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（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案
高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得 当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数 当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明 如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问 等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明 若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明 函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明 函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明 函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明 当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明 若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明 至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点 使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点 使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明 若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为 的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为 的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示 用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。
(完整word版)求极限的13种方法 (2)(word文档良心出品)
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
9102《高等数学》西南大学网教19秋作业答案
9102 20192单项选择题1、函数与在处都没有导数，则，在处( )D．至多一个有导数2、若函数在上连续，在可导，则( )3、设，而处连续但不可导，则在处( ) C．仅有一阶导数4、函数的图形，在( )B．处处是凹的5、，如果在处连续，那么k=（）D．1.6、曲线( )D 既无极值点，又无拐点7、设，若在上是连续函数，则a=( )C．8、下列函数中为奇函数的是( )A．9、设函数有连续的二阶导数，且则极限等于( )D．-110、( )A．.11、设为奇函数，且( )C．212、下列各式中的极限存在的是( )C．13、若函数在点a连续，则在点a( )D．有定义14、若为可微分函数，当时，则在点x处的是关于的( ) A．高阶无穷小15、设，则它的连续区间是( )B．16、下列函数相等的是( A )A．17、设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则x=0是的( )C．可导的点，且.18、可微的周期函数其导数( )A．一定仍是周期函数，且周期相同19、指出曲线的渐近线( )C．即有垂直渐近线，又有水平渐近20、若对任意则( D ).21、求极限时，下列各种解法正确的是( )C．原式,22、设函数，当自变量x由改变到时，相应函数的改变量( )C．.23、，则它的连续区间为( )C．24、( )C．125、无穷小量是( )C．以零为极限的一个变量26、，则=( )A．27、设其中是有界函数，则处( ) D．可导28、函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是( ).29、在函数的可去间断点处，下面结论正确的是( )C．函数在左、右极限存在相等30、设要使在处连续，则( )B．1.31、若函数的定义域为R，则k的取值范围是( )A．.32、已知时，是x的等价无穷小量，则( )C．2.33、设可导，若使在x=0处可导，则必有( ) A．34、设函数在点0可导，且( )B．.35、已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是( ) C．.36、点x=1是函数的( )C．可去间断点.37、设函数的定义域是( )C．.38、设函数，则( )B．2439、设函数，在( )40、若，则( )B．6.41、设函数，，则为( ) B．15.42、在区间内，方程( )C．有且仅有两个实根.43、若，则( )44、函数在点连续，是在点可导的( )A．必要不充分条件45、函数与其反函数的图形对称于直线( ) C．46、区间表示不等式( )B．主观题47、参考答案：48、参考答案：49、求下列函数的自然定义域参考答案：50、求下列函数的自然定义域参考答案：51、参考答案：52、参考答案：53、参考答案：54、求三元函数的偏导数参考答案：55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。
2017年6月西南大学继续教育学院0917〈高等数学〉大作业答案
类别：网教专业：机械电子工程、车辆工程、电气工程及其自动化2017年6月
课程名称【编号】：高等数学【0917】A卷
大作业满分：100分
（一）计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）
1.求 .
解：
2.求不定积分 .
解：
3.求定积分 .
解：
4.求函数解：
6.求函数 的二阶偏导数及 .
7.计算函数 的全微分.
8.求微分方程 的通解.
解分离变量得 两端积分得
从而 ,记 则得到题设方程的通解
9.计算 ，其中 是抛物线 及直线 所围成的闭区域.
解如图,D既是X-型，也是Y-型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.
（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
1.证明方程 在区间（-1，0）内有且只有一个实根.
证：令 因 在闭区间[-1,0]延续，且 根据零点定理 在(-1,0)内有一个零点.另一方面，对于任意实数 有 所以 在 内单调增加，
因此曲线 与 轴至多只有一个交点.
综上所述可知，方程 在区间(-1,0)内有且只有一个实根.
