苏教版数学高二-选修2-1第1章《常用逻辑用语》单元检测(B卷)
常用逻辑用语(选修1-1、2-1第一章)过关测试题(B)
常用逻辑用语（选修1-1、2-1第一章）过关测试题（B ）时间：100分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列语句中，命题和真命题的个数分别是 ----------------------------------------------（ ） ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ②一个数不是奇数就是偶数③大角所对的边大于小角所对的边； ④x y +是有理数，则x y ，也都是有理数； ⑤求证x ∈R ，方程210x x ++=无实数根．A ．4，1B ．2，2C ．3，0D ．2，1 2．①“若240b ac ->，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解集必含有两个元素”；②“矩形的对角线相等”的逆命题； ③“若a b >，则a c b c ++≥”的否命题． 其中真命题的个数有 -----------------------------------------------------------------------------（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若语句:p x A B ∈ ，则“p ⌝”是 ----------------------------------------------------（ ）A ．x AB ∉B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈4．语句:p α是第二象限角；语句0tan sin <⋅αα，则p 是q 成立的 -------------（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．下列判断错误的是 ----------------------------------------------------------------------------（ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”等价B ．“22am bm <”是“a b <”的充要条件C ．“菱形的对角线互相垂直”的否定为假命题D ．{}:12p ∅，Ü，{}:412q ，Ü，则“p q ∨”为真命题6．给出下列三个命题：①若1a b >-≥，则11a b a b++≥； ②函数sin()(00)y A x A ωϕω=+>>，为奇函数的充要条件是π()k k ϕ=∈Z ； ③设11()P x y ，为221:9O x y += 上任意一点，2O 以()Q a b ，为圆心且半径为1．当 2211()()1a x b y -+-=时，1O 与2O 相切．其中假命题的个数是 --------------（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．设有如下三个语句，甲：m l A = ，m l α⊂，，m l β⊄，；乙：直线m l ，中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的 ---------（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．若函数()()f x g x ，的定义域和值域都是R ，则“()()f x gx <”成立的充要条件是（ ） A ．0x ∃∈R ，使00()()f x g x < B ．存在无数多个实数x ，使得()()f x g x <C ．x ∀∈R ，都有1()()2f xg x +< D ．不存在实数x ，使得()()f x g x ≥ 9．“0k ≠”是“方程y kx b =+表示直线”的 -------------------------------------------（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对x ∀∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； ②若0x ∃∈R ，使得对x ∀∈R ，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若0x ∃∈R ，使得对x ∀∈R 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值．这些命题中，真命题的个数是 -----------------------------------------------------------------（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．设αβ，为两个不同的平面，l m ，为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下两个命题：①若αβ∥，则l m ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥，那么 --------------------（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题12．若()f x 是R 上的减函数，且(0)3f =，(3)1f =-，设{}|()12P x f x t =+-<，{}|()1Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 -------------------------------------------------------------------（ ）A ．{}|0t t ≤B ．{}|0t t ≥C ．{}|3t t -≥D ．{}|3t t -≤二、填空题（每小题4分，共16分）13．存在性命题“存在一个被7整除的整数不是奇数”的否定是 ．14．与命题“若m M ∈，则n M ∉”等价的命题是 ．15．2()210p x ax x =++>，若对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则实数a 的取值范围是 ．16．有下面四个命题：①命题“若1xy =，则x y ，互为倒数”的逆命题；②命题“存在两个等边三角形，它们不相似”的否定；③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B = ，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题的是 ．（填上你认为正确的命题的序号）三、解答题17．（本小题满分12分）已知命题：末位是0的整数，可以被5整除．把命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．18．（本小题满分12分）分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．（1）:p 平行四边形的对角线相等；:q 平行四边形的对角线互相平分；（2）:p 方程2160x -=的两根的符号不同； :q 方程2160x -=的两根的绝对值相等．19．（本小题满分15分）给出问题：已知语句:20p m -<<，01n <<；语句:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．一位同学给出了如下解答：设关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根12x x ，，则101x <<，201x <<，所以1202x x <+<，且1201x x <<．由根与系数的关系，得1212x x m x x n +=-⎧⎨=⎩，，则0201m n <-<⎧⎨<<⎩，，所以20m -<<，01n <<．又命题:20p m -<<，01n <<，故p 是q 的充要条件．该同学的解答正确吗？试给出判断，并说明理由．20．（本小题满分15分）求关于x 的方程2210(0)ax x a ++=≠至少有一负根的充要条件．21．（本小题满分15分）已知关于x 的绝对值方程22x ax b ++=，其中a b ∈R ，． （1）当a b ，满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？（2）试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．22．（本小题满分15分）已知0ab ≠，求证1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．参考答案：CABAB BCDB C DD13、答案：所有被7整除的整数都是奇数14、答案：若n M ∈，则m M ∉15、答案：1a >16、答案：①②③17、解：原命题：若一个整数的末位数是0，则这个整数可以被5整除．它是真命题． 逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数的末位数是0．它是假命题．否命题：若一个整数的末位数不是0，则这个整数不能被5整除．它是假命题． 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数不是0．它是真命题．18、解：（1）p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：有的平行四边形的对角线不相等．由于p 假q 真，所以p 或q 真，p 且q 假，非p 真；（2）p 或q ：方程2160x -=的两根符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程2160x -=的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程2160x -=的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p 或q 、p 且q 为真，非p 为假．19、解：该同学的解答是错误的，原因是由101x <<，201x <<得到1202x x <+<， 且1201x x <<并不是完全等价的，如取13m =-，12n =，则211032x x -+=． 此时方程的114092∆=-⨯<无解，更谈不上有两个小于1的正根，易知q p p q ⇒，¿，从而p 是q 的充要条件是错误的．正确的结论应为p 是q 的必要不充分条件．20、解：若方程有一负根一正根， 则12010x x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩，，得0a <； 若方程有两负根，则1212000x x x x ∆⎧⎪+<⎨⎪>⎩≥，，， 即440200110a a aa⎧⎪-⎪⎪-<⇒<⎨⎪⎪>⎪⎩≥，，≤，．1a ∴≤且0a ≠为方程有一负根的必要条件，而当1a ≤且0a ≠时，经验证至少有一负根． 1a ∴≤且0a ≠为方程有一负根的充分条件．∴方程有一负根的充要条件为1a ≤且0a ≠．21、解：（1）原方程等价于22x ax b ++=， ①或22x ax b ++=-， ②由于22124848a b a b ∆=-+>--=∆， 20∴∆=，即248a b -=；（2）必要性：由（1）知方程②的根2a x =-，方程①的根122a x =--，222a x =-+， 如果它们恰为直角三角形的三边，即22222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得16a =-，62b =．充分性：如果16a =-，62b =，可得解集M 为{}6810，，，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形．∴16a =-，62b =为所求的条件．22、证明：必要性： 1a b +=，即1b a =-，33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a ∴++--=+-+----323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：33220a b ab a b ++--= ，即2222()()()0a b a ab b a ab b +-+--+=， 22()(1)0a ab b a b ∴-++-=．又0ab ≠，即0a ≠且0b ≠，22223024b a ab b a b ⎛⎫∴-+=--≠ ⎪⎝⎭，只有1a b +=． 综上，当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．。
苏教版高中数学选修2-1本章练测：第1章常用逻辑用语(含答案详解).docx
第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.下列说法中,不正确的是_________.①“若则”与“若则”是互逆命题；②“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题；③“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题；④“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否命题.2.若命题“使得”是假命题，则实数的取值范围是.3.集合，，，则“”是“”的条件.4.设：：,若﹁是﹁的必要不充分条件，则实数的取值范围是.5.命题：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；命题：函数的最小正周期是，则复合命题“或”“且”“非”中真命题的个数是______.6.已知命题：,命题：，,若命题“”是真命题，则实数的取值范围是.7.给出下列命题：①若“或”是假命题，则“﹁且﹁”是真命题；②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且；④，其中真命题是______.8.关于的函数有以下命题：①,；②；③，都不是偶函数；④,使f是奇函数．其中假命题的序号是.9.有限集合中元素的个数记作，设A,B都是有限集合，给出下列命题：①的充要条件是=；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是.其中正确的命题是.10.已知命题使；命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“﹁”是假命题；③命题“﹁”是真命题；④命题“﹁﹁”是假命题.其中正确的是.11.命题：“如果－+=0，则x=2且y=－1”的逆否命题为.12.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.13.已知命题p:命题q:若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数的范围是____________.14.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“＞－”是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）设命题为“若，则关于的方程有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．16.（本小题满分14分）已知命题：任意，，如果命题﹁是真命题，求实数的取值范围．17.（本小题满分14分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足－－－＞（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.（本小题满分16分）若函数的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围．19. （本小题满分16分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？20.（本小题满分16分）设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在上的值域为．若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围．第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答题纸得分：＿＿＿一、填空题1.2. 3. 4. 5.6.7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14.二、解答题15.解：16.解：17.解：18.解：19.解：20.解：第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答案一、填空题1.②解析：“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否的命题，②不正确，故选②.2.[- 1,3] 解析：已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为若为真命题，需方程的判别式解得3.必要不充分解析：集合集合，故，，所以“”是“”的必要不充分条件.4.解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以，＜，或＜，所以.5.2解析：将函数y=的图象向右平移个单位长度得到函数y==的图象，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数,最小正周期为，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个.6.或解析：若p成立，对有.因为所以即若q成立，则方程的判别式解得或因为命题“”是真命题，所以p真q真，故的取值范围为或7.①②解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，则，若,则，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当，y=5时，满足但，所以④是假命题.8.①③解析：对于命题①，若==成立，必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f，当=时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.9.①②解析：，集合和集合没有公共元素，①正确；，集合中的元素都是集合中的元素，②正确；③错误；，则集合中的元素与集合中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.10.②③解析：因为，所以命题p是假命题，﹁是真命题；由函数y=的图象可得，命题q是真命题，﹁是假命题.所以命题“”是假命题, 命题“﹁”是假命题，命题“﹁”是真命题，命题“﹁﹁”是真命题.所以②③正确.11.如果x≠2或y≠－1，则－+≠0 解析：“x=2且y=－1”的否定为“x≠2或y≠－1”，“－+12=0”的否定为－2++12≠0，故原命题的逆否命题为“如果x≠2或y≠－1，则－2++12≠0”.12.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需4-120aa⎧⎨⎩＞，≤，∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.13.解析：两个命题可分别表示为或，或，要使命题是命题的充分不必要条件，则，，，或，，，解得.14.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题15.解：否命题为“若，则关于的方程没有实数根”；逆命题为“若关于的方程有实数根，则”；逆否命题为“若关于的方程没有实数根，则”.由方程根的判别式，得，此时方程有实数根．因为使，所以方程有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程有实数根，必须，不能推出，故逆命题为假,从而否命题为假.16.解：因为命题﹁是真命题，所以是假命题.又当是真命题，即恒成立时，应有，，解得，所以当是假命题时，.所以实数的取值范围是.17.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由－－－＞得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若ℸp是ℸq的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.18.解：（1）当时，=的图象与轴恒相交；（2）当时，二次函数=的图象和轴恒有公共点的充要条件是恒成立，即恒成立，又是一个关于的二次不等式，恒成立的充要条件是解得．综上，当时，；当时，．19.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.20.解：由得.因为在上的值域为,所以.又因为“”为假命题，“”为真命题，所以,一真一假．若真假，则；若假真，则.综上可得，的取值范围是或.。
高中数学苏教版高二选修2-1学业分层测评：第1章_常用逻辑用语_1.1.1
学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【答案】①③⑤⑤2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜33．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的________命题．【解析】不妨设p：若A则B；则q：若B则A；那么q的否命题r为：若非B则非A.故p是r的逆否命题．【答案】逆否4．命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有________个．【解析】由x2－8x＋15＝0，得x＝3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个．【答案】 15．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．【答案】若a≤b，则2a≤2b－16．命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题是________，是________命题．(填“真”或“假”)【解析】“若p则q”的逆命题是“若q则p”．【答案】若b2＝ac，则实数a，b，c成等比数列假7．(2016·聊城高二检测)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________个.【导学号：09390004】【解析】由a n＋a n＋12<a n，得a n＋1<a n，所以数列{a n}为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．【答案】 38．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三边形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．【解析】①否命题为“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”，是真命题；②逆命题为“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；③因为命题“若a>b>0，则3a>3b>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；④逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，是假命题．【答案】①②③二、解答题9．写出命题“若xy＝0，则x＝0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．【解】(1)逆命题：若x＝0，则xy＝0，显然是真命题；(2)否命题：若xy≠0，则x≠0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；(3)逆否命题：若x≠0，则xy≠0，为假命题，例如x＝2，y＝0，满足x≠0，但xy＝0，所以逆否命题为假命题．10．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．能力提升]1．(2016·上海高三模拟)原命题“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有________个．【解析】 若c ＝0，则原命题不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；由ac 2>bc 2知c 2>0，∴由不等式的基本性质得a >b ，∴逆命题为真．由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．【答案】 22．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则－1＜x ＜2”的逆否命题为真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则－1＜x ＜2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则⎩⎨⎧m －1≥－1，m ＋1≤2，解得0≤m ≤1，则实数m 的取值范围是0,1]． 【答案】 0,1]3．下列四个命题：①“如果x 2－x －6≥0，则x ＞2”的否命题；②“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题．其中真命题的序号是________．【解析】 对于①，命题的否命题为“如果x 2＋x －6＜0，则x ≤2”，由x 2＋x －6＜0，得－3＜x ＜2，能得到x ≤2，是真命题；对于②，“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”为假命题，例如a ＝2≥1，b ＝－1，则a ＋b ＝1＜2，故②是假命题；对于③，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故③错误．【答案】 ①4．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不等的负零点；命题q ：函数g (x )＝4x 2＋4(m －2)x ＋1无零点．若命题p 和q 只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解】 ∵命题p ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不等的负零点，∴方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，∴⎩⎨⎧m 2－4>0，－m <0，解得m >2. 又∵命题q ：函数g (x )＝4x 2＋4(m －2)x ＋1无零点， ∴方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0没有实数根，∴Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.若命题p 为真，命题q 为假，则m ≥3.若命题p 为假，命题q 为真，则1<m ≤2.综上可知，实数m 的取值范围是(1,2]∪3，＋∞).。
