弹塑性力学基本理论及应用_刘土光___华中科技大学研究生院教材基金资助_第二章应力状态
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地作用在垂直于 oz 方向，如图 2.4 所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部 效应，则因外载沿 z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所
在 z 方向的位置无关，即 z 方向各点的位移均相同。令
u 、 v 、 w 分别表示一点在 x 、 y 、 z 坐标方向的位移 分量，则有 w 为常数。等于常数的位移 w 并不伴随产 生任一 xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时， 可取 w 0 。此外，由于物体的变形只在 xy 平面内产生，
第二章 应力状态
第二章 应力状态理论
2.1 应力和应力张量
在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发 生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以 描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应 力矢量和某一点处的应力状态。
为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面 A 分成 A 和 B 两部分(图 2.1)。如将 B 部分移去，则 B 对 A 的作用应代之以 B 部分对 A 部分 的作用力。这种力在 B 移去以前是物体内 A 与 B 之间在截面 C 的内力，且为分布 力。如从 C 面上点 P 处取出一包括 P 点在内的微小面积元素 S ，而 S 上的内力 矢量为 F ，则内力的平均集度为 F ／ S ，如令 S 无限缩小而趋于点 P，则在 内力连续分布的条件下 F ／ S 趋于一定的极限 o，即
1. 平面应力问题
如果考虑如图 2.3 所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即
xy 平面，z 方向的体力分量 Z 及面力分量 Fz 均
为零，则板面上( z / 2 处)应力分量为 ( z ) z 0
2
(来自百度文库zx ) z ( zy ) z 0
2
2
因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，
因此各点的应力分量是坐标 z，y，z 的函数。所以，应力张量 ij 与给定点的空间
位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应 力张量完全确定了一点处的应力状态。
张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已 被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。
2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式
所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，
在垂直于 z 轴的任一微小面积上均有
z 0 ， zx zy 0
图 2.3 平面应力问题
根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有 yx xz 0 。因而对于
平面应力状态的应力张量为
x xy 0 ij yx y 0
0 0 0
n ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为
图 2.1 应力矢量
n 。此处脚注 n 标明其所在面的外法线方向，由此， S 面上的正应力和切应力
分别为 在上面的讨论中，过点 P 的平面 C 是任选的。显然，过点 P 可以做无穷多个
这样的平面 C，也就是说，过点 P 有无穷多个连续变化的 n 方向。不同面上的应力 是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点 P 处 的应力状态，在点 P 处沿坐标轴 x，y，z 方向取一个微小的平行六面体(图 2.2)， 其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为 x ，Δ y， Δ z。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的 一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力 分量，如图 2.2 所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用 两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应 力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正 负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿 坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一 致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图 2.2 中的各应力分量均 为正。应力及其分量的单位为 Pa。
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第二章 应力状态
图 2.2 应力表示法
由图 2.2 可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一 点处的应力。因此，一点处的应力分量共有 9 个，其中有 3 个正应力分量、6 个切 应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有 3 个。把这 9 个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的 3 个应力分量， 即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。
lim F S0 S 这个极限矢量 就是物体在过 c 面上点 P 处 的应力。由于 S 为标量，故， 的方向与 F 的 极限方向一致。内力矢量 F 可分解为所在平面
的外法线方向和切线方向两个分量 Fn 和 Fs 。
同样，应力 可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向 n 的应力分量称为正应力，记为
上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点 P 是从一个三维空 间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨 论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如 z 轴)无关。 平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。
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第二章 应力状态
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
其中 i ， j =( x ， y ， z )，当 i ， j 任取 x ， y ， z 时，则得到相应的应力分量，
但 xx ， yy ， zz 分别简写为 x ， y ， z 。
应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，
也可写为
ij
x yx
xy
y
