201422334420132013=L 1201422013=?10072013=. 整体思想【练习6】计算：()()()()222222222222123492350123502349+++++++-+++++++L L L L .【解析】设2222349a =+++L ，则原式()()()()()22222221501505050502500a a a a a a a a a a =++-++=+++-++=数学史复习巩固12 初一秋季·第2讲·尖子班·教师版1+1=2吗？皮亚诺（Peano,Giuseppe ）意大利数学家。
学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.尖子班.学生版
1初一秋季·第1讲·尖子班·学生版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·学生版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向3210﹣1﹣2P Q M BA3初一秋季·第1讲·尖子班·学生版右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小.4初一秋季·第1讲·尖子班·学生版0ba⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.A5初一秋季·第1讲·尖子班·学生版dc b a【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？初一秋季·第1讲·尖子班·学生版987654312367初一秋季·第1讲·尖子班·学生版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．8初一秋季·第1讲·尖子班·学生版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度 向动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .利用数轴性质建立方程求点对应的数9初一秋季·第1讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.尖子班.教师版
1初一秋季·第1讲·尖子班·教师版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·教师版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到 1420 2.552-<-<<< ⑵A .⑶B .【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．3210﹣1﹣2P Q M BA 52.50-2123初一秋季·第1讲·尖子班·教师版⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【解析】 ⑴由数轴的基本定义可知为62-+，.⑵2013；2014针对例2⑵的铺垫：1、⑴在数轴上，表示1999-和1999的两个点之间有 个整数（含1999-和1999）． ⑵在数轴上，表示1999.1-和1999.9的两个点之间有 个整数． 【解析】 ⑴3999；⑵ 3999．针对例2⑵的拓展：1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长120132厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．2、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （M 为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （1m M m <<+，m为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．【解析】 1、2013；2014. 2、M ，1M +.3、m ，1m +.【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【解析】⑴①33x =，51x =.②2013405x =，2014404x =，20132014x x <.⑵假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得： 01234569910019.94x -+-+-+--+=，030.06x =-．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小. 0ba4初一秋季·第1讲·尖子班·教师版⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【解析】⑴根据a b ，在数轴上的位置可知，00a b <>，，且a 的绝对值比2b 的绝对值大，所以a b a a b b b a -<<+<-<<-.⑵ C ，根据题意，00a b <>，，且在数轴上a 的对应点与原点的距离较b 的对应点大.【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.dc b a【解析】⑴由数轴可知，3d a =+，代入24d a -=得324a a +-=，解得1a =-所以原点应在点B 处．⑵①C ．(3)(4)(7)2a a a a ++++++=-，4a =-，1b =-，0c =，3d =． ② A ．37a a ++=，4a a +=，∴0a >，2a =．⑶2-. 提示：2b a =+.【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、A5初一秋季·第1讲·尖子班·教师版B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】 ⑴ 2；⑵3-； ⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是12a c ±.【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？98765431023【解析】201345031÷=，则与数字0重合． 针对例7的铺垫：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处 标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2012-将与圆周上的数字 重合．3210-5-4-3-2-10【解析】20124503÷=，则与数字0重合． 针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）DCBA76543210-12、如图，边长为1的等边三角形ABC 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在2013x =处时，三角形停止滚动. ①落在2013x =处的点是ABC △的哪个顶点？说明理由. ②在滚动过程中，点A 走过的路程是多少？…20131C B A6初一秋季·第1讲·尖子班·教师版3、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．O 北西南东A-10【解析】1、C ．2、①顶点C ；②894π.3、在直的数轴上，线段41AO =，414101=⨯+，指针指向北；2009(14)2023--=，因为636420162⨯=，202320167-=，故2009在点O 的西边，202345053÷=+，指针指 向西．7初一秋季·第1讲·尖子班·教师版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-【解析】 0. 因为a b +与a b -互为相反数，所以0a b a b ++-=，从而得到00a b ==，所以原式等于0.训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 . 【解析】 2000.训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .（人大附中期中）【解析】 B C A .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．（清华附中期中）【解析】 ⑴ 0ab =，2a b c d ++-=；⑵ 5m n +=，若1m =，4n =，有()14，，()14-，，()14-，，()14--，； 若2m =，3n =，有()23，，()23-，，()23-，，()23--，； 若3m =，2n =，有()32-，，()32，，()32-，，()32--，； 若4m =，1n =，有()41，，()41-，，()41--，，()41-，. 所以共有16组．8初一秋季·第1讲·尖子班·教师版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？ 【解析】⑴如图所示：小颖家小彬家超市小明家西东-6-5-4-3-2-154321⑵小明距离小彬家8km⑶货车共行驶了3 1.59.5519km +++=. 数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009【解析】⑴点A 对应的数是694，点B 对应的数是714-，线段AB 的长度是35；⑵C.利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .【解析】a c b d +<+.利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A【解析】C ．2(4)9b b --=，1b =-．9初一秋季·第1讲·尖子班·教师版数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】⑴ 3-；⑵此时折线与数轴的交点表示的有理数是6-或14-.周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1【解析】1.数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
学而思初一数学秋季班第3讲.绝对值.尖子班.教师版
1初一秋季·第3讲·尖子班·教师版饕餮盛宴实数7级 实数初步实数6级 绝对值实数5级 有理数综合运算满分晋级阶梯漫画释义3绝对值2初一秋季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（5个）对应题目 题型目标 aa的化简例1；练习1 无条件的绝对值的化简例2；练习2 零点分段法例3；练习3 用绝对值的几何意义求两点间的距离例4；练习4 用绝对值的几何意义求代数式的最值 例5，例6；练习51．绝对值：在数轴上，一个数a 所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a ． 2．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质； ⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =- . ⑹当0a >时，1a aa a==； 当0a <时，1a aa a==-．（主要考察分类讨论）【例1】 ⑴若a b ，均为非零的有理数，求a ba b-的值. ⑵若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值. 【解析】 ⑴①当a b ，都是正数时，原式=0a ba b=-. ②当a b ，一个是正数，一个是负数时，原式=2±.∴原式的值为202-、、.⑵①当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++=. ②当a b c ，，都是负数时，原式3=-.③当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=. ④当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-.aa的化简3初一秋季·第3讲·尖子班·教师版∴原式的值为3113--、、、.针对例1进行拓展1.已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【解析】 4或0或4-2.已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc +++的值. 【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，若a b c ，，中有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abc a b c abc =+++=+-+-+=--. 若a b c ，，中有二正一负，同理原式=0 综上，原式=03. 若a b c ，，均为非零的有理数，求a b c d a b c d+++的值.【解析】 420±±、、.老师可以继续下去，给学生们总结一下到n 的规律.【例2】 化简下列各式⑴1x -; ⑵3x -. 【解析】 ⑴当x ≥1时，则11x x -=-；当1x <时，则11x x -=-+，∴()()111=11x x x x x ⎧-⎪-⎨-+<⎪⎩≥.⑵当3x ≥时，则33x x -=-；当3x <时，则33x x -=-，∴()()333=33x x x x x ⎧-⎪-⎨-<⎪⎩≥.【例3】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+.零点分段法无条件的绝对值化简4初一秋季·第3讲·尖子班·教师版⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=. ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥.通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：. ⑴分别求出2x +和4x -的零点值； ⑵化简代数式24x x ++-.【解析】⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-. 