向量和向量范数
向量范数3-1,3-2,3-3
A
X AX
X x1 , x2 , , xn R n
T
试证上述函数是向量范数,称为向量的加权范数或椭圆范数。 证明 因为A是正定对称矩阵,故存在可逆矩阵P,使得
P T AP I
从而
A P
X
A
1 2 A
T 1
P P
T T 1 2
1
1 T
1 2
P 1 B T B
证明 易验证条件(i)和(ii)成立,现验证条件(iii)也 成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
x y
2 2
x y , x y ( x, x ) ( x, y ) ( y , x ) ( y , y )
x
2 2
2 x
2y2源自 y2 2定理对 x ( x , x ,, x )T C n C n R 分别定义三个函数 1 2 n
x
x
1
x
i 1
n i 1
n
i
1 2
1-范数,
)
2
( xi
2
2-范数(或Euclid范数)
x
max xi
1 i n
∞-范数(或最大值范数)。
它们均构成范数。 说明:在同一个向量空间,可以定义多种向量范数,而对 于同一个向量,不同定义的范数,其大小可能不同。
AX
AX H A X H A X
即矩阵范数与向量范数相容
算子范数
定义 设
即由向量范数构造矩阵范数
和
分别是 C m 和 C n
向量的范数
设 Ax = b为一线性方程组 , A 为非奇异矩阵 , x为其精确解
若常数项 b存在误差 δ b , 则解也应存在误差 δ x
即有
A( x + δ x ) = b + δ b
Aδx = δb
δ x = A −1δ b
所以 又因为
δx = A −1δb ≤ A −1 ⋅ δb
A2=
显然
λ max ( A A )
T
=
ρ ( AT A )
设 ⋅ 是 R n × n 上的一种算子范数 , A ∈ R n × n , 定理1.
若 A满足 A < 1 , 则 I + A非奇异 , 且
( I + A)
−1
1 < 1− A
三、误差分析
对于线性方程组 Ax = b , 如果系数矩阵 A或 常数项 b的元素的微小变化 , 就会引起方程组解的 巨大变化 , 则称该方程组是 " 病态 "的 , A为" 病态 " 矩 阵.否则称为 "良态 "的.
∞
2 − 范数
( 3) Ax A 2 = max x≠0
2
= λmax ( AT A) x 2
λmax ( AT A)为AT A的特征值的绝对值的最 大值
例2. 求矩阵A的各种常用范数
1 2 A = − 1 2 0 1
n
0 − 1 1
1≤ j ≤ n
δA
A
定义4.
设 A 为非奇异矩阵 , 称
cond ( A ) = A ⋅ A −1
为 A 的条件数 , 其中 ⋅ 为某种算子范数 .
1-3范数
解:取
1 1 2 1 0 0 A 0 0 , B , AB 0 1 0 0 那么, 0 0 0 则可得出
0 0 0 0 , 0 0
f A f B 1 , f AB 2, f AB f A f B
其中 x k x1 , x2 , , xn
k
,
T
x x1 , x2 ,
, xn 。
T
向量收敛 分量收敛
范数收敛
1.3.3 矩阵范数
矩阵可以看做是一个向量
向量范数的概念直接推广到矩阵上? 推广应考虑到矩阵的乘法运算
定义1.2
定义在Cm×n上的一个非负实值函数,记为
矩阵范数与向量范数不相容的例子:
取
1 则有 A 1 , 1 1 x x , A , 1 0 0 1
Ax 2 A 1 x
1,
而
故矩阵的 与向量的 不相容。
1
对于酉矩阵 U H U UU H I ,我们可有如下的结论:
x1 x2 x3
4
4
4
,
例:求向量 x 1, 2, 4 的1,2和∞-范数。
T
解:
x 1 1 2 4 7 ;
2 x 2 1 22 42 21
x max 1, 2, 4 4 。
1.3.2 向量范数的等价性
在 C n上可以定义各种向量范数,其数值大小一般不同。 但是在各种向量范数之间存在下述重要的关系
4 4
√4.