(完整word版)选择填空题库(word文档良心出品)
选择填空1、单选题（1）html中的注释标签是（）A、 <-- -->B、<--! -->C、<!-- -->D、<-- --!>（2）<strong>…</strong>标签的作用是（）A、斜体B、下划线C、上划线D、加粗（3）网页中的空格在html代码里表示为（）A、&B、 C、"D、<（4）定义锚记主要用到<a>标签中的（）属性。
A、nameB、targetC、onclickD、onmouseover（5）要在新窗口中打开所点击的链接，实现方法是将<a>标签的target属性设为（）A、_blankB、_selfC、_parentD、_top（6）下列代表无序清单的标签是（）A、 <ul>…<li>…</ul>B、<ol>…<li>…</ol>C、<hl>…<li>…</hl>D、< li >…< ol >…</ li >（7）要实现表单元素中的复选框，input标签的type属性应设为（）A、radioB、checkboxC、selectD、text（8）要实现表单元素中的单选框，input标签的type属性应设为（）A、radioB、checkboxC、selectD、text（9）要使表单元素（如文本框）在预览时处于不可编辑状态，显灰色，要在input中加（）属性A、selectedB、disabledC、typeD、checked2、多选题（选错、多选、少选都不给分）（5*2）（1）定义表格常用的3个标签是（）A、tableB、trC、tdD、tp（2）哪两个属性可用于表格的合并单元格（）A、colspanB、trspanC、tdspanD、rowspan（3）实现下拉列表框，要用到一下哪几个标签（）A、inputB、selectC、optionD、radio（4）定义框架要用到以下的哪个标签（）A、frameworkB、framesetC、frameD、framespace（5）要在网页中加入音乐或背景音乐，以下哪个标签可以实现（）A、embedB、objectC、bgsoundD、sound3、填空题（1*8）（1）、可用p标签定义段落。
(完整word版)高等数学复习资料大全(word文档良心出品)
《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
西南大学高数考试题型及答案
西南大学高数考试题型及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 微积分基本定理指出，定积分的计算可以转化为什么？A. 求导B. 求和C. 求积D. 求极限答案：A3. 以下哪个选项是二阶导数的基本形式？A. y'' = f(x)B. y' = f(x)C. ∫y = f(x)D. ∑y = f(x)答案：A4. 在复数域中，方程 x^2 + 1 = 0 的解是什么？A. x = ±1B. x = ±iC. x = 1 ± iD. x = 0答案：B5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2)B. ∑(1/n)C. ∑((-1)^n / n)D. ∑(n)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 在 x = 1 处的值为_________。
答案：17. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值为_________。
答案：1/38. 若函数 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = _________。
答案：1/x9. 利用洛必达法则计算极限 lim (x->0) [sin(x)/x] 的结果为_________。
答案：110. 二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与判别式Δ = b^2- 4ac 的关系是：当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程没有实数根。
答案：√三、解答题（共75分）11. （15分）求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 在区间 [1, 4] 上的最大值和最小值。
答案：首先求导 f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
历年西南大学网络教育[0917]《高等数学》答案(汇编21份)
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1、西南大学网络教育2018年春[0917]《高等数学》答案2、西南大学网络教育【0917】3、西南大学网络教育0917高等数学4、西南大学网络教育2016年6月〈高等数学〉[0917]试卷大作业A答案5、西南大学网络与继续教育学院0917大作业答案6、西南大学网络与继续教育学院0917高等数学大作业答案7、西南大学网络与继续教育学院高等数学【0917】大作业答案8、西南大学2016年6月[0917]《高等数学》大作业A 答案9、西南大学2016年6月网教《高等数学》【0917】大作业A 答案10、西南大学2016年6月网络教育学院《高等数学》[0917]大作业A标准答案11、西南大学2016年12月[0917]〈高等数学〉大作业A答案12、西南大学2016年12月网络教育学院西南大学(0917)《高等数学》大作业A答案13、西南大学2016年12月网络与继续教育【0917】《高等数学》大作业答案14、西南大学2016年12月网络与继续教育学院《高等数学》【0917】大作业答案15、西南大学2017年6月网络教育-[0917]《高等数学》16、西南大学2017年12月网教大作业答案-高等数学【0917】doc17、西南大学2017年12月网络教育大作业答案-091718、西南大学2017年12月网络教育大作业答案-0917高等数学19、西南大学2018年6月网络与继续教育学院大作业答案-0917高等数学20、西南大学网络继续教育学院2016年12月[091721、西南大学网络教育[0917]《高等数学》------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（一）计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）1. 求.解：本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限2.求不定积分.解：3. 求定积分. 