苏教版高中数学选修2-1章末综合测评(一) 常用逻辑用语.docx
章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】 13．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】[1，＋∞)5．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定．．是________． 【解析】 ∀改为∃，否定结论，即∃x ∈R ，|x |＋x 2<0.【答案】 ∃x ∈R ，|x |＋x 2<06．设命题p 和命题q ，“p 或q ”的否定是真命题，则必有________．①p 真q 真；②p 假q 假；③p 真q 假；④p 假q 真．【解析】 因为“p 或q ”的否定是真命题，所以“p 或q ”是假命题，则p假q 假．【答案】 ②7．给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a <0.其中真命题为________(填序号)．【解析】 ①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】 ②8． “0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．【解析】 p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】 ②③11．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：09390017】【解析】 p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q是p 的充分条件，所以⎩⎨⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________．①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题且q 是真命题；⑤命题且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．【解析】 对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题且(非q )是真命题，即①⑤正确．【答案】 ①⑤13．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．【解析】 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．下列叙述中错误的是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为假命题；②“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；③若“p或q”为假命题，则“(非p)且(非q)”也为假命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0.【解析】对于①，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x>2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)>0，反过来，由x2－3x＋2>0不能得知x>2，因此“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(非p)且(非q)”是真命题；对于④，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0.综上所述，应填③.【答案】③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若△ABC为直角三角形，则△ABC的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC没有一个内角为直角，则△ABC不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC不是直角三角形，则△ABC没有一个内角为直角，是真命题．16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋1x≥2；(4)∃x∈Z，log2x＞2.【解】(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p ：所有的平行四边形的对角线相等，q ：所有的平行四边形的对角线互相平分；(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同，q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】 (1)p 或q ：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：有些平行四边形的对角线不相等．因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．且q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．18．(本小题满分16分)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【解】 非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．而非p ⇒q ，∴A B ，即⎩⎨⎧ 1－a ≥－2，1＋a ≤10，a ＞0，∴0＜a ≤3.19．(本小题满分16分)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x 在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 若p 真，则0<2a －5<1，故52<a <3.若q 真，由x 2－ax ＋2<0，得ax >x 2＋2.∵1<x <2，∴a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)上恒成立．又当x ∈(1,2)时，x ＋2x ∈[22，3)，∴a ≥3.∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有52<a <3或a ≥3.综上，a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a >52. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx .(1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x ，使得f (x )>0”是真命题，即对于任意实数x ，f (x )>0恒成立．①当m ＝0时，不成立；②当m >0时，Δ＝4(4－m )2－8m <0，∴2<m <8.(2)当m ≤0时，依题意显然不符合；当m >0时，则只要f (x )>0在(－∞，0)上恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2m>0，f (0)≥0⇒0<m <4. 或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2m ≤0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 2m >0⇒4≤m <8.综上可知，0<m <8.。
选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 1.1.2 Word版含答案
1.1.2充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．框图表示2．条件与结论之间的关系知识点二充要条件思考在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．梳理(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作p⇔q.(2)充要条件的实质是原命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”均为真命题，如果p是q 的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．当p是q的充分必要条件时，那么q也一定是p的充分必要条件．(√)类型一 充分条件、必要条件的判断例1 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是________．(填序号) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac ＞0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac ＜0是函数f (x )没有零点的充要条件． 答案 ①②④解析 ①正确，因为Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有零点；②正确，因为Δ＝b 2－4ac ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，但是f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，有可能Δ＞0；③错误，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，但未必有Δ＝b 2－4ac ＞0，也有可能Δ＝0；④正确，因为Δ＝b 2－4ac ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点．反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法 (1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断． 跟踪训练1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：ax 2＋ax ＋1>0的解集是R ，q ：0<a <4； (2)p ：|x －2|<3，q ：6x －5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5， 所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q .但⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎨⎧a ≤1，－2a <0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋t (t 为常数)，试问t ＝－1是否为数列{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由． 解 是充要条件．(充分性)当t ＝－1时，S n ＝(n ＋1)2－1＝n 2＋2n . a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1. 又a 1＝3符合上式， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 又∵a n ＋1－a n ＝2(常数)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 故t ＝－1是{a n }为等差数列的充分条件． (必要性)∵{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，∵a 1＝S 1＝4＋t ，a 2＝S 2－S 1＝5，a 3＝S 3－S 2＝7，∴10＝11＋t ，解得t ＝－1， 故t ＝－1是{a n }为等差数列的必要条件． 综上，t ＝－1是数列{a n }为等差数列的充要条件． 命题角度2 充要条件的证明例3 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.证明 ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得 OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →， ∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →. ∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB→－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.综上，点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. 反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．跟踪训练3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 证明 ①充分性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0， 即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，且命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }． 由已知p ⇒q 且q ⇏p ，得M ?N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2，解得32≤a <2或32<a ≤2，即32≤a ≤2.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.反思与感悟 1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 2．根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N .(3)根据集合的关系列不等式(组)． (4)求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪ y ＝2x 2x ＋1，x ∈R ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝(0,1)，B ＝⎣⎡⎦⎤m －13，m ＋13，依题意，得B ?A ， 故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．从“⇒”，“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空： (1)x ＞1________x ＞0； (2)a ＞b ________a 2＞b 2；(3)a 2＋b 2＝2ab ________a ＝b ； (4)A ⊆∅________A ＝∅.答案 (1)⇒ (2)⇏ (3)⇔ (4)⇔2．“a >1”是“1a <1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 由a >1可得到1a<1，反之不成立．3．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 考点 充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求取值范围 答案 [4，＋∞)解析 因为p 为q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m )， 得m ≥4.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及集合B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、填空题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 答案 充分不必要解析 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．2．若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0，B ＝{x |x －2<2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1<0＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x －2<2}＝{x |x <4}．∴A ?B ，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．3．“k >4，b <5”是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴”的________条件． 答案 充要解析 ①当k >4，b <5时，一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象如图．②当一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴，即当x ＝0时，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0.∵b <5，∴k >4.4．已知不等式m －1<x <m ＋1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 由题意得⎝⎛⎭⎫13，12?(m －1，m ＋1)，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1≥12.∴－12≤m ≤43.5．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，是真命题的是________．(填序号) ①“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件； ②“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件； ③“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件； ④“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件． 答案 ②③解析 由②得当a ＝b 时，得到ac ＝bc ；由③得ac 2>bc 2⇒a >b .6．关于x 的方程m 2x 2－(m ＋1)x ＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 答案 m ＝0解析 当m ＝0时，原方程即x ＝2，满足条件，当m ≠0时，m ＋1m 2＝2，则m ＝1或m ＝－12，但Δ＝[－(m ＋1)]2－8m 2，m ＝1及m ＝－12均使Δ<0，故m ＝0.7．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b “的________条件． 答案 充要解析 在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立． 8．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.9．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 p ：0＜x ＜3，q ：x ＜3＋m2， 若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m2≥3，即m ≥3.10．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件； ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为________． 答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确． 11．有下列命题：①“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分条件； ②“x ＞0”是“x 2＞0”的必要不充分条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 ①④解析 ①当x ＞2且y ＞3时，x ＋y ＞5成立，反之不一定，所以“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分不必要条件，故①为真命题； ②x ＞0⇒x 2＞0，x 2＞0⇏x ＞0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，所以a ＝2，所以“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy ＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④.二、解答题12．判断下列各题中，p是q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)∵|x|＝|y|⇏x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形⇏△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形⇏△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分又不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，，即r＝|c|a2＋b2∴c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，＝r成立，则|c|a2＋b2说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，故p 是q 的充要条件．13．求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件． 解 方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根等价于⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－ba ＞0，c a ＞0，a ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧b 2≥4ac ，b ＞0，c ＜0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件是b 2≥4ac ，且b ＞0，c ＜0. 三、探究与拓展14．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)． 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 必要不充分条件的判断 答案 必要不充分解析 命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”与命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”互为逆否命题，当a ＝3，b ＝0时，有a ＋b ＝3，所以命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”是假命题，所以命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”是假命题，所以a ≠1或b ≠2推不出a ＋b ≠3.“若a ＝1且b ＝2，则a ＋b ＝3”是真命题，所以命题“若a ＋b ≠3，则a ≠1或b ≠2”是真命题，所以a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，所以“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的必要不充分条件．15．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴1＋2cos A ＝c b ＝sin Csin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )， 由于A ，B 均为三角形的内角， 故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量．若直线l 1∥l 2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0， ∴y ＝12.8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行， ∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)， n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0， ∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________. 答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5. 二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)． 所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)， 所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0， AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ， 所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →， 知A ，B ，C ，D 四点共面， E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1， 则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)， ∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →，即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。