2 答: 1.中取 x1 0, x3 2 x2 2.中取 x1 0, x3 x2 5 故,1.和2.不满足非负性条件。
向量范数
向量范数定义1. 设,满足1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=02. 齐次性:║cx║=│c│║x║,3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)易得║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞定理中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞)其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k) →x(k→∞),或 .三、矩阵范数定义2. 设,满足1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=02. 齐次性:║cX║=│c│║X║,3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:║Ax║≤║A║║x║所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性或者说是相容的.单位矩阵的算子范数为1可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:║x║=║X║,X=(xx…x)常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的最大特征值.∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.四、矩阵谱半径定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称为A的谱半径.谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:ρ(A)≤║A║因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的相容性和齐次性就导出结果.定理 3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)。
范数的运算方法
范数的运算方法在数学领域中,范数是衡量向量大小的一种工具,广泛应用于线性代数、数值分析等领域。
范数的运算方法不仅涉及基础的数学理论,还与实际应用紧密相关。
本文将详细介绍几种常见的范数运算方法。
一、向量范数的定义设向量( mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) ),其范数定义为:1.向量的1-范数(Manhattan范数):[ ||mathbf{a}||_1 = sum_{i=1}^{n} |a_i| ]2.向量的2-范数(Euclidean范数,即欧几里得范数):[ ||mathbf{a}||_2 = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2} ]3.向量的∞-范数(最大范数):[ ||mathbf{a}||_{infty} = max_{1leq ileq n} |a_i| ]二、范数的运算方法1.范数的加法:对于向量( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} ),其1-范数、2-范数和∞-范数的加法满足以下性质:[ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_1 leq ||mathbf{a}||_1 + ||mathbf{b}||_1 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_2 leq ||mathbf{a}||_2 + ||mathbf{b}||_2 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_{infty} leq ||mathbf{a}||_{infty} +||mathbf{b}||_{infty} ]2.范数的乘法:对于向量( mathbf{a} ) 和标量( alpha ),其1-范数、2-范数和∞-范数的乘法满足以下性质:[ ||alpha mathbf{a}||_1 = |alpha| ||mathbf{a}||_1 ][ ||alpha mathbf{a}||_2 = |alpha| ||mathbf{a}||_2 ][ ||alpha mathbf{a}||_{infty} = |alpha| ||mathbf{a}||_{infty} ]3.范数的三角不等式:对于向量( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} ),其1-范数、2-范数和∞-范数满足以下三角不等式:[ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_1 leq ||mathbf{a}||_1 + ||mathbf{b}||_1 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_2 leq ||mathbf{a}||_2 + ||mathbf{b}||_2 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_{infty} leq ||mathbf{a}||_{infty} +||mathbf{b}||_{infty} ]三、总结范数的运算方法在实际应用中具有重要作用,如优化问题、数值分析等领域。
第1章2范数
Axx T xx T
T
消去非0数
xx
||xxT||,即 得证明。
24
T
Axx
A xx
T
方阵谱半径与范数关系
定理:对任意的正数ε>0,存在某个矩阵范数||A|| 使得
A ( A)
定理:对任何一种矩阵范数||A||都有
k 1k
lim A
1
绝对值不等式
根据向量范数定义容易导出类似于绝对值不等式:
a b a b a b x y x y x y
定义不同的向量范数就可以得到不同的不等式!
2
Minkowski不等式
向量范数定义为:
x
p
n p xi i 1
1 p
p 1
如果下式成立则向量x,y相互正交。 0向量与任 何向量与此 正交!
4
( x, y ) 0
一些常用的向量范数
在向量空间Rn可以定义很多向量范数,其中有一些常用的:
2范数: x
2
2 x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2
2 xn
xT x
x1 x2 x x T x x1 xn
m x
x
M x
11
范数的等价性
定理:同一个向量空间中任意两个不同范数 ||*||α、||*||β都相互等价。
定义向量范数的目的就是为了研究向量序列的 收敛性问题!
12
向量序列的收敛性定义
利用向量范数可以简化向量序列的收敛性定义,给 向量序列的研究带来方便,特别是讲到多元方程组的 迭代法收敛性时,常常要考虑向量序列。 定义:对向量空间Rn中的向量序列
线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
1 2 n 0.
