北京丰台区高三二模理科数学试题.docx

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北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题(含详解)

所以当时，点N到直线l的距离最大，
所以d的最大值为，
故答案为：，6
15.如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
又，
所以 .
故选：A
8.设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得，，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：因为，
所以，故A错误；
，所以，
则公差，故B错误；
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】解：在中，
由正弦定理可得，
即，即，
所以 .
故答案为： .
14.在平面直角坐标系中，已知点，动点N满足，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为______；d的最大值为______．
北京市丰台区2021-2022学年度第二学期综合练习（二）
高三数学2022．04
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数（）
A. B. C. D.
2.“ ”是“ ”的（）

北京市丰台区届高三5月综合练习(二模)数学(理科)试卷Word版含答案

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是（A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=错误！未找到引用源。

的距离等于（A （B （C （D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -=（D ）2214xy -=5. 已知向量1)2=，a ，1)=-b ，则，a b 的夹角为（A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（A ）1（B（C（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是（A ）10（B ）11（C ）12（D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分（非选择题共110分）侧视图俯视图正视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为．10. 执行右图所示的程序框图，若输入=x 的值为6，则输出的x 值为．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+u u r u u r u u r.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i =,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，60DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()e ln x f x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.GAD EFBC20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以s i B >，从而2s A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）因为πi n c o6B C B A -+-+..………………7分s i n c o sB B +..………………9分 π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC △矛盾，故πs i n c o s ()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分 (=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125， 2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，.………………8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分（Ⅲ）产品D . ……………13分17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ．所以EF //BG ，且=EF BG ，故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . ………………2分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以EG //平面BDF ． ………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD = 所以A ⊥． ………………5分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间坐标系， ………………6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E，B，1(2F - ，所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，DB =. 设平面B D 的法向量为(,,)x y z =n ，由x00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,x y ==，得(2,=n ． ………………8分设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，=………………9分所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为. ………………10分（Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下：………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤，则1()2DH t =-．设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ，………………13分即200110⨯⨯+⨯=，此方程无解．所以线段FC 上不存在点H ，使平面B D F ⊥平面H A D ． ………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x'=-. …………………2分因为(f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ）因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e()e ea a f '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x .…………………10分因为00e 0x ax -=,所以1()x f x x -+. (1)1分设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x+'=--=-， ………………12分所以()0g x '<，即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =+，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E的方程为22143x y +=...………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥. 由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分因为6718a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =，得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠，故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质，所以由①得1m jim a a j d +=+；由②，得2m ij m a a i d +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n jij ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2024届高三二模数学试题及答案

丰台区2023-2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学 2024.4本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,3B =，则()()U U C A C B =A.{}3B.{}1,2C.{}4,5D.{}1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点为(1,1)Z −，则z 的共轭复数z = A.1i + B.1i − C.1i −+ D.1i −−3. 已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =4a =A.2B.C.4D.4. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.1()||f x x =B.(22x x f x −=+C.()sin f x x =D.()tan f x x =5. 若,a b ∈R ，且a b >，则 A.221111a b <++ B.22a b ab > C.22a ab b >>D.2a ba b +>>6. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是 A.//αβ，m α⊥，n β⊥ B.//αβ，m α⊂，n β⊥ C.αβ⊥，m α⊥，//n βD.αβ⊥，m α⊂，//n β7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+ππ(0,)22ωϕ>−<<的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x '=−的图象如右图所示，那么,ωϕ的值分别为A.1,0B.π1,4−C.π1,4D.π2,4−8. 已知曲线2:||1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是 A.当1k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 B.当1k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点 C.当2k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 D.当2k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9. 已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π(0,)2α∈，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”. 利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直. 图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为α，PB α⊥，则椭圆1O 的离心率为图1 图2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市丰台区高三二模理科数学word精品文档9页

北京市丰台区2019年高三二模 2019.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A)(B)(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD ⋅(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A，2A，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2 (B) 4 (C) 8(D) 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______． 11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2019年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a=--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =--PBA（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值． 16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率． 17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF //AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C 的余弦值为3PF 的长度． 18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程． 20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2019年高三二模数学（理科）参考答案9．(1,)2π10．411，712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =--2sin cos x x x -== ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是1-．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分 17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．OB ACDEFPx因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，C 所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CP BECP ⋅<>==⋅ 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15． ……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =，所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-，所以 121212||cos ,||||nn n n n n ⋅<>===⋅ 解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………………14分 18．解：（Ⅰ）因为14a =，131nn n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以 2p =．依题意，1231nn n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++-，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3nn a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以 3nn a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3nn a n =+，所以 22(3)3n nn n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则12n >，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =，所以49n b ≤． ……………………13分 19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=；点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-，所以1242x x +=，1282y y m +=+，即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nni ii x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区高三数学第二次模拟考试理(丰台二模)新人教A版