苏州市高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(有答案解析)
一、选择题1．命题“若{}n a 是等比数列，则n n kn k na a a a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中假命题是( )A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0B ．∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1C ．∀x ＞0,5x ＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0 3．下列说法正确的个数是( )①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0B ．1C ．2D ．34．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（ ）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假5．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1B ．2C ．3D ．46．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．9k >是方程22194x y k k +=--表示双曲线的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．()2,6C ．(][),26,-∞+∞ D ．()(),26,-∞+∞9．“a ＜0”是“函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣1在（0，+∞）上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分要也不必要条件10．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．命题p ：在数列{}n a 中，“132n n a a -=，2,3,4,n =”是“{}n a 是公比为32的等比数列”的充分不必要条件；命题q ：若k ϕπ=，k ∈Z ，则()()()sin 0f x x ωϕω=+≠为奇函数，则在四个命题()()p q ⌝∨⌝，p q ∧，()p q ⌝∧，()p q ∨⌝中，真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知命题2:230p x x --<，命题:q x a <，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-二、填空题13．已知{}|13A x x =-<<， {}11|B x x m =-<<+，若x B ∈成立的一个必要不充分条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是_______________. 14．下列说法正确的是__． （1）对于命题0:p x R ∃∈，使得0012x x +>，则:p x R ⌝∀∈，均有12x x+； （2）“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；（3）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”； （4）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题．15．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x +-=在(0,)+∞是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________． 16．若命题“存在实数x ，使得()222(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________.17．已知命题P ：“1a ≠或2b ≠”，Q ：“3a b +≠”，则P 是Q 成立的______ 18．若命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题，则实数a 的取值范围是_______.19．设:p 对任意的x ∈R 都有22x x a ->， q ：存在0x R ∈，使20220x ax a ++-=，如果命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围是______.20．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.三、解答题21．设集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若3a =，求A B ；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.22．已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.23．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”.（1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.24．已知a ＞0，且a ≠1．命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数；命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点．（1）若命题P ，Q 满足P 真Q 假，求实数a 的取值范围；（2）命题S ：函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S 为真命题，求实数a 的取值范围．25．已知命题p ：实数x 满足245220x x ⋅-⋅+≥，命题q ：实数x 满足2(21)(1)0x m x m m -+++≥.（1）求命题p 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 26．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数. 【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ． 【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.2．D解析：D 【详解】∃x 0∈R ，lnx 0＜0，的当x ∈（0，1）时，恒成立，所以正确；x ∈（﹣∞，0），令g （x ）＝e x ﹣x ﹣1，可得g ′（x ）＝e x ﹣1＜0，函数是减函数，g （x ）＞g （0）＝0，可得∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x +1恒成立，正确； 由指数函数的性质的可知，∀x ＞0，5x ＞3x 正确；令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.3．C解析：C 【解析】对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设,?a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“20000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.4．D解析：D 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．C解析：C 【分析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112xm ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-. 故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．B解析：B 【分析】由9k >⇒方程22194x y k k +=--表示双曲线；方程221994x y k k k +=⇒>--或4k <． 【详解】解：已知9k >，90k ∴-<，40k ->， ∴方程22194x y k k +=--表示双曲线，反之，若已知方程22194x y k k +=--表示双曲线，(9)(4)0k k ∴--<，解得9k >或4k <，9k ∴>是方程22194x y k k +=--表示双曲线的充分不必要条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用8．A解析：A 【分析】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥恒成立，故由0∆≤即可求出m 的取值范围． 【详解】因为命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题， 故其否定：“0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥”为真命题， 故224(23)8120m m m m ∆=--=-+≤，解得26m ≤≤, 故实数m 的取值范围是[2,6]． 故选：A 【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想．9．A解析：A 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当0a <时，10a<， 211()()1f x a x a a ∴=---，在(0,)+∞上单调递减，当0a =时，则()21f x x =--在(0,)+∞上单调递减，∴ “0a <”是“函数2()21f x ax x =--在(0,)+∞上单调递减”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．本题属于基础题．10．C解析：C 【分析】结合余弦函数在()0,π上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案. 【详解】先来判断充分性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，由A B C <<可得0πA B C <<<<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos cos A B C >>，故充分性成立； 再来判断必要性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且0πA <<，0πB <<，0πC <<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，且cos cos cos A B C >>，所以0πA B C <<<<，即A B C <<，故必要性成立.所以“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】可判断p 为假命题，q 为真命题，继而可判断()()p q ⌝∨⌝，p q ∧，()p q ⌝∧，()p q ∨⌝的真假.【详解】因为当0n a =时也有132n n a a -=，2,3,4,n =，但{}n a 是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立． 又因为当{}n a 是公比为32的等比数列时，有132n n a a -=，2,3,4,n =，所以必要性成立，所以命题p 为假命题；当,k k ϕπ=∈Z 时，可以推得()sin s n ()i f x x x ωϕω=+=±为奇函数； 当()()sin f x x ωϕ=+为奇函数时，可以得到k ϕπ=， 故命题q 为真命题，因此()()p q ⌝∨⌝真，p q ∧假，()p q ⌝∧真，()p q ∨⌝假， 故选：B ． 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【详解】解：由2230x x --<得13x ，q 的一个充分不必要条件是p ，3a ∴，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题13．【分析】先依题意判断集合B 是集合A 的真子集再讨论集合B 是否空集求参数m 的取值范围即可【详解】因为成立的一个必要不充分条件是所以推不出且可推出故集合B 是集合A 的真子集当时即集合A 的真子集符合题意；当时 解析：{}|2m m <【分析】先依题意判断集合B 是集合A 的真子集，再讨论集合B 是否空集求参数m 的取值范围即可. 【详解】因为x B ∈成立的一个必要不充分条件是x A ∈，所以x A ∈推不出x B ∈，且x B ∈可推出x A ∈，故集合B 是集合A 的真子集.当11m +≤-时即2m ≤-，B =∅集合A 的真子集，符合题意；当11m +>-时即2m >-，要使集合B 是集合A 的真子集，则需13m +<，即2m <，故22m -<<；综上，实数m 的取值范围是2m <. 故答案为：{}|2m m <. 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．14．（1）（2）（3）【分析】利用命题的否定判断（1）；充要条件平判断（2）；逆否命题判断（3）；复合命题的真假判断（4）【详解】（1）对于命题使得则均有；满足命题的否定形式所以（1）正确；（2）可得成解析：（1）（2）（3） 【分析】利用命题的否定判断（1）；充要条件平判断（2）；逆否命题判断（3）；复合命题的真假判断（4）． 【详解】（1）对于命题0:p x R ∃∈，使得0012x x +>，则:p x R ⌝∀∈，均有12x x+； 满足命题的否定形式，所以（1）正确；（2）“1x =”可得“2320x x -+=”成立，反之，不成立，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；所以（2）正确； （3）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”；满足逆否命题的定义，所以（3）正确；（4）若p q ∧为假命题，则p ，q 至少一个是假命题，判断均为假命题．是不正确的； 故答案为：（1）（2）（3）． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查．15．【分析】化简命题可得化简命题可得由为真命题为假命题可得一真一假分两种情况讨论对于真假以及假真分别列不等式组分别解不等式组然后求并集即可求得实数的取值范围【详解】对命题因为所以解得；命题因为幂函数在是 解析：(,1](2,3)-∞【分析】化简命题p 可得1m ，化简命题q 可得23m <<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围． 【详解】对命题p ，因为2,20x R x x m ∃∈++≤，所以440m -≥，解得1m ； 命题q ，因为幂函数113()m f x x +-=在(0,)+∞是减函数， 所以1103m +<-，解得23m <<； 因为“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假， 若p 真q 假，可得1m 且3m ≥或2m ≤，解得1m ； 若p 假q 真，可得1m ，且23m <<，解得23m <<； 实数m 的取值范围是(,1](2,3)-∞，故答案为:(,1](2,3)-∞．【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题．解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意： （1）原命题与其非命题真假相反； （2）或命题“一真则真”； （3）且命题“一假则假”．16．（﹣22【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x 使得（a ﹣2）x2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立然后分二次项系数为0和不为0讨论当二次项系数不为0时需要二次项系数小于0且判别式小于0求解【详解】命题解析：（﹣2，2]．由原命题的否定为真命题得到∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解． 【详解】命题“存在实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4≥0成立”是假命题， 则其否定为“∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立”是真命题， 当a ＝2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立；当a ≠2时，则()2204(2)1620a a a -⎧⎨=-+-⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2． 综上，实数a 的取值范围是（﹣2，2]． 故答案为：（﹣2，2]． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．17．必要非充分条件【分析】可以考虑逆否命题的充分必要性即得解【详解】先考虑充分性即考虑是否成立其逆否命题为：：且显然不成立所以P 是Q 成立的非充分条件；再考虑必要性即考虑是否成立其逆否命题为：：且显然成立解析：必要非充分条件 【分析】可以考虑逆否命题的充分必要性，即得解. 【详解】先考虑充分性，即考虑P Q ⇒是否成立，其逆否命题为：Q P ⌝⇒⌝,:Q ⌝“3a b +=”，P ⌝：“1a =且2b =”， 显然Q P ⌝⇒⌝不成立，所以P 是Q 成立的非充分条件； 再考虑必要性，即考虑Q P ⇒是否成立，其逆否命题为：P Q ⌝⇒⌝,:Q ⌝“3a b +=”，P ⌝：“1a =且2b =”， 显然P Q ⌝⇒⌝成立，所以P 是Q 成立的必要条件. 所以P 是Q 成立必要非充分条件. 故答案为必要非充分条件 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查逆否命题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】先求出当命题为真命题时的范围其补集即为命题为假命题时的范围【详解】由题当命题为真命题时即或则当命题为假命题时故答案为【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题考查转换思想考查运算能力解析：22a -<<先求出当命题为真命题时a 的范围,其补集即为命题为假命题时a 的范围 【详解】由题,当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为真命题时,()223499360a a ∆=--⨯=-≥,即2a ≥或2a ≤-,则当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题时, 22a -<< 故答案为22a -<< 【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题,考查转换思想,考查运算能力19．【解析】【分析】分别求出命题为真命题的的范围由为真为假可得一真一假再由集合运算求解【详解】由题意：对于命题对任意的即恒成立△得即；对于命题存在使△得解得或即或为真为假一真一假①真假时得；②假真时得综 解析：(2,1)[1,)--+∞【解析】 【分析】分别求出命题,p q 为真命题的a 的范围，由p q ∨为真，p q ∧为假，可得,p q 一真一假，再由集合运算求解. 【详解】由题意：对于命题p ，对任意的x ∈R ，22x x a ->，即220x x a -->恒成立，∴△440a =+<，得1a <-，即:1p a <-；对于命题q ，存在0x R ∈，使20220x ax a ++-=， ∴△244(2)0a a =--，得220a a +-，解得1a 或2a -，即:1q a 或2a -．p q ∨为真，p q ∧为假，p ∴，q 一真一假，①p 真q 假时，121a a <-⎧⎨-<<⎩，得21a -<<-；②p 假q 真时，112a a a -⎧⎨-⎩或，得1a ．综上，(2,1)[1a ∈--，)+∞． 故答案为：(2,1)[1--，)+∞．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的a 的范围是解决本题的关键，是中档题．20．【分析】使是假命题则使是真命题对是否等于进行讨论当时不符合题意当时由二次函数的图像与性质解答即可【详解】使是假命题则使是真命题当即转化为不是对任意的恒成立；当使即恒成立即第二个式子化简得解得或所以【解析：m >【分析】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，当10m +=，即1m =-，()2110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；当10m +≠，x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->即恒成立，即()()()2104110m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得m >或m <所以m >【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题．三、解答题21．（1）{}41x x -<<；（2）02a ≤≤. 【分析】（1）化简集合,A B ，即得解；（2）化简集合,A B ，得到集合B 是集合A 的真子集，解不等式组1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩即得解.【详解】（1）{}{}223031A x x x x x =+-<=-<<. 因为3a =，所以{}{}3142B x x x x =+<=-<<-， 因此{}41A B x x ⋃=-<<；（2）{}31A x x =-<<，{}{}111B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 因此有1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．（1）412m -≤≤；（1）存在，08m ≤≤ 【分析】（1）根据题意转化为集合A 、B 存在公共元素，求出A 、B 无公共元素时，实数m 的取值范围，取补集即可.（2）由题意转化为B A ⊆，再根据集合的包含关系可得22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可.【详解】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， {}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素， 假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-， 解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤. （2）存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，则BA ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤， 所以m 的取值范围为08m ≤≤. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的集合思想，考查了转化与化归的思想，属于中档题. 23．（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n n b -=，所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅，令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅所以有1232123252(21)2(2)n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-，而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++，(2)(1)-得：112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列； 若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力. 24．