解： ⎰⎰---=1010x x xde dx xe ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰--1010dx e xe x x ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎰--1010x d e e x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--101xe e ()[]111-+-=--e e121--=e4. 求函数的微分. 解：5. 求函数的极值.6. 计算抛物线与直线所围图形的面积. 解：面积微元：所求面积:7.求函数的全微分.解：因为8. 求三元函数的偏导数.解:把和z 看作常数,对求导得把和看作常数,对求导得把和看作常数,对求导得9.求解微分方程解：原方程变形为（齐次方程）令则故原方程变为即分离变量得两边积分得或回代便得所给方程的通解为（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）1. 证明方程有且仅有一个小于1的正实根.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0917高等数学------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教 专业：机电一体化技术、车辆工程、电力系统自动化技术 2016年6月课程名称【编号】： 高等数学 【0917】 A 卷大作业 满分：100分（一）计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）1. 求.解：2. 求不定积分.解：3. 求定积分.dx xdx x dxx x dx x x x x dx x x x x = + + = + + = + + + = + + + ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ …………………………………… 1 1 1 ) 11 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 12 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 = ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ - + = ⎥ ⎥ ⎦⎤ ⎢ ⎢ ⎣⎡ ⎪ ⎭ ⎫⎝ ⎛ - + = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛- + = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - ∞ → - - ∞ → ∞ → ∞ →解：4. 求函数的导数.解：5. 求函数的极值.解：6. 求函数的二阶偏导数及.7. 计算函数的全微分.带做秋秋：334123452 32620794528. 求微分方程 的通解.解：.,·ln 2221211212x C x C C x Ce y e C e e e y C x y xdx y dyxdx y dy =±=±=±=+=⇒==+⎰⎰解，则得到题设方程的通记从而两端积分得分离变量得( ) [ ] ( ) [ ]( ) (1)( sin 3 ) (sin sin 2 1 sin 3 ) sin ( ) sin (3 sin 2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 3 2 ''x x x x x x x x x x x x y + + = + + = + + = + = . ) (sin 5 2 ) (sin 5 2sin ) (sin sin ) (sin ) (sin cos ) (sin cos ) (sin cos sin sin ) (sin cos sin sin 22 5 2 0 2 5 23 2 23 2 023 2232 023 05 3 35 3 = - = - =- ==- ∴= - ⎰ ⎰⎰ ⎰⎰ ⎰ xxx xx x xx x xxx x x d x x d x dxx x dx x x dx x x dx x x x x x x9. 计算，其中是抛物线及直线所围成的闭区域.解：D 既是X-型，也是Y-型，但选择前者计算比较麻烦，需将积分区域划分为两部门来计算，故选择后者。
西南大学网上作业题及参考答案
西南大学网上作业题及参考答案西南大学《社会科学研究方法》网上作业题及答案.doc 西南大学《色彩》网上作业题及答案.doc西南大学《人力资源开发与管理》网上作业题及答案.doc 西南大学《区域分析与规划》网上作业题及答案.doc西南大学《园艺植物研究法》网上作业题答案.doc西南大学《遗传学》网上作业题答案.doc西南大学《仪器分析》网上作业题答案.doc西南大学《消费者行为学》网上作业题答案.doc西南大学《西方经济学(下)》网上作业题答案.doc西南大学《文字设计》网上作业题答案.doc西南大学《外语教育技术》网上作业题答案.doc西南大学《外国音乐简史》网上作业题答案.doc西南大学《土地利用规划学》网上作业题答案.doc西南大学《土地规划学》网上作业题答案.doc西南大学《商务沟通》网上作业题答案.doc西南大学《论文写作》网上作业题答案.doc西南大学《旅游地理学》网上作业题答案.doc西南大学《合唱指挥常识》网上作业题答案.doc西南大学《歌剧艺术欣赏》网上作业题答案.doc西南大学《高效率教学》网上作业题答案.doc西南大学《儿童哲学》网上作业题答案.doc西南大学《动物生物学》网上作业题答案.doc西南大学《动物生物化学》网上作业题答案.doc西南大学《动物生理学》网上作业题答案.doc西南大学《邓小平教育思想》网上作业题答案.doc西南大学《财务会计》网上作业题答案.doc西南大学《中国教育哲学思想》网上作业题及答案.doc 西南大学《中国法制史》网上作业题答案.doc西南大学《中国法律思想史》网上作业题及答案.doc 西南大学《政治学与管理》网上作业题及答案.doc西南大学《政治学》网上作业题及答案.doc西南大学《证券学》网上作业题及答案.doc西南大学《影视摄影》网上作业题及答案.doc西南大学《英语阅读一》(高)网上作业题答案.doc西南大学《英语阅读四（高）》网上作业题及答案.doc 西南大学《英语阅读二》(高)网上作业题答案.doc西南大学《英语听说二》（专）网上作业题及答案.doc 西南大学《英语国家概况》网上作业题及答案.doc西南大学《房地产经营管理》网上作业题及答案.doc西南大学《房地产估价》网上作业题及答案.doc西南大学《电子政务》网上作业题及答案.doc西南大学《当代中国公共政策》网上作业题及答案.doc 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《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2l n 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰C ）、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11c o s2y - B ）、11c o s2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