为A对T 称A矩阵,设
为 的u相1,应u于2 ,(5.9), un A
的特征向量且
,又设 为任一非零向量,
(ui , u j ) ij
xRn
于是有
n
x ciui , i 1
(5.9)
12
其中 为c组i 合系数,则
n
Ax 2 2 x2
( AT Ax, x) ( x, x)
向量范数
1. 向量范数的定义
函数 (((123N定)))义正齐三x9定次角(性 性 不向等量x式范,数若)xx满x足0对 ,:yxx于,向其 0量 x中x yRx,nR或 (x或 0,x或 y记 CRCn为n)的;或某 ;个C实n值。非负
称N
(
x)
||
x
||
是R
n
上
或C n
一个向量范数或模。
设
x (x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2 , , yn )T R(n 或 )C.n
将实数
(或复数 称为向量
n
(x, y) yT x xi yi i 1
( x, y) )y H x n xi yi i1
的x数, 量y 积.
18
将非负实数
1
x
2
1
(x, x) 2
aij x j
j1
max i
aij
j1
xj
n
t max i
j1
aij .
10
这说明对任何非零 , x R n 有
Ax
.
x
(5.8)
接下来说明有一向量 ,
x0 0
使
Ax0 .
x0
机器学习中的数学基础(1)——向量和范数
从今天开始,我将开设一个机器学习数学基础的系列。
主要介绍机器学习中经常用到的那些数学知识,方便大家入门。
一说起数学,有人会觉得很难。
其实在这个系列中,我将会以最直白的语言来向你解释这些数学名词,大家不用担心,即使你是零基础,一样可以看得懂。
∙向量我们从向量开始说起,什么是向量?它其实就是用括号括起来的一堆数,只不过这些数都是竖着写的。
比如:它们就分别是1维、2维和3维的向量。
我们一般用小写粗体来表示向量,如x。
如果我们写它代表什么含义呢?“∈”这个符号读作属于,R表示实数集,而n表示维度。
也就是说向量有几个元素,就是几维的向量。
整个式子表示:向量x有n个维度,每个元素的取值都在实数集中。
∙范数范数,又叫做L-p范数。
它是这么定义的:看上去很复杂,其实也容易理解,我们一点点来看。
上面的式子是说,对于给定的一个n维向量w,它的范数就是向量w中的各个元素的绝对值的p次方之和,再开p次的根号(1/p 就相当于开p次根号)。
根据p的取值不同,范数的结果也就不同。
我们常用的p值为12,∞等等。
1. L1范数我们先来看p值为1时的范数,我们称之为L1范数。
把p=1代入上面的式子,得到:可能上面的式子还不够直观,我们再举个例子来看。
假设我们有二维向量w=(x,y),那么w的L1范数就是|x|+|y|。
当范数值固定时,我们还可以画出由所有的点(x,y)构成的图像。
这里不妨假设|x|+|y|=1(当然你可以假设为任意值k,这里假设为1只是为了画图方便),我们大概用手画一下它的图像:图1那么图像为什么是这样子的呢?我们可以研究下公式|x|+|y|=1,其中x和y的正负性是未知的,我们就可以分情况来讨论:① x>0,y>0。
公式化简为x+y=1,它原本的图像是过图1中A、B两点的直线,但现在约束条件是x、y均大于0.所以它最后的图像就是AB线段。
② x>0,y<0。
公式化简为x-y=1,它原本的图像是过图1中A、D两点的直线。
范数的定义
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中,实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式,只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量,采用不同的范数定义,可得到不同的范数值。
若X是数域K上的线性空间,泛函║·║: X->R 满足:1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0 <=> x=0;2. 正齐次性:║cx║=│c│║x║;3. 次可加性(三角不等式):║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数这里以C^n空间为例,R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T,那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的,这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1,2,∞的时候分别是以下几种最简单的情形:1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。
矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:║XY║≤║X║║Y║。
所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。
对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。
向量范数
直接运用范数的定义,并注意到 A 为列满秩矩阵,即可证明!