（1）（1，2）； （2）（1，74）． 【分析】（1）根据命题P ，Q 满足P 真Q 假，计算得到答案.（2）首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a ＜1和1＜a ＜2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）由命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数是真，得a ＞1； 由命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点为假，得△＝4a 2﹣16＜0，得﹣2＜a ＜2． ∴使命题P 真Q 假的实数a 的取值范围是（1，2）； （2）若函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数， 则首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，则△＝4a 2﹣16＜0或()2840a g a a ≤⎧⎨=-⎩＞，得﹣2＜a ＜2．又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜2且a ≠1．当0＜a ＜1时，外层函数f （x ）单调递减，而内层函数g （x ）当x →+∞时，g （x ）→+∞， 此时y ＝f （g （x ））＜0，不合题意；当1＜a ＜2时，外层函数f （x ）单调递增，要使y ＝f （g （x ））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上的最小值大于1． 即g （2）＝8﹣4a ＞1，得a 74＜． ∴1＜a 74＜． 即使命题S 为真命题的实数a 的取值范围是（1，74）． 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 25．（1）{1x x ≤-或}1x ≥；（2）[]1,0-. 【分析】（1）根据题意得(22)(221)0x x -⋅-≥，进而得122x≤或22x ≥，即可得{1x x ≤-或}1x ≥（2）解不等式2(21)(1)0x m x m m -+++≥得{B x x m =≤或}1x m ≥+，结合（1）得{1A x x =≤-或}1x ≥，根据题意得AB ，进而根据集合关系即可得答案.【详解】（1）由命题p 为真命题，则245220x x ⋅-⋅+≥可化为(22)(221)0x x -⋅-≥解得122x≤或22x ≥，所以实数x 的取值范围是{1x x ≤-或}1x ≥ （2）命题q ：由2(21)(1)0x m x m m -+++≥， 得[]()(1)0x m x m --+≥，解得x m ≤或1x m ≥+. 设{1A x x =≤-或}1x ≥，{B x x m =≤或}1x m ≥+ 因为命题q 是命题p 的必要不充分条件，所以AB111m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10m -≤≤， 所以实数m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对的集合与p 对应集合互不包含．26．[1,2]-【分析】先求出条件,p q 对应的x 取值范围，再根据题意可得p 是q 的一个必要不充分条件，由集合关系即可求出. 【详解】 由411x ≤--，得:31p x -≤<， 由22x x a a +<-，得[]()(1)0x a x a +--<， 当12a =时，:q ∅；当12a <时，:(1,)q a a --；当12a >时，:(,1)q a a --. 由题意得，p 是q 的一个必要不充分条件， 当12a =时，满足条件； 当12a <时，则[)(1,)3,1a a ---，得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当12a >时，[)(,1)3,1a a ---得1,22a ⎛⎤∈⎥⎝⎦. 综上，[1,2]a ∈-. 【点睛】本题考查根据条件的关系求参数，属于基础题.。
苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修2-1章末测试 第一章 常用逻辑用语
高中苏教选修（2-1）第1章常用逻辑用语综合测试题一、选择题1．下列语句中，命题的个数是（ ）①集合A 是集合A B 的子集；②没有一个无理数不是实数；③非典型性肺炎是怎样传播的？④若两直线不相交，则这两条直线平行．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：Ｃ2．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ．2C ．3D ．4答案：B3．“A B =”是“sin sin A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A4．下列全称命题为真命题的是（ ）A ．所有的质数是奇数B ．x ∀∈R ，233x +≥C ．x ∀∈R ，120x -=D ．所有的平行向量都相等答案：B5．对于命题p q ，，若“p 且q ”的否定是假命题，则必有（ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假答案：A6．对下列命题的否定说法错误的是（ ）A ．:p 能被3整除的整数是奇数；非p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B ．:p 每一个四边形的四个顶点共圆；非:p 存在一个四边形的四个顶点不共圆C ．:p 有的三角形为正三角形；非:p 所有的三角形都不是正三角形D ．:p x ∃∈R ，2220x x ++≤；非:p 当2220x x ++>时，x ∈R答案：D7．有下列三个题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x -≤，则260x x +->”的否命题．其中真命题是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①③答案：A 8．“0k ≠”是“方程y kx b =+表示直线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B9．若命题M 的否命题是命题N 的逆否命题，则命题M 是命题N 的（ ）A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．M N ，是同一命题答案：A10．已知命题:p 若实数x y ，满足220x y +=，则x y ，全为0；命题:q 若a b >，则11a b<．给出下列四个形式的命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q ．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B11．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．αβ∃∈R ，，使sin()sin sin αβαβ-=-B ．x ∀∈R ，6310x x ++>C ．x y ∀∈R ，，2x y +<D ．x y ∀∈R ，，22x y xy +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤ 答案：C12．方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（ ）A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a < 答案：C二、填空题13．命题“1997年7月1日是中国共产党的生日，也是香港回归祖国的日子”是 形式的命题（填“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”）．答案：p 且q14．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 ． 答案：圆的切线到圆心的距离等于半径15． 函数2()23f x x ax =--在区间[12]，上存在反函数的充要条件是a ∈ （用区间表示）．答案： (][)12-+∞，，∞16．“lg lg x y >” >”的 条件． 答案：充分不必要三、解答题17．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．（1）等边三角形的三个内角相等；（2）当0a >时，函数y ax b =+的值随x 值的增加而增加．解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等，是真命题；（2）当0a >时，若x 的值增加，则函数y ax b =+的值也随着增加，是真命题．18．若a b c ∈R ，，，写出命题“若0ac <，则20ax bx c ++=有两个不相等的实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．解：逆命题：若20ax bx c ++=（a b c ∈R ，，）有两个不相等的实根，则0ac <，它是假命题．否命题：若0ac ≥，则方程20ax bx c ++=（a b c ∈R ，，）没有两个不相等的实根，它是假命题．逆否命题：若20ax bx c ++=（a b c ∈R ，，）没有两个不相等的实根，则0ac ≥，它是真命题．19．写出下列命题的“p ⌝”形式，并判断它们的真假．（1）:p x ∀∈R ，2440x x ++≥；（2）:p x ∃∈R ，240x -=；（3）:p 存在一个四边形不是平行四边形；（4）:p 所有的矩形都是平行四边形．解：（1）非:p x ∃∈R ，2440x x ++<，是假命题；（2）非:p x ∀∈R ，240x -≠，是假命题；（3）非:p 所有的四边形都是平行四边形，是假命题；（4）非:p 并非所有的矩形都是平行四边形，是假命题．20．已知命题:p 方程2210x -+=存在两实数根；命题:q 方程2210x -+=的两实数根相等．试写出p 或q 、p 且q 、非p ，并判断真假．解：p 或q：方程2210x -+=存在两实数根或两实数根相等，真命题． p 且q：方程2210x -+=存在两实数根且两实数根相等，假命题．非p：方程2210x -+=不存在两实数根，假命题．21．试证明圆222x y r +=与直线0ax by c ++=相切的充要条件是2222()c a b r =+． 证明：先证必要性：若圆222x y r +=与直线0ax by c ++=相切，则圆心(00)，到直线0ax by c ++=的距离等于r，即r =，所以2222()c a b r =+．再证充分性：若2222()c a b r =+，则r =成立，说明222x y r +=的圆心(00)，到直线0ax by c ++=的距离等于半径r ，即圆222x y r +=与直线0ax by c ++=相切．22．设函数25()lg ax f x x a-=-的定义域为A ，若命题:3p A ∈与命题:5q A ∈有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围． 解：25|0ax A x x a -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭． 若3A ∈，则3509a a ->-，即593a <<； 若5A ∈，则55025a a->-，即125a <<． 若p 真q 假，则593125a a a ⎧<<⎪⎨⎪⎩，≤或≥，a 无解； 若p 假q 真，则593125a a a ⎧⎪⎨⎪<<⎩≤或≥，，解得513a <≤或925a <≤．综上，[)519253a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，． 高中苏教选修（2-1）第1章常用逻辑用语综合测试题一、选择题1．下列语句中，命题和真命题的个数分别是（ ）①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数③大角所对的边大于小角所对的边；④x y +是有理数，则x y ，也都是有理数；⑤求证x ∈R ，方程210x x ++=无实数根．A ．4，1B ．2，2C ．3，0D ．2，1答案：C 2．①“若240b ac ->，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解集必含有两个元素”； ②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若a b >，则a c b c ++≥”的否命题．其中真命题的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：A3．若语句:p x AB ∈，则“p ⌝”是（ ） A ．x A B ∉B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈答案：B4．语句:p α是第二象限角；语句:sin tan 0q αα<，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A5．下列判断错误的是（ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”等价B ．“22am bm <”是“a b <”的充要条件C ．“菱形的对角线互相垂直”的否定为假命题D ．{}:12p ∅，，{}:412q ，，则“p q ∨”为真命题 答案：B6．给出下列三个命题：①若1a b >-≥，则11a b a b++≥； ②函数sin()(00)y A x A ωϕω=+>>，为奇函数的充要条件是π()k k ϕ=∈Z ； ③设11()P x y ，为221:9O x y +=上任意一点，2O 以()Q a b ，为圆心且半径为1．当 2211()()1a x b y -+-=时，1O 与2O 相切．其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B7．设有如下三个语句，甲：m l A =，m l α⊂，，m l β⊄，；乙：直线m l ，中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：C 8．若函数()()f x g x ，的定义域和值域都是R ，则“()()f x g x <”成立的充要条件是（ ）A ．0x ∃∈R ，使00()()f x g x <B ．存在无数多个实数x ，使得()()f x g x <C ．x ∀∈R ，都有1()()2f xg x +< D ．不存在实数x ，使得()()f x g x ≥答案：D9．“0k ≠”是“方程y kx b =+表示直线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B 10．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对x ∀∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； ②若0x ∃∈R ，使得对x ∀∈R ，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若0x ∃∈R ，使得对x ∀∈R 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值．这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C11．设αβ，为两个不同的平面，l m ，为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下两个命题：①若αβ∥，则l m ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题答案：D12．若()f x 是R 上的减函数，且(0)3f =，(3)1f =-，设{}|()12P x f x t =+-<，{}|()1Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A ．{}|0t t ≤B ．{}|0t t ≥C ．{}|3t t -≥D ．{}|3t t -≤ 答案：D二、填空题13．存在性命题“存在一个被7整除的整数不是奇数”的否定是 ． 答案：所有被7整除的整数都是奇数14．与命题“若m M ∈，则n M ∉”等价的命题是 ．答案：若n M ∈，则m M ∉15．2()210p x ax x =++>，若对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则实数a 的取值范围是 ．答案：1a >16．有下面四个命题：①命题“若1xy =，则x y ，互为倒数”的逆命题；②命题“存在两个等边三角形，它们不相似”的否定；③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题的是 ．（填上你认为正确的命题的序号）答案：①②③三、解答题17．已知命题：末位是0的整数，可以被5整除．把命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．解：原命题：若一个整数的末位数是0，则这个整数可以被5整除．它是真命题． 逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数的末位数是0．它是假命题．否命题：若一个整数的末位数不是0，则这个整数不能被5整除．它是假命题．逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数不是0．它是真命题．18．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．（1）:p 平行四边形的对角线相等；:q 平行四边形的对角线互相平分；（2）:p 方程2160x -=的两根的符号不同；:q 方程2160x -=的两根的绝对值相等．解：（1）p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：有的平行四边形的对角线不相等．由于p 假q 真，所以p 或q 真，p 且q 假，非p 真；（2）p 或q ：方程2160x -=的两根符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程2160x -=的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程2160x -=的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p 或q 、p 且q 为真，非p 为假．19．给出问题：已知语句:20p m -<<，01n <<；语句:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．一位同学给出了如下解答：设关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根12x x ，，则101x <<，201x <<，所以1202x x <+<，且1201x x <<．由根与系数的关系，得1212x x m x x n +=-⎧⎨=⎩，，则0201m n <-<⎧⎨<<⎩，，所以20m -<<，01n <<．又命题:20p m -<<，01n <<，故p 是q 的充要条件．该同学的解答正确吗？试给出判断，并说明理由．解：该同学的解答是错误的，原因是由101x <<，201x <<得到1202x x <+<， 且1201x x <<并不是完全等价的，如取13m =-，12n =，则211032x x -+=． 此时方程的114092∆=-⨯<无解，更谈不上有两个小于1的正根，易知q p p q ⇒，，从而p 是q 的充要条件是错误的．正确的结论应为p 是q 的必要不充分条件．20．求关于x 的方程2210(0)ax x a ++=≠至少有一负根的充要条件．解：若方程有一负根一正根， 则12010x x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩，，得0a <； 若方程有两负根，则1212000x x x x ∆⎧⎪+<⎨⎪>⎩≥，，， 即440200110a a aa⎧⎪-⎪⎪-<⇒<⎨⎪⎪>⎪⎩≥，，≤，．1a ∴≤且0a ≠为方程有一负根的必要条件，而当1a ≤且0a ≠时，经验证至少有一负根． 1a ∴≤且0a ≠为方程有一负根的充分条件．∴方程有一负根的充要条件为1a ≤且0a ≠．21．已知关于x 的绝对值方程22x ax b ++=，其中a b ∈R ，．（1）当a b ，满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？（2）试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解：（1）原方程等价于22x ax b ++=， ①或22x ax b ++=-， ②由于22124848a b a b ∆=-+>--=∆，20∴∆=，即248a b -=；（2）必要性：由（1）知方程②的根2a x =-，方程①的根122a x =--，222a x =-+， 如果它们恰为直角三角形的三边，即22222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得16a =-，62b =．充分性：如果16a =-，62b =，可得解集M 为{}6810，，，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形．∴16a =-，62b =为所求的条件．22．已知0ab ≠，求证1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=． 证明：必要性：1a b +=，即1b a =-，33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a ∴++--=+-+----323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：33220a b ab a b ++--=，即2222()()()0a b a ab b a ab b +-+--+=， 22()(1)0a ab b a b ∴-++-=．又0ab ≠，即0a ≠且0b ≠，22223024b a ab b a b ⎛⎫∴-+=--≠ ⎪⎝⎭，只有1a b +=． 综上，当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．。
苏教版数学高二-2016版高中数学苏教版选修2-1第一章《常用逻辑用语》章末检测
