第七章 点的合成运动
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i
y
x
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0 ve vr cos30 因为 ve OA 2e 于是可解得 2 3 4 3 va e vr e 3 3
va vr sin 30
例4 直角折杆OBC绕O轴匀速转动，并带动套 7.2 在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知： 点 OB=10cm，折杆的角速度 0.5 rad s 。 求当 60 ，小环M的速度。 的 vr C M O A 解：以小环M为动点，定 速 60 v ve a 度 系取在地面上，动系取在折 B 杆OBC上。
为了研究方便，把所研究的点称为动点， 把固连于地球上的参考坐标系称为定坐标系 （静坐标系）；而把另一个相对于定坐标系运 动的坐标系称为动坐标系（动系） 。
二、绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定： 动点相对于定坐标系的运动称为绝对运动。 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。 动坐标系相对于定坐标系的运动称为牵连运动。 u 动点
0 ve vr cos30 因为 ve OA 2e 于是可解得 2 3 4 3 va e vr e 3 3
va vr sin 30
7.2
B 点 va v 的 Ce R v r 速 o 度 合 成 解：以凸轮圆心C为动点，定系取在地面上， 定 动系取在顶杆AB上。 va ve vr ve va cos 理 2 方向 e cos 45 e 2 大小 e ？ ？
C 成 以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在 定 v2 CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。 va 理 D v1
v2
v1
v2 D v 1 B
于是有：
va ve 2 ve1
（2）
A
ve 2
v2
vr 2
M
v1 B
C
比较（1）、（2）式，可得： 7.2
ve1 vr1 ve 2 vr 2
v1
点 的 速 度 合 成 定 理
A
建立如图的投影轴，将上 式投影到投影轴上，得：
v2
v2 ve1 v a D v1 ve 2 v r 2 B vr 1 M
M1
A
t
A
t t
M 1M t
lim
t 0
MM va t
lim
t 0
MM1 ve t
lim
t 0
M 1M MM 2 lim vr t t t 0
7.2
于是可得：
M2
B
va ve
t
M
B
点 的 速 度 合 成 定 理
va ve vr
的 速 度 合 成 定 理
解：以杆端A为动点，定系 取在地面上，动系取在凸轮上。
v0
vr
va A
O
ve
va ve vr
方向
大小 ？
va ve ctg v0ctg
v0
？
vAB va v0 ctg
7.2
点 的 速 度 合 成 定 理
B 例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转 动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑 v v r ve A a 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 r 径 r 3e，试求 OCA 90 的图示位 C O 置时，顶杆AB的速度。 30 由几何关系可得 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系 取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴，由 va ve vr 将矢量投 影到投影轴上，得
Leabharlann Baidu 42
vA 45 10 3 0.083 rad / s R 3600 150
ve vA vB A 2B vr 2
v 例7 两直杆分别以 v1 、 2
7.2 的速度沿垂直于杆的方向平动， A 其交角为 ，求套在两直杆上 M v2 点 的小环M的速度。 C 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系 的 取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。 v2 速 于是有： ve1 v a D v1 v1 度 A B va ve1 vr1 （1） vr 1 合 M
定系 动系 牵连运动 v 动点的绝对运动和相对运动都是指动点的运动， 而牵连运动是指坐标系的运动，实际上是刚体的运 动。
三、合 成 运 动 的 概 念
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
如果没有牵连运动，则 u 动点的相对运动就是它的绝 对运动；反之，如果没有相 对运动，则动点随同动坐标 v 系所作的运动（牵连运动） 就是它的绝对运动。由此可 见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也 决定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运 动的合成，因此这种类型的运动就称为点的合成运 动。
合 成 定 理
va ve vr
？
方向 大小 ？ OM
建立如图的投影坐 标轴，将矢量投影到投 影轴上，得
va vr cos 30 0 ve vr sin 30
7.2
点 的 速 度 合 成 定 理
OB 10 ve OM 0.5 10 cm s cos 60 0.5
例5 图示平底顶杆凸轮机构， 顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心 凸轮以等角速度 绕O轴转动，O 轴位于顶杆的轴线上，工作时顶 杆的平底始终接触凸轮表面，设 凸轮半径为R，偏心距OC=e ， OC 与水平线的夹角为 ，试求 45 当 时，顶杆AB的速度。
A
7.2
点 的 速 度 合 成 2 2 2 vr1 v A ve2 v A vB 75 k m / h 定 v A 45 理 sin 0.6
1
例6 如图车A沿半径为150m 的圆弧道路以匀速vA 45 km h 行驶， vB 60 km h 车B沿直线道路以匀速 vA vB O 行驶 ，两车相距30m，求：（1） A B R A车相对B车的速度；（2）B车相 对A车的速度。 解：（1）以车A为动点，定系取在地面上， 动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
