(整理)常微分方程总结

（1） 概念

微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶：

2dy

x dx

= 二阶：220.4d s

dt

=-

三阶：3

2

2

43x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()

4410125sin 2y

y y y y x ''''''-+-+=

一般n 阶微分方程的形式：()(

)

,,,

,0n F x y y y '=。这里的()n

y 是必须出现。

（2）微分方程的解

设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，

()()()()

,,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣

⎦

则()y x ϕ=称为微分方程()(

)

,,,

,0n F x y y y '=的

解。

注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0

0lim x x f x f x →=则

称函数()f x 在点0x 连续。

左连续：()()

()0

00lim x x f x f x f x -

-

→== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()()

()0

00lim x x f x f x f x +

+

→== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是

指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在0x 点连续⇔()()()()0

0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+

→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0

lim x x f x →极限存在

3、()()0

0lim x x f x f x →=

（3）微分方程的通解

如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分

注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。 补充：

设()()()12,,

n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，若存在n 个不全为零的常数（强

调存在性，找到一组常数即可）12,,

,n k k k ，使得当对∀x I ∈时有恒等式：

()

11223()()0n k y x k y x k y x ++

+≡成立。则称这n 个函数在区间I

仅当12,,

,n k k k 全等于零该等式才恒成立。则这n 个函数在区间I

例：函数2

2

1,sin ,cos x x 在整个数轴上线性相关。221sin cos 0x x --≡恒成立。 函数2

1,,x x 在任何区间(),a b →线性无关

21230k k x k x ++≡要使恒成立，则

1230k k k === 否则：若123,,k k k 不同时等于零，则21230k k x k x ++≡最多只有两个x 的

值能是该式恒成立。对x 不具有普遍性。

对两个函数()()12,y x y x 而言：()

()

12(y x c y x =常数）

→线性相关

()

()

()12(y x x y x ϕ=函数）

→线性无关

：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数

的条件。通解→特解

一阶微分方程定解条件一般为：0

0x x y y == 二阶微分方程定解条件一般为：0

00

,x x x x y y y y =='

'== 其中000,,x y y '都是给定的值。

微分方程的解→()y x ϕ=

求微分方程(,y f x y '=）满足初始条件0

0x x y

y ==

00

(,x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪

⎩）

()00,x y 的那条积分曲线。

()0

000,,,x x x x y f x y y y y y y =

='''⎧=⎪

⎨''==⎪⎩

()00,x y 且在该点斜率为0

y '的那条积分曲线。 （4）几种常见的微分方程 1、可分离变量的微分方程

一般形式形式：(,y f x y '=）

对称形式：()(),,0p x y dx q x y dy +=（,x y 都可以看做函数，另一个为自变量）

即：()()(),(,0),p x y dy q x y dx q x y =-≠或()()

(),(,0),q x y dx

p x y dy p x y =-≠

可分离变量：如果一阶微分方程能写成()()g y dy f x dx =的形式。特点：一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx 。这样微分方程称为可分离变量的微分方程。 例：求解

2dy

xy dx

=的通解。 解：

12dy xdx y

=→1

2dy xdx y =⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±=

2、齐次微分方程

一阶微分方程可以化成

dy y f dx x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的形式。 求解：

dy y f dx x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

y u x

=

→y ux =， dy du x u dx dx =+→()du

x u f u dx

+=→

()11du dx f u u x =-（可分离变量）→通解 例：解方程2

2

dy dy

y x

xy dx dx

+=