21春西南大学[0917]《高等数学》作业辅导资料
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0917 20211单项选择题1、当时，是的（）.1.高阶无穷小2.等价无穷小3.同阶但不等价无穷小4.低阶无穷小2、微分方程的阶数是（）.1. 22. 33. 44. 13、（）.1.2.3.4.4、设曲线上点处的切线的斜率为1，则点的坐标为（）.1.（0，1）2.（1，1）3.（1，0）4.（0，0）5、若在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且，若，则在（a,b）内，（1.=02.>03.不能判定4.<06、与都存在是存在的（）.1.无关条件2.充分条件3.充分必要条件4.必要条件7、下列函数中（）在区间上满足罗尔定理的条件.1.2.3.4.8、.1.连续且可导2.可导但不连续3.既不连续，也不可导4.连续但不可导9、函数在点连续是存在的（）.1.充分条件2.无关条件3.必要条件4.充分必要条件10、设是的一个原函数，则（）.1.2.3.4.11、函数点处的导数为（）.1. 12.03.-14.不存在12、（）.1.∞2. 1.53.0.54.-113、设函数，则（）.1.2.3.4.14、（）.1.2.3.4. e15、若，则（）.1. D.2.3.4.16、若，，则（）.1.必为的极小值2.不是的极值3.可能是的极值4.必为的极大值17、函数在点处偏导数存在是函数在该点可微的（）.1.充分条件2.充分必要条件3.必要条件4.无关条件18、函数的单调增区间是（）.1.2.3.4.19、的通解是（）.1.2.3.4.20、若，则（）.1.2.3.4.21、设有连续的一阶偏导数，则（）.1.2.03.4.22、如果都是可导函数，则（）.1. C.2.3.4.23、（）.1. 22. 13.04.无穷大24、确定是的函数，则（）.1.2.3.4.25、是在取得极值的（）.1.以上说法都不对2.充要条件3.充分条件4.必要条件26、函数在连续是在可偏导的（）.1.必要条件2.充要条件3.以上说法都不对4.充分条件27、若数列有界，则必（）.1.发散2.可能收敛可能发散3.收敛于零4.收敛28、函数在点处（）.1.无定义2.连续且可导3.连续但不可导4.有定义不连续29、=（）.1.2.3.4.30、有意义是在点处连续的（）.1. F. 必要条件2.无关条件3.充分条件4.充分必要条件主观题31、已知，则在（1,2）点的全微分. 参考答案：32、.参考答案：33、已知，则.参考答案：34、已知，则.参考答案：35、若，改变的积分次序，则.参考答案：36、函数的单调增区间为.参考答案：[-1，1]37、.参考答案：38、.参考答案：39、设，则是函数的第______类间断点.参考答案：一40、已知，则.参考答案：41、曲线的水平渐近线为.参考答案：42、由曲线与围成的封闭区域面积为.参考答案：43、微分方程是______阶微分方程.参考答案：344、.参考答案：145、.参考答案：46、在点可导是在点可微的条件.参考答案：充要47、函数的微分为.参考答案：48、函数的单调增加区间是.参考答案：[-1，1]49、由曲线，x=1及轴围成的封闭区域面积为. 参考答案：50、.参考答案：51、已知，则.参考答案：52、.参考答案：253、函数的极小值为.参考答案：54、由方程所确定的隐函数的导数为.参考答案：55、由方程所确定的隐函数的导数为. 参考答案：56、.参考答案：57、.参考答案：58、已知函数，则.参考答案：59、.参考答案：60、在连续是在可导的条件.参考答案：必要但不充分61、求在点(1, 2)处的偏导数. 参考答案：62、求函数的微分.参考答案：因为所以63、求不定积分.参考答案：64、求定积分.参考答案：65、求函数的全微分.参考答案：因为所以66、求微分方程的通解. 参考答案：67、求.参考答案：68、设，求.参考答案：69、求曲线的凹凸区间及拐点.参考答案：70、证明方程在区间内有且只有一个实根.参考答案：证：令，因在闭区间连续，且，。
(完整word版)案例case复习(word文档良心出品)
pany A made an offer a farm product to Company B stating:“Packing in sound bags”. Within the validity, Company B replied “Refer to your telex first accepted, packing in new bags ”. On receiving the reply, Company A began to purchase the goods for export. Days later, as market price of the commodity was falling , Company B wrote to Company A “No contract is entered between us, as you failed to confirm our changing of the packing requirement.”Company A argued that Company B’s acceptance was effective and the contract was established then. Questions:（1）What is your opinion ? Give the reasons to support your opinion.