e1
M2
M1
o
ae1 (l r )
2
ve 2 l r
2 2
ae 2 l 2 r 2 2
下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速 7.2 度的关系。 B M B M2 如图，由图中矢量关系可得： 点
的 MM MM1 M 1M 速 M 将上式两端同除 t ，并 度 合 令 t 0 ，取极限，得 MM MM1 成 lim t lim t lim 定 t 0 t 0 t 0 理 由速度的定义：
7.1
例1 如图杆长l，绕O轴
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
以 匀角速度转动，圆盘半径
ve 2
M2
为r，绕 o轴以 角速度转动。
o ae 2 ve1 a
o
M1
e1
求图示位置时，圆盘边缘 M 1
和 M 2 点的牵连速度和加速度 （静系取在地面上，动系取 在杆上）。 解： (l r ) v
注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于
三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合 成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量 图；然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知 量。
例2 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 v0 沿水平
7.2 轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示 B 点 位置时，杆AB的速度。
vr
M
M1
A
t t
A
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就
是点的速度合成定理。
注意：（1）速度关系式是平面矢量方程； （2）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时， 速度关系式都成立。
7.2
在应用速度合成定理来解决具体问题时，应
点 的 速 度 合 成 定 理
轨迹、速度和加速度称为绝 对轨迹、绝对速度 和绝对 加速度。用 v a 和 a a分别表示 绝对速度和绝对加速度。
x
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
z
z
ro
j
r
k
k i
M r
o
j
y
o
i
y
x
dr dx dy dz va i j k dt dt dt dt 2 2 d 2 y d 2z dva d r d x aa 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt
三、合 成 运 动 的 概 念
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
研究点的合成运动的主要问题，就是如何由 已知动点的相对运动与牵连运动求出绝对运动；
或者，如何将已知的绝对运动分解为相对运动与
牵连运动。总之，在这里要研究这三种运动的关 系。
四、绝对运动 的速度与加速度
7.1
动点在定系的运动中的
O
R
v A v y r1 ve x 1 A vB B
vr 1
75
1 36.9
（2）以车B为动点，定系取在地面上，动系取 7.2 在车A上。动点的速度合成矢量图如图。
点 y O x 的 速 ve 180 0.083 15m / s 54 km/ s R 度 2 vr 2 vB ve2 80 .72 k m / h 合 ve 54 成 sin 2 0.669 vr 2 80.72 定 理
解之得
vr 20 cm s
va 10 3 cm s
vM va 10 3 cm s
7.2
点 的 速 度 合 成 定 理
B 例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转 动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑 v v r ve A a 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 r 径 r 3e，试求 OCA 90 的图示位 C O 置时，顶杆AB的速度。 30 由几何关系可得 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系 取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴，由 va ve vr 将矢量投 影到投影轴上，得
第七章 点的合成运动
相对运动 牵连运动 绝对运动
点的速度合成定理
牵连运动是平移时点的加速度合成定理
牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定
理 科氏加速度
一、动点、定坐标系、动坐标系
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。 u
M
v
在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描 述得到的结果是不一样的。
五、相对运动 的速度与加速度
7.1
动点在动系的运动中的轨
迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度和相对加速度。
z
z
ro
j
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
r
用 v r和 a r 分别表示相对速度和
相对加速度。
k
k i
M r
o
j
y
o x
六、 牵连运动 的速度与加速度
7.1
在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（
相 瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该 对 运 瞬时的牵连速度和牵连加速度。用 ve 和 ae分别表示 动 牵连速度和牵连加速度。 牵 t t B 连 t u 运 M 动 A M 绝 对 运 动 注意：牵连速度和牵加速度完全由动坐 标系的运动决定；
y
x
~ dr dx dy dz vr i j k dt dt dt dt
~ ~ 2 2 d 2 y d 2 z dvr d r d x ar 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt
