代数方程复习(教师版讲义)
代数方程复习(教师版讲义)
基本内容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。
其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。
就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。
《代数方程》复习课教案
《代数方程》复习课教案代数方程复课教案一、教学目标通过本节课的复，学生将能够：- 掌握代数方程的基本概念和解题方法；- 分类和解决一元一次方程、一元二次方程和多项式方程；- 运用代数方程解决实际问题。
二、教学内容1. 代数方程的基本概念回顾- 代数方程的定义和特点- 未知数、系数和常数项的概念- 方程的次数和最高项系数2. 一元一次方程的复- 一元一次方程的定义和一般形式- 一元一次方程的解法：等式性质、移项和消元法- 解决实际问题中的一元一次方程3. 一元二次方程的复- 一元二次方程的定义和一般形式- 一元二次方程的解法：配方法、因式分解和求根公式- 解决实际问题中的一元二次方程4. 多项式方程的复- 多项式方程的定义和一般形式- 多项式方程的解法：因式分解、配方法和求根公式- 解决实际问题中的多项式方程三、教学过程1. 复代数方程的基本概念- 讲解代数方程的定义和特点，澄清重要概念的含义- 引导学生回忆未知数、系数和常数项的概念- 提醒学生方程的次数和最高项系数的重要性2. 复一元一次方程解法- 回顾一元一次方程的定义和一般形式- 教授等式性质、移项和消元法三种解法- 练一元一次方程的解题技巧和解题步骤- 给学生提供一元一次方程的实际问题，让学生运用所学知识解决3. 复一元二次方程解法- 总结一元二次方程的定义和一般形式- 教授配方法、因式分解和求根公式三种解法- 练一元二次方程的解题技巧和解题步骤- 提供一元二次方程的实际问题，让学生运用所学知识解决4. 复多项式方程解法- 概述多项式方程的定义和一般形式- 教授因式分解、配方法和求根公式三种解法- 练多项式方程的解题技巧和解题步骤- 引导学生通过实际问题，锻炼运用多项式方程解决问题的能力四、教学评价1. 综合评价- 在课堂上观察学生对代数方程的掌握情况- 布置针对代数方程的作业，检查学生的掌握程度2. 反思与改进- 分析学生在课堂上的研究情况，发现问题和改进空间- 总结教学经验，为下一次教学提供参考五、拓展延伸1. 自主研究- 鼓励学生自主研究和练代数方程相关的题目- 推荐相关的练题、题集和优秀研究资源2. 巩固与拓展- 布置思考题和探究性问题，延伸学生的思维- 组织讨论小组活动，促进学生之间的交流和研究六、教学资源- 教材：代数方程相关教材- 教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪等- 研究资源：练题、题集、教学网站等七、教学反馈1. 学生反馈- 汇总学生对于本节课的理解和反馈- 收集学生对于教学内容和方法的建议2. 教师反馈- 总结学生的研究情况和表现- 分析教学过程中的得失和改进以上是《代数方程》复习课教案的内容安排，旨在帮助学生回顾代数方程的基本概念和解题方法，以及运用代数方程解决实际问题。
八年级数学春季班讲义07-代数方程的复习-教师版
代数方程的复习内容分析本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题.到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整.本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习.选择题【练习1】下列方程中，是二项方程的是（）A.x3+3x=0B.x4+2x2-3=0C.x4=1D.x(%2+1)+8=0【难度】★【答案】C【解析】如果一元"次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.4左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；。
.右边不是零.【总结】考查二项方程的概念.【练习2】下列方程中，不是无理方程的是（）A.y/x（yfx+2）=3C.（后+1）（旧-1）=3B.戒-l）x+卓=372 D.4x--=3【难度】★【答案】B【解析】无理方程是根号下含有未知数的方程，B选项的根号下是常数，容易错选.【总结】考查无理方程的概念.【练习3】已知方程：①-+—=3x；®-^-+x=2；③1-^=0；④（l+-）（x+6）=-l.52x+2x x8这四个方程中，分式方程的个数是（）A.1B.2C.3D.4【难度】★【答案】C【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程.①中分母是常数，②③④分母中都含有未知数，是分式方程【总结】考查分式方程的概念.【练习4】用换元法解分式方程一-臾工+2=0时，设y=«，原方程可变形为（）x2+1x%2+1A.y2+2y-3=0B./-3）；+2=0C.3y2-y+2=0D.y2-2y+3=0【难度】★【答案】A3r2+33（x2+1）33,【解析】兰兰2=——,.I原方程变形为y-Z+2=0即；/+2尸3=0x x y y【总结】考查换元后方程的变形问题.