所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥.针对例3进行拓展1.求12m m m +-+-的值．【解析】先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+； 当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．2.化简：121x x --++.【解析】先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．5初一秋季·第3讲·尖子班·教师版a b -表示数轴上数a 与数b 两点之间的距离. 且a b b a -=-.【例4】 ⑴ m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．① x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0x -② 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；③ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．④ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑤ 当1x =-时，则22x x -++= ．⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别 为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=， 则q r -= ．⑶ 不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】 ⑴ ①x ，原点；=；② 1；③x ，3，2或4；④x ，2-，0或4-；⑤4；⑵ 7；⑶ B. 【点评】此题是对绝对值几何意义的考察．【例5】 利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x = ． 利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值 ．52x x ++-的最小值为 ． 214x x x ++-+-的最小值 ． 7326x x x x ++++-+-的最小值 ． 归纳： 若1221n a a a +<<<，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最 小值． 若122n a a a <<<，当x 满足 时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【解析】 2x =或3x =-；3；7； 6；18；1n x a +=；1n n a x a +≤≤． 用绝对值的几何意义求代数式的最值用绝对值的几何意义求两点间的距离sr q p6初一秋季·第3讲·尖子班·教师版【点评】 若1221n a a a +<<<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最小值．若122n a a a <<<，当x 满足1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【例6】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市G【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C、之间，7个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．【选讲题】【例7】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：若11m a b b a c c =+------，则1000m = ．【解析】 由图可知，01b a c <<<<，∴()a b a b +=-+，11b b -=-，a c c a -=-，11c c -=-10001000(11)1000(2)2000m a b b c a c =⨯---+-+-+=⨯-=-.【例8】 ①化简：124x x x -+++-②求15y x x =--+的最大值和最小值． 【解析】 ①当4x >时，则12433x x x x -+++-=-当14x <≤时，则1245x x x x -+++-=+ 当21x -<≤时，则1247x x x x -+++-=-+ 当2x -≤时，则12433x x x x -+++-=-+ ②法一：根据几何意义可以得答案；法二：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x -≤时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．c ba初一秋季·第3讲·尖子班·教师版78初一秋季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 的立方等于它本身．⑴ 试求223a bbc ++的值；⑵ 若1a >，且0m <，12322S a b b m b =----+．试求()()()42222a S a S a S -+---的值．⑶ 若0m ≠，试讨论：x 为有理数时，x m x m +--是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出解答过程；若不存在，也请你说明理由． （八一中学期中）【解析】 ⑴ 1⑵ 1a > 1b <- ∵0m <， ∴1m =-∴1232(1)()2S a b b b =-++++=522a +∴原式=105a S -=5105(2)2a a -+=252-⑶ ∵0m ≠ ∴1m =或者1m =-当1m =时，||||x m x m +--=|1||1|x x +--最大值为2； 当1m =-时，|||||1||1|x m x m x x +--=--+最大值为2 ∴当x 为有理数时，||||x m x m +--的最大值为2训练2. a b c ，，为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】 由0a b c ++=可知,,a b c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-．9初一秋季·第3讲·尖子班·教师版综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．训练3. 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C、之间，7个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．训练4. 有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是12-=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．⑴若小明依次输入3,4,5，则最后输出的结果是_______； ⑵若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m ，则m 的最大值为_______；⑶若小明将1到n （n ≥3）这n 个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m . 探究m 的最小值和最大值. （海淀期末）【解析】 ⑴4；⑵2010；⑶对于任意两个正整数1x ，2x ，21x x -一定不超过1x 和2x 中较大的一个，对于任意三个正整数1x ，2x ，３x ，123x x x --一定不超过1x ,2x 和３x 中最大的一个，以此类推，设小明输入的n个数的顺序为，，，n x x x 21则，||||||||321n x x x x m ----= m 一定不超过，，，n x x x 21中的最大数，所以0m n ≤≤，易知m 与12n +++的奇偶性相同；1，2，3可以通过这种方式得到0：3210--=； 任意四个连续的正整数可以通过这种方式得到0： |||(1)|(3)|(2)|0a a a a -+-+-+=①；下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k 为非负整数，连续四个正整数结合指的是按①式结构计算. 当4n k =时，12n +++为偶数，则m 为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n ，则最大值为n ； 当41n k =+时，12n +++为奇数，则m 为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n ，则最大值为n ；10 初一秋季·第3讲·尖子班·教师版当42n k =+时，12n +++为奇数，则m 为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n 和1n -，则最小值为1，从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n ，最大值为1n -； 当43n k =+时，12n +++为偶数，则m 为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n ，则最大值为1n -.初一秋季·第3讲·尖子班·教师版a a 的化简 【练习1】 若a 、b 、c 都不为0，求c a b a b c ++的值． 【解析】 3±或1±． 无条件的绝对值的化简 【练习2】 化简：23x -. 【解析】 当23x ≥时，则2332x x -=-； 当23x <时，则2323x x -=-， 零点分段法【练习3】 化简：212x x ---.【解析】 由题意可知：零点为122x x ==，. 当12x <时，原式1x =--. 当122x <≤时，原式33x =-. 当2x ≥时，原式1x =+用绝对值的几何意义求两点间的距离【练习4】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。
初一下学期数学知识点归纳北师大版
初一下学期数学知识点归纳北师大版1.初一下学期数学知识点归纳北师大版篇一一、平面直角坐标系有序数对1.有序数对：用两个数来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）2.坐标：数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示，这个数(或数对)叫做这个点的坐标。
平面直角坐标系1．平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。
这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。
2．X轴：水平的数轴叫X轴或横轴。
向右方向为正方向。
3．Y轴：竖直的数轴叫Y轴或纵轴。
向上方向为正方向。
4．原点：两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
象限1．象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分，也叫四个象限。
右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。
一般，在x轴和y轴取相同的单位长度。
2．象限的特点：1）特殊位置的点的坐标的特点：（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。
（2）第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
（3）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。
2）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号；2.初一下学期数学知识点归纳北师大版篇二坐标方法的简单应用用坐标表示地理位置的过程：1．建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定X轴和Y轴的正方向。
2．根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度。
学而思初一数学秋季班第9讲 图形的认识初步
