离散数学集合论练习题

集合论练习题
一、选择题
1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．
A ．{2}∈
B B ．{2, {2}, 3, 4}B
C ．{2}B
D ．{2, {2}}B
2．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ ）．
A ．
B A ，且BA B ．B A ，但BA
C ．B A ，但BA
D ．B A ，且BA
3．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( )．
A ．{{1}, {a }}
B ．{∅,{1}, {a }}
C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}
D ．{{1}, {a }, {1, a }}
4.已知AB ={1,2,3}, AC ={2,3,4},若2 B,则（ ）
A ． 1?C
B ．2?
C C ．3?C
D ．4?C
5. 下列选项中错误的是( )
A ． ∅⊆∅
B ． ∅∈∅
C ． {}∅⊆∅
D ．{}∅∈∅
6. 下列命题中不正确的是（ ）
A ． x {x }-{{x }}
B ．{}{}{{}}x x x ⊆-
C ．{}A x x =⋃,则xA 且x A ⊆
D ． A B A B -=∅⇔=
7. A , B 是集合，P (A ),P (B )为其幂集，且A B ⋂=∅，则()()P A P B ⋂=( )
A ． ∅
B ． {}∅
C ． {{}}∅
D ．{,{}}∅∅
8. 空集∅的幂集()P ∅的基数是( )
A ． 0
B ．1
C ．3
D ．4
9．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b >a , b ∈A , 且a +b = 8}，则R 具有的性质为（ ）．
A ．自反的
B ．对称的
C ．对称和传递的
D ．反自反和传递的
10.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，
S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，
则S是R的（）闭包．
A．自反B．传递C．对称D．以上都不对11. 设A={1，2，3，4}，下列关系中为等价关系。

={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，3>}
A．R
1
={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}
B．R
2
C．R
={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<3，1>，<3，3>，<4，4>}
3
={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<3，2>，<4，4>}
D．R
4
12．非空集合A上的二元关系R，满足( )，则称R是等价关系．A．自反性，对称性和传递性B．反自反性，对称性和传递性C．反自反性，反对称性和传递性D．自反性，反对称性和传递性13．设集合A={a, b}，则A上的二元关系R={<a, a>，<b, b>}是A上的( )关系．A．是等价关系但不是偏序关系B．是偏序关系但不是等价关系
C．既是等价关系又是偏序关系D．不是等价关系也不是偏序关系14. 设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性( )
A．一定成立B．不一定成立C．一定不成立D．不可能成立15. 整数集合Z上“＜”关系的自反闭包是( ) 关系
A．＝B．≠C．＞D．≤
16. 关系R的传递闭包t(R)可由( )来定义
A．t(R)是包含R的二元关系B．t(R)是包含R的最小的传递关系
C．t(R)是包含R的一个传递关系D．t(R)是任何包含R的传递关系
17. 设R是集合A上的偏序关系，R c是R的逆关系，则R∪R c是( )
A．偏序关系B．等价关系C．相容关系D．都不是
18.设偏序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A 的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B 的( )。

(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对
二、填空题
1．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ．
2. 集合{{}}∅⋃∅的幂集为
3．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，
R ={<a , b >a ∈A ，b ∈B 且2≤a + b ≤4}
则R 的集合表示式为 ．
4．设集合A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4},R 是A 到B 的二元关系，
},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且
则R 的关系矩阵M R ＝
5. 设集合A ={a ,b ,c }，A 上的二元关系
R ={<a , b >,<c . a >}，S ={<a , a >,<a , b >,<c , c >}
则(RS )－
1= ; domR= ;ran(RS )=
6. 设集合A =｛a ,b ,c ,d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是 ．
7. 设R 是集合A = {1 , 2 ,… , 10}上的模7同余关系则[2]R = ．
8. A ={ 1, 2,3,4,5,6,8,10,24,36},RA 是上的整除关系，子集B={1,2,3,4},则
的最大元 ，最小元 ，极大元 ，极小元 ， 上界 ，下界 ，上确界 ，下确界 。

三、计算题
1．设集合{{},{,1},{1,1,}},{{,1},{1}}A B =∅∅∅=∅，求
（1）BA ； （2）AB ； （3）A －B ； （4）AB ；(5)P (A )
2. 设{{0},0}A =，计算(){0},()P A P A A -⊕.
3. 设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：
111
2 3 2323 4、设A={1,2,…,10}。

下列哪个是A的划分若是划分，则它们诱导的等价关系是什么
（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}};
（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}};
（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}
5. R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，
⋃{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>}
R=I
A
求R诱导的划分。

6. A上的偏序关系≤的Hasse图如下。

(1) 下列哪些关系式成立：a≤b, b≤a ,c≤e, e≤f , d≤f, c≤f；
(2) 分别求出下列集合关于≤的极大（小）元、最大（小）元、上（下）界及上（下）确界
(a) A ; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e}
a
e f
b d
c
7. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
（1）写出关系R的表示式；
（2）画出关系R的哈斯图；
（3）求出集合B的最大元、最小元．
8. 设集合A＝{a, b, c, d}上的二元关系R的
关系图如右图所示．Array（1）写出R的表达式；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）求出R2．
9．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|xA，yA且x+y<0}，S={<x，y>|xA，yA且x+y<=3}，试求R，S，RS，R-1，S-1，r(R)，s(R)，t(R)，r(S)，s(S)，t(S)．
四、证明题
1. 设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得<a, b>R，则R是等价关系．
2．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：RS也是A上的偏序关系．。