【练习5】如果关于x的方程（〃l1）x=1无解，那么m满足（).D.任意实数.A.m>lB.m=lC.m^l【难度】★【答案】B【解析】当m—1=0时，(m-l)x=0?l,即〃z=l【总结】考查方程无解的条件.【练习6】下列方程中，没有实数解的是（).X24B.』x-2+x—0C.r4-x2-2=0D.x2+y2=1A.----=-----x+2x+2【难度】★【答案】B【解析】B中x-2Z0即x Z2,•.•Jx-2Z0,xZ2,「.Jx-2+xZ2,.I无解【总结】考查无理方程的解的情况.【练习7】方程组|/2t y=1的解的个数是（）-J?+2=0A.1B.2C.3D.4【难度】★【答案】B【解析】由②式知%2=/-2代入①式得/+j-3=0,△=l+12=13>0,.•.有两个解.【总结】考查方程的解法.【练习8】方程-5=x-1的根是（）.A.尤］=2,易=3B.否=—2,x2=—3C.x=3D.x=—3【难度】★★【答案】A【解析】两边同时平方得：3工-5=亍-2"1,艮咛-5x+6=0,即：（x-2）（x-3）=0,解得：石=2,x2=3,经检验，玉=2,x2=3均是原方程的解.【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根.【练习9】等式-x1=』4+x・』4-x（)A.x<4B.x>4C.xZTD.-4<x<4【难度】★★【答案】D【解析】由16-x2>0-得由4+xZO得xZY,由4-xN。
《代数方程》全章复习与巩固 知识讲解(基础)
《代数方程》全章复习与巩固知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。
【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
第二十一章《代数方程》复习教学提纲
（3）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独 修建比乙工程队单独修建多用10天，甲工程 队每天比乙工程队少修建6米，求甲、乙两个 工程队每天各修建多少米？
（4）有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合做，要 12个月完成；若甲队先做5个月，余下部分再由甲、 乙两队合做，还要9个月才能完成，求甲、乙两工程 队单独完成此项工程各需要多少个月？
13(2)
y x1
xx22yy252xy1(3)0xxyy6 5
二·二型二元二次方程组 因式分解法（降次）
x2 y2 5 x2 3xy 2y2 0
x2 9y2 0
x2
2xy
y2
4
8、列方程（组）解应用题
找等量 审题 设元 关系 列方程
解方程
①检验是否是所列方程的解 ②检验是否符合实际意义
(√1) 2x3 16 0 (√2) x 4 16
(×3) x 5 x
(√4) 7 x2 1
解方程： (1) 2(1x)3 540
(2) 81(x2)40 2
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是无理方程？
(1) x3 1
(3) x 3 x 1
(2) x－ x2 2 3x－1－10
(4) 1 2 3x
1
(1)
20 无 5x2
(2)
3x2 27无
(3) x1 2x0 无
(4) x3 2x1无 (5) x －x 有
(6) x2312无 (7) x3 2x 无
1、字母系数方程的讨论
解方b程 2x1： 1x2 (b1)
2、特殊高次方程的解法
一般地,二项方程 a x n b 0 ( a 0 ,b 0 ,n 是 正 整 数 ) 可转化为 x n b ,转化为求一个数的n次方根
代数方程专题复习学习资料
代数方程专题复习代数方程专题复习3.适宜用换元法解的无理方程例题 解方程 46342222+-=+-x x x x【二元二次方程的解法】常见分类⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅::二型二一型二“二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法）形如⎩⎨⎧=++=+022ey dxy cx by ax 的方程组 （2）逆用根与系数的关系形如⎩⎨⎧==+b xy ay x 的方程组“二·二”型方程组的解法形如⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0022f ex dx c bx ax例题分析：例1．解方程组例2．例3．例4． k 为何值时，方程组。
（1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解。
例5．解方程组例6．解方程组。