1初一秋季·第9讲·尖子班·教师版我会回来的…满分晋级阶梯漫画释义9图形的认识初步图形的认识4级 直线、射线和线段图形的认识3级 图形的认识初步图形的认识2级 推理证明初步与知识回顾2初一秋季·第9讲·尖子班·教师版1. 几何图形⑴几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.⑵立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形. ⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，他们是平面图形. 2. 点、线、面、体⑴点、线、面、体的概念①几何体也简称为体，例如长方体、正方体等. ②包围着体的是面，面有平面和曲面两种.③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种. ④线与线相交形成点.⑵点动成线、线动成面、面动成体.3.几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素.4.基本图形⑴常见的几何体常见的几何体 名称 特 征知识互联网思路导航题型一：常见的几何体3初一秋季·第9讲·尖子班·教师版圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是半径相同的圆，侧面是曲面．棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n 边形的棱柱叫n 棱柱．圆锥 由两个面围成，有一个底面是圆形，一个顶点，侧面为曲面．棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n 边形的棱锥叫n 棱锥．球 由一个曲面围成．圆台 由三个面围成，上、下两个底面是大小不等的圆形，侧面为曲面．棱台 上、下两个底面为多边形，侧面均为梯形．⑵常见几何体的分类分类标准圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球按柱、锥、球分类柱圆柱、棱柱 锥 圆锥、棱锥球球 按是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球 按是否有顶点是 棱柱、圆锥、棱锥否圆柱、球【引例】 所给的图形中，是棱柱的有 个．例题精讲4初一秋季·第9讲·尖子班·教师版⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺【解析】 4个，第⑴、⑵、⑷、⑺个图形均是．学生容易忽略第⑴、⑺个图形．【教师备选】例1是常见几何体的识别，例2是点、线、面的关系以及几何体中顶点、棱和面的关系.【例1】 如下图，柱体有 个，其中 是圆柱， 是棱柱；锥体有 个，其中是圆锥， 是棱锥．【解析】 柱体有2个，其中(b)是圆柱，(c)是棱柱．锥体有2个，其中(g)是圆锥，(e)是棱锥．【例2】 ⑴ 如图，将三角尺绕着它的一条直角边旋转一周．请回答下列问题：① 三角尺右下的顶点，经运动形成了一个怎样的图形？ ② 三角尺下面的边，经运动形成了一个怎样的图形？ ③ 三角尺的面，经运动形成了一个怎样的图形？⑵ 观察下列多面体，并把下表补充完整．名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱图形顶点数a 61012 棱数b912面数c 58①观察上表中的结果，你能发现a 、b 、c 之间有什么关系吗？请写出关系式．②一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________.【解析】 ⑴ ① 形成一个圆．② 形成一个圆面．③ 形成一个圆锥体．⑵名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱顶点数a 6 8 10 12 棱数b9121518典题精练5初一秋季·第9讲·尖子班·教师版面数c 5 6 7 8①可以得到欧拉公式2a c b +-=． ②20.设顶点数为x ，则面数为x +8，则有： x +x +8-30=2 解得：x =12. 面数为20.【点评】 ⑴ 点动成线，线动成面，面动成体．⑵ 多面体是根据面数命名．比如正方体和长方体都有六个面，叫做六面体．凸多面体的顶点数、棱数、面数满足欧拉公式．定义：从正面看到的图叫主视图，也叫正视图．从左面看到的图叫左视图．从上面看到的图叫俯视图．主视图、左视图、俯视图统称三视图．要求：（学生版没有）①会画一个立体图形的三视图． ②会通过三视图确定立体图形．③知道三视图与特殊立体图形的表面积、体积的关系． ④两种视图与分类讨论．（如：根据所给主视图、左视图判断最多或最少多少个立方体）【引例】 右图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】 B ．【点评】 此题是对圆柱体主视图（左视图）和俯视图基础知识的简单应用. 例题精讲思路导航题型二：三视图6初一秋季·第9讲·尖子班·教师版【教师备选】例3要求会判断并画出几何体的三视图；例4通过三视图中的两个图能还原到整个几何体并求出面积或体积；例5根据三视图的形状判断几何体的最值情况.【例3】 ⑴ 如图所示几何体的左视图是（ ）正面⑵ 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种 视图中面积最小的是（ ）A ．正视图B ．左视图C ．俯视图D ．三种一样⑶ 一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是（ ） A ．三棱锥 B ．长方体 C ．球体 D ．三棱柱⑷ 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所 示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ； ⑶ C ； ⑷ 如图所示：（说明：俯视图中漏掉圆心的黑点扣分．）【例4】 ⑴ 长方体的主视图、俯视图如图所示（单位：m ），则其左视图面积是（ ）A ．42mB ．122mC ．12mD ．32m⑵ 如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ） A ．24π B ．32π C ．36π D ．48πA ．B ．C ．D ．典题精练7初一秋季·第9讲·尖子班·教师版⑶ 将棱长是1cm 的小正方体组成如图所示的几何体． ① 画出这个图的三视图，并求出三视图的面积． ② 求该立体图形的表面积．（包括底面积） ③ 求出几何体中重叠面的面积和．【解析】 ⑴ D ；⑵ A ；⑶ ① 三视图如下：主视图的面积为26cm ；左视图的面积为26cm ；俯视图的面积为26cm ． ② 主视图、左视图、俯视图面积和的2倍：2(666)236(cm )++⨯=．③ 24. 提示法一：2(136)66624(cm )++⨯-⨯=；法二：2(26)324(cm )+⨯=【例5】 ⑴ 如右图，是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） ⑵ 如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图 和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12⑶ 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视 图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多 为 ．⑷ 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，如下图所示． ① 请你画出这个几何体的一种左视图；② 若组成这个几何体的小正方块的块数是n ，请写出n 的所有的可能值．B A ．。
数学学而思第十四讲勤思敏学重点题型(学生版)_3927
(1) 若点 到点 ，点 的距离相等，求点 对应的数． (2) 是否存在这样的点 ，使点 到点 ，点 的距离之和为 ？若存在，请求出 的值，若不
存在，请说明理由． (3) 点 是数轴上另一个动点，动点 、 分别从 ， 同时出发，点 以每秒 个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，点 以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 为 的
(2) 当点 运动到达点 处时运动时间 为
秒．பைடு நூலகம்
(3) 运动过程中点 表示的数的表达式为
．（用含字母 的式子表示）
(4) 求当 等于多少秒时， ， 之间的距离为 个单位长度．
4 2017~2018学年浙江宁波镇海区初一上学期期末（区统考）第25题12分 已知数轴上有两点 、 ，点 对应的数为 ，点 在点 的右边，且距离 点 个单位，点 为 数轴上一动点，其对应的数为 ．
，求 的长．
(3) 若动点 分别从 同时出发，均向右运动，点 的速度为 / ，点 的速度为
/ ；设
运动时间为 （ ），当点 与点 重合时， 两点停止运动．
1 当 为何值时，
．
2 当点 经过点 时，动点 从点 出发，以
的速度也向右运动．当点 追上点
后立即返回，以同样的速度向点 运动，遇到点 后立即返回，又以同样的速度向
2 初一上学期学而思 以 厘米长为一个单位长度画出如图所示数轴，动点 从原点出发向数轴负半轴方向运动，同时， 动点 也从原点出发向数轴正半轴方向运动， 秒后，两点相距 厘米．已知动点 、 的速度比是 (速度单位：厘米/秒)．
(1) 求出两个动点运动的速度，并在在数轴上标出 、 两点从原点出发运动 秒时的位置． (2) 若 、 两点从(1)中的位置同时向数轴负半轴方向按原速度运动，几秒后，原点恰好处在
学而思初一数学秋季班第10讲 直线、射线和线段 教师版
1初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版走捷径满分晋级阶梯漫画释义10直线、射线和线段图形的认识6级 直线的相交图形的认识5级 角的计算与证明图形的认识4级 直线、射线和线段2初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版平面几何是训练人们思维能力的最好方法之一，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立的哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人不准入内”；二十世纪最伟大的科学家爱因斯坦说：如果几何不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学家．”在平面图形中我们接触最多的基本元素就是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，他们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方也就是点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界线．在线中，最简单常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由直线所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形）的基础．相关问题常涉及以下知识与方法：1. 直线、射线与线段的区别与联系2. 线段中点概念3. 枚举法，分类讨论法注意：有关直线、射线、线段的基础知识为暑期班讲解内容这里不再重复讲解，教师根据班级情况补充讲解，建议先练习学案1复习暑期班知识后再讲解例题.知识互联网思路导航例题精讲题型一：多种情况求线段长度问题3初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版【引例】 如图，在直线PQ 上要找一点C ，且使3PC CQ =，则点C 应在（ ）．A ．PQ 之间找B ．在点P 左边找QPC ．在点Q 右边找D ．在PQ 之间或在点Q 的右边找【解析】 D ．【例1】 ⑴ 如图，已知点C 在线段AB 上，线段6cm AC =，4cm BC =，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求线段MN 的长．NMCBA⑵ 对于①题，如果我们这样叙述它：已知点C 在直线AB 上，线段6cm AC =，4cm BC =，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求线段MN 的长，结果如何？请画出示意图，并直接写出MN 的长．（丰台区期末）【解析】 ⑴ 由点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，得132MC AC ==，122CN BC ==， 所以()5cm MN MC CN =+=； ⑵ 有两种情况符合题意：①点C 在线段AB 上，与⑴题相同，()5cm MN =；②点C 在线段AB 延长线上，正确画出示意图（略），()1cm MN =．【例2】 阅读：在用尺规作线段AB 等于线段a 时，小明的具体做法如下：已知：如图，线段a ． 求作：线段AB ，使得线段AB a =． 作法：① 作射线AM ；② 在射线AM 上截取AB a =．∴线段AB 为所求． 解决下列问题： 已知：如图，线段b ．⑴ 请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM 上作线段BD ，使得BD b =；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）⑵ 在⑴的条件下，取AD 的中点E .若53AB BD ==，，求线段BE 的长.（要求：第⑵问重新画图解答）（海淀区期末）【解析】 ⑴D′MDBA；⑵ ∵E 为线段AD 的中点，∴12AE AD =.典题精练a MB A b4初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版如图，点D 在线段AB 的延长线上． ∵53AB BD ==，， ∴8AD AB BD =+=． ∴4AE =．∴1BE AB AE =-=.如图，点D 在线段AB 上． ∵5,3AB BD ==， ∴2AD AB BD =-=． ∴1AE =．∴4BE AB AE =-=． 综上所述，BE 的长为1或4．【例3】 ⑴ 已知A ，B ，C 三点在同一直线上，线段9AB =，D 是线段AB 的中点，且:1:3BC AB =，则线段CD 的长等于 .⑵ 已知A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD 的长． 【解析】 ⑴ 1.5cm 或7.5cm ；⑵ 情况1：如图⑴3249cm AD =++=．情况2：如图⑵3241cm AD =+-=． 情况3：如图⑶4(32)3cm AD =--=． 情况4：如图⑷(32)45cm AD =-+=．（1）DCB A（2）AB CD（3）A BC D（4）A B CD【备选题】【备选1】若点A 、B 、C 在一条直线上，线段AB =8cm ，AC =4cm ，则线段BC 的长为（ ）A ．12cmB ．4cmC ．12cm 或4cmD ．从4cm 到12cm 中任意数（昌平区期末）【解析】 C ．【备选2】已知线段10cm AB =，C 是直线AB 上一点，且 6cm BC =，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则线段MN 的长为 ．（西城区期末）【解析】 2cm 或8cm ．【备选3】线段A B 上有两点P 、Q ，26A B =，14A P =，11PQ =，求B Q 的长． 【解析】 情况1，如图⑴，26141123B Q B P P Q =+=-+=；情况2，如图⑵，2614111B Q B P P Q =-=--=． ME D B A MDE B A5初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版(1) (2)A A BB P Q P【备选4】⑴如图，点C 、D 在线段AB 上，点C 为AB 中点，若5cm AC =，2cm BD =，则CD =_______cm ．