章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列语句中，是命题的个数是________．①|x ＋2|；②－5∈Z ；③π∉R ；④{0}∈N .答案 3解析 ②③④是命题．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是____________． 答案 若tan α≠1，则α≠π4解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 3．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．答案 充分不必要解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是________．①任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数；②存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数；③任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数；④存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数．答案 ④解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数．5．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的________条件．答案 充分不必要解析 若a ＝3，则A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝3或2.6．如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是________．答案 ①③解析 “非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题．故①③正确．7．下列命题中正确的是________．①“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相平行”的充分不必要条件；②“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件；③已知a 、b 、c 为非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“b ＝c ”的充要条件；④p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.则綈p ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.答案 ④解析 “m ＝12”“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相平行”，故①不正确．“直线l 垂直平面α内无数条直线”“直线l 垂直于平面α”，故②不正确．“a ·b ＝a ·c ”“b ＝c ”，故③不正确．存在性命题的否定为全称命题，④正确．8．已知a 、b ∈R ，那么“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的________条件．答案 充分不必要解析 将ab ＋1＞a ＋b 整理得，(a －1)(b －1)＞0，即判断“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“(a －1)(b －1)＞0”的什么条件．由0＜a ＜1且0＜b ＜1可推知(a －1)(b －1)＞0，由(a －1)·(b －1)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，b ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，b ＜1.故“0＜a ＜1且0＜b ＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的充分不必要条件． 9．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是________________． 答案 ∃x ∈A,2x ∉B解析 全称命题的否定是存在性命题．10．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________．答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －1解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定．11．命题：存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立的否定是________________________________________________________________________.答案 任意实数对，使2x ＋3y ＋3≥0都成立．解析 存在性命题的否定是全称命题．12．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件． 答案 充分不必要解析 綈p ：23≤x ≤2. 綈q ：－1≤x ≤2. 綈p ⇒綈q ，但綈q綈p . ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．13．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．答案 充分不必要解析 若f (x )，g (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )，g (－x )＝g (x )，故h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )．又∵f (x )，g (x )的定义域是R ，∴h (x )是偶函数．∴f (x )，g (x )是偶函数⇒h (x )是偶函数，令f (x )＝x ，g (x )＝x 2－x ，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2是偶函数．而f (x )，g (x )不是偶函数，∴h (x )是偶函数f (x )，g (x )是偶函数．14．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0； ②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.答案 4解析 ①中x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114≥114>0， 故①是真命题．②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数， 故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时， sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．④中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④是真命题．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP →与OQ →不垂直”．试写出命题p 的否定，并证明命题p 的否定的真假性．解 綈p ：在直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∃x ∈[0，π]，向量OP →⊥OQ →，綈p 是真命题，证明如下：由OP →⊥OQ →得cos x (2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0利用cos 2x ＝2cos 2x －1，化简得：2cos 2x －cos x ＝0，∴cos x ＝0或cos x ＝12. 又∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3. 故∃x ＝π2或x ＝π3，向量OP →⊥OQ →. 16．(14分)求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件． 证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b)＝－1，两直线互相垂直． 必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b)＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．17．(14分)设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解 当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4a 2<0， 即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个正确．当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈(0，12]∪(1，＋∞)． 18．(16分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20>0⇒x <－2或x >10，即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}，由x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)⇔x <1－m 或x >1＋m (m >0)，即命题q 对应的集合为Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，因为p 是q 的充分不必要条件，知P 是Q 的真子集．故有⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m >－2，1＋m ≤10. 解得0<m ≤3.所以实数m 的取值范围是(0,3]．19．(16分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2. 即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q 綈p . 设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．20．(16分)已知命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数x 均成立．如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 命题p 为真命题等价于ax 2－x ＋116a >0对任意实数x 均成立．当a ＝0时，－x >0，其解集不是R ，∴a ≠0.于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－14a 2<0， 解得a >2，故命题p 为真命题等价于a >2.命题q 为真命题等价于a >2x ＋1－1x ＝2x x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切实数x 均成立． 由于x >0，∴2x ＋1>1，2x ＋1＋1>2，∴2<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.2x＋1＋1根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，当p真q假时，实数a不存在；当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.。
高中数学选修2-1 第一章《 常用逻辑用语》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(一) 常用逻辑用语 Word版含解析
阶段质量检测(一) 常用逻辑用语[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是____________________________．2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是___________________________________．3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的________条件．4．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③p ∨q ；④(綈p )∨(綈q )．5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．6．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．7．(湖南高考改编)“1<x <2”是“x <2”成立的________条件．8．命题“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．9．(辽宁高考改编)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为________．10．命题p ：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是_______________________________________________________；②否命题是_________________________________________________________．11．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是________．12．下列结论中正确命题的个数是________．①命题p ：“∃x ∈R ，x 2－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件．13．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的_______________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的________________． 14．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0；(4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.16.(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sin α＝sin β；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d .17．(本小题满分14分)已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分16分)设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2x －4－a ≥0对一切x ∈R 恒成立；q ：已知a ≠0，a ≠±1，函数y ＝－|a |x 在R 上是减函数，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分16分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知命题p ：不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2>0的解集是R ，命题q ：sin x ＋cos x >m .如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．答 案1．若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．答案：∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<03．解析：l 1与l 2平行的充要条件是a (a ＋1)＝2×1，且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．答案：充分不必要4．解析：命题p 真，命题q 假，因此綈p 假，綈q 真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④5．解析：显然①假，②真，对于③，当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，故③为真．答案：26．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．解析：设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}，故A B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件答案：充分不必要8．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题．答案：49．解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；由于a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：p 1，p 410．①存在两个等边三角形不相似②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11．解析：命题p ：m <0，命题q ：m <2.∵p 与q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，解得0≤m <2. 答案：[0,2)12．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈p 是q 的必要条件知：q ⇒綈p 则p⇒綈q ，即p 是綈q 的充分条件，正确；对于③，由M >N 不能得知(23)M >(23)N ，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213．解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件14．解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]15．解：(1)綈p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p 为真命题．(2)綈p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故綈p 为假命题．(3)綈p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.綈p 为真命题．(4)綈p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.綈p 为真命题．16．解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β；否命题：若α≠β，则sin α≠sin β；逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ；否定题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ；逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d .17．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4.即2＜x ＜3.∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .即2＜x ＜3满足2x 2－9x ＋a ＜0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0. ∴a ≤9.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．解：∵不等式x 2＋2x －4－a ≥0对x ∈R 恒成立，∴x 2＋2x －4≥a 对x ∈R 恒成立，令y ＝x 2＋2x －4，∴y min ＝－5，∴a ≤－5，∴命题p 即为p ：a ≤－5，函数y ＝－|a |x (a ≠0，a ≠±1)在R 上是减函数，∴|a |>1，∴a >1或a <－1，∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p ，q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－5，－1<a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a >－5，a >1或a <－1， ∴－5<a <－1或a >1.即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)．19．解：法一：由x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .∴綈q ：A ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}．由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10. ∴綈p ：B ＝{x |x <－2或x >10}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，且m >0，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0， ①1－m ≤－2， ②1＋m ≥10. ③解得m ≥9.注意到当m ≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴实数m 的取值范围是[)9，＋∞. 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件∴q 是p 的必要不充分条件∴p 是q 的充分不必要条件∴C D ，又∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. 解得m ≥9.故实数m 的取值范围是[)9，＋∞.20．解：对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意．(2)当m －1≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，Δ＝(m －1)2－8(m －1)<0. 得1<m <9，所以，m ∈[1,9)．对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x >m 是假命题，则m ≥ 2.综上，m 的取值范围是[2，9)．。
苏州市高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测(有答案解析)
一、选择题1．数列{}n a 满足*111,(,0)n n a a ta t n N t +==+∈≠，则“ 12t =”是“数列{}n a 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．使不等式2x x 60--<成立的一个充分不必要条件是( )A ．2x 0-<<B ．3x 2-<<C ．2x 3-<<D ．2x 4-<<3．已知a ，b 是两条直线，则“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知命题p ：在ABC 中，若A B >，则cos cos A B <，命题q ：()0,x ∃∈+∞，sin x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知三个正数a ，b ，c 满足3a b c a ≤+≤，()2235b a a c b ≤⋅+≤，则以下四个命题正确的是（ ）1p ：对任意满足条件的a ，b ，c ，均有b c ≤；2p ：存在一组实数a ，b ，c ，使得b c >； 3p ：存在满足条件的a ，b ，c ，使得64b a c ≤+； 4p ：对任意满足条件的a ，b ，c ，均有64b a c >+.A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p6．下列说法正确的是（ ）．A ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}1n n a a ++为等差数列B ．若14m ≤-，则函数2()lg lg f x x x m =+-无零点C ．在ABC ∆中，若sin 2A <，则04A π<<D ．直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，则“//m n ”是“//m α”的充要条件7．“a ＜0”是“函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣1在（0，+∞）上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分要也不必要条件 8．已知()0,x π∈，则“6x π>”是“1sin 2x >”成立的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++>； ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题； ③设a ，b 是非零向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的必要不充分条件； ④3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件. A ．1B ．2C ．3D ．410．已知m ，n 为空间中两直线，α，β为两不同平面，已知命题:p 若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；命题:q 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ.则p ，()q ⌝，()p q ∧，()p q ∨这四个命题中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件12．下列命题正确的是（ ）A ．“若x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝0”的否命题是：“若x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”B ．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 一定为假命题D ．“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是：不存在x 0∈R ，使得e 0x ＞0”二、填空题13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.14．有下列四个命题： ①“若1xy=，则lg lg 0x y +=”；②“若sin cos 3παα+=，则α是第一象限角”的否命题；③“若0b ≤，则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题； ④“若A B B ⋃=，则A B ⊆的逆命题． 其中是真命题的有________．15．若命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a ++>”为假命题，则实数a 的取值范围是______.16．给出下列命题：①1y =是幂函数；②函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1；2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；其中真命题的序号是______________．17．关于函数()f x =的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.18．“2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）19．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.20．“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.三、解答题21．已知命题：“0 x R ∃∈，使得200250x mx m +++<”为假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．已知0a >且1a ≠．设命题p ：函数x y a =为减函数，命题q ：当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，函数11y x x a=+>恒成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围． 23．设有两个命题.命题p :不等式()2110x a x -++≤的解集是∅；命题q :函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数.