例7．解方程组例8．解方程组例9．解方程组例10：【代数方程应用题分类】行程问题：路程=速度×时间顺流逆流航行问题中：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速； 1、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（ ） （A ）203525-=x x ； （A ）x x 352025=-； （A ）203525+=x x ； （A ）xx 352025=+.2、A 、B 两地相距900千米，甲、乙两车分别由A 、B 两地同时出发相向而行，经过8小时它们在途中C 处相遇，相遇后甲再过4小时到达B 地，乙再过16小时到达A 地，求两车速度.3、一轮船顺流下行120千米,然后逆流返航,已知水速1千米/小时,逆流比顺流多化3小时,求顺流速度.4、甲、乙两地之间一部分是上坡路，其余是下坡路.某人骑自行车从甲地到乙地共需2小时40分，从乙地返回甲地少用20分钟，已知在他骑自行车走下坡路比上坡路每小时多走6千米，甲、乙两地相距36千米，求从甲地到乙地上、下坡的长度.5、一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时.以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点.”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊.”李师傅超速违法吗？为什么？6、如图1，x 轴表示一条东西方向的道路，y 轴表示一条南北方向的道路.小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发，小丽沿着x 轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y 轴以5千米/时的速度由南向北前进.有一颗百年古树位于图中的P 点处，古树与x 轴、y 轴的距离分别是3千米和2千米.问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口后经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？工程问题：工作总量=工作效率×工作时间1、某项工程，若甲单独做2天后，剩下部分由乙去做，则乙还需要做的天数等于甲单独做完此项工程的天数；若乙单独做2天后，剩余的工程由甲去做，则甲还需3天完成.问甲、乙单独完成此工程各需多少天？图1 xy O P 西 南 东 北 小丽 AB 小明1．解下列关于x 的方程：（1）ax+x=2（x —2）（a ≠1） （2）bx 2=x 2+1（b>1）2．解下列方程：（1）x 4+3x 2—4=0； （2）x 3—8x 2+15x=0；3．解方程或方程组：（1） （2）4．解下列方程： （1） ； （2） ；5．解下列方程组：（1） ⎩⎨⎧=+-023x ，12=2y + x 22y xy （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-12092222y xy x y x【应用】 1）一般行程问题某人驾车从A 地到B 地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。
精选名校 初中数学八年级下册第二十一章代数方程复习课
方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息， 能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学 习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考 中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的 “重结果，轻过程”的学习方式，这不仅有利于培养学生动手 操作和实践活动的能力，更为重要的是能够让学生养成用数学 的意识．
(4x2 5x 1)(6x2 5x 1) 3x4
设: 5x 1 a 21x4 10ax2 a2 0
(3x2 5x 1)(7x2 5x 1) 0
(3x2 5x 1) 0, (7x2 5x 1) 0
x 5 13
0
6
∴原方程的根是
5 x1
13
5
, x2
13
5、无理方程的解法
解无理方程的一般步骤：
开始 去根号
解有理方程 检验 不是 舍去
是
写出原方程的根 结束
具体方法:平方法 无理方程有理化 体现的数学思想：化归思想
观察分析的方法也是解无理方程的一种好方法
6、有关增根的问题 增根产生的原因： 在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或 有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根
解分式方程的一般步骤：
舍去
使最简公分母为零
同乘以最简公分母
分式方程
整式方程
检验
使最简公分母Leabharlann 为零写出方程的根去分母的关键是确定最简公分母，
在转化过程中要注意不要漏乘，不忘检验。
4、用换元法解分式方程
1.原方程可看作某一分式的二次方程.
x
2
5x
60
x 1 x 1
x y x 1
2.原方程含有未知数的几个分式有互为倒数的关系.
