一元二次方程根的判别式ppt课件

当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
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时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
.
(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
解：△=(-6)2-4k ≥ 0
且k≠0 ∴k≤9 且 k≠0
.
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数
3
∴ x1 2 m 必为整数
∴ m 1 或 m 3
当 m 1时 ， x1 1 ；当 m 1时， x1 5； 当 m 3时， x1 1 ； 当 m 3 时， x1 3. ∴ m 1 或 m 3
.
(5) 若关于x的方程 （1-2k)x2- 2 k+1 x=1有两个不等
.
1.不解方程判断方程根的情况：
(4) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0方程有实根
(5) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数)
解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
.
对于一元二次方程 ax2bxc0(a0) 一定
有解吗？
.
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，b24ac0 2.当方程有两个相等的实数根时， b24ac0 3.当方程没有实数根时，b24ac0
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
.
2.根据方程根的情况判断参数取
值范围
(1)k为何值时,关于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2 –1 =0有实根？
解：△=(4k+1)2-8(2k2 –1) 准确找到a,b,c
=8k+9
求△
若方程有实根，则△≥ 0根据题意列不
∴8k+9 ≥ 0
时，（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
提示：先把方程变形：2mx2 (8m 1)x 8m 0 ，再看△。
.
解：因为 V =b24ac16m1，所以
（1）当 V16m10，即 m 1 时，方程有两
16
个不等的实数根；
（2）当 V16m10，即 m 1 时，方程有两
（3） x2 4kx 2k 3。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
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解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
（3）因为△= b24ac= (4k+ 1)2110， 所以原方程有两个不等的实根。
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b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的 判别式，通常用“△”表示。 当△>0 时，方程有两个不等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△<0 时，方程没有实数根。
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问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ；
16
个相等的实数根；
（3）当
V16m10，即
m
1 16
时，方程没有
实数根.
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问题三：解含有字母系数的方程。
解方程： ax2 5x 5 0 。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
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解： 当a=1时，x=1.
实根,求k的取值范围？
.
提升 3：若方程 3x2 4x k 1 0 无实数根，化简：
k2
2 3
k
1 9
1 2k 3
。.
3k 2 3
.
.
.
(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
解：当方程时一元二次方程时：
△=(-6)2-4k ≥ 0 且k≠0
∴k≤9 且 k≠0 当方程时一元一次方程时：
k= 0 方程-6x+1=0也有实根
综上:k ≤9 方程有实根
.
已知：关于 x 的一元二次方程 mx2 3(m 1)x 2m 3 0
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的
值.
.
（1）解： b2 4ac 3(m 1)2 4m(2m 3) (m 3)2
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ (m 3)2 0 且 m 0 ∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3且 m 0
.
（2）证明：由求根公式 x b
b2 4ac 3(m 1) (m 3)
2a
2m
3m 3 m 3 2m 3 3
∴ x1
2m
2
m
m
3m 3 m 3
x2
2m
1
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
.
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1 若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
.
注对意吗二？
次项系 数
二 次 方 程 2mx2 8m(x 1) x ， 当 m 为 何 值
等式（方程）
∴k≥-9/8
求出参数范围
.
(2) m为何值时,关于x的方程
4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？
解：方程整理为：
4x2-(m+2)x+m-1=0 ∴ △=(m+2)2-16(m –1)
=m2-12m+20
若方程有两个相等实根，则△= 0
m2-12m+20=0
∴m1=2 m2=10