DCBA（朝阳区期末）⑵如图，已知B ，C 是线段AD 上的任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若5cm BC =，17cm AD =，那么MN 的长度为 ．NMDCBA【解析】 ⑴ 3；⑵ 11cm ．【拓展】⑴若点C 是线段AB 上任意一点，且AC=a ，BC=b ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，请直接写出线段MN 的长度；（用a 、b 的代数式表示）⑵在⑴中，把点C 是线段AB 上任意一点改为：点C 是直线．．AB 上任意一点，其他条件不变，则线段MN 的长度会变化吗？若有变化，求出结果．【解析】 ⑴2a bMN +=⑵线段MN 的长度会变化．当点C 在线段AB 上时，由⑵知2a bMN +=当点C 在线段AB 的延长线时，如图： 则AC=a ＞BC=b ∵AC=a ，点M 是AC 的中点∴CM=2AC =2a∵BC=b ，点N 是BC 的中点∴CN=2BC =2b∴MN=CM －CN=2a b-当点C 在线段BA 的延长线时，如图： 则AC=a ＜BC=b同理可求：CM=2AC =2aCN=2BC =2b∴MN=CN －CM=2ab - ∴综上所述，线段MN 的长度会变化，2a b MN +=，2a b -，2b a- NM6初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版从简单情形入手，由简入繁，归纳发现规律，是解决计数问题的关键．【例4】 当一条直线上有2个点时，图中共有射线________条，线段_______条；当一条直线上有3个点时，图中共有射线________条，线段_______条； 当一条直线上有4个点时，图中共有射线________条，线段_______条； 当一条直线上有5个点时，图中共有射线________条，线段_______条；……当一条直线上有n 个点时，图中共有射线________条，线段_______条．【解析】 4，1；6，3；8，6；10，10；2n ，(1)2n n -．【例5】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？n 条直线两两相交最多有多少个交点？ 【解析】 6条直线两两相交最少的交点个数是1个；最多有15个交点．对于n 条直线两两相交交点最多的情况，我们不妨从简单情况入手，画图探索规律，从中发现规律，平面内n 条直线两两相交最多有：(1)12(1)2n n n -+++-=个交点. 【例6】 1条直线最多可将平面分成 部分；2条直线最多可将平面分成 部分； 3条直线最多可将平面分成 部分； 4条直线最多可将平面分成 部分；n 条直线最多可将平面分成几部分？ 说明理由！【解析】 我们仍可以从简单情况入手，画图探索规律：1条直线最多可将平面分成112+=部分；思路导航典题精练题型二：计数问题7初一秋季·第102条直线最多可将平面分成1124++=部分； 3条直线最多可将平面分成11237+++=部分；4条直线最多可将平面分成1123411++++=部分；发现规律，n 条直线最多可将平面分成：(1)11212n n n ⨯+++++=+部分．【拓展】如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC 的长度．DCBA【解析】 7313．通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.【例7】 图解下列应用题．⑴ 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有 种不同的票价（来回票价一样、站与站之间距离不相等），需准备 种车票．⑵ A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球．则下列正确的是 ．（多选） A ．还有一个队没和B 队进行比赛 B ．C 队与F 队进行了一样多的比赛C ．C 队、D 队、F 队这三队之间已经进行了两场比赛 D ．后面还剩下六场比赛需要进行【解析】 ⑴ 不同票价其实就是有多少条线段即为10种；来回票价一样，但票的起始站是不一样的，所以需20种票．思路导航典题精练题型三：图解应用题FBE 乙甲8初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版⑵ 图解，ABD ．如右图【备选1】在一次聚会开始时，6个客人都互相问了好，聚会结束时6个客人都互相握了手，那么，一共有多少次问好？有多少次握手？ 【解析】30，15【备选2】五位朋友a 、b 、c 、d 、e 在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a 握了4次，b 握了1次，c 握了3次，d 握了2次．到目前为止，e 握了（ ）次．A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 B【例8】 ⑴已知线段AB 的长为10cm ，C 是直线AB 上一动点，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点.①若点C 恰好为线段AB 上一点,则MN = cm ；②猜想线段MN 与线段AB 长度的关系，即MN =________AB ，并说明理由．(2011海淀区期末试题)⑵如图所示，把一根绳子对折成线段AB ，从点P 处把绳子剪断，已知:2:3AP BP =，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm ，求绳子的原长．【解析】 ⑴①5； ………………………………1分②12； ………………………………2分 证明：∵M 是线段AC 的中点，∴1,2CM AC = ∵N 是线段BC 的中点，∴1,2CN BC = ………………………………3分 以下分三种情况讨论（图略）， 当C 在线段AB 上时，1111()2222MN CM CN AC BC AC BC AB =+=+=+=； ………………………………4分当C 在线段AB 的延长线上时，PBA9初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版1111()2222MN CM CN AC BC AC BC AB =-=-=-=； ………………………………5分当C 在线段BA 的延长线上时，1111()2222MN CN CM BC AC BC AC AB =-=-=-=； ………………………………6分综上：12MN AB =．⑵设2AP x =，则3BP x =．① 若A 是绳子的对折点，则最长一段为260AP =， 解得 30AP =．由2AP x =，可得15x =，345BP x ==绳子的原长为()()()223045150cm AP PB +=⨯+=② 若B 是绳子的对折点，则最长一段为260BP =，解得30BP =由3BP x =，可得10x =，220AP x ==．绳子的原长为()()()222030100cm AP BP +=⨯+= 综上，绳子的原长为150cm 或100cm .训练1. ⑴ 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）A ．两点之间，射线最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间，线段最短D ．两点之间，直线最短 ⑵ 如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是CB 的中点，那么下列结论中错误的是（ ）A ．AC CB = B ．2BC CD =C.2AD CD = D ．14CD AB =（海淀期末） ⑶ 如图，已知点C 在线段AB 的延长线上，6AB =，4BC =，点D 是AC 的中点，求DB 的长．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ ∵6AB =，4BC =， ∴10AC AB BC =+=D CB A DC B A 思维拓展训练（选讲）10 初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版∵点D 是AC 的中点∴152DC AC ==∴541DB DC BC =-=-=训练2. 如图，已知线段AB 上依次有三个点C 、D 、E 把线段AB 分成2345∶∶∶四个部分，M 、P 、Q 、N 分别是AC ，CD ，DE ，EB 的中点，若21MN =，求PQ 的长度．PQNMEDCBA【解析】 设2AC x =，3CD x =，4DE x =，5EB x =，则10.521MN x ==，故2x =， 3.57PQ x ==．训练3. 如图，B 、C 、D 依次是线段AE 上三点，已知8.9cm AE =，3cm DB =，则图中所有线段长度之和是多少？EDCBA【解析】 4241.6cm AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE AE BD +++++++++=+=．训练4. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知59AD DB =，95AC CB =且4cm CD =，求AB 的长．（人大附中期末，西城期末） 【解析】 依题意画出示意图如下：AB DC图1A B DC 图2A BD C图3AB DC图4如图1，由95AC CB =可知，914AC AB =．由59AD DB =可知，54AD AB =．又954144CD AC AD AB AB =+=+=，故112(cm)53AB =如图2，由95AC CB =可知，94AC AB =．由59AD DB =可知，54AD AB =．又95444CD AC AD AB AB =+=+=，故87AB =(cm)如图3，由95AC CB =可知，914AC AB =．由59AD DB =可知，514AD AB =．又9541414CD AC AD AB AB =-=-=，故14(cm)AB =如图4，由95AC CB =可知，54BC AB =．由59AD DB =可知，914BD AB =．又594414CD BC BD AB AB =+=+=，故112(cm)53AB =【点评】 此题也可以把其中某个线段设为x ，其它线段都用x 表示出来列方程求解．11初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版题型一 多种情况求线段长度问题 巩固练习【练习1】 已知：如图，14AB =，点C 为线段AB 上一点，点D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，1ED =，求线段AC 的长．E ABDC（海淀区期末）【解析】 由E 是AC 的中点可知，12AE AC =，同理可知，12AD AB =． 故1122DE AD AE AB AC =-=-，又1DE =，14AB =，故12AC =． 【练习2】 如图所示，把一根绳子对折成线段AB ，从P 处把绳子剪断，已知13AP PB =，若剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm ，则绳子的原长为 cm .PBA【解析】 40或80．【练习3】 如图，线段4AB =，点O 是线段AB 上一点，C 、D 分别是线段OA ，OB 的中点，小强据此很轻松地求得2CD =．他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上时，原有的结论“2CD =”是否仍然成立？请你帮小强画出图形并说明理由．DOBCA【解析】 原有结论仍然成立．理由如下：当点O 在AB 的延长线上时，如下图所示，11()222CD OC OD OA OB AB =-=-==．D OBCA题型二 计数问题 巩固练习【练习4】 过平面上的n 个点最多可画多少条直线？（2n ≥）【解析】 1(1)2n n -．方法一：经过平面内2个点最多可画1条直线；经过平面内3个点最多可画123+=条直线； 经过平面内4个点最多可画1236++=条直线； 经过平面内5个点最多可画123410+++=条直线；复习巩固12 初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版经过平面内6个点最多可画1234515++++=条直线；经过平面内n 个点最多可画()()112345112n n n ++++++-=-条直线．方法二：每过一个点最多可画1n -条直线，那么过n 个点可画(1)n n -条直线，但有重复，所以乘以12. 综上：过平面上n 点最多可以画1(1)2n n -条直线．题型三 图解应用题 巩固练习【练习5】 如图是六名舞蹈演员设计的一种舞台造型，从三种不同的角度看，都有三名演员在同一条直线上，为了视觉更美观一些，设计人员只移动了一名演员的位置，就使得从四种不同的角度看，都有三名演员在一条直线上．请你联想所学过的知识解决这个问题，画出你的设计方案．（海淀区期末）【解析】 解决方案如下图．FEDC B AF ED CB AFE D CBAFE AB D C13初一秋季·第10讲·基础-提高班·教师版风雨过后是彩虹有一天，一个小男孩在花园里玩，突然，他发现了一个蛹。
初一数学学习个人总结
初一数学学习个人总结篇1：初一个人学习总结一转眼，半个学期过去了。
回顾这过去的半个学期，有喜有忧，现总结如下：在日常生活上：以前我是一个衣来伸手饭来张口的“小公主”，而通过这半年老师和同学们的帮助，使我养成了独立性，不再娇生惯养，现在我已经能做一些力所能及的家务了。
在学习上：我深知学习的重要性。
面对二十一世纪这个知识的时代，面对知识就是力量，科学技术是第一生产力的科学论断，我认为离开了知识将是一个一无是处的废人。
以资本为最重要生产力的“资本家”的时代将要过去，以知识为特征的“知本家”的时代即将到来。
而中学时代是学习现代科学知识的黄金时代，中国的本科教育又是世界一流的，我应该抓住这个有利的时机，用知识来武装自己的头脑，知识是无价的。
首先，合理安排时间，调整好作息时间，分配好学习、工作、娱乐的时间。
时间是搞好学习的前提与基础，效率和方法更为重要。
其次，要保质保量的完成老师布置的作业，老师布置的作业一般是她多年教学经验的总结，具有很高的价值，应认真完成。
认真对待考试，考前认真复习。