辅导讲义(线性代数第四讲)
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；
六年级数学下册第五单元总复习一数与代数3方程教案西师大版
3、方程教学内容：方程教学目标：1、知识与技能：在具体情境中会用字母表示数，会用方程表示简单情境的等量关系。
进一步理解等式的性质，会用等式的性质解简易的方程。
2、过程与方法：引导学生通过回忆、讨论、交流，结合练一练，加深对所学知识的理解，提高掌握水平。
3、情感、态度与价值观：在运用方程解决实际问题的过程中，体会到列方程解决问题在某些情况下的优越性，从中感受到数学的应用价值。
教学重点：会用方程表示简单情境中的数量关系，能熟练地解简单的方程。
教学难点：能用方程解决问题，提高解决问题的能力。
教学过程：一、引入课题：这节课，我们来复习有关方程的知识。
板书课题：方程。
二、回顾与交流：1、再现所学的知识，组织学生讨论以下问题：(1) 什么是方程？方程与等式有什么联系和区别？(2) 等式的性质是什么？(3) 什么是方程的解？什么叫解方程？先让学生在小组内议一议，再组织学生进行全班交流。
通过全班交流，师引导学生归纳总结。
2、教学例1(1) 出示例1，引导学生获取信息。
(2) 独立思考，并完成导学案第1题。
(3) 小组内交流、讨论。
(4) 全班交流、订正。
3、教学例2(1) 出示例2(2) 先让学生说一说，解方程的依据是什么？再让学生独立解决，并指名演板，全班交流。
4、教学例3(1) 出示例3，引导学生从中获取信息。
(2) 指名说一说题中五折和六折的含义。
(3) 学生独立完成，指名演板，全班交流。
(4) 说一说：怎样检验结果是否正确？三、当堂检测：1、解方程：χ－0.75＝1.25 25χ＋12χ＝844＋0.7χ＝102 0.5χ÷4－4＝4学生独立完成，小组内交流、订正。
2、练习二十3——6题，学生独立完成，小组里交流、讨论，指名演板并讲解，全班交流订正。
3、完成导学案“自主检测”。
四、布置作业：练习二十第2题，导学案“巩固达标”五、课后反思：。
(沪教版)五年级下册数学讲义——-代数与方程的复习有答案
代数与方程的复习课时目标1、理解用字母表示数的意义，并会用含有字母的式子表示数量关系。
2、熟练掌握含有字母的乘式及乘方的简便写法，会代入求值。
3、理解、掌握并会区别方程、方程的解、解方程三个概念。
4、熟练掌握解方程与列方程解文字题的格式，方法，步骤。
知识精要1．用字母表示数用字母表示数是代数的一个重要特点，它包括：数量关系、运算定律、计算公式等。
要注意的是：在含有字母的式子里，数字与字母、字母与字母之间可以省略乘号；数字与字母相乘时，要把数字放在字母前面；当1与任何字母相乘时，1省略不写。
用字母表示数不仅把数量关系简明地表达出来，也把运算的结果表示出来。
2．列代数式①代数式：用运算符号（加减乘除以及后面的乘方、开方）把数及表示数的字母连接起来的式子称为代数式。
②列代数式的关键：正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的使用。
③代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，就叫代数式的值。
（注：代数式的值是个具体的量，这个量随字母的取值不同按给定的运算顺序会计算出不同的数量。
求代数式的值时，要注意代数式里的字母所取值不能使代数式或代数式所表示的实际数量关系无意义。
）3.等式的概念：表示等号两边相等量的式子。
等式的性质：在等式两边同时加上或同时减去一个相同的数等号不变；在等式两边同时乘以或同时乘以一个不为零的数，等号不变。
4.方程的概念：含未知数的等式叫做方程；把等式一边的某项变号后移动到另一边，叫做移项。
使方程左右两边相等的未知数的值就叫做方程的解。
解一元一次方程的一般步骤，先移项，后合并，再求解。
5.列方程解应用题：①读题，理解题意，找出等量关系；②设未知量，根据所找的等量关系列方程；③检验。
④写答句。
热身练习一、用含有字母的式子表示下面的数量关系：1、比x的四分之一少3的数是x÷4-3 。
2、M与3的和的五倍减去6是5（M+3）-6 。
3、学校去年植树a棵，今年植树的棵数比去年的2倍还多6棵，今年植树（2a+6）棵。
代数讲义2
代数部分辅导讲义（二）基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
代数方程
AFEoyx智康一对一初中数学讲义课 题 代数方程授课日期及时段2014.12.14 16:30-18：30教学目的1. 了解整式方程，分式方程， 无理方程的概念定义及他们之间的相互关系2. 知道解整式方程，分式方程和无理方程的一般步骤，知道解分式方程，无理方程必须验根，并掌握验根的方法；3. 正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学内容课前检测 一次函数的应用如图，直线6y kx =+与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