（2）How to prevent such dispute?2.Mr. Smith, an American businessman, sold a batch of IBM computers to a Hong Kong importer, Mr. Cher. The sales contract was concluded in the United States of America on the terms of CIF Hong Kong. During execution of this contract, disputes arose between the seller and the buyer on the form and interpretation of the contract.Questions:In such a case, did the law of the U.S.A. or the law of Hong Kong apply to the disputes? Why ?3.A Chinese import and export company concluded a Sales Contract with a Holland firm on August 5 , 2000, selling a batch of certain commodity. The contract was based on CIF Rotterdam at USD 2 500 per metric ton. The Chinese company delivered the goods in compliance with the contract and obtained a clean-on\board Bill of Lading . During transportation, however, 100 metric tons of the goods got lost because of rough sea . Upon arrival of the goods ,the price of the contracted goods went down quickly. The buyer refused to take delivery of the goods and effect payment and claimed damages from the seller.Question:How would you deal with this case?4.A Chinese trading company A concluded a transaction in steel with a Hong Kong company B on the basis of FOB China Port. Company B immediately resold the steel to Company H in Libya on the terms of CFR Liberia .The L/C from B required the price terms to be FOB China Port and the goods to be directly delivered to Liberia . The L/C also required “Freight Prepaid” to be indicated on Bill of Lading.Question:Why did Company B perform so ? What should we do about it ?5.An export company was prepared to export a batch of tea sets on FOB terms. The buyer asked the company to book the ship on behalf of it , but the charges would be borne by the buyer .As the export company could not book the suitable ship in the stipulated time and the buyer did not agree to replace the transaction conditions ,the delivery was delayed . The buyer wanted to withdraw the contract based on the above reason.Question:IS buyer’s request reasonable?6.One of our companies imported a number of sheets according to CIF terms. When the goods arrived at our side, some damp sheets in transit were found. The seller presented the whole set of the documents agreed upon according to the contract and requested our company to make full payment.Can our company refuse to make the payment for the sheets because of the dampness or make claims ?7.One China Foods Co.,Ltd. Exports a batch of cider. The name of the goods is written as “APPLE WINE “ on the coming letter of credit by the foreign importing company. In order to be identical with the L/C , in all the documents the Chinese company also give the name of the goods as “APPLE WINE “. Unexpectedly, when the goods arrive at the port of importing company, they have been detained by the importing country customs and fined, because on both inner and outer package of this batch of wine, the name of the goods is “ CIDER” instead of “APPLE WINE “.As a result, the foreign company asked the Chinese company to compensation for the loss of the fines.Question:Does the Chinese company have any responsibility ?8.A Chinese export company exported some boxes of apple to Japan, according to the contract two parties