另外，积极阅读有关书籍和资料，扩大自己的知识面；经常提出问题，与同学讨论，向老师请教；搞好师生关系，师生相处得融洽和睦；抓住点滴时间学习一些其它专业领域的知识，知识总是有用的。
在这学期的期中考试中，尽管取得一些成绩，但离心中的目标还很远，仍需继续努力，抓紧自己的学习。
知识无止境，探索无止境，人的发展亦无止境，我还有很多的知识需要学习。
以上是我对高一上学期期末一些方面的个人总结，我将结合这个小结回顾过去，确定未来的发展目标，我对未来充满信心。
自然，这需要老师们的精心培养和同学们的真诚帮助。
这个学期结束了。
在这个学期里，老师为我们的学习付出了许多心血，我们也为自己的学习洒下了许多辛勤的汗水。
这次期末考试，我的每门功课，都取得了比较好的成绩。
总结这个学期的学习，我想，主要有以下几个方面：第一，学习态度比较端正。
能够做到上课认真听讲，不与同学交头接耳，不做小动作，自觉遵守课堂纪律；对老师布置的课堂作业，能够当堂完成；对不懂的问题，主动和同学商量，或者向老师请教。
学而思初一数学秋季班第5讲.找规律、程序运算和定义新运算.基础-提高班.教师版
1初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义5找规律、程序运算 和定义新运算代数式3级 找规律、程序运算 和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算2初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版题型切片（六个） 对应题目题型目标 数列的规律 例1；练习1 数表的规律 例2；练习2 图形的规律 例3；练习3 算式的规律 例4；练习4 程序运算例5、例6：练习5 定义新运算 例7；练习6找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系. ⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴ 1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…，21n - （n 为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）． ⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）． ⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.【例1】 ⑴ 观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数 的第k 个数是 ．（k 为正整数）数列的规律思路导航题型切片3初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 . （n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 .（n 为正整数）【解析】 ⑴ 212k k -； （2） 10096， ⑶1132-，21(1)2n n n +-；⑷ 750-，2(1)1nn n -+ ；（5）207b a -，31(1)n n nb a --．【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是 . 1112211136311114121241111152030205（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字: ．数表的规律4初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .②如果设“X”型框中间的数为a ，请用含a 的代数式表示“X”型框中五个数的和； ③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这-13 -5 7 -9 11 -13 15 -17 19 -21 23 -25 27 -29 31 -33 35 -37 39 -41 43 -45 47 -49 51 -53 55 -57 59 -61 63 -65 67 -69 71 ………………【解析】 ⑴172⑵ 420；观察可得规律： 第一行第二列的数：212=⨯；第二行第三列的数：623=⨯； 第三行第四列的数：1234=⨯； ……第n 行第1n +列的数：(1)n n +故可得第20行第21列的数为：2021420⨯=.（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)232221………5初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个 图案由 个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有 个★.⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；② 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】 ⑴ 10，31n +； ⑵；28,3n+1；⑶ ①5，9．② 43n -． ⑷(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-；算式的规律图形的规律第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形6初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例4】 观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．【解析】 1342=+aa ； 122+=++n a n n a .一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．【例5】 ⑴ 如下图，输入23x =-，则输出值y 是 ．y=-x +4(x >1)y=x +4(x ≤1)输出 y输入 x⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是 .YES NO输出结果<-5计算1+x -2x 2输入x 的值⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ．x +3x 2x 为奇数x 为偶数输出输入x⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.程序运算思路导航7初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版>800输出结果是否将值赋给x ，再次运算计算4x +1的值输入x【解析】 ⑴5-；此程序为选择式，因91x =-≤，故4945y x =+=-+=-.⑵ 9-；经过第一次程序运算得2-，因为25->-，需要返回循环；经第二次运算得9-，因为95-<-，此程序结束，故输出结果为9-. ⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）⑷ 由题意：()85314213>0-÷=，()2131453>0-÷=，()531413>0-÷=，()13143>0-÷=，()1314>02-÷=∴只有213，53，13，3符合题意．（也可用方程思想理解：∵ x 为正整数， ∴ 415x +≥. 当41853x +=时，213x =. 当41213x +=时，53x =. 当4153x +=时，13x =. 当4113x +=时，3x =.综上所述，213x =或53x =或13x =或3x =）.【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题： （1）若A 为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2．”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明． 【解析】 ⑴E =1089； ⑵ E 的值都相同．理由如下：设A =100a+10b +c 且a －c =2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=99a －99c =99(a －c )=99×2=198． ∴D =891．∴E =C +D =198+891=1089． (3) E =1089．8初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版证法1：设A =100a +10b +c 且a －c >2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=100(a －c )+(c －a )=100(a －c －1)+10×9+(10+c －a ) ． ∴D =100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1) ．∴E =C +D =[100(a －c －1)+10×9+(10+c －a )]+[ 100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1)]=1089．定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.【例7】 ⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a 、b ，都有：1a b a b ∆=+-， 1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵ 用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-． 例如，4×27479=-=，那么5×3= ； 当m 为有理数时，m ×（1-×2）= ．⑶ 对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc c d=-，若1134bd <<，则b d += ．⑷ 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-， ① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ，…，依此类推，则2009a = ．【解析】 ⑴ 6；⑵ 22，21m +；⑶由题意得42bd -=，故2bd =，又b d ，为正整数，所以3b d +=.定义新运算思路导航9初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑷ ①34；② 4；③ 13-；34. 【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．【选讲题】【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解析】 B ，603，63n + . （2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+ ,322a a =-+,433a a =-+,则2013a 的值为 .【解析】 1006(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴ 填表：⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ ⑶ 如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？【解析】 ⑴ 如表．剪的次数1 23 4 5 正方形个数 47101316⑵ 如果剪了100次，共剪出11003301+⨯=个小正方形； ⑶ 如果剪n 次，共剪出13n +个小正方形.剪的次数1 2 3 4 5 正方形个数 4 710 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版训练1. 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（ ）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对【解析】 C.训练2. 根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为32，则输出的结果是 ．（汇文中学期中） 【解析】 72-.训练3. 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）； 又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴ 246810100++++++（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ． ⑵ 计算5211n n =-=∑（） ．（填写最后的计算结果）（北大附中期中）【解析】 ⑴ 5012n n =∑；⑵ 50,52222221(1(11(21(31(41(5150n n=-=-----=∑))+)+)+)+)训练4. 在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序 1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：y=-x -2(1<x ≤2)y=x 2(-1≤x ≤1)y=x -2(-2≤x <-1)输出y 的值输入x 的值11初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑴ 小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是 ．⑵ 小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是 ．⑶ 若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是 ．（一零一期中）【解析】 ⑴ 7⑵6665⑶ 2011201212 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版数列的规律【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵ 观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）【解析】 ⑴ C ． ⑵ 582665x x -， ，12(1)(1)n n n x +-+.数表的规律【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第 列。