本节课内容解析与例题讲解整式方程1、在方程12=ax 和s bx =2中，x 是未知数;字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.方程b ax =的解的情况： 当0≠a 时，方程有唯一的解，解为ab x =当0,0==b a 时，方程有无数解，解为任意实数 当0,0≠=b a 时，方程没有实数解2、整式方程：①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程;其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.例1：解方程：（1）5（x-a ）=ax+b （2）).1(1122-≠-=-b x bx (3)x 2+2x+a=0思考：含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？注意：含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.变式练习：解方程：（1）a(x-3)=4(a-x) (2) b(x+2)=43、一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
华师大版《代数式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《代数式》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活的密切联系；3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律； 4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练的运用整式的加减运算法则，进行整式的加减运算、求值；6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想． 【知识网络】【要点梳理】 要点一、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，2n，2)(b a 等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 要点二、整式的相关概念1．单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．【典型例题】类型一、代数式1（1）试用含a的代数式表示b；（2）计算当a=100时，b的值.【思路点拨】（1）无论通话多长时间，都需出0.8元，通话1分需再出0.2元，那么a分需再出0.2a元；（2）把a=100代入（1）得到的式子求值即可．【答案与解析】解：（1）通话1分钟需在0.8的基础上增加0.2元，那么通话a分，应在0.8的基础上增加0.2a元，∴b=0.8+0.2a；（2）当a=100时，b=0.8+0.2×100b=20.8．【总结升华】解决本题的关键是得到通话费用的等量关系：0.8+相应时间的通话费用．举一反三： 【变式】ba ba +-2的意义是（ ）. A.a 与b 差的2倍除以a 与b 的和 B.a 的2倍与b 的差除以a 与b 和的商 C.a 的2倍与b 的差除a 与b 的和 D.a 与b 的2倍的差除以a 与b 和的商 【答案】B类型二、整式的相关概念2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式． (1)3a - (2)5 (3)2b a - (4)2x y - (5)3xy (6)x π(7)5m n + (8)1+a%(9)1()2a b h + 【答案与解析】解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5的系数是5，次数是0；3xy 的系数是3，次数是2；xπ的系数是1π，次数是1.多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：3a -是一次二项式；2x y -是一次二项式；5m n+是一次二项式；1+a%是一次二项式； 1()2a b h + 是二次二项式. 【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故2b a-不是整式；②π是常数而不是字母，故xπ是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如5m n +其实质为55m n +，1()2a b h +其实质为1122ah bh +． 举一反三：【变式1】(1)3xy -的次数与系数的和是________；(2)已知单项式26x y 的系数是等于单项式52m x y -的次数，则m ＝________；(3)若nma b 是关于a 、b 的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n ＝________． 【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5【变式2】多项式432231y y y y -+-+是________次________项式，常数项是________，三次项是________．【答案】四，五， 1 ， 3y -【变式3】把多项式321325x x x --+按x 的降幂排列是________． 【答案】322531x x x -+-+ 类型三、整式的加减运算3．合并同类项：(1)232338213223c c c c c c -+-+-+； (2)22220.50.40.20.8m n mn nm mn -+-． 【答案与解析】解： (1)原式33222(22)(313)(82)31063c c c c c c c c =-+-+-++=--+． (2)原式＝222222(0.50.2)(0.40.8)0.7 1.2m n nm mn mn m n mn ++--=-． 