如果p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,求a 的取值范围.24．已知命题P ：函数()1()13f x x =-且()2<f a ，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x R =+++=∈，{}0B x x =>且AB =∅．（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（2）当实数a 取何范围时，命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题； （3）设P 、Q 皆为真时a 的取值范围为集合,,,0,0mS T y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>⎨⎬⎩⎭，若全集U =R ，T S ⊆，求m 的取值范围．25．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根． （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．26．设命题p ：实数x 满足22430x mx m -+<；命题q ：实数x 满足2680x x -+<. （1）若1m =，且p 为真，q 为假，求实数x 的取值范围；（2）若0m >，且q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断． 【详解】12t =时，由11a =得211122a =+=，311122a =+=，，1n a =，所以{}n a 是等比数列，充分性满足；反之若{}n a 是等比数列，则212a ta t t =+=，2322a ta t t t =+=+，123,,a a a 也成等比数列，所以2213a a a =，即2242t t t =+，又0t ≠，所以12t =，此时1(*)n a n N =∈，满足题意，必要性也满足， 应为充要条件． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键．解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把12t =代入计算求出n a 即可判断，而必要性需由数列{}n a 是等比数列求出参数t ，因此可由开始的3项成等比数列求出t ，然后再检验对*n N ∈数列是等比数列即可． 2．A解析：A 【分析】首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可. 【详解】由260x x --<得()()230x x +-<，得23x -<<， 若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件， 则对应范围是()2,3-的一个真子集， 即20x -<<，满足条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．3．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】因为a ，b 没有公共点，a ，b 可能平行也可能异面， 所以“a ，b 没有公共点”成立推不出“a ，b 是异面直线”， 反之，“a ，b 是异面直线”可以推出“a ，b 没有公共点”成立， 所以“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，异面直线的概念，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由函数cos y x =在(0,)π上的单调性即可判断p 为真命题；当(0,)2x π∈时，令()sin f x x x =-，利用导数判断函数()f x 在(0,)2π上的单调性从而证明sin x x <，当[,)2x π∈+∞时，根据图象判断sin x x <，即可确定q 为假命题，利用复合命题的真假判断规则进行判断即可. 【详解】命题p ：在ABC 中，,(0,)A B π∈，因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减，所以若A B >，则cos cos A B <，命题p 为真命题.命题q ：令()sin f x x x =-，当(0,)2x π∈时，cos 10y x '=-<，函数()sin f x x x=-在(0,)2π上单调递减，所以()(0)0f x f <=，即sin x x <；当[,)2x π∈+∞时，由下图可知sin x x <，所以q 为假命题.所以()p q ∨⌝为真命题.故选：C 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，涉及正、余弦函数的图象与性质，利用导数证明不等式，属于中档题.5．C解析：C 【分析】取特殊值，结合原命题与否定的真假关系，即可得出答案. 【详解】取2,1,3b c a ===，满足条件3a b c a ≤+≤，()2235b a a c b ≤⋅+≤，此时b c >则2p 为真命题，由于2p 的否定为1p ，则1p 为假命题取1,2a b c ===，满足条件3a b c a ≤+≤，()2235b a a c b ≤⋅+≤，此时也满足64b a c ≤+，则3p 为真命题，由于3p 的否定为4p ，则4p 为假命题故选：C 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，属于中档题.6．A解析：A 【分析】A:利用等差数列的定义进行判断;B:令lg t x =,则2()f t t t m =+-,结合二次函数的零点存在问题,进行判断;C:结合正弦函数,可解不等式,进而可判断A 的取值范围;D:判断由“//m n ”是否能推出“//m α”,再判断由“//m α”是否能推出“//m n ”. 【详解】解:数列{}n a 为等差数列,不妨设数列{}n a 通项公式为n a pn q =+,则1(1)n a p n q pn p q +++=++=.122n n n b a a pn p q +∴=+=++则1232n b pn p q +=++.12n n b b p +∴-=与n 无关. 故数列{}1n n a a ++为等差数列,A 正确. 令lg t x =,则2()f t t t m =+-,当14m =-时, 21()04f t t t =++=此时12t =-,即x =函数函数2()lg lg f x x x m =+-有零点,B 错误.由正弦函数图像可知,若sin A <则04A π<<或34A ππ<<,C 错误. 当“//m α”时,直线n ⊂平面α,不一定有“//m n ”,所以D 项错误.故选:A ． 【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了函数的零点与方程的根,考查了三角函数不等式,考查了充分必要条件的判断.判断一个数列是否为等差数列,可利用等差数列的定义,即判断后一项与前一项的差是否为一个常数;求解三角函数不等式时,常常结合三角函数的图像进行求解;判断两个命题的关系时,通常分为两步,判断由p 是否能推出q ,以及判断由q 是否能推出p .7．A解析：A 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当0a <时，10a<， 211()()1f x a x a a ∴=---，在(0,)+∞上单调递减，当0a =时，则()21f x x =--在(0,)+∞上单调递减，∴ “0a <”是“函数2()21f x ax x =--在(0,)+∞上单调递减”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．本题属于基础题．8．B解析：B 【分析】 求出不等式1sin 2x >在()0,x π∈上的解，然后利用集合的包含关系即可得出结论. 【详解】()0,x π∈，解不等式1sin 2x >，得566x ππ<<，5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，“6x π>”是“1sin 2x >”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及正弦不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.9．A解析：A 【分析】①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可; ③利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可； ④计算直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的等价条件为0,3m =，即可.【详解】对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++≥,故①不正确；命题“已知x ，y R ∈，，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题为：“已知x ，y R ∈，，若2x =且=1y ，则3x y +=”为真命题，故②正确；设a ，b 是非零向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的既不充分也不必要条件，故③不正确；直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则0,3m =，故④不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10．C解析：C 【分析】先判断每个命题的真假，再由复合命题的真值表确定真假。
高二数学选修2-1(B版)-单元测试：常用逻辑用语1
第一章常用逻辑用语单元检测卷一、选择题1.下列语句中，是命题的个数是()①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A.1B.2C.3D.42.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A.p且qB.p或qC.非pD.非p且非q3.已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()A.命题“p且q”为真B.命题“p或非q”为假C.命题“p或q”为假D.命题“非p且非q”为假4.下列命题，其中说法错误的是()A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件C.若p∧q是假命题，则p，q都是假命题D.命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则非p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥05.等比数列{a n}的公比为q，则“a1>0且q>1”是“∀n∈N＋，都有a n＋1>a n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若命题p：x＝2且y＝3，则非p为()A.x≠2或y≠3B.x≠2且y≠3C.x＝2或y≠3D.x≠2或y＝37.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则非p是()A.∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B.∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C.∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D.∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<09.一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A.a <0B.a >0C.a <－1D.a >110.已知a 、b ∈R ，那么“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在 ( )A.金盒B.银盒C.铅盒D.无法判断12.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是 ( )A.m >－1，n <5B.m <－1，n <5C.m >－1，n >5D.m <－1，n >5二、填空题13.命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是______________ ____________.14.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为__________________.15.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是__________.16.在下列四个命题中，真命题的个数是________.①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.三、解答题17.写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.18.写出下列命题的“非p”命题，并判断它们的真假.(1)p：∀x，x2＋4x＋4≥0.(2)p：∃x0，x20－4＝0.19.求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件.20.设p：关于x的不等式a x>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围.21.(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件.22.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且非p是非q的必要非充分条件，求a的取值范围.参考答案1.C2.B3.C4.C5.A6.A7.A8.C 9.C 10.A 11.B12.A [A ∩(∁U B )满足⎩⎨⎧ 2x －y ＋m >0，x ＋y －n >0， ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎨⎧ 2×2－3＋m >0，2＋3－n >0，∴⎩⎨⎧m >－1，n <5.13.存在x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤314.若a ≤b ，则2a ≤2b －1 15.(－2,2)16.417.解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题. 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题.逆否命题：若x ≠2或y ≠－1， 则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题.18.解 (1)非p ：∃x 0，x 20＋4x 0＋4<0是假命题.(2)非p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题.19.证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直. 必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件.”20.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞) 21.解 (1)“x ∈M 或x ∈P ”⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3).因为“x ∈M 或x ∈P ”D ⇒/x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件.(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎨⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立.故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.22.解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0 (a <0)}＝{x |3a <x <a (a <0)}B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}.∵非p 是非q 的必要非充分条件，∴非q ⇒非p ，且非p ⇒非q .则{x |非q }{x |非p }，而{x |非q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |非p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}， 则⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎨⎧ a ≤－4a <0， 即－23≤a <0或a ≤－4.。
高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝2．下列说法不正确的是（ ） A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题 B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 3．下列说法正确的个数是( )①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0B ．1C ．2D ．34．下列说法中错误的是（ ）A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”.B ．在ABC 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（ ）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假6．已知0a b >>，给出下列命题：①1=，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题8．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真9．下列判断错误的是（ ）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题 10．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >11．记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤；命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-.下面给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝.这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④12．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______． 14．下列说法中：①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=； ④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2xf x =满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）15．若命题“x ∃∈R ，220x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 16．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的________条件.17．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________ 18．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________. 19．下列说法：（1）设a ，b 是正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件； （2）对于实数a ，b ，c ，如果ac ＞bc ，则a ＞b ； （3）“m=12”是直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充分不必要条件；（4）等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0且q ＞1”是对任意n ∈N +，都有a n+1＞a n 的充分不必要条件；其中正确的命题有______ 20．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4． 其中所有正确命题的序号是______．三、解答题21．设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足428x ≤≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.23．已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．（1）求不等式2430x x -+<的解集；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围．24．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论． 25．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合； （2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可． 【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目.3．C解析：C 【解析】对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设,?a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“20000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.4．C解析：C 【分析】选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”正确；B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得a b <，可得A B <，即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为63337⨯+=，方差为2226(33)677s s ⨯+-=，故不正确；D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生， 故互斥且对立正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.5．D解析：D 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【分析】①1=1，然后两边平方，再通过作差法即可得解； ②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断；③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e e e e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a be -的范围，进而判断；④取特殊值，a e =，1b =即可判断． 【详解】解：①1=，1，所以1a b =++所以11a b -=+，即①错误； 若331a b -=， 则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=， 因为0a b >>， 所以22a b >， 所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确； 若1a b e e -=， 则111a b a bb b b e e ee e e-+===+， 因为0b >，所以12a b e e -<<<， 所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=， 但1a b ->，所以④错误； 所以真命题有②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．7．C解析：C 【分析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确； 若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误；若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.8．C解析：C【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.10．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解． 【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．11．