初一数学的学习方法(最新45篇)
初一数学的学习方法(最新45篇)初一数学的学习方法1初一的同学刚进入一个新阶段学习，那到底该如何掌握课堂学习方法，才能提高课堂学习效果呢?全国著名的中学数学培训教师范士闯提醒中学生们，数学课学习要坚持做到“五到”即耳到、眼到、口到、心到、手到：耳到：在听课的过程中，听老师讲的知识重点和难点，又要听同学回答问题的内容。
眼到：把书上知识与老师课堂讲的知识联系起来。
口到：是自己预习时没有掌握的，课堂上新生的疑问，提出来。
心到：课堂上要认真思考，注意理解课堂的知识，主动积极。
手到：就是在听，看，思的同时，要适当地动手做一些笔记。
一、掌握练习方法，提高解答数学题的能力。
1、端正态度，充分认识到数学练习的重要性。
实际练习不仅可以提高解答速度，掌握解答技能技巧，而且，许多的新问题常在练习中出现。
2、要有自信心与意志力。
数学练习常有繁杂的计算，深奥的证明，自己应有充足的信心，顽强的意志，耐心细致的习惯。
3、要养成先思考，后解答，再检查的良好习惯，认真思考，抓住关键，再作解答。
4、细观察、活运用、寻规律、成技巧。
二、掌握复习方法，提高数学综合能力。
复习巩固应注意掌握以下方法：1、合理安排复习时间，“趁热打铁”，当天学习的功课当天必须复习，要巩固复习，一定要克服不看书复习就做作业，把书当成工具书查阅的不良习惯。
2、广泛采用综合复习方法，即通过找出知识的左右关系和纵横之间的内在联系。
综合复习具体可分“三步走”：首先是统观全局，浏览全部内容，通过唤起回忆，初步形成完整的知识体系印象，其次是加深理解，对所学内容进行综合分析，最后是整理巩固。
3、重视实际应用的复习方法。
通过“完成实际作业”来实现对数学的复习，范士闯老师明确指出，在数学课程中“应当注意把知识的实际应用作为重要的复习方法”，例如复习一元二次方程可做以下四道题：(1)方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
求实数a的取值范围。
(2)方程2mx2-4mx+3(m-1)=0有两个实数根，确定实数m的范围。
学而思七年级数学下1-10讲
学而思七年级数学下1-10讲第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、单项式的意义：数与字母的乘积的代数式叫做单项式。
（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的区别2、单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。
4、几个单项式的和叫做多项式5、组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
7、整式的意义：单项式和多项式统称为整式。
（分母中含有字母的代数式不是整式）8、整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、整式加减的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用：例1、填空题：（1）单项式213x -的系数是，次数是；（2）单项式222a b c-的系数是，次数是；（3）单项式 22x y z π的系数是，次数是；例2、填空：（1）多项式23x +是次项式，最高次项是，常数项是。
（2）多项式43923101232x y x x y -++是次项式，最高次项的系数是，常数项是。
例3 、已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1）求多项式中各项的系数与次数。
（2）若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是（2）与2421x x ++的差是24x2例5、若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x++-+-的值。
例6、证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除。
例7、甲、乙两种服装的成本共600元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按60%的利润率定价，在实际出售时，两种服装均按八五折出售。
学而思七年级数学下1-10讲
第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、 单项式的意义： 数与字母的乘积的代数式叫做单项式。
（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的 区别2、 单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、 单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。
4、 几个单项式的和叫做多项式5、 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、 多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
7、 整式的意义： 单项式和多项式统称为整式。
（分母中含有字母的代数式不是整式）8、 整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、 整式加减的一般步骤：（1） 去括号； （2）合并同类项 10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用： 例1、 填空题：（1）单项式213x -的系数是 ，次数是 ；（2） 单项式222a b c-的系数是 ，次数是 ；（3） 单项式 22x y z π的系数是 ，次数是 ；例2、 填空：（1） 多项式23x +是 次 项式，最高次项是 ，常数项是 。
（2） 多项式43923101232x y x x y -++是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数项是 。
例3 、 已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1） 求 多项式中各项的系数与次数。
（2） 若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是 （2） 与2421x x ++的差是24x（3）已知A=21x x -+, B= 2x -，23A B -=例5、 若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x ++-+-的值。
例6、 证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除 。
2024年初一下册数学知识点总结北师(3篇)
2024年初一下册数学知识点总结北师第一单元：自然数与整数1. 自然数：0、1、2、3、4、5……，它们可以用来表示物体的数量。
2. 整数：自然数及其相反数与零的集合，包括正整数、负整数和零。
3. 整数的加法：同号相加得更大的数，异号相加得正数减去绝对值较大的数。
4. 整数的减法：a-(-b) = a + b，a-(-b) = a-b。
5. 整数的乘法：正数相乘为正数，负数相乘为负数，0与任何数相乘为0。
6. 整数的除法：除数不为0时，两正数相除为正数，两负数相除为正数，正数除以负数为负数。
7. 素数与合数：只有两个相异因数1和自身的整数是素数，可以被除了1和自身外的其他数整除的整数是合数。
第二单元：有理数1. 有理数：可以表示成两整数之比的数，包括整数、分数和小数。
2. 分数的加法与减法：分母相同，分子相加（减）；分母不同，通分后分子相加（减）。
3. 分数的乘法与除法：分子相乘（除），分母相乘（除）。
4. 有理数的相反数与数轴：任何有理数与其相反数的和为0，数轴上，正数在右侧，负数在左侧。
5. 有理数的比较与排序：将有理数转化为分数后比较其大小。
第三单元：代数的基本概念1. 代数：利用字母（变量）表示数的运算。
2. 代数式：由字母、数字和运算符号组成的式子。
3. 项与系数：含有加减号的代数式可以分解成若干项，每一项中字母的指数与系数的乘积称为项的系数。
4. 等式：左右两边的值相等的代数式称为等式。
5. 解方程：通过变换等式的形式找到使等式成立的未知数的值。
第四单元：一次方程与消元法1. 一次方程：未知数的最高次数为1的方程。
2. 解一元一次方程：通过变换等式的形式找到使等式成立的未知数的值。
3. 消元法：通过两个方程的相加、相减或相乘消除其中一个未知数，以求解另一个未知数。
第五单元：图形的认识与运用1. 平面图形：点、线段、直线、射线、角、三角形、矩形、正方形、平行四边形、菱形、梯形、圆等。
2. 两条直线的位置关系：平行、相交、重合。
学而思初一数学秋季班第6讲.含参一元一次方程的解法.尖子班.教师版
解方程满分晋级阶梯漫画释义6含参一元一次 方程的解法方程4级 方程中的设元 方程3级含参一元一次方程的解法方程2级 二元一次方程组的 概念及基本解法题型切片（四个） 对应题目题型目标 复杂一元一次方程 例1；例2；练习1； 同解一元一次方程 例3；例8；练习2； 含参一元一次方程 例4；例5；练习3；练习4 绝对值方程例6；例7；练习5；练习6对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中()ax bx a b x +=+的应用.【引例】 解方程：111123452345x x x x +++=+++. 【解析】 法一：1111111123452345x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，所以1x =；法二：111102345x x x x ----+++=，1111()(1)02345x +++-=，所以1x =.【点评】 注意传递给学生两种解决此类问题的思路.【例1】 ⑴解方程：2152234x x +--=.（西城期末） ⑵解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解析】 ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得 4(21)3(52)24x x +--=．去括号，得 8415624x x +-+=． 移项，得 8152446x x -=--． 合并同类项，得 714x -=． 系数化为1，得 2x =-．∴ 原方程的解是 2x =-．⑵ 原方程可变为111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即111(23)0111319x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， 又1110111319+-≠，所以230x -=，即32x =． 点评：若0ab =，则0a =或0b =．复杂一元一次方程思路导航题型切片【例2】 解方程：2009122320092010x xx+++=⨯⨯⨯【解析】 1112009122320092010x ⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭，1120092010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即200920092010x =， 故2010x =.若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式． 两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【引例】 当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．（北京四中期中考试）【解析】 法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-. 法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．【例3】 ⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．（石景山期末）⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，求a 的值． ⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．【解析】 ⑴ 22643k k +-=，解得6k =，2x ∴= ⑵ 方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．⑶ 法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m-=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m =-，所以412k m k m -=+-，所以3m k =，所以523k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故同解一元一次方程思路导航48k m m k +=-，523k m -=-．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．① 当0a ≠时，方程有唯一解bx a=．② 当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数． ③ 当0a =且0b ≠时，方程无解．【引例】 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解． 