【总结升华】本题考查了同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数相等；合并同类项就是把系数相加减，字母部分不变． 举一反三： 【变式】若47a x y 与579bx y -是同类项，则a ＝________，b ＝________． 【答案】 5 ， 44． 计算 22232(12)[5(436)]x x x x x -----+ 【答案与解析】解法1： 22232(12)[5(436)]x x x x x -----+ 222324(5436)x x x x x =-+--+-2234236x x x x =+---+ 224x x =++ 解法2：22232(12)[5(436)]x x x x x -----+2223245(436)x x x x x =-+-+-+22242436x x x x =-+-+-+ 224x x =++【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号． 举一反三：【变式1】下列式子中去括号错误的是( )． A ．5x －(x －2y ＋5z )＝5x －x ＋2y －5zB ．2a 2＋(－3a －b )－(3c －2d )＝2a 2－3a －b －3c ＋2dC ．3x 2－3(x ＋6)＝3x 2－3x －6D ．－(x －2y )－(－x 2＋y 2)＝－x ＋2y ＋x 2－y 2 【答案】C【变式2】(江西)化简：-2a+(2a -1)的结果是( )． A ．-4a -1 B ．4a -1 C ．1 D ．-1 【答案】D 类型四、化简求值5. （1）直接化简代入 已知12x =，1y =-，求225(23)2(43)x y x x x y ---的值． （2）条件求值 (烟台)若523m xy +与3n x y 的和是单项式，则n m =________．（3）整体代入已知x 2-2y ＝1，那么2x 2-4y+3＝________． 【答案与解析】 解：（1）5(2x 2y -3x )-2(4x -3x 2y ) ＝10x 2y -15x -8x+6x 2y ＝16x 2y -23x 当12x =，y ＝-1时， 原式＝211233116(1)2342222⎛⎫⨯⨯--⨯=--=- ⎪⎝⎭．（2） 由题意知：523m xy +和3n x y 是同类项，所以m+5＝3，n ＝2，解得，m ＝-2，n ＝2，所以2(2)4nm =-=．（3）因为222432(2)3x y x y -+=-+， 而221x y -=所以22432135x y -+=⨯+=．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系． 举一反三：【变式1】(江苏常州)若实数a 满足2210a a -+=，则2245a a -+=________． 【答案】3【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题7】【变式2】已知25m n -+=，求25(2)6360m n n m -+--的值.【答案】225(2)63605(2)3(2)60m n n m m n n m -+--=-+--225m n n m -+=-=所以，原式=255356080⨯+⨯-=． 类型五、综合应用【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题1】6. 已知多项式 2222(231)(543)mx x x x y x -++--+ 是否存在m ，使此多项式与x 无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值. 【答案与解析】解：原式要使原式与x 无关，则需该项的系数为0，即有260m -=，所以3m = 答：存在m 使此多项式与x 无关，此时m 的值为3.【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，隐含条件是此多项式中该项的系数为0.2222(215)(33)41(26)41m x x y m x y =--+-++=-++。
浙教版数学四年级下册《五 代数式与方程》复习课件
×5 ×5
15a＝25 b
8(x＋5)＝96
÷8
÷8
1 (x＋5)＝ 12
练一练： 1、在 里填数。
2a＝3b
×4 ×4
8 a＝ 12 b
20(x＋3)＝60
÷20
÷20
1 (x＋3)＝ 3
在○里填上合适的运算符号，在（ ）里填上合 适的数。
1.x＋4＝48
x＋4 ○＋ （15 ） ＝48○＋ （15 ）
保持两边平衡。
b
a
等式的 左边
等式的 右边
等号
用字母a表示一个 的质量，每个 都重一个单位，右图用等式表示为a＝3。
a＝3
1.从天平左侧和右侧的托盘里分别放进或取出2 个 ，你 还能用等式表示吗？
a＝3
a＋2＝3＋2
a＝3
a＋2－2＝3＋2－2
（1）如果天平两侧分别放进或取出5个 、8
个 ……呢？
第一次
第二次
30a－20a＝（30－20）a ＝10a
第二次比第一 次多爬行多少 厘米？
随堂练习： 1.化简下列各式。
24b－9b
＝（24－9）b ＝15b
5x＋3x－7
＝（5＋3）x－7 ＝8x－7
12b＋4b＋9b
＝（12＋4＋9）b ＝25b
6x－3x＋5
＝（6－3）x＋5 ＝3x＋5
随堂练习：
5× ＝80
5× ＝80
如果用过x代替 ，这个图形算式可以怎么写？
5x＝80
你能求x的值吗？
等式两 边都除 以5.