B解析：B 【分析】画出平面区域D ，直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像判断出命题p 和命题q 的真假，从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤， 画出其图像如图所示，再画出直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像可得存在(),x y D ∈，在直线28x y +=的上方， 所以命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤，是假命题， 不存在(),x y D ∈，在直线21x y +=-的下方 所以命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-，是假命题.所以①p q ∨为假命题；②p q ⌝∨为真命题；③p q ∧⌝为假命题；④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可行域内，属于中档题.12．A解析：A 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】 解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论． 【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立． 设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤． 故答案为：(,5]-∞． 【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总解析：②③④ 【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案； 【详解】①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+， 所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()1212,33x x f x f x ==，1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()30xf x =>，所以()()1212122322x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确．故答案为：②③④.【点睛】本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.15．【分析】由题意可知恒成立结合二次函数的性质可求的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】原命题否定为真命题即∴因为图象开口向上对称轴为则∴故答案为:【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围考查 解析：(],1-∞-【分析】由题意可知22a x x ≤-恒成立，结合二次函数的性质可求22x x -的最小值，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】原命题否定，x ∀∈R ，220x x a --≥为真命题，即22a x x ≤-，∴()2min2a x x≤-，因为22y x x =-图象开口向上，对称轴为1x =，则()2min2121x x-=-=-，∴1a ≤-，故答案为: (],1-∞-.本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.16．充分不必要【分析】当时对任意的正数x 均有反过来当对任意的正数x 均有时通过讨论有成立即可判断【详解】当时对任意的正数x 均有当且仅当时等号成立；当对任意的正数x 均有时当时令此时不符合题意；当时显然不满足解析：充分不必要 【分析】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x+=+≥，反过来，当对任意的正数x ，均有1a x x +≥时，通过讨论有14a ≥成立，即可判断.【详解】 当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x +=+≥==， 当且仅当12x =时等号成立； 当对任意的正数x ，均有1ax x+≥时，当0a <时，令0x =>，此时0ax x+=，不符合题意； 当0a =时，1≥x ，显然不满足题意；当0a >时，有1ax x+≥， 解得有14a ≥， 所以“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的充分不必要条件故答案为：充分不必要 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，属于一般题.17．3【分析】根据2011被5除的余数为1可判断①；将=可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为01234可判断③；令根据类的定理可证明④的真假【详解】①由2011÷5=402…1所以2011∈1故①解析：3根据2011被5除的余数为1，可判断①；将3-=52-+，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令115a n m =+，225b n m =+，根据“类”的定理可证明④的真假． 【详解】①由2011÷5=402…1，所以2011∈[1]，故①正确； ②由()3512-=⨯-+ 所以[]33-∉，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确； ④假设115a n m =+，225b n m =+，()12125a b n n m m -=-+-，,a b 要是同类. 则 12m m =，即120m m -=，所以[]0a b -∈，反之若[]0a b -∈，即120m m -=，所以12m m =，则,a b 是同类. ④正确； 故答案为：3 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理．属中档题．18．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．19．（3）（4）【分析】利用充要条件不等式性质两直线垂直的充要条件等比数列为递增数列的条件逐一判断即可【详解】对于（1）求得所以是的充分不必要条件所以错误对于（2）不成立所以错误对于（3）直线与直线相互解析：（3）（4） 【分析】利用充要条件、不等式性质、两直线垂直的充要条件、等比数列为递增数列的条件，逐一判断即可. 【详解】对于（1）22"log log "a b >求得0a b >>，所以"1"a b >>是22"log log "a b >的充分不必要条件，所以错误对于（2）0c <不成立，所以错误对于（3）直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，12m =或2m =-，所以正确 对于（4）1"0a >且1"q >可以推出对任意n N +∈,都有1n n a a +>，反之不成立，如数列16,8,4,2----，所以正确故答案为（3）（4） 【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到不等式性质、充要条件、等比数列的单调性等知识，属于中档题.20．②③④【分析】命题的判断一一进行判断即可对于①显然为假命题；对于②逆否命题条件和结论都否定正确；对于③若x ＞1则|x|＞0若|x|＞0则x 不一定大于1；对于④f （x ）＝|x+1|+|x ﹣3|表示数轴解析：②③④ 【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和． 【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤.故答案为②③④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．三、解答题21．（1）[)2,3；（2）12a <<. 【分析】（1）当1a =时，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q ∧为真可得x 的取值范围； （2）由题可得q 是p 的充分不必要条件，得Q P ,从而可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，得p :13x <<， 由428x ≤≤，得:q 23x ≤≤，由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题，因此x 的取值范围是[)2,3． （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，由题可得命题p 对应的集合{}3P x a x a =<<，命题q 对应的集合{}23Q x x =≤≤， 所以Q P ，因此2a <且33a <，解得12a <<． 即实数a 的取值范围是12a <<. 【点睛】本题考查充分必要条件的定义和应用，考查复合命题的真假判断，考查分析解决问题的能力，属于基础题.22．（1）2m ≥-；（2）2m <-. 【分析】（1）由题意知，q 是真命题等价于方程2210x x m +--=有实根，利用判别式0∆≥即可求解；（2）由题意知，分别求出p 、q ⌝为真命题时实数m 的取值范围，然后再取交集即可. 【详解】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题， 所以方程2210x x m +--=有实根， 所以判别式()4410m ∆=++≥， 所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<， 若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立， 当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题. 23．（1）{}3|1x x <<（2）()3,+∞ 【分析】（1）分解因式得()()130x x --<,进而求解即可；（2）先将命题q 中不等式分解为()()10x m x --<,所以讨论m 与1的大小,当1m 时，不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,由q 是p 的必要不充分条,则2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,即可求解,同理讨论当1m <与1m =时的情况.【详解】解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因为{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意； 当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞． 【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查由充分必要条件求参数的范围,考查运算能力与分类讨论思想.24．充分不必要条件，证明见解析. 【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系． 【详解】p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面．p 是q 的充分不必要条件．证明如下：若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出， 不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面， 即p q ⇒，反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示． p ∴是q 的充分不必要条件．【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（1）{2,3}；（2）{3}． 【分析】（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ； （2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值． 【详解】 由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-， 则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =， ∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意， 又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈， 因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=．∴m 的取值集合是{3}．【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
(北师大版)苏州市高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．设x ∈R ，则“1x >”是“2320x x -+<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”B ．“6πθ=”是“()1sin 22k θπ+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ 3．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,44．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b ≤-”； ③“x ∀∈R ，211x +≥”的否定是“x ∃∈R ，211x +<”； 其中正确的命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．35．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题p ：在ABC 中，若A B >，则cos cos A B <，命题q ：()0,x ∃∈+∞，sin x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝7．下列四种说法中，错误的个数是（ ）①命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”； ②命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④若实数x ，[]0,1y ∈，则满足221x y +>的概率为4π. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．()2,6C ．(][),26,-∞+∞ D ．()(),26,-∞+∞9．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ） A ．pB ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧10．已知m ，n 为空间中两直线，α，β为两不同平面，已知命题:p 若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；命题:q 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ.则p ，()q ⌝，()p q ∧，()p q ∨这四个命题中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知命题2:230p x x --<，命题:q x a <，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-12．下列说法中正确的是( )A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x =,则1x ≠”B ．“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题D ．“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件二、填空题13．已知集合261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，3{|log ()}1B x x a ≥＝＋，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 14．给出下列命题:①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是:“x R ∀∈，均有210x x +->”；④命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是_________.15．若命题“存在,x R ∈220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 16．已知命题:P 方程2410x x m ++-=有两个不等的负根；命题:q 方程24420x x m ++-=无实根．若P 、q 两命题中一真一假，则m 的取值范围是__________．17．命题“,11x x ∀∈+≥R ”的否定是_________.18．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.19．若命题p ：∃x ∈R ，ax 2+4x +a ＜﹣2x 2+1是假命题，则实数a 的取值范围是________． 20．下列是有关△ABC 的几个命题：① 若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 是锐角三角形；② 若cos cos a A b B =，则△ABC 是等腰三角形；③ 若cos cos a B b A b +=，则△ABC 是等腰三角形；④ 若cos sin A B =，则△ABC 是直角三角形，其中所有正确命题的序号是________三、解答题21．已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.22．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}22210B x x mx m =-+-≤．（1）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若x A ∀∈，243x m x +≥+恒成立，求实数m 的取值范围．23．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >．命题q ：实数x 满足302x x-≥-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围．（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 24．已和知集合()(){}20A x x a x a =--<，集合211x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈.（1）当实数a 为何值时，p 是q 的充要条件；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知集合{22}A xa x a =-≤≤+∣，{16}=≤≤∣B x x ． （1）当3a =时，求AB ，()()R RA B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 26．已知命题p ：不等式220ax ax -+>对一切实数x 恒成立，命题q ：11m a m -≤≤+．（1）若p 是假命题，求实数a 的取值范围；（2）若⌝p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】先解不等式2320x x -+<得12x <<，再根据基本关系判定即可得答案. 【详解】解：解不等式2320x x -+<得12x <<， 因为()()1,21,+∞，所以“1x >”是“2320x x -+<”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．C解析：C 【解析】对于A ，命题的逆否命题，既要交换条件、结论，又要否定条件及结论，所以‘命题“若m ＞0，则方程x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x-m=0无实数根，则m≤0”，故正确； 对于B “6πθ=”⇒“()1sin 22k θπ+=” 但“()1sin 22k θπ+=” 不能推出“6πθ=” 故正确；对于C ，p ∧q 为假命题，则p ，q 有一个为假命题即可，故错误； 对于D ，命题的否定先换量词，再否定结论，故正确． 故选C ．3．C解析：C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】 解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤， 解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+， 由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】结合命题相关知识，对选项逐个分析即可得到答案． 【详解】对于①，,p q 可能为一真一假也可能两个都为假，故①错误；对于②，命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”，故②错误；对于③，“x ∀∈R ，211x +≥”的否定是“x ∃∈R ，211x +<”，正确．故只有③正确，答案为B. 【点睛】本题考查了复合命题的性质，考查了命题的否定、原命题的否命题，属于基础题．5．A解析：A 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切， 则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．6．C解析：C 【分析】由函数cos y x =在(0,)π上的单调性即可判断p 为真命题；当(0,)2x π∈时，令()sin f x x x =-，利用导数判断函数()f x 在(0,)2π上的单调性从而证明sin x x <，当[,)2x π∈+∞时，根据图象判断sin x x <，即可确定q 为假命题，利用复合命题的真假判断规则进行判断即可. 【详解】命题p ：在ABC 中，,(0,)A B π∈，因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减，所以若A B >，则cos cos A B <，命题p 为真命题.命题q ：令()sin f x x x =-，当(0,)2x π∈时，cos 10y x '=-<，函数()sin f x x x=-在(0,)2π上单调递减，所以()(0)0f x f <=，即sin x x <；当[,)2x π∈+∞时，由下图可知sin x x <，所以q 为假命题.所以()p q ∨⌝为真命题. 故选：C 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，涉及正、余弦函数的图象与性质，利用导数证明不等式，属于中档题.7．C解析：C 【分析】根据题意，①②说法正确，若0m =③错误，根据古典概型④概率应该为14π-.【详解】命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”，所以①正确；命题“p q ∨为真”即p ，q 至少有一个为真，不能推出命题“p q ∧为真”，命题“p q ∧为真”则p ，q 全为真，能够推出命题“p q ∨为真”，所以命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，所以②正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题是：若a b <，则22am bm <，当0m =时不成立，所以该逆命题不是真命题，所以③不正确；若实数x ，[]0,1y ∈，有序数对(),x y 对应平面内的点形成的区域面积为1，如图：其中扇形区域不满足221x y +>，面积为4π，深色区域符合题意， 则满足221x y +>的概率为14π-，所以④不正确.故选：C 【点睛】此题考查命题的真假判断，涉及全称命题的否定，含有逻辑连接词的命题真假判断，不等式的性质辨析，求几何概型，涉及知识面比较广.8．A解析：A 【分析】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥恒成立，故由0∆≤即可求出m 的取值范围． 【详解】因为命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题， 故其否定：“0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥”为真命题， 故224(23)8120m m m m ∆=--=-+≤，解得26m ≤≤, 故实数m 的取值范围是[2,6]． 故选：A 【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想．9．C解析：C 【分析】由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，可知当34x π=-104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，故p 为假； 命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则d ==， 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先判断每个命题的真假，再由复合命题的真值表确定真假。
苏教版高中数学选修2-1第一章 常用逻辑用语.docx