【解析】 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，. 【例4】 ⑴ 已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5aba b x x a b a b+-=-++ 的解.⑵ 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，所以23a b ==-，，故把23a b ==-，代入2011()5aba b x x a b a b+-=-++得610x x --=， 解得107x =-.⑵ 方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，即(4)132b k a +=-，又k 为任意值，故401320b a +=⎧⎨-=⎩，231a b +=．【例5】 解关于x 的方程()()134m x n x m -=-【解析】 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，解为任意值；思路导航含参一元一次方程当34m =，34n ≠时，方程无解．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解1．形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴0c <，则方程无解；⑵0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ⑶0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±． 2．形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥；分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可． 3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法：主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．【引例】 解绝对值方程：15x -=【解析】 15x -=可知，15x -=或15x -=-，故6x =或4x =-．【例6】 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（ ）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k ≥≥【解析】 C .【例7】 解绝对值方程：⑴ 4812x +=⑵ 4329x x +=+⑶ 方程125x x -++=的解是 ．（北京四中期中）【解析】 ⑴由4812x +=可知，4812x +=±，故1x =或5x =-．⑵方程4329x x +=+可化为，43(29)x x +=±+，且290x +≥，解方程4329x x +=+可得，3x =；解方程43(29)x x +=-+可得，2x =-，代入检验可知，3x =，2x =-均满足题意．⑶法一：1x -与2x +的零点分别是1x =和2x =-．由“零点分段法”，分情况讨论： 若2x <-，则原方程可化为(1)25x x ---+=（），解得32x =-<-，满足题意，故3x =-是原方程的解；若21x -≤≤，则原方程可化为(1)25x x --++=（），无解；若1x >，则原方程可化为(1)25x x -++=（），解得21x =>，满足题意，故2x =也思路导航绝对值方程是方程的解．综上：方程125x x -++=的解为3x =-或2x =. 法二：用绝对值的几何意义画数轴即可解决.【选讲题】【例8】 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．（人大附中期中练习）【解析】 由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．训练1. 方程3x a b x b c x c a c a b ------++=中，若11100abc a b c≠++≠，则x = . 【解析】 .x a b c =++训练2. 解关于x 方程：4x a b c x b c d x a c d x a b dd a b c------------+++=【解析】 原方程可变()()()()0x a b c d x a b c d x a b c d x a b c d d a b c -+++-+++-+++-++++++=也就是1111[()]0x a b c d a b c d ⎛⎫+++-+++= ⎪⎝⎭当11110a b c d +++=时，原方程有无穷多个解； 当11110a b c d+++≠时，原方程的解为：x a b c d =+++．训练3. 已知关于x 的方程1(1)12x k -=-的解与351148x k x +--=的解相同，求k 的值.【解析】 由 1(1)12x k -=-得 122x k -=- 12x k -=- 12x k =-+ 由351148x k x +--=得()()23518x k x +--=62518x k x +-+= 72x k =-∵两个方程的解相同， ∴1272k k -+=- ∴2k =.训练4. ⑴ 方程158x x -++=的解是 ．⑵ 解绝对值方程：35162x x ---= 【解析】 ⑴2x =或6x =-.⑵35162x x ---=或6-，即3572x x -=-或3552x x -=+ 当70x -≥时（即7x ≥），3502x ->，3572x x -=-化为3572x x -=-，解得9x =-．当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -≥（即53x ≥），3552x x -=+，解得15x =．当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -<（即5<3x ），3552x x -=--，解得1x =-．检验这三个解9x =-（舍去），故15x =，1x =-.复杂一元一次方程 巩固练习【练习1】 解方程：0.130.41200.20.5x x +--=【解析】 10x =-. (提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成整数)两个一元一次方程解的关系问题 巩固练习【练习2】 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值及方程的解.【解析】 把a 当常数，方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，方程3151128x a x +--=的解为27221a x -=， 故3272721a a -=，解得2711a =，所以8177x =．（同解方程问题）含字母系数的一元一次方程 巩固练习【练习3】 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ．【解析】 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，即53a =，复习巩固109b ≠-． 【练习4】 如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无数个解，求k 值. 【解析】 原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，52k =．绝对值方程 巩固练习【练习5】 解方程：3548x -+=【解析】 3548x -+=或8-（舍），即354x -=，所以354x -=或4-，即39x =或31x =，故3x =或13x =．【练习6】 方程147x x -++=的解是 ．2x =或5x =-.每个人的成功都有秘诀，那你知道爱因斯坦的成功公式是什么？数学史第十三种品格：公平不要羡慕别人的生活，别人不见得比你活得好，世间是公平的，每个人都有自己的欢乐和痛苦。
学而思初一数学秋季班第12讲 直线的相交
1初一秋季·第12讲·尖子班·教师版相交还是…满分晋级阶梯漫画释义12直线的相交图形的认识7级 平行线的性质及判定 图形的认识6级 直线的相交 图形的认识5级 角的计算与证明2初一秋季·第12讲·尖子班·教师版平面内两条直线的位置关系：平行与相交平行直线： 定义：在同一平面内，永不相交的两条线称为平行线．相交直线： 定义：如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．对顶角： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角．我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点 而没有公共边的两个角叫做对顶角．如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角． 对顶角的一个重要性质是：对顶角相等．邻补角： 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角．注意： 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角知识互联网思路导航例题精讲题型一：两线四角1234a b O3初一秋季·第12讲·尖子班·教师版【引例】 如图所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是 .若125∠=︒，则2∠=_______，3∠=______，4∠=_______．【解析】 2∠和4∠，3∠，155︒，25︒，155︒．【例1】 ⑴ 如图1，直线a b c 、、两两相交，123265∠=∠∠=︒，，求4∠的度数．⑵ 如图2，直线AB 、CD 交于点O ，且120AOD BOC ∠+∠=°，求AOC ∠的度数． ⑶ 如图3，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，25AOE ∠=°，45DOF ∠=°，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．⑷ 如图4，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，30BOC BOD ∠=∠-°，求COE ∠的度数．O图 4图 3图 2图 14321c baA B CD EOAB CDEFODCBA【解析】 ⑴ ∵123∠=∠，265∠=︒，∴1265∠=∠=︒，∴136532.52∠=⨯︒=︒，∴4332.5∠=∠=︒；⑵ 由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠，又120AOD BOC ∠+∠=°，故60AOD ∠=°从而由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，120AOC ∠=°；⑶ 由对顶角相等可知，45COE DOF ∠=∠=°，故254570AOC AOE COE ∠=∠+∠=+=°°°． 由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，18070110AOD ∠=-=°°° 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角110BOC ∠=°； ⑷ 由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，180BOC BOD ∠+∠=°． 又30BOC BOD ∠=∠-°，故105BOD ∠=°，75BOC ∠=°． 由对顶角相等可知，75AOD BOC ∠=∠=°．又OE 平分AOD ∠，故37.5AOE ∠=°，又因为180AOC BOC ∠+∠=︒,所以105AOC ∠=︒,从而可知，37.5105142.5COE AOE AOC ∠=∠+∠=+=°°°．【例2】 已知：如图所示，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，2AOF BOD ∠=∠，32COE AOC ∠=∠，求COE ∠的度数．【解析】 由对顶角相等可知，AOC BOD ∠=∠， 典题精练OF EBD A C4321DCBA4初一秋季·第12讲·尖子班·教师版设AOC BOD x ∠=∠=，则2AOF x ∠=，32COE x ∠=． 又180AOC AOF COE ∠+∠+∠=°，故321802x x x ++=°，40x =°，故60COE ∠=°．同位角： 两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角． 如图所示，1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠都是同位角．内错角： 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，（即分别在第三条直线的两旁），这样的一对角叫做内错角． 如图中，3∠与5∠，4∠与6∠都是内错角．同旁内角： 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．如图中，3∠与6∠，4∠与5∠都是同旁内角．【引例】 下列图形中1∠和2∠是同位角的是（ ）21 211221A ．B ．C ．D ．（海淀区期末）【解析】 B ．【例3】 ⑴ 如图1，①1∠与2∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． 例题精讲思路导航典题精练题型二：三线八角FE D CBA 87654321图1l 3l 2l 16543215初一秋季·第12讲·尖子班·教师版②1∠与3∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ③2∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ④3∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ⑤5∠与6∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．