2
向量范数
1.常见向量范数
C n 中常用的向量范数有:
1-范数 x 1 = ∑ xi , ∀x ∈ C n
i =1 n
2-范数 x 2 =
∑x
i =1
1≤i ≤ n
n
2
i
= x H x ,又称为 Euclid 范数。
∞ -范数 x
∞
= max( xi )
它们都是更一般的 Holoder 范数的特例: x
向量的 2 − 范数具有酉不变性。也就是说对任意 n 阶酉矩阵 U 和 n 维向量 x , 总有 Ux 2 = x 2 。
1
2.列满秩矩阵生成的范数 定理 3 设 A 为 m × n 阶列满秩矩阵, •
(m)
为 C n 上的范数, x
(n)
= Ax
(m)
,
∀x ∈ C n ,则 •
Hale Waihona Puke (n)为 C n 上的范数。
∑
i =1 n i =1
n
xi ≤
2
2
∑ max( x
i =1
1≤ j ≤ n 2 1≤ j ≤ n
n
2
j
) = n max( x j ) = n x ∞ ,
1≤ j ≤ n
∑x
i
≥ max( x j ) = max( x j ) = x ∞ ,也就是 x
1≤ j ≤ n
∞
≤ x 2 ≤ n x ∞。
i =1 i =1 1≤ j ≤ n i =1 1≤ j ≤ n
n
n
n
也就是 x
n
∞
≤ x 1 ≤n x ∞。
第5章-3向量、范数、欧式范数等
(x, y) ≤ x 2 ⋅ y 2,
等号当且仅当 x与 y 线性相关时成立; 6. 三角不等式
x + y 2 ≤ x 2 + y 2.
3
向量的欧式范数可以看成是对 Rn中向量“大小”的一 种度量. 也可以用其他办法来度量向量的“大小”. 例如,对于 x = (x1, x2 )T ∈R2 , 可以用一个 x的函数
Rn 或 n 设 x, y∈ ( C ), 则
1. (x,x)=0,
当 仅 x=0 时 立 且 当 成 ;
2
2. (αx, y)=α(x, y), α为 数 实 , (或(αx, y)=α (x, y), α为 数 ; 复 )
3. (x, y) =( y,x)(或(x, y) =( y,x));
4. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
f (x′) = m f (x) = c1, in
x∈ S
′ f (x′ ) = m f (x) = c2. ax
x∈ S
设 x ∈R 且 x ≠ 0, 则
n
x ∈S, 从而有 x∞
x ≤ c2 , c ≤ f 1 x ∞
(5.3)
显然 c1, c2 > 0, 上式为
12
1. x ≥0 ( x =0 当 仅 x=0 ) ( 正 条 ) 且 当 定 件 ,
2. αx = α ⋅ x , ∀ ∈Rn (或 ∈ n ), α α C
3. x+ y ≤ x + y (三 不 式 , 角 等 )
(5.1)
则称 N(x)是 Rn (或 Cn )上的一个向量范数(或模). 由(3)
第3章 线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
x H A H Ax A 2 max H x 0 x x
1/ 2
max ( AH A) .
14
定义
设 A R nn 的特征值为 i (i 1,2,, n), 称
( A) max i
1i n
为 A的谱半径.
定理3 (特征值上界) 设 A R nn , 则 ( A) A ,
T 证明:记x x1 xn , || x || max | x i || x j | , 1 i n
n
于是有
(1)
| x i | 2 || x ||2 || x || || x ||2 , (a) || x || | x j | 2
2 2
证明其中只须证明当28的任意两种范数定理8证明只要就证明上式成立即可即证明对一切考虑泛函使得对一切29由于上达到最大最小值即存在使得53显然上式为对一切定理3不能推广到无穷维空间
向量范数 1. 向量范数的定义 n n x 定义9(向量范数)对于向量 R 或x C 的某个实值非负 函数 x x ,若满足: N (1)正定性 x 0, x 0 x 0或记为 ; x 或 (2)齐次性 x ,其中 R( C ); (3)三角不等式 x y x y , x, y R n 或 C n 。 或模。 称N ( x) || x || 是R n 上或C n 一个向量范数 2. 常用的向量范数 T n n 定义10 设x ( x1 ,, xn ) R (或x C ) x y x y N (1)向量的“∞”范数: ( x ) || x || max x i ; 1 i n
范数
注:
cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有:
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A 1‖1 cond (A) cond (A)2 =‖A‖ ‖ A 1‖
max ( AT A) / min ( AT A)
特别地,若 A 对称,则
max | | cond ( A)2 min | |
|| 2
相容性
(1)矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ (2)矩阵范数与向量范数 设A∈M,‖A‖是矩阵范数,x∈Rn,‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
定理1.4.6 对任意算子范数 || ·|| 有: ( A) || A ||
证明:由算子范数的相容性,得到 || Ax || || A || || x ||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u 代入 | | || u || || u || || Au || || A || || u ||
定理1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1,则必有
①. I A 可逆; ②.
