《理论力学》基本力系
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F2 FR
o F1
F3
例 用解析法求图所示平面汇交力系的合力。已知F1=500Ｎ， F2=1000Ｎ，F3=600Ｎ，F4=2000Ｎ。
解：合力 在轴上的投影为：
FRx Fix 0 1000cos45
600 2000cos30 425N
FR
F Ry
F iy
500 1000sin 45
平面汇交力系
第一节 汇交力系的合成与平衡
二、 汇交力系 的合成
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即：
F R
F i
F 1
F 2
F n
0
平衡几何条件：力的多边形闭合。
平衡的代数方程条件：
F ix
0
F iy
0
F iz
0
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
F iy
0
F iz
0
平面汇交力系平衡方程
平衡方程应用的注意点：
1、求解未知量个数；
2、投影轴的选取；
3、研究对象选取次序。
F ix
0
F iy
0
第一节 汇交力系的合成与平衡
例题：
对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。
解得： F 3F / 2, F F / 2
A
B
第一节 汇交力系的合成与平衡
平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： F 3F / 2, F F / 2
A
B
第一节 汇交力系的合成与平衡
例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力. 解：AB、BC杆为二力杆，
力系的简化
汇交力系的简化 １. 汇交力系合成的几何法
F4
FR3
F
R 2
F
3
F R1
F
F 2
1 F FF
R1
1
2
3
F R2
F R1
F 3
F i
i 1
力多边形
力
多 边 形 规
FR1 F1 F2
3
F R2
F R1
R
F
R
cos(F
,
z)
F Rz
R
F
R
平 面 汇
交
力
系
y
FR
z
x
FR ( Fix )i ( Fiy ) j
FR
F F 2
2
Rx
Ry
tan(FR ,
x)
FRy FRx
第一节 汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系平衡方程
F ix
0
Fix Fiy
FRz
Fiz
矢量投影定理：即合矢量在任一轴上 的投影，等于各分矢量在同一轴上投影的 代数和。
由合力的投影可求其大小和方向余弦：
F F2 F2 F2
R
Rx
Ry
Rz
F
cos(F , x) Rx
R
F
R
F
cos(F , y) Ry
0 2000sin30 207N
再求合力的大小 及方向余弦：
F F 2 F 2 473N
R
Rx
Ry
425
cos(F , x) cos a 0.9
R
473
所以 α ＝26°， β ＝116°。
cos(F
,
y)
cos
207
0.438
R
473
第一节 汇交力系的合成与平衡
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
解：1、明确研究对象； 2、取脱离体，受力分析画受力图； 3、立平衡方程求解。
F ix
0:
FA cos30 FB cos60 F cos60 0
F iy
0:
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
My
, cos
Mz
M
M
M
第二节 力偶系的合成与平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
平面力偶系
空间力偶系
二、力偶系的简化
平 面 力 偶 系
空 间 力 偶 系
M
M 1
M 2
M n
Mi
M
M 1
M 2
M n
Mi
Mx Mix , M y Miy , Mz Miz
M
M
2 x
M
2 y
Mwk.baidu.com
2 z
cos
Mx
, cos
取滑轮B（或点B），画受力图. 用解析法，建图示坐标系
F ix
0
F F cos 60 F cos 30 0
BA
1
2
F F P
1
2
解得： F 7.321kN BA
第一节 汇交力系的合成与平衡
F iy
0
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
解得： F 27.32kN BC
例题：已知：物重P=10kN，C,D高度一样，CB=DB且互相垂 直，θ =300。
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
第二章 力系的平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡 第二节 力偶系的合成与平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡
一、 汇交力系 若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力 系。根据力的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公 共作用点，所以汇交力系有时也称为共点力系。 如果一个汇交力系的各力的作用线都位于同一平面内，则 该汇交力系称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
第二节 力偶系的合成与平衡
一、 力偶系 作用在物体上的一群力偶称为力偶系。
若力偶系中的各力偶都位于同一平面内，则为平面力 偶系，否则为空间力偶系。
F 3
F i
i 1
则
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi i 1
汇交力系合成的解析计算
y
F Fi F jFk
i
ix
iy
iz
F R
(
F ix
)i
(
F iy
)
j
(
F iz
)k
z