5x＝80
解：5x＝80
积除以一 个因数
x＝80÷5
x＝16
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
二次根式和一元二次方程(教师版)
学科教师辅导讲义学员姓名： 年 级： 初二 授课时间： 课时数：2 辅导科目： 数学 学科教师： 学科组长签名组长备注课题 二次根式、一元二次方程复习教学目标1.复习二次根式的概念和性质，灵活掌握二次根式的运用2.复习一元二次方程的解法和应用 重点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和应用 难点 一元二次方程的解法和应用 考点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和运用二次根式、一元二次方程复习【热身练习】1、下列根式中是同类二次根式的个数是 2（1）b a 32 （2）24ab （3）329b a （4）31225ab （5）b a 522、当x < 2时，化简二次根式442+-x x = 2-x .3、若2132n m n -+与6是同类最简二次根式,则m= 1 ;n = 32； 4、因式分解：2222x x y y --=1313222x y x y ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5、已知关于x 的一元二次方程2410x x -+=的两个实数根分别为x 1 、x 2，则1211x x += 4 ；2212x x += 14 ； 6、某进出口贸易公司2008年的出口商品利润比2007年增长12％，2009年比2008年增长7％，设这两年的平均增长率为x ，则x 满足的关系式为：()()()20000111217x +=++ 7、化简：221(0)a a ba ba ab a a b a b aa b+÷÷>>-+- 2211a a b a a b a b a a a ba b ab +-⨯⨯⨯⨯+-=原式=8、用配方法解方程：2212033x x +-= 解： 移项得 221233x x +=方程两边同时乘以32得 2132x x +=方程两边同时加上得 2111321616x x ++=+ 即 2149416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 两边开平方得 1744x +=±解得 123,22x x ==- 9、解含有字母系数的方程：()2220a xb c c a a b x b c b c -++++=解： 当a=0时，原方程化为 ()0b c x b c bc -++= 所以当bc=0时，x 为任意实数； 当0bc ≠时，()x b c =-+当0a ≠时，原方程化为 ()()20a xb c c a a b x b c b c -++++= 解得12,b c x b c x a=+=【知识精要】一、二次根式1、二次根式的概念：代数式()0a a ≥叫做二次根式。
六年级下册数学教案-总复习-数与代数-3.式与方程-第2课时方程北师大版
六年级下册数学教案－总复习－数与代数－3．式与方程－第2课时方程北师大版教学目标1. 知识与技能：使学生掌握方程的概念，理解方程与等式的区别和联系，能正确识别和列出一元一次方程，并运用等式的性质解方程。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习的精神和积极思考的习惯。
教学内容1. 方程的定义和特点2. 一元一次方程的识别和列法3. 等式的性质和解方程的方法4. 方程在实际问题中的应用教学重点与难点重点：方程的概念，一元一次方程的识别和列法，解方程的方法。
难点：方程与等式的区别和联系，解方程的步骤和方法。
教具与学具准备1. 教具：PPT课件，黑板，粉笔。
2. 学具：练习本，铅笔。
教学过程1. 导入：通过PPT展示一些方程的例子，引导学生观察并提问：“这些式子有什么共同的特点？”从而引入方程的概念。
2. 新课：讲解方程的定义和特点，通过具体的例子说明一元一次方程的识别和列法。
引导学生通过观察、分析、归纳等方式，理解方程与等式的区别和联系。
4. 活动二：通过PPT展示一些实际问题，引导学生用方程来表示这些问题，并尝试解决。
让学生在实践中体会方程的应用价值。
6. 作业布置：让学生完成练习册上的相关习题，巩固所学知识。
板书设计1. 方程的定义和特点2. 一元一次方程的识别和列法3. 等式的性质和解方程的方法4. 方程在实际问题中的应用作业设计1. 完成练习册上的相关习题2. 尝试解决一些实际问题，用方程来表示并解决课后反思本节课通过观察、分析、归纳等数学活动，使学生掌握了方程的概念，理解了方程与等式的区别和联系，并能正确识别和列出一元一次方程，运用等式的性质解方程。
在教学过程中，我注重了学生的参与和互动，让学生在实践中体会方程的应用价值。
但也发现有些学生对解方程的步骤和方法还不够熟练，需要在今后的教学中加强练习和指导。
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基本容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。
其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。
就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。
解这个关于y 的一元二次方程即可。
（3）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。
用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。
三、可化为一元二次方程的分式方程的解1．适宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。
解分式方程要注意验根！ 2.适宜用“换元法”的分式方程适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法 四、无理方程的解法解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。
对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。
解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。
1.只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
2.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
3.适宜用换元法解的无理方程如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。
一、巩固训练：已知下列关于x 的方程：其中无理方程是_______________，分式方程的是_________________整式方程的是___________。