I A
1
1 1 || A ||
证明:① 若不然,则 ( I A) x 0 有非零解,即存在非零向
x0 使得 量
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
常用向量范数:
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
向量和的范数
向量和的范数向量和的范数是指将两个向量相加后再求范数的操作。
在线性代数中,向量和的范数是一个重要的概念,它能够衡量向量的大小和长度,并且在许多领域中都有广泛的应用。
我们来了解一下向量的定义和性质。
向量是具有方向和大小的量,它可以用有序的实数组成。
在二维空间中,一个向量可以表示为一个有序对(x, y),其中x和y分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
同样地,在三维空间中,一个向量可以表示为一个有序的三元组(x, y, z)。
向量和的范数是指将两个向量相加后再求范数的操作。
范数是一个函数,它可以衡量向量的大小和长度。
在向量空间中,常用的范数有欧氏范数、曼哈顿范数和切比雪夫范数等。
欧氏范数是最常见的一种范数,它是通过计算向量各个分量的平方和再开方得到的。
假设有向量a和向量b,它们的欧氏范数分别为∥a∥和∥b∥,那么向量和的范数可以表示为∥a+b∥。
根据三角不等式的性质,我们可以得到以下结论:∥a+b∥≤∥a∥+∥b∥。
曼哈顿范数是另一种常见的范数,它是通过计算向量各个分量的绝对值之和得到的。
与欧氏范数不同,曼哈顿范数更加注重各个分量的差异和绝对值的和。
同样地,假设有向量a和向量b,它们的曼哈顿范数分别为∥a∥和∥b∥,那么向量和的范数可以表示为∥a+b∥。
切比雪夫范数是一种衡量向量差异的度量方法,它是通过计算向量各个分量差的绝对值的最大值得到的。
假设有向量a和向量b,它们的切比雪夫范数分别为∥a∥和∥b∥,那么向量和的范数可以表示为∥a+b∥。
除了以上介绍的范数之外,还有其他一些范数,如闵可夫斯基范数和无穷范数等。
这些范数都具有不同的计算方式和特点,可以根据实际需求选择适合的范数进行计算。
在实际应用中,向量和的范数有着广泛的应用。
例如,在机器学习中,我们可以使用向量和的范数来度量样本之间的差异和相似度,从而进行分类和聚类分析。
在图像处理中,我们可以使用向量和的范数来衡量图像之间的差异,从而进行图像的匹配和检索。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数:1对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性) 2 对于所有的α∈R 有f(αx )=αf(x ); (正齐性) 3对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). (三角不等式)一、 一般情况下,f(x )的具体模式如下:p x = p ni pix 11)(∑=,p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质:1、对于所有的x ∈R n,x ≠ 0,p ni pix 11)(∑=显然是大于0的,故性质1 成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pi x 11)(∑= = αp x 知性质2 成立。
3、欲验证性质3,我们的借助下列不等式:设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1,则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证:考虑函数p tptt -=1)(ϕ,因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ,由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ,所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值,则有:p p ttp111-≤-, 令t = q pβα,代入可得: q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得: αββα≥+qpqp证毕!又令∑=)(1i px x piα,∑=)(1i qy y qiβ,代入上不等式可得:∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii,两边同时对i 求和,并利用关系式p 1 + q1 = 1可知:∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有:∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面,又有:∑+∑++=-yx y x y x iip pi i ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i i i ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piippq111 左右两边同时除以()∑+y x iipq1得:()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
1向量范数
定义 4 lim x(k) a
k
lim || x(k) a || 0
k
返回
定义 2 设 在Vn(P)上定义了|| x ||a ,|| x ||b 两种向 量范数,若存在常数C1 0,C2 0,使得
|| x ||a C1 || x ||b || x ||b C2 || x ||a x Vn(P) 则称|| x ||a 与|| x ||b 等价.