0 ve vr cos30 因为 ve OA 2e 于是可解得 2 3 4 3 va e vr e 3 3
va vr sin 30
例4 直角折杆OBC绕O轴匀速转动，并带动套 7.2 在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知： 点 OB=10cm，折杆的角速度 0.5 rad s 。 求当 60 ，小环M的速度。 的 vr C M O A 解：以小环M为动点，定 速 60 v ve a 度 系取在地面上，动系取在折 B 杆OBC上。
为了研究方便，把所研究的点称为动点， 把固连于地球上的参考坐标系称为定坐标系 （静坐标系）；而把另一个相对于定坐标系运 动的坐标系称为动坐标系（动系） 。
二、绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定： 动点相对于定坐标系的运动称为绝对运动。 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。 动坐标系相对于定坐标系的运动称为牵连运动。 u 动点
0 ve vr cos30 因为 ve OA 2e 于是可解得 2 3 4 3 va e vr e 3 3
va vr sin 30
7.2
B 点 va v 的 Ce R v r 速 o 度 合 成 解：以凸轮圆心C为动点，定系取在地面上， 定 动系取在顶杆AB上。 va ve vr ve va cos 理 2 方向 e cos 45 e 2 大小 e ？ ？
C 成 以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在 定 v2 CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。 va 理 D v1
v2
v1
v2 D v 1 B
于是有：
va ve 2 ve1
（2）
A
ve 2
v2
vr 2
M
v1 B
C
比较（1）、（2）式，可得： 7.2
ve1 vr1 ve 2 vr 2
v1
点 的 速 度 合 成 定 理
A
建立如图的投影轴，将上 式投影到投影轴上，得：
v2
v2 ve1 v a D v1 ve 2 v r 2 B vr 1 M
M1
A
t
A
t t
M 1M t
lim
t 0
MM va t
lim
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MM1 ve t
lim
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M 1M MM 2 lim vr t t t 0
7.2
于是可得：
M2
B
va ve
t
M
B
点 的 速 度 合 成 定 理
va ve vr
的 速 度 合 成 定 理
解：以杆端A为动点，定系 取在地面上，动系取在凸轮上。
v0
vr
va A
O
ve
va ve vr
方向
大小 ？
va ve ctg v0ctg
v0
？
vAB va v0 ctg
7.2
点 的 速 度 合 成 定 理
B 例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转 动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑 v v r ve A a 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 r 径 r 3e，试求 OCA 90 的图示位 C O 置时，顶杆AB的速度。 30 由几何关系可得 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系 取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴，由 va ve vr 将矢量投 影到投影轴上，得
Leabharlann Baidu 42
vA 45 10 3 0.083 rad / s R 3600 150
ve vA vB A 2B vr 2
v 例7 两直杆分别以 v1 、 2
7.2 的速度沿垂直于杆的方向平动， A 其交角为 ，求套在两直杆上 M v2 点 的小环M的速度。 C 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系 的 取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。 v2 速 于是有： ve1 v a D v1 v1 度 A B va ve1 vr1 （1） vr 1 合 M
定系 动系 牵连运动 v 动点的绝对运动和相对运动都是指动点的运动， 而牵连运动是指坐标系的运动，实际上是刚体的运 动。
三、合 成 运 动 的 概 念
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
如果没有牵连运动，则 u 动点的相对运动就是它的绝 对运动；反之，如果没有相 对运动，则动点随同动坐标 v 系所作的运动（牵连运动） 就是它的绝对运动。由此可 见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也 决定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运 动的合成，因此这种类型的运动就称为点的合成运 动。
合 成 定 理
va ve vr
？
方向 大小 ？ OM
建立如图的投影坐 标轴，将矢量投影到投 影轴上，得
va vr cos 30 0 ve vr sin 30
7.2
点 的 速 度 合 成 定 理
OB 10 ve OM 0.5 10 cm s cos 60 0.5
例5 图示平底顶杆凸轮机构， 顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心 凸轮以等角速度 绕O轴转动，O 轴位于顶杆的轴线上，工作时顶 杆的平底始终接触凸轮表面，设 凸轮半径为R，偏心距OC=e ， OC 与水平线的夹角为 ，试求 45 当 时，顶杆AB的速度。
A
7.2
点 的 速 度 合 成 2 2 2 vr1 v A ve2 v A vB 75 k m / h 定 v A 45 理 sin 0.6
1
例6 如图车A沿半径为150m 的圆弧道路以匀速vA 45 km h 行驶， vB 60 km h 车B沿直线道路以匀速 vA vB O 行驶 ，两车相距30m，求：（1） A B R A车相对B车的速度；（2）B车相 对A车的速度。 解：（1）以车A为动点，定系取在地面上， 动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