.3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x xx x a x x x x x ）（二、热身练习解下列方程：22(1)1(1)bx x b =+> 3(2)6181x -=4(3)(2)170y --= （4）x 4-9x 2+14=02654(5)111x x x x x ++=--+ （6）2711322=-+-x x x x 21,2,21321-==±=x x x （7）;323x x =--（8）.12=-+x x2=x 41=x（9）⎩⎨⎧=++=--4168062222y xy x y xy x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=7276y x ⎩⎨⎧±=±=12y x三、列方程解应用题1、小杰与小丽分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发相向而行，3小时后相遇.，相遇后两人按原来的速度继续前进， 小杰到达B 地比小丽到达A 地早 1小时21分，求两人的行进速度分别是多少？解：小杰的速度为x 千米/小时，小丽的速度为y 千米/小时⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y x y x 2760211272733 解得⎩⎨⎧==45y x精解名题例题1. 解下列关于x 的方程（1）(3a-2)x=2（3-x ） （2）bx 2-1=1-x 2（b ≠-1） 解（1）去括号，得 3ax-2x=6-2x 移项，得 3ax-2x+2x=6合并同类项，得 3ax=6 ※ 当a ≠0时，方程※是一元一次方程，解得 ax 2=； 当a=0时，方程※变成 0·x=6，这时不论x 取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程无解。
所以，当a ≠0时，原方程的根是ax 2=；当a=0时，原方程无解。
（2）移项，得 bx 2+x 2=1+1合并同类项，得（b+1）x 2=2 因为b ≠-1，所以b+1≠0 两边同除以b+1，得 122+=b x ※ 当b+1＞0时，由方程※解得 122++±=b b x ；当b+1＜0时，方程※中012<+b ，这时方程没有实数根。
所以，当b+1＞0时，原方程的根是1221++=b b x ，1222++-=b b x ；当b+1＜0时，原方程没有实数根。
例题2. 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。
（1）x 3-64=0 （2）x 4+x=0（3）x 5= -9 （4）x 3+x=1 解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。
下面解方程（1）、（3）：（1）移项，得 x 3=64 开方，得 364=x即 x=4 （3）开方，得 59-=x即 59-=x例题3. 解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2+x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得x(2x 2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=0 ∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=21注意：不要漏掉x=0这个根!（2）方程左边因式分解，得(x 3-2x 2) +(x-2)=0x 2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x 2+1)=0即 x-2=0或x 2+1=0 解方程x-2=0得 x=2方程x 2+1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2 例4解方程：213221x xx x --=- 解：解：设y xx =-12，则原方程化为0322=--y y解得1,321-==y y 当31=y 时，得1-=x 当11-=y 时，得31=x ,经检验，11-=x ，312=x 是原方程的解。
例5、 解方程3111412x 1+-+=+-+x x x 解：（25-=x ）例题6 解下列方程： （1）01222=+--x x （2）12=-+x x（1）原方程可变形为1222+=-x x两边平方，得 x 2-2=2x+1整理，得 x 2-2x-3=0 解得 x 1=-1,x 2=3经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。
所以，原方程的根是 x=3例题7 解方程 46342222+-=+-x x x x 解：设422+-x x =y ，则3x 2-6x+12=3y 2 ，则3x 2-6x=3y 2-12原方程化为 2y=3y 2-12+4整理，得 3y 2-2y-8=0 解得 y 1=2，y 2=34-当y=2时，422+-x x =2，422+-x x =4，解得x=0或x=2；y=34-时，422+-x x =34-，次方程无解。
经检验，x=0，x=2都是原方程的根。
所以，原方程的根是 x 1=0，x 2=2 例8、求满足条件0211y 652222=--++++-y x y x xy x 的x ，y 的值解：根据题意，可得方程组⎩⎨⎧=--++=+-02110652222y x y x y xy x 得⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=13,5153,24,515244332211y x x x y x y x例9． 列方程解应用题A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．（1（2）试讨论AB ，两地中，哪个运费较少； 解： 55000(0200)A y x x =-+≤≤，34680(0200)B y x x =+≤≤．（2）当A B y y =时，550003468040x x x -+=+=，； 当A B y y >时，550003468040x x x -+>+<，； 当A B y y <时，550003468040x x x -+<+>，． ∴当40x =时，A B y y =即两地运费相等；当040x <≤时，A B y y >即B 地运费较少； 当40200x <≤时，A B y y <即A 地费用较少．例10. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?解：⑴设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米．依题意，得即，解此方程，得∵墙的长度不超过45m，∴不合题意，应舍去．当时，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．⑵不能．因为由得又∵＝(－80)2－4×1×1620=－80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2巩固练习1. 解方程：xx x--+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x+-11，得是原方程的根经检验：，33)1)(1()1(22==∴-+=--+xxxxxxx2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。