（清华附中统练）⑵ 如图，图中与∠1成同位角的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ⑴ ①1∠与2∠是两条直线2l 与3l 被第三条直线1l 所截构成的同位角；②1∠与3∠是两条直线1l 与3l 被第三条直线2l 所截构成的同位角； ③2∠与4∠是两条直线2l 与3l 被第三条直线1l 所截构成的内错角； ④3∠与4∠是两条直线1l 与3l 被第三条直线2l 所截构成的内错角； ⑤5∠与6∠是两条直线1l 与2l 被第三条直线3l 所截构成的同旁内角；⑵ B ．【备选】找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 【解析】 1∠与5∠是直线AD 、BC 被直线AB 所截形成的同位角；2∠与4∠是直线AD 、BC 被直线AC 所截形成的内错角； 3∠与5∠是直线AC 、BC 被直线AB 所截形成的同旁内角； 3∠与4∠是直线AB 、BC 被直线AC 所截形成的同旁内角；4∠与5∠是直线AC 、AB 被直线BC 所截形成的同旁内角．【例4】 ⑴ 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？⑵ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ ⑶ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？A B CDE1234图1 AB CDE F G H1234图2 A B CDE FG H 1234MN 图3【解析】 ⑴ 图中，1∠与3∠是直线BE 、CD 被直线AC 所截形成的同位角；2∠与4∠是直线BE 、CD被直线BD 所截成的内错角；3∠与4∠是直线BC 、BD 被直线CD 所截成的同旁内角； ⑵ 图中，2∠与3∠是直线EG 、HF 被直线EF 所截形成的内错角； ⑶ 图中，1∠与3∠是直线EG 、FH 被直线MN 所截形成的同位角.l 2l 1cb a 1A BCD 123456初一秋季·第12讲·尖子班·教师版【点评】 三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“F 、Z 、U ”型．⑴“F ”型是找同位角的方法，即：如图21，1∠和2∠就是一对同位角，现改变“F ”的方向，如图21 2121等，各个图中1∠与2∠依然是同位角．⑵“Z ”型是找内错角的方法，如图21， 1∠和2∠就是一对内错角，改变“Z ”的方向后，各个图中1∠和2∠还是内错角，如2121等．⑶“U ”型是找同旁内角的方法，如图21，1∠和2∠就是一对同旁内角，改变“U ”的方向后，如21 21 21等，各个图中，1∠和2∠还是同旁内角．（仅作教学参考）垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条是另一条直线的垂线，它们的交点为垂足．如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ” 性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简单说成：垂线段最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【引例】 如图，直线AB 与CD 相交于O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，65DOF ∠=°，求BOE ∠和AOC ∠的度数．【解析】 ∵OF AB ⊥，65DOF ∠=°，∴906525BOD ∠=-=°°°（垂直定义）． ∴25AOC BOD ∠=∠=°（对顶角相等）．∵OE CD ⊥，∴902565BOE ∠=-=°°°（垂直定义）．例题精讲思路导航题型三：垂直的定义与表示DCBAOOFEDCBA7初一秋季·第12讲·尖子班·教师版aP CB A【例5】 ⑴ 如图1，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的 长；线段DB 的长为点 到直线 的距离．⑵ 如图2，在直角三角形ABC 中，90C ∠=°，AB c =，AC b =，BC a =，则||||||AC AB AB BC AC BC AB -+-++-= ．图1D CB A图2c ba CBA⑶ 如图，点P 是直线a 外的一点，点A 、B 、C 在直线a 上，且PB a ⊥，垂足是B ，PA ⊥PC ，则下列不正确的语句是（ ）A ．线段PB 的长是点P 到直线a 的距离B ．PA 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 C ．线段AC 的长是点A 到直线PC 的距离D ．线段PC 的长是点C 到直线PA 的距离【解析】 ⑴ AC ，B ，CD ；⑵c ；⑶C ．【例6】 已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】 ∵A 、O 、B 三点共线∴180AOB ∠=︒∵OE 平分BOC ∠,OD 平分AOC ∠∴12COE BOC ∠=∠,12DOC AOC ∠=∠∴ COE DOC ∠+∠ 1122BOC AOC =∠+∠ =()12BOC AOC ∠+∠ =12AOB ∠=1180902⨯︒=︒ 又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠ ∴90DOE ∠=︒ ∴OD OE ⊥典题精练OEDCBA8初一秋季·第12讲·尖子班·教师版【例7】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢? 四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律？ 【解析】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有3412?对同位角，326?对内错角，326?对同旁内角； 当有4条平行线时，有6424?对同位角，6212?对内错角，6212?对同旁内角； 当有5条平行线时，有10440?对同位角，10220?对内错角，10220?对同旁内角. ⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有(1l ，2l )、(1l ，3l )、(1l ，4l )、…(1l ，n l )；(2l ，3l )、(2l ，4l )、…(2l ，n l )、…21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -共()()()112212n n n n --+-+++=对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()()14212n n n n -?-对同位角，()()1212n n n n --对内错角，()()1212n n n n -?-对同旁内角．【铺垫】如下图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有 对.A B CD E FGH【解析】 图中有8条线段，所以有16对同旁内角．9初一秋季·第12讲·尖子班·教师版训练1. 如图所示，两条直线相交，有 对对顶角，三条直线相交于同一点，有 对对顶角；四条直线相交于同一点，有 对对顶角，…，n 条直线相交于同一点，有 对对顶角．l 1l 2l 3l 4l 1l 2l 3l 2l 1【解析】 两，六，十二，(1)n n -.【点评】 掌握探索方法，在探索过程中适时进行类比、归纳、概括．这是一道探索规律题，要注意观察寻找变化的特征．直线1l 、2l 相交，有两对对顶角；直线3l 分别与1l 、2l 又各组成两对对顶角，所以1l 、2l 、3l 相交于同一点，有2226+⨯=对对顶角；直线4l 分别与1l 、2l 、3l 各组成两对对顶角，所以1l 、2l 、3l 、4l 相交于同一点有2222312+⨯+⨯=对对顶角…；1l 、2l 、3l 、…、n l 相交于同一点，有222232(1)n +⨯+⨯++⨯- []2123(1)n =++++-(1)22n n -=⨯(1)n n =-对对顶角．训练2. 用数码标出图中与1∠是同位角的所有角．【解析】 如图所示1∠的同位角有2∠，3∠，4∠，5∠，6∠，7∠．【点评】 1∠的两条边所在的直线是a ，b ，若把a 看成是第三条直线，则有：1）a 截直线b 及1l ，得1∠的同位角为2∠； 2）a 截直线b 及2l ，得1∠的同位角为3∠； 3）a 截直线b 及3l ，得1∠的同位角为4∠； 若把b 看成第三条直线，则有l nl 5l 4l 3l 2l 17ba 654321l 3l 2l 11l 2l 3l 1ba 思维拓展训练（选讲）10 初一秋季·第12讲·尖子班·教师版4）b 截直线a ，及1l ，得1∠的同位角为5∠； 5）b 截直线a 及2l ，得1∠的同位角为6∠； 6） b 截直线a 及3l 得1∠的同位角为7∠．训练3. 下图有 对内错角．NMG FE D C BA【解析】 24．做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很多的时候，要找出相同特点的线段的条数m ，只需算出一条线段的关系角的对数n ，故该特点的线段的关系角为mn ．在本题中，线段DE 、DF 、EF ，每条线段都有2对内错角；线段AD 、BE 、CF ，每条线段都只有2对内错角；线段AB 、AC 、BC ，每条线段都只有1对内错角；线段AF 、BD 、CE ，每条线段都有3对内错角；故总的内错角为：2323133324⨯+⨯+⨯+⨯=．训练4. 如图，A '为书面上一点，将书面折过去，使直角顶点A 落在A '处，BC 为折痕．若BD 为A BE '∠的平分线，求CBD ∠的度数．A′EDC BA（西城区期末）【解析】 ∵ACB △沿BC 折叠后得到A CB '△，∴ABC A BC '∠=∠．∴12A BC A BA ''∠=∠∵BD 平分A BE '∠，∴12A BD A BE ''∠=∠∵点B 在AE 上，∴180A BA A BE ''∠+∠=°． ∴11118090222A BA A BE ''∠+∠=⨯=°°． ∴90A BC A BD ''∠+∠=°，即90CBD ∠=°．11初一秋季·第12讲·尖子班·教师版题型一 两线四角 巩固练习【练习1】 ⑴ 下列图中1∠和2∠是对顶角的有（ ）212121(4)(3)(2)(1)21A ．1对B ．0对C ．2对D ．3对⑵ 下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（ ）D B A βαβαβαβαA BCD⑶如右图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，若1270∠-∠=︒，则 BOD ∠=_____，2∠=____.【解析】 ⑴B ；⑵C ；⑶∵12180∠+∠=︒，1270∠-∠=︒，∴255∠=︒，1125BOD ∠=∠=︒．【练习2】 已知：如图，AB 、CD 交于点O ，OA 平分EOD ∠，80EOD ∠=°．⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角；⑵ 求BOC ∠． 【解析】 ⑴ 对顶角：AOD ∠与BOC ∠、AOC ∠与BOD ∠邻补角：BOC ∠与AOC ∠、BOC ∠与BOD ∠、AOC ∠与AOD ∠、AOD ∠与BOD ∠、COE ∠与DOE ∠、BOE ∠与AOE ∠．⑵ ∵OA 平分EOD ∠（已知），∴12AOD EOD ∠=∠（角平分线的定义）∵80EOD ∠=°（已知），∴40AOD ∠=°∵BOC AOD ∠=∠（对顶角相等），∴40BOC ∠=°．【练习3】 如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，COE ∠是直角，OF 平 分AOE ∠．若35COF ∠=°，求BOD ∠的度数．复习巩固FEODC B A21ODCB AOEBDA C12 初一秋季·第12讲·尖子班·教师版87654321 FEDC A B【解析】 ∵COE ∠是直角，∴90COE ∠=°． 又∵35COF ∠=︒∴903555FOE COE COF ∠=∠-∠=-=°°°． ∵OF 平分AOE ∠， ∴55AOF FOE ∠=∠=°．∴553520AOC AOF COF ∠=∠-∠=-=°°°． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴20BOD ∠=°．题型二 三线八角 巩固练习【练习4】 如图，判断下列各对角的位置关系：⑴1∠与4∠；⑵2∠与6∠；⑶5∠与8∠；⑷4∠与BCD ∠；⑸3∠与5∠.【解析】 1∠与4∠是同位角，2∠与6∠是内错角，5∠与8∠是对顶角，4∠与BCD ∠是同旁内角，3∠与5∠是内错角．题型三 垂直的定义与表示 巩固练习【练习5】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是AOD ∠的平分线，若60AOC ∠=°，OF OE ⊥．判断OF 把AOC ∠所分成的两个角的大小关系并证明你的结论．【解析】 AOF COF ∠=∠证明：∵O 是直线CD 上一点，∴180AOC AOD ∠+∠=°， ∵60AOC ∠=°，∴18060120AOD ∠=-=°°°． ∵OE 平分AOD ∠．∴111206022AOE AOD ∠=∠=⨯=°°．∵OF OE ⊥，∴90FOE ∠=°∴906030AOF FOE AOE ∠=∠-∠=-=°°° ∴603030COF AOC AOF ∠=∠-∠=-=°°°． ∴AOF COF ∠=∠【练习6】 已知：如图A 、O 、B 共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠,OD OE ⊥．求证：OD 平分AOC ∠. 【解析】 ∵A 、O 、B 共线，OD OE ⊥ OEDCBAOFEDCBA13初一秋季·第12讲·尖子班·教师版∴90COE COD DOE ∠+∠=∠=︒，90BOE AOD ∠+∠=︒ ∴90COD COE ∠=︒-∠，90AOD BOE ∠=︒-∠ 又∵OE 平分BOC ∠， ∴COE BOE ∠=∠ ∴COD AOD ∠=∠ 即OD 平分AOC ∠初一秋季·第12讲·尖子班·教师版对困难说谢谢俗话说：“自古雄才多磨难，从来纨绔少伟男。
学而思 勤思数学 2021年秋季
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