微专题21 天体质量、密度和重力加速度

[方法点拨] (1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．(2)一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在地面上随地球一块自转的物体．环绕天体受到的万有引力全部提供向心力，地面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．

1．(天体密度的计算)嫦娥五号探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( )

月球半径

R 0 月球表面处的重力加速度 g 0 地球和月球的半径之比

R

R 0＝4 地球表面和月球表面的重力加速度之比

g g 0

＝6 A.3∶2 B ．2∶3 C ．4∶1 D ．6∶1

2．(天体质量的计算)已知地球质量为M ，半径为R ，地球表面重力加速度为g ，一类地行星的质量为地球的p 倍、半径为地球的q 倍，该行星绕中心恒星做匀速圆周运动的周期为T ，线速度为v ，则类地行星表面的重力加速度和中心恒星的质量分别为( ) A.q 2

p g MT v 32πgR 2 B.p

q 2g MT v 32πgR 2 C.q 2p g MT v 22πgR

D.p q 2g MT v 22πgR

3．(重力加速度的计算)科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 2

2G (其中c ＝3×108 m/s ，G 为引力常量)，则该黑

洞表面的重力加速度的数量级大约为( )

A ．108 m /s 2

B ．1010 m/s 2

C ．1012 m /s 2

D ．1014 m/s 2

4．(重力与万有引力关系)(多选)据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作时间最长纪录．假如月球探测器在月球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经时间t 后小球回到出发点．已知月球的半径为R ，引力常量为G ，下列说法正确的是( ) A ．月球表面的重力加速度为v 0t

B ．月球的质量为2v 0R 2

Gt

C ．探测器在月球表面获得

2v 0R

t

的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动 D ．探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为

Rt v 0

5．(多选)水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”．已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( ) A ．地球的公转周期大约是水星的2倍 B ．地球的公转周期大约是金星的1.6倍 C ．金星的轨道半径大约是水星的3倍

D ．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据

6．火星是太阳系中地球轨道外侧离地球最近的行星，当地球在火星和太阳之间成一条直线时，称为行星冲日现象，已知地球的公转周期为1年，火星的公转周期约为地球的两倍，则火星和地球相邻两次冲日的时间间隔大约为( ) A ．1年 B ．2年 C ．4年 D ．8年

7．(多选)宇航员在某星球表面以大小为2.0 m/s 的初速度水平抛出一物体，并记录下物体的运动轨迹，如图1所示，O 点为抛出点．若该星球半径为4 000 km ，万有引力常量G ＝6.67×10

－11

N·m 2·kg －

2，则下列说

法正确的是( ) 图1 A ．该星球表面的重力加速度为4.0 m/s 2

B．该星球的质量为2.4×1023 kg

C．该星球的第一宇宙速度为4.0 km/s

D．若发射一颗该星球的同步卫星，则同步卫星的绕行速度一定大于4.0 km/s

8．(多选)一颗人造卫星在地球表面附近的轨道上做匀速圆周运动，经过t时间，卫星运行的路程为s，运动半径转过的角度为θ，引力常量为G，则()

A．地球的半径约为s

θB．地球的半径约为s

2πθ

C．地球的质量为s3

Gθt2D．地球的质量为s3

4π2Gθt2

9．火星被认为是太阳系中最有可能存在地外生命的行星，对人类来说充满着神奇，为了更进一步探究火星，发射了一颗火星的同步卫星．已知火星的质量为地球质量的p倍，火星自转周期与地球自转周期相同，均为T，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，则火星的同步卫星距火星球心的距离为()

A. 3gR2T2

4π2p B.

3gRT2p

4π2

C. 3pgR2T2

4π2 D.

3gRT2

4π2p

答案精析

1．A [在星球表面附近，万有引力等于重力，G Mm R 2＝mg ，解得星球质量M ＝gR 2

G .地球和月

球的质量之比M 地M 月＝g g 0·R 2R 20＝96，由密度公式ρ＝M V ，体积公式V ＝4

3πR 3，联立解得地球和月球

的密度之比ρ地ρ月＝M 地M 月·R 30

R 3＝32

，选项A 正确．]

2．B [在地球表面，物体受到的重力等于万有引力，G Mm

R 2＝mg ，即在地球表面和类地行星

表面分别有GM ＝gR 2及GpM ＝g 行(qR )2，联立得g 行＝p

q 2g ，A 、C 错；设类地行星绕中心恒

星做圆周运动的半径为r ，由万有引力提供向心力得G M 恒pM r 2＝pM v 2r ，而v ＝2πr

T

，联立并将

G ＝gR 2

M 代入得M 恒＝MT v 32πgR 2，B 对，D 错．]

3．C [黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m 的物体有：GMm R 2＝mg ，又有M R ＝c 22G ，联立解得g ＝c 2

2R ，代

入数据得重力加速度的数量级为1012 m /s 2，故C 正确，A 、B 、D 错误．]

4．BC [月球探测器在月球表面以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t 落回地面，由匀变速直线运动规律可知v 0－(－v 0)＝g ′t ，解得月球表面的重力加速度g ′＝2v 0

t ，选项A

错误；由G Mm

R 2＝mg ′，g ′＝2v 0t ，可得月球质量M ＝2v 0R 2Gt ，选项B 正确；由第一宇宙速度

v 1＝g ′R ＝

2v 0R

t

可知，探测器在月球表面获得 2v 0R

t

的速度就可能离开月球表面绕月球做圆周运动，选项C 正确；探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为T ＝2πR v 1

＝π

2Rt

v 0

，选项D 错误．] 5．BD [设水星、地球、金星公转周期分别为T 水、T 地和T 金，水星两次凌日时间差为t 水，金星两次凌日时间差为t 金，由题意可知，t 水

T 水－t 水

T 地＝1，t 金

T 金－t 金

T 地＝1，解得T 水≈88天，T 金

≈225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A