数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______． 12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541PDC BA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -CPF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π 10．41112．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =--2sin cos x x x -=1cos 21)sin 222x x +-12sin 22x x -＝cos(2)6x π+-（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+-ADEF P=22--= ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，C 所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CP BECP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15． ……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =，所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-，所以 121212||cos ,3||||(n n n n n n ⋅<>===⋅- 解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131nn n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以 2p =．依题意，1231nn n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++-，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3nn a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3nn a n =+，所以 22(3)3n nnn n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =，所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=；点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-，所以1242x x +=，1282y y m +=+，即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-用心爱心专心 - 11 -=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2021届高三数学下学期综合练习(二模)试题(二).doc

北京市丰台区2021届高三数学下学期综合练习（二模）试题（二）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82．函数2()2f x x x=-的定义域为（A ）(02), （B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,3．下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x = （B ）1sin 2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85．设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p （A ）2（B ）2（C ）22（D ）47．已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数（B ）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数（D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A3 （B ）43（C）3（D）9. 在△ABC 中，3AC =，BC =2AB =，则AB 边上的高等于（A）（B（C（D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名（C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名（D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题共14分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2021和2021是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（二）数学参考答案及评分参考2021．06 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，ABBC B =，所以PB ⊥平面ABCD . (5)分（Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-,,，(222)PD =-,,，(201)PM =-,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,.令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以3sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==,u u u.所以直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为36. (14)分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. (14)分若选择条件②12q =，可得41332b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q ==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X1824()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. (11)分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()e xxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. (5)分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g x f x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)e e xxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a-，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意.当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数，所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. (15)分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k 的取值范围是)2+∞,． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,.所以11(01)1y PS x -=--,,22(01)1y PT x -=--,,(01)PO =-,.由,,PO PT PO PS μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121k x x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21k k k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++所以λμ+的范围是2)． ………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数，当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，），其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,，使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,，每个i ε都有两种可能，所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯ 1210121+2+2++2+2++2i i k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯ 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i kεεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-10011110011111100111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1jj j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分。

北京市丰台区高三数学第二次模拟考试理(丰台二模)新人教A版

北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A，2A，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______． 12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：PBA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -CPF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．4 11712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -=1cos 21)sin 222x x +--12sin 22x x -＝cos(2)62x π+-（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+-OBACDEF P=22--= ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得00.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,15||||BE CP BE CP BE CP⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =，所以平面APC的法向量为222(2,1,)t n t-=-，所以 121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅ 解得23t =，或2t =（舍）．此时||PF =……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131nn n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以 2p =．依题意，1231n n n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++-，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3n n a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，所以 22(3)3n n n n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =，所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=；点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或24x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-，所以1242x x +=，1282y y m +=+，即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题

一、单选题二、多选题1. 设椭圆(m >0)的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在第一象限，直线PF 与圆相交于A .B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则直线PF 的斜率为（）A．B．C．D．2.过抛物线的焦点F 且倾斜角为锐角的直线与C 交于两点A ，B（横坐标分别为，，点A 在第一象限），为C 的准线，过点A 与垂直的直线与相交于点M ．若，则（）A ．3B ．6C ．9D ．123. 函数的零点所在的区间是A．B．C．D．4.已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于A．B．C ．D．5. 在一个正方体内放置一个最大的圆锥，使圆锥的底面在正方体的底面上，圆锥的顶点在正方体的上底面内，记正方体的体积为，圆锥的体积为，则约为（注：）（）A ．1B ．2C ．3D ．46.在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（）A ．63B ．-517C ．-217D ．-1777. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A．B．C．D．8. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（）A．B．C．D．9.已知函数，则（）A．有三个零点B ．有两个极值点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线10. 已知，则以下不等式成立的是（）A．B．C．D．11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题三、填空题四、解答题函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（）A．一定有两个极值点B．函数在R 上单调递增C．过点可以作曲线的2条切线D ．当时，12. 下列说法正确的有（）A．设直线系：，则存在一个圆与中所有直线相交B．设直线系：，则存在一个圆与中所有直线相切C．如果圆：与圆：有四条公切线，则实数的取值范围是D ．过点作圆的切线，切点为、，若直线的方程为，则13. 已知，为偶函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________．14. 如图，在中，是的中点，在边上，，，与的交点为．若，则的长为______．15. 曲线在点处的切线的斜率为____________．16. 在中，角，，所对的边分别是，，，满足．(1)求角；(2)若为上一点，为的平分线，且，求面积的最小值．17.已知函数，函数与函数的图象关于直线对称.（1）求函数；（2）时，求证：函数在区间不单调.18.已知数列的前项和为，且．(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；(2)设数列满足，记的前项和为，若，求正整数的值．19. 某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁．通常情况下，一把紫砂壶的成品率为，损毁率为．对于烧窑过程中出现的次品，会通过再次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为．已知一把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元．(1)求一把紫砂壶能够对外销售的概率；(2)某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶的最终获利X 的数学期望．20. 已知常数，函数，．（1）讨论在上的单调性；（2）若在上存在两个极值点，，且，求常数的取值范围．21. 如图所示.在多面体中，平面，，，，且，，分别为棱，的中点，为棱上一点，且.(1)证明：为的中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值.。