e1
M2
M1
o
ae1 (l r )
2
ve 2 l r
2 2
ae 2 l 2 r 2 2
下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速 7.2 度的关系。 B M B M2 如图，由图中矢量关系可得： 点
的 MM MM1 M 1M 速 M 将上式两端同除 t ，并 度 合 令 t 0 ，取极限，得 MM MM1 成 lim t lim t lim 定 t 0 t 0 t 0 理 由速度的定义：
7.1
例1 如图杆长l，绕O轴
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
以 匀角速度转动，圆盘半径
ve 2
M2
为r，绕 o轴以 角速度转动。
o ae 2 ve1 a
o
M1
e1
求图示位置时，圆盘边缘 M 1
和 M 2 点的牵连速度和加速度 （静系取在地面上，动系取 在杆上）。 解： (l r ) v
注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于
三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合 成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量 图；然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知 量。
例2 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 v0 沿水平
7.2 轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示 B 点 位置时，杆AB的速度。
vr
M
M1
A
t t
A
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就
是点的速度合成定理。
注意：（1）速度关系式是平面矢量方程； （2）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时， 速度关系式都成立。
7.2
在应用速度合成定理来解决具体问题时，应
点 的 速 度 合 成 定 理
轨迹、速度和加速度称为绝 对轨迹、绝对速度 和绝对 加速度。用 v a 和 a a分别表示 绝对速度和绝对加速度。
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相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
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三、合 成 运 动 的 概 念
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
研究点的合成运动的主要问题，就是如何由 已知动点的相对运动与牵连运动求出绝对运动；
或者，如何将已知的绝对运动分解为相对运动与
牵连运动。总之，在这里要研究这三种运动的关 系。
四、绝对运动 的速度与加速度
7.1
动点在定系的运动中的
O
R
v A v y r1 ve x 1 A vB B
vr 1
75
1 36.9
（2）以车B为动点，定系取在地面上，动系取 7.2 在车A上。动点的速度合成矢量图如图。
点 y O x 的 速 ve 180 0.083 15m / s 54 km/ s R 度 2 vr 2 vB ve2 80 .72 k m / h 合 ve 54 成 sin 2 0.669 vr 2 80.72 定 理
解之得
vr 20 cm s
va 10 3 cm s
vM va 10 3 cm s
7.2
点 的 速 度 合 成 定 理
B 例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转 动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑 v v r ve A a 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 r 径 r 3e，试求 OCA 90 的图示位 C O 置时，顶杆AB的速度。 30 由几何关系可得 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系 取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴，由 va ve vr 将矢量投 影到投影轴上，得
第七章 点的合成运动
相对运动 牵连运动 绝对运动
点的速度合成定理
牵连运动是平移时点的加速度合成定理
牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定
理 科氏加速度
一、动点、定坐标系、动坐标系
7.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。 u
M
v
在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描 述得到的结果是不一样的。
五、相对运动 的速度与加速度
7.1
动点在动系的运动中的轨
迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度和相对加速度。
z
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相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
r
用 v r和 a r 分别表示相对速度和
相对加速度。
k
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M r
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o x
六、 牵连运动 的速度与加速度
7.1
在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（
相 瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该 对 运 瞬时的牵连速度和牵连加速度。用 ve 和 ae分别表示 动 牵连速度和牵连加速度。 牵 t t B 连 t u 运 M 动 A M 绝 对 运 动 注意：牵连速度和牵加速度完全由动坐 标系的运动决定；