则称映射 || || 为C n上向量x的范数.
返回
向量范数的性质:
(1) || 0 || 0;
(2) x 0时,|| 1 x || 1; || x ||
(3) 对任意x Cn,有|| x |||| x ||;
(4) 对任意x, y Cn,有||| x || || y || ||| x y || .
||
x ||
p
(
n
|
xi
| p )1/
p
1 p
i 1
是C n上的向量范数,称为Holder范数.
返回
定义 3 设x(k) ( x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T C n,如果
lim
k
xi(k )
ai
(i 1,2, , n)
则称向量序列x(k)收敛于a (a1, a2, , an ).
| xH y |2 | x1 y1 x2 y2 L xn yn |2
(| x1 |2 | x2 |2 L | xn |2 ) (| y1 |2 | y2 |2 L | yn |2 )
|| x ||22|| y ||22
| xH y ||| x ||2|| y ||2
返回
|| x y ||22 ( x y)H ( x y) xH x xH y yH x yH y
向量的范数
误差分析
一、向量范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x,
若存在唯一一个实数x R与x对应,且满足
(1) (正定性) x 0, 且x Rn , x 0 x 0;
(2) (齐次性) x x ,x Rn , R;
(3) (三角不等式 ) x y x y ,x, y Rn .
A1 A 1 A 1 A
A A
1
1
A
A
1 A A
A
A
定义4.
设A为非奇异矩阵 ,称
cond ( A) A A1
为A的条件数, 其中 为某种算子范数 .
显然 因此
cond ( A) A A1 AA 1 I 1 cond ( A)1 A 1 A1 cond ( A) A A1
1 , 2 ,, n , 称 定义3. 设A Rnn的特征值为
( A) max{1 , 2 ,, n }
为矩阵A的谱半径
显然
A 2 max ( AT A)
( AT A)
, A Rnn , 定理1. 设 是Rnn上的一种算子范数
若A满足 A 1, 则I A非奇异, 且
则称 x 为向量x的范数.
在向量空间 Rn (C n )中, 设x ( x1 , x2 ,, xn )T
常用的向量 x的范数有
1 范数
2 范数 范数
x 1 x1 x2 xn x 2 ( x1 x2 xn )
xi x max 1i n
2.系数矩阵A的扰动对方程组解的影 响
若系数矩阵 A存在误差A, 则解也应存在误差 x
第三章 向量的范数
(2) 当X 0时,有
1
x
X
1 。
(3) 对任意的 X V,有 - X X 。
(4)对任意的X,Y V,有 X Y X Y 。
距离定义
在赋范数向量空间中, 向量X与Y之间的距离 可定义为X - Y的范数,即
d ( X ,Y ) X Y
三、 常用向量范数
记R n X (1, 2 ,, n ) i C
T
① X 10, X 1 17, X 2 11, 4 4 2 n ②X , X1 2 n, n 1 n 1 n e 16 4 n X2 2 4 2n (n 1) n e ③ X 12, X 1 19, X 2 13, ④ X 17, X 1 2 3 17, X 2 32
(2) kX d 1 kX a 2 kX b k (1 X a 2 X b ) k X d
(3) X Y d 1 X Y a 2 X Y b 1 X a 1 Y a 2 X b 2 Y b 1 X d 2 Y d
b
maxX
a
a
Y a, X
b
Yb
b
max X a , X
maxY
,Y
b
X
a
X
②证明: (1) 当X 0时, X a 0, X b 0, X d 0,
当X 0时, X a 0, X b 0,又1,2 0, 1 X 2 X b 0 X d 0
(1
2
2
2
2
2
n
2
向量的范数不等式
向量的范数不等式介绍如下:
向量的范数是用来衡量向量大小的一种方法,它可以是0范数、1范数、2范数等等。
向量的范数不等式是数学中常用到的一个不等式,它类似于三角不等式,用来估计范数之间的大小关系,从而有助于我们更好地理解向量的性质。