concluded, the apple should be Grade Two. But when the seller made the shipment , they found some of the apple were corrupt because of damp weather , so in order to deliver the goods in time, the seller arrange goods immediately and sent the apple(Grade One ) instead, and the Chinese company still marked “Price be still fixed on Grade Two”.Question:Do you think whether the exporter fulfill the duty of the contract ? Why ?9.In 2010, a certain export company of China sent a group of businessmen to the United States for purchase of equipment. In New York both parties reached an oral agreement on such items as specifications, unit price, and quantity. Upon leaving, the group indicated to the other party that, when they got back to Beijing, they would draw a contract, which would become effective after being signed by both parties. After going back to Beijing, the group found that the clients withdrew their import of the equipment, and thus the contract was not signed and the L/C was not opened, either. The US side urged the Chinese side to perform the contract; otherwise they would lodge a claim with the Chinese side in the US.Question:How did the Chinese export company deal with this case in your opinion? Why ?10.A company purchased four kinds of steel plate: 420M/T, and the type is 6 inch, 8 inch ,10 inch and 12 inch. The quantity is 100 M/T each size, and the contract marked that: “5% more or less for each size, at seller’s option” . When the seller delivered the goods , the quantity is : 6 inch-70M/T; 8 inch-80 M/T; 10 inch-60 M/T; 12inch-210M/T. And the total quantity is 420M/T. When the exporter submits the full set of document, the importer refuses to receive the goods owing to quantity problems.Question:Do you think the importer’s action is reasonable ? List you reasons.1．某货轮在航行途中因电线走火，舱内发生火灾，经灌水灭火后统计损失，被火烧毁货物价值5000美元，因灌水救火被水浸坏货物损失6000美元。
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= (2/5)[a^(5/2)] (0,1)
=2/5
4.求函数 的导数.
y′=[(x+sin²x)³]′=3(x+sin²x)²(x+sin²x)′
=3(x+sin²x)²[1+2sinx·(sinx)′]=3(x+sin²x)²(1+sin2x).
5.求函数 的极值.
此实根为X9.计算 ，其中 是抛物线 及直线 所围成的闭区域.∫∫_D xy dσ
=∫(- 1→2) y dy∫(y²→y + 2) x dx
=∫(- 1→2) y·(1/2)(- y⁴+ y²+ 4y + 4) dy
=∫(- 1→2) (1/2)(- y⁵+ y³+ 4y²+ 4y) dy
= 45/8
（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
1.证明方程 在区间（-1，0）内有且只有一个实根.
X(X(4次方)+1)+1=0
∵X(4次方)>=0
∴X(4次方)+1>1
∵X(X(4次方)+1)+1=0
∴x=-1或者X(4次方)+1=-1不符上述条件舍去
所以方程x(5次方)＋x＋1＝0在区间(－1,0)内有且只有一个实根
6.求函数 的二阶偏导数及 .
7.计算函数 的全微分.
u = x^(yz)%D%A%Dªu/ax=yzx^(yz-1)%D%A%Dªu/ay=zln(x)x^(yz) %D%A%Dªu/az=yln(x)x^(yz)%D%A%D¬u = au/axdx + au/aydy + au/azdz=yzx^(yz-1)dx+zln(x)x^(yz)dy+yln(x)x^(yz)dz
1.求 .
2.求不定积分 .
3.求定积分 .
I=∫√（sin^3 x-sin^5 x)dx (0,π)
= ∫ sinx√(sinx-(sinx)^2 ) dx
let
a = sinx
da = cosx dx
x=0,a=0
x=π,a =1
I= ∫ a √ (a- a^2) da/( √(1-a^2) (0,1)
f（x)=(x^2-1)^3+1
f'(x)=3(x^2-1)^2*2x=6x(x+1)^2(x-1)^2
令f'(x)=0
得x=0,-1,1
而x<-1,f'(x)<0,函数单调递减
-1<x<0,f'(x)<0,函数单调递减
0<x<1,f'(x)>0,函数单调递增
x>1,f'(x)>0,函数单调递增
所以函数在x=0处取得极小值为f(0)=0