【KS5U解析】北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题 Word版含解析

，为非零向量，“ ”平方后展开，进而判断出结论.
【详解】，为非零向量，“ ”展开为：
∴“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
6.已知抛物线M：的焦点与双曲线N：的一个焦点重合，则（）
A. B.2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到答案.
故选：D.
【点睛】本题考查集合子集的个数，属于基础题.
2.函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由分母中根式内部的代数式大于0，求解一元二次不等式得答案.
【详解】由，得或 .
∴函数的定义域为 .
故选：C.
【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域，分式函数的定义域,一元二次不等式的解法,属于基础题.
【详解】对于①中，方程中，
令，得，
所以，其中，所以，所以，
解得；
所以点，点，点，点，所以①错误；
对于②中，由，设，
则点M到原点的距离为
，
当时，，d取得最大值为3，所以②正确；
对于③中，由①知最高点为，最低点为，
所以，③正确；
对于④中，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；
当时，，
则 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟记数列和的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5.设，为非零向量，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

高三数学第二学期统一练习(二) 理(丰台二模) 试题

xyO π2π1-1心尺引州丑巴孔市中潭学校丰台区2021年高三年级第二学期统一练习〔二〕数学〔理科〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121izi-=+对应的点位于 (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2．(A) x ∀∈R ，20x> (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线(B) 直线和直线(C) 椭圆和直线(D) 椭圆和圆5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120(B) 84 (C) 60 (D) 486．函数sin()y A x ωϕ=+的图象如下列图，那么该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+OO O O x x xxyyyy1 11 1111 1此题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．直线l ：Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，假设1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C++>++，那么(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交 (B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交此题就是考查线性规划问题。

丰台区高三二模理科数学试题精选文档

由 <0得2<x< ,所以f(x)的单调减区间是(2, )；……………………….10分
② 时，在（0，+）上恒成立，且当且仅当，
在（0，+）单调递增；……………………….11分
③当时，由 >0得0<x< 或x>2,所以f(x)的单调增区间是(0, ), ,
由 <0得 <x<2,所以f(x)的单调减区间是( ,2).……………………….13分
解:（Ⅰ）， ,DE PE,……………….2分
， DE 平面PEB,
, BP DE;……………………….4分
（Ⅱ） PE BE，PE DE， ,所以，可由DE,BE,PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分
设PE=a，则B(0,4-a,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，……………………7分
丰台区高三二模理科数学试题精选文档
丰台区2019年高三第二学期统一练习（二）
数学（理科）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.复数的虚部为
（A）3（B）（C）4（D）
2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是
分组
频数
频率
[0,50]
14
(50,100]
a
x
(100,150]
5
(150,200]
b
y
(200,250]
2
合计
30
1
解：（Ⅰ） ,………………………….4分