在介绍向量的范数不等式之前,我们需要先了解一些基础概念,包括向量的模、向量的长度、向量的模长等。
在二维空间中,向量可以表示为(x,y),其中x和y分别表示向量在x和y方向上的投影长度,向量的模等于向量的长度,可以表示为||v||。
在向量的范数不等式中,我们主要使用的是向量的p范数。
向量的p范数表示为||v||p,其中p是一个正实数,它等于各个分量的p次方之和的p次方根。
例如,向量v(1,2,3)的3范数可以表示为||v||3=6.928。
对于一个向量v和一个正实数p,我们可以得到向量的范数不等式:||v||p ≤ ||v||q,其中p ≤ q,p和q都是正实数。
这个不等式告诉我们,当p小于或等于q时,向量的p范数不会超过向量的q范数。
换句话说,向量的p范数越小,向量越容易被q范数限制。
这个结论在实际问题求解过程中具有很大的意义。
例如,在机器学习中,我们通常使用L2范数作为模型的正则化项,来防止模型过度拟合。
向量的L2范数不等式告诉我们,如果一个向量的L1范数很小,那么它的L2范数也会很小,从而模型正则化的效果会更加显著。
总之,向量的范数不等式是一种用来估计向量范数大小关系的重要工具,它有助于我们更好地理解向量的性质,在实际问题中具有广泛的应用。
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3.4向量和矩阵范数
3.4.1内积与向量范数
为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性,需对向量K亡卫"及矩阵止£ R晦的”大小”引进一种度量,就要定义范数,它是向量"长度”概念的直接推广,通常用I 表示n维实向量空间,J '表示n维复向量空间.
定义4.1 丘设(或C ”)补…,心),厂叽…亠),实数苗或〔2)二宀=主氓严=的共馳)
复数,称为向量x与y的数量积也称内积.
Ha" D" ■ (£卅严
非负实数,称为向量x的欧氏范数或2-范数.
定理4.1设心J -二广|设(或匚'-1)则内积有以下性质:
(1)(仏工)。
,当且仅当x=0时等号成立;
⑵,…r 工「_ J 或-
(3)(2 ■ 0闪或Gj)・O M),^yeC";
⑷(1”昜・(兀刃十(兀对庄丁上弋C*;
(5)||(5勺忖個(3.4.1)
称为Cauch-Schwarz不等式.
(6)订m,称为三角不等式.
定义4.2向量-「-的某个实值函数N(x),记作-",若满足下列条件:
(1)I I x||》0当且仅当x=0时等号成立(正定性);
(2)|二 -I ■||」「—R(齐次性);
⑶匸'V1-1 ::-1(三角不等式);
则称-'L-亠I -■是1'.■上的一个向量范数.
于是
I 仗或10昭)3刃十帥I ,由内积性质可知它满足定义 4.2的三个条件,故它是一种向量范数.此外还
(称为i-范数)
但只有p=1,2, «时的三种范数是常用的向量范数
例如给定X -(12・餌 ,则可求岀 Plli=M^ll a =Vi4,||x|L=3
定理4.2 设M ・|| / || 是. "上任一种向量范数,则 N (x )是向量x 的分量罚,鬥,的连续函
(3.4.2)
不等式称为向量范数等价性.
以上两定理证明可见[2],[ 3].
讲解:
在向量丄-亠-得内积(x,y )的性质中,定理 4.1的(5)为Cauch-Schwarz 不等式(3.4.1)是经常 使用的,下面给出证明,显然当 x = 0或y = 0时(3.4.1)成立,现设■■- 7
'■,考察
0 M 仗+為,狀十= fcx )十22仗”y )十/(”刃 若取
■: 有以下几种常用的向量范数 (称为《范数)
对于
容易验证丨y #及丨n ; I
均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义
定理4.3
设“与1仏是 上任意两种向量范数,则存在常数 ,使
两边开方则得(3.4.1)
利用(3.4.1)直接可证三角不等式,从而可证明向量 2 一范数,满足定义中的三个条件。
是三种最常用的范数。
实际上可以给出很多不同的向量范数,只要证明它们满足定义 4.2中的三个条件,定理4.3表明任意的
两种向量范数II IL及它们都是等价的,对于II II P IIILJI IL的等价性在习题10中给出,可自
己证明。