x
FRx FRy
o F1
F3
例 用解析法求图所示平面汇交力系的合力。已知F1=500Ｎ， F2=1000Ｎ，F3=600Ｎ，F4=2000Ｎ。
解：合力 在轴上的投影为：
FRx Fix 0 1000cos45
600 2000cos30 425N
FR
F Ry
F iy
500 1000sin 45
平面汇交力系
第一节 汇交力系的合成与平衡
二、 汇交力系 的合成
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即：
F R
F i
F 1
F 2
F n
0
平衡几何条件：力的多边形闭合。
平衡的代数方程条件：
F ix
0
F iy
0
F iz
0
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
F iy
0
F iz
0
平面汇交力系平衡方程
平衡方程应用的注意点：
1、求解未知量个数；
2、投影轴的选取；
3、研究对象选取次序。
F ix
0
F iy
0
第一节 汇交力系的合成与平衡
例题：
对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。
解得： F 3F / 2, F F / 2
A
B
第一节 汇交力系的合成与平衡
平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： F 3F / 2, F F / 2
A
B
第一节 汇交力系的合成与平衡
例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力. 解：AB、BC杆为二力杆，
力系的简化
汇交力系的简化 １. 汇交力系合成的几何法
F4
FR3
F
R 2
F
3
F R1
F
F 2
1 F FF
R1
1
2
3
F R2
F R1
F 3
F i
i 1
力多边形
力
多 边 形 规
FR1 F1 F2
3
F R2
F R1
R
F
R
cos(F
,
z)
F Rz
R
F
R
平 面 汇
交
力
系
y
FR
z
x
FR ( Fix )i ( Fiy ) j
FR
F F 2
2
Rx
Ry
tan(FR ,
x)
FRy FRx
第一节 汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系平衡方程
F ix
0
Fix Fiy
FRz
Fiz
矢量投影定理：即合矢量在任一轴上 的投影，等于各分矢量在同一轴上投影的 代数和。
由合力的投影可求其大小和方向余弦：
F F2 F2 F2
R
Rx
Ry
Rz
F
cos(F , x) Rx
R
F
R
F
cos(F , y) Ry
0 2000sin30 207N
再求合力的大小 及方向余弦：
F F 2 F 2 473N
R
Rx
Ry
425
cos(F , x) cos a 0.9
R
473
所以 α ＝26°， β ＝116°。
cos(F
,
y)
cos
207
0.438
R
473
第一节 汇交力系的合成与平衡
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
解：1、明确研究对象； 2、取脱离体，受力分析画受力图； 3、立平衡方程求解。
F ix
0:
FA cos30 FB cos60 F cos60 0
F iy
0:
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
My
, cos
Mz
M
M
M
第二节 力偶系的合成与平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
平面力偶系
空间力偶系
二、力偶系的简化
平 面 力 偶 系
空 间 力 偶 系
M
M 1
M 2
M n
Mi
M
M 1
M 2
M n
Mi
Mx Mix , M y Miy , Mz Miz
M
M
2 x
M
2 y
Mwk.baidu.com
2 z
cos
Mx
, cos
取滑轮B（或点B），画受力图. 用解析法，建图示坐标系
F ix
0
F F cos 60 F cos 30 0
BA
1
2
F F P
1
2
解得： F 7.321kN BA
第一节 汇交力系的合成与平衡
F iy
0
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
解得： F 27.32kN BC
例题：已知：物重P=10kN，C,D高度一样，CB=DB且互相垂 直，θ =300。
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
第二章 力系的平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡 第二节 力偶系的合成与平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡
一、 汇交力系 若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力 系。根据力的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公 共作用点，所以汇交力系有时也称为共点力系。 如果一个汇交力系的各力的作用线都位于同一平面内，则 该汇交力系称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
第二节 力偶系的合成与平衡
一、 力偶系 作用在物体上的一群力偶称为力偶系。
若力偶系中的各力偶都位于同一平面内，则为平面力 偶系，否则为空间力偶系。
F 3
F i
i 1
则
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi i 1
汇交力系合成的解析计算
y
F Fi F jFk
i
ix
iy
iz
F R
(
F ix
)i
(
F iy
)
j
(
F iz
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z
x
FRx FRy