如果 z 方向的尺寸为有限量，仍假设 z 0 ， zx zy 0 ，且认为 x ， y 和 xy ( yx )为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 2. 平面应变问题
如果物体纵轴方向( oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿 z 轴均匀分布
在 z 方向的位置无关，即 z 方向各点的位移均相同。令
u 、 v 、 w 分别表示一点在 x 、 y 、 z 坐标方向的位移 分量，则有 w 为常数。等于常数的位移 w 并不伴随产 生任一 xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时， 可取 w 0 。此外，由于物体的变形只在 xy 平面内产生，
第二章 应力状态
第二章 应力状态理论
2.1 应力和应力张量
在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发 生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以 描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应 力矢量和某一点处的应力状态。
为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面 A 分成 A 和 B 两部分(图 2.1)。如将 B 部分移去，则 B 对 A 的作用应代之以 B 部分对 A 部分 的作用力。这种力在 B 移去以前是物体内 A 与 B 之间在截面 C 的内力，且为分布 力。如从 C 面上点 P 处取出一包括 P 点在内的微小面积元素 S ，而 S 上的内力 矢量为 F ，则内力的平均集度为 F ／ S ，如令 S 无限缩小而趋于点 P，则在 内力连续分布的条件下 F ／ S 趋于一定的极限 o，即
1. 平面应力问题
如果考虑如图 2.3 所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即
xy 平面，z 方向的体力分量 Z 及面力分量 Fz 均
为零，则板面上( z / 2 处)应力分量为 ( z ) z 0
2
(来自百度文库zx ) z ( zy ) z 0
2
2
因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，
因此各点的应力分量是坐标 z，y，z 的函数。所以，应力张量 ij 与给定点的空间
位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应 力张量完全确定了一点处的应力状态。
张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已 被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。
2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式
所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，
在垂直于 z 轴的任一微小面积上均有
z 0 ， zx zy 0
图 2.3 平面应力问题
根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有 yx xz 0 。因而对于
平面应力状态的应力张量为
x xy 0 ij yx y 0
0 0 0
n ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为
图 2.1 应力矢量
n 。此处脚注 n 标明其所在面的外法线方向，由此， S 面上的正应力和切应力
分别为 在上面的讨论中，过点 P 的平面 C 是任选的。显然，过点 P 可以做无穷多个
这样的平面 C，也就是说，过点 P 有无穷多个连续变化的 n 方向。不同面上的应力 是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点 P 处 的应力状态，在点 P 处沿坐标轴 x，y，z 方向取一个微小的平行六面体(图 2.2)， 其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为 x ，Δ y， Δ z。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的 一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力 分量，如图 2.2 所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用 两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应 力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正 负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿 坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一 致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图 2.2 中的各应力分量均 为正。应力及其分量的单位为 Pa。
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第二章 应力状态
图 2.2 应力表示法
由图 2.2 可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一 点处的应力。因此，一点处的应力分量共有 9 个，其中有 3 个正应力分量、6 个切 应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有 3 个。把这 9 个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的 3 个应力分量， 即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。
lim F S0 S 这个极限矢量 就是物体在过 c 面上点 P 处 的应力。由于 S 为标量，故， 的方向与 F 的 极限方向一致。内力矢量 F 可分解为所在平面
的外法线方向和切线方向两个分量 Fn 和 Fs 。
同样，应力 可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向 n 的应力分量称为正应力，记为
上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点 P 是从一个三维空 间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨 论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如 z 轴)无关。 平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。
18
第二章 应力状态
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
其中 i ， j =( x ， y ， z )，当 i ， j 任取 x ， y ， z 时，则得到相应的应力分量，
但 xx ， yy ， zz 分别简写为 x ， y ， z 。
应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，
也可写为
ij
x yx
xy
y
如果 z 方向的尺寸为有限量，仍假设 z 0 ， zx zy 0 ，且认为 x ， y 和 xy ( yx )为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 2. 平面应变问题
如果物体纵轴方向( oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿 z 轴均匀分布