北京市丰台区高三二模理科数学

北京市丰台区高三二模理科数学北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B)3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为 (A)2(B)3 (C) 2(D) 43．由曲线1y x=与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是(A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D)ln41+4．断框中应填 (A)7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤(D)6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的俯视图球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125(B)36 125(C)44125(D) 811256．在△ABC中，∠BAC=90º，D是BC中点，AB=4，AC=3，则AD BC⋅=(A) 7-(B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin(0)y ax b a=+>的图象如图所示，则函数log()ay x b=+的图象可能是(A) (B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D是四边形1234A AA A 及其内部的点构成的点的集合，点0P是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}iS P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4(C) 8 (D) 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______． 11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.5 43.541从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25y bx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格PDC BA尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a=--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos 3sin )3f x x x x =--（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望Eξ=22．ξ100 80 60 0P 0.05 a b 0.7（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C 6PF 的长度．PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a=，131n n n aa p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a+，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49nb≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x ==∑，证明：21ln ln 2nniii x x =≥-∑*(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DACDBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．71133712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos 3sin )3f x x x x =-23sin cos 3x x x -1cos 213()sin 2322x x +-3132sin 22x x -＝3cos(2)62x π+-．（Ⅰ）3()cos(2)3362f πππ=⨯+-=333=．……………………7分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以 2666x ππ7π≤+≤．当26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是31-． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得OBACDEFP0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． (4)z yxPFEDCAB 分(ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以(1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以45cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为45．……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =，所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-，所以12122212||6cos ,||||22(2)1()n n n n n n t t⋅<>===⋅--++解得23t =，或2t =（舍）．此时5||PF =．……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a=，131n n n aa p +=+⋅+，所以1213135aa p p =+⋅+=+；23231126aa p p =+⋅+=+．因为1a ，26a+，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以2p =．依题意，1231n n n aa +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231aa -=⋅+， 232231a a -=⋅+， ……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n naa n ---=+++++-，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3n n a n=+．当n =1时，11314a=+=成立，所以 3n n a n=+．……………………8分（Ⅱ）证明：因为3n n a n=+，所以 22(3)3n n nn n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若22+210n n -+<，则132n +>，即2n ≥时1n nb b +<．又因为 113b =，249b=，所以49n b ≤．……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)xpy p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得12p =，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y=． ……………………4分即214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以点P(-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=；点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840xx m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x xm=-，所以1242x x +=，1282y ym+=+，即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以AB的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为四边形AMBN 为菱形，所以(0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2a x =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x xa+=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-．……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x xx +++=，则112222ln ln ln ln 2k k kx x x xx x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x+-，12k x +满足11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立．所以当1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211nii x==∑，则21ln ln 2nni ii x x=≥-∑*(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x xx +++=，那么由（Ⅱ）可得 112222ln ln ln nnx x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n=-．…………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题 Word版含答案

丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（二）数学 2020.06第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82．函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3．下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x = （B ）1sin 2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85．设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47．已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数（B ）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数（D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23（B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名（C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名（D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙┈地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子┈干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年┈2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i si s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（二）数学参考答案及评分参考2020．06 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分（Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X1824()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()e xxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ………5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g x f x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e x x h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)e e xxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a -，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意. 当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数，所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k 的取值范围是)2+∞,． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1yPT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r ,. 由,,PO PT PO PS μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数，当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+.………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能，所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L1210121+2+2++2+2++2i i k i i k εεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'=假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L 10011110011111100111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j j j j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为 1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区高三理数二模试卷附解析

北京市丰台区高三理数二模试卷一、单项选择题1.在复平面内，复数对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.以下函数中，在区间上单调递增的是〔〕A. B.C. D.3.向量，假设，那么〔〕A. -4B.C.D. 44.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为，那么〔〕A. B. C. D.5. 是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，以下命题中正确的选项是〔〕A.假设，那么 B. 假设，那么C.假设，那么 D. 假设，那么6.“ 〞是“直线与直线相互垂直〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线的渐近线与圆相切，那么〔〕A. 3B.C.D.8.将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，那么〔〕A. B.C. D.9.某中学举行“十八而志，青春万岁〞成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，那么语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是〔〕A. 15B. 45C. 60D. 7 510.如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆〞，其中. 和分别是“果圆〞与x轴，y轴的交点.给出以下三个结论：① ；②假设，那么；③假设在“果圆〞y轴右侧局部上存在点P，使用，那么.其中，所有正确结论的序号是〔〕A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题11.函数的值域为________.12.能够说明“假设a，b，m均为正数，那么〞是假命题的一组整数a，b的值依次为________.13.点为抛物线上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，那么________.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为?周髀算经?一书作序时，介绍了“赵爽弦图〞——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图〞，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，假设，那么________.15.函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出以下四个结论：① ；② 是函数的周期；③ 函数在区间上单调递增；④ 函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是________.三、解答题16.数列中，，且满足___________.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求数列的前n项和.从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.某公司开发了一款应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，整理得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：〔1〕从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意〞的概率；〔2〕用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意〞的人数，求X的分布列和数学期望.18.如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点M为棱上一点，平面与棱交于点N．〔1〕求证：平面；〔2〕求证：；〔3〕假设平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．19.函数.〔1〕假设，求的最小值；〔2〕求函数的单调区间.C：，过点的直线l交椭圆C于点A，B.〔1〕当直线l与x轴垂直时，求；〔2〕在x轴上是否存在定点P，使为定值？假设存在，求点P的坐标及的值；假设不存在，说明理由.S满足：①任意，有；②任意，有或，那么称数集S具有性质P.〔1〕判断数集是否具有性质P，并说明理由；〔2〕假设数集且具有性质P.〔i〕当时，求证：是等差数列；〔ii〕当不是等差数列时，写出n的最大值.(结论不需要证明)答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】复数在复平面内对应的点为，在第二象限故答案为：B【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简原式再由复数的几何意义即可得出答案。

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