第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题双基达标(限时15分钟)1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的有__________．(填序号)解析由命题的定义知①②③是命题．答案①②③2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题为__________________________________．解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．答案若x≥1或x≤－1，则x2≥13．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．解析 ①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不是相反数”是真命题．②“若a 2≤b 2，则a ≤b ”，取a ＝0，b ＝－1，a 2≤b 2，但a ＞b ，故是假命题．③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 14．命题“若x ≠2，则x 3－x 2－x －2≠0”的逆否命题是______；是______(填“真”或“假”)命题．解析 ∵x 3－x 2－x －2＝(x －2)(x 2＋x ＋1)＝0，而x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴x ＝2，故原命题为真命题．又原命题与逆否命题具有相同真假性，故逆否命题也为真命题．答案 “若x 3－x 2－x －2＝0，则x ＝2” 真5．给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，由于2π＋π6>π4时，tan(2π＋π6)<tan π4，则原命题为假命题．②例如y ＝1x是奇函数但不过原点．③若0<log a b <1，则a >b >1的逆命题为若a >b >1，则0<log a b <1是真命题，因为a >b >1，所以log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1.答案 ③6．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若a >b ，则1a <1b. 解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，真命题．(2)逆命题：若1a <1b，则a >b ，假命题． 否命题：若a ≤b ，则1a ≥1b，假命题． 逆否命题：若1a ≥1b，则a ≤b ，假命题． 综合提高 (限时30分钟)7．下列语句：①x ＝0；②－5∈Z ；③作线段AB ；④2020年人类将登上火星；⑤lg 100＝2.其中命题的个数是______个．解析①语句中含有变量，不能判断真假，不是命题；③是祈使句，不是命题；②⑤是陈述句且能判断真假，是命题；④目前不能确定真假，但随着时间的推移，总能确定真假，这类猜想也是命题，故②④⑤是命题．答案 38．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______个．解析原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”为假命题，则否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，只有逆否命题是真命题．答案 19．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析①Δ＝4＋4k>0，k>－1，∴是真命题．②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．答案①②10．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是______．解析①是真命题，则m≥0；②是真命题，则0<m<1，若①真，②假，则m＝0或m≥1；若②真，①假，m不存在．综上，m＝0或m≥1.答案m＝0或m≥111．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.证明原命题证明较困难改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，求证：若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确．12．已知集合A＝{x|x2＋(2＋a)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x∈R|x>0}，试问是否存在实数a，使得A∩B＝∅？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在实数a满足条件A∩B≠∅，若A∩B≠∅，则方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的两实数根x1，x2至少有一个为正；因为x1·x2＝1>0，所以两根x1，x2均为正数．则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2＋a ）2－4≥0，x 1＋x 2＝－（2＋a ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0或a ≤－4，a <－2，即a ≤－4. 又∵集合{a |a ≤－4}的补集为{a |a >－4}，∴存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ，其取值范围是(－4，＋∞)．13．(创新拓展)写出命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空，则a >3”的逆否命题，并判断其真假．解 其逆否命题为：已知a 、x 为实数，如果a >3，则关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空．法一 若a >3，则x 2＋4x ＋a ＋2＝0的判别式Δ＝16－4a －8＝8－4a <0，此时不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集为空集，故其逆否命题为假命题．法二 从原命题角度出发，若其解集为非空集合，则有Δ＝8－4a >0，得a <2，故原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题．。
【创新设计】2022-2021学年高二数学苏教版选修2-1单元检测：第1章 常用逻辑用语
章末总结学问点一四种命题间的关系命题是能够推断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1推断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，假如a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．学问点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分学问，是高考的热点，推断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较简单的关系，常用推出符号进行传递，依据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接推断的命题化为其逆否命题加以推断．(3)等价命题法：对于含有规律联结词“非”的充分条件、必要条件的推断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与规律有关的很多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时假如能运用数形结合的思想(如数轴或V enn图等)就能更加直观、形象地推断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．学问点三规律联结词的应用对于含规律联结词的命题，依据规律联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含规律联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4推断下列命题的真假．(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.例5设命题p：函数f(x)＝lg⎝⎛⎭⎫ax2－x＋116a的定义域为R；命题q：不等式2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立．假如命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．学问点四全称命题与存在性命题全称命题与存在性命题的推断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题消灭．全称命题要对一个范围内的全部对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．存在性命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是存在性命题，应含存在量词．存在性命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6写出下列命题的否定，并推断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x，x>0；(4)有些质数是奇数．例7已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．章末总结重点解读例1解(1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．(2)∵0<x<5，∴－2<x－2<3，∴0≤|x－2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3.故否命题为假．(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0为真命题．逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b 为真命题．否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b⇒a·b≠0也为真．例2解若a＝－1，b＝12，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇒q.若关于x 的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0<x1≤x2<1，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q⇒p.所以，p是q的必要不充分条件．例3解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}．B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴A B，∴⎩⎨⎧a≤－4a<0或⎩⎨⎧3a≥－2a<0，解得－23≤a<0或a≤－4.故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0.例4解(1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，∴命题为假．例5解p：由ax2－x＋116a>0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝1－4×a×a16<0，∴a>2.q：由2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立，令t＝2x＋1>1，则x＝t2－12，∴t<1＋a·t2－12，∴2(t－1)<a(t2－1)对一切t>1均成立．∴2<a(t＋1)，∴a>2t＋1，∴a≥1.∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．若p真q假，a>2且a<1不存在．若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.故a的取值范围为1≤a≤2.例6解(1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；(4)全部质数都不是奇数，假命题．例7解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
苏教版数学选修2-1：第1章 常用逻辑用语 第1章 单元检测(B卷)(含答案)
第1章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧⌝q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)2．下列命题中，假命题的个数为________．①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1和圆O 2相切．3．下列命题中真命题的序号为________．①∀x ∈R,2x ＋1是整数；②∃x ∈R ，sin x >1；③∃x ∈Z ，x 2＝3；④∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件．5．下列说法正确的是________(填序号)．①若a ，b 都是实数，则“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件；②若p ：x >5，q ：x ≥5，则p 是q 的充分而不必要条件；③条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的必要而不充分条件；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分必要条件．6．“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的____________条件．7．命题p ：若a ≥b 则c >d ，命题q ：若e ≤f 则a <b ，若p 为真，q 的否命题为真，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．8．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的序号是________．(1)(⌝p )∨q ；(2)p ∧q ；(3)(⌝p )∧(⌝q )；(4)(⌝p )∨(⌝q )．9．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b>0(a ，b ，c ，d 均为实数)，以其中两个不等式作为条件，余下一个作为结论组成命题，可组成真命题的个数是________．10．已知条件p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则x 的取值集合为________________．11．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是______________．12．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________________．13．命题“若A B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．14．若|x－1|<a的充分条件是|x－1|<b(其中a，b>0)，则a，b之间的关系是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．16．(14分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.17.(14分)已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2＋ax＋1>0对 x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18．(16分)已知条件p：|2x－1|>a和条件q：1x2－4x＋3>0，请选取适当的正实数a的值，分别利用所给的条件作为A、B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．19.(16分)已知p：a＝0，q：直线l1：x－2ay－1＝0与直线l2：2x－2ay－1＝0平行，求证：p是q的充要条件．20．(16分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？第1章 常用逻辑用语(B)1．①②③2．1解析 ①②均为真命题，③是假命题．3．④4．充要解析 对于“a >0且b >0”可以推出“a ＋b >0且ab >0”，反之也是成立的，故为充要条件．5．①②④解析 ③中，a >a ⇔a >1，a >1是a >a 的充要条件．6．必要不充分解析 因为“sin x ＝sin y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，所以“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的必要不充分条件．7．充分解析 命题q 的否命题为“若e >f ，则a ≥b ”，且为真命题，而命题p ：若a ≥b 则c >d ，且为真命题，则有“若e >f ，则c >d ”，即“e >f ”是“c >d ”的充分条件，由等价命题关系可知“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．8．(4)解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而只有(綈p )∨(綈q )为真命题．9．3解析 共可组成3个命题，且都为真命题．10．{－1,0,1,2}解析 由题意得p 假q 真，所以x 2－x <6且x ∈Z ，解得x ＝－1,0,1,2，故x 的取值集合为{－1,0,1,2}．11．(－∞，0)∪[3，＋∞)12．∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析 已知命题是存在性命题，其否定是全称命题．13．2解析 逆命题、否命题为真．14．a ≥b解析 由题意可知|x －1|<b 的解集范围不能超过|x －1|<a 的解集范围，∴a ≥b .15．解 (1)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p ∧q ：平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：平行四边形的对角线不相等．由于p 假q 真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真．(2)p ∨q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．p ∧q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p 或q 、p 且q 均为真，非p 为假．16．证明 充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab －b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.17．解 ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1；又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0， ∴0<a <4，∴q ：0<a <4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假． ①若p 真q 假，则a ≥4；②若p 假q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．18．解 已知条件p 即2x －1<－a 或2x －1>a ，∴x <1－a 2或x >1＋a 2；已知条件q 即x 2－4x ＋3>0， ∴x <1或x >3.令a ＝5，则p 即x <－2或x >3，此时必有p ⇒q ，反之不然．故可以选取一个实数a ＝5，令A 为p ，B 为q ，构造命题“若|2x －1|>5，则1x 2－4x ＋3>0”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．19．证明 (1)当a ＝0时，l 1：x ＝1，l 2：x ＝12， 所以l 1∥l 2，即由“a ＝0”能推出“l 1∥l 2”．(2)当l 1∥l 2时，若a ≠0，则l 1∶y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a， 所以12a ＝1a，无解． 若a ＝0，则l 1：x ＝1，l 2：x ＝12， 显然l 1∥l 2，即由“l 1∥l 2”能推出“a ＝0”．综上所述a ＝0⇔l 1∥l 2，所以p 是q 的充要条件．20．解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立．∵f (x )的图象过点(－1,0)，∴a －b ＋c ＝0.又x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a . 故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22时，x ∈R 成立． 即⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2－12x ＋12－a ≥0，(1－2a )x 2－x ＋2a ≥0，恒成立． ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0Δ2≤0a >01－2a >0⇔⎩⎨⎧ 14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a (1－2a )≤0，0<a <12，∴a ＝14，c ＝14， 从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14， ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对于x ∈R 恒成立．。
2018-2019学年高二数学精选练习选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 章末检测试卷(一)
章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是________．答案若a≠0且b≠0，则ab≠02．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是________．答案∃x∈R，x2－2x＋1＜0解析原命题是全称命题，其否定是存在性命题．3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________．答案 4解析原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题．∴否命题与逆否命题也都是真命题．故真命题的个数为4.4．A＝{x||x－1|>1，x∈R}，B＝{x|log2x>1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由题意，得A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以x∈B⇒x∈A，但x∈AD⇒/x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．5．“实数a和b都不是有理数”的否定为________________________________．答案实数a和b至少有一个是有理数解析将“都不是”改成“至少有一个是”．6．设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________．答案(1,2]解析若p为真命题，则－2－a<1<a，解得a>1.若q为真命题，则－2－a<2<a，解得a>2.由题意，得若p假则q真，若p真则q假，即⎩⎨⎧0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2.7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件． 答案 充分不必要解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．8．设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；②函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]解析 ①若x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；②若f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a >1，a <2.若①真②假，则a ∈∅；若①假②真，则a ≤－2. 9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案3解析 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3恒成立． 设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，显然该函数为增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝tan π3＝3， 由不等式恒成立可得m ≥3，即实数m 的最小值为 3. 10．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题p 是真命题；②命题q 是假命题；③命题“(綈p )∧q ”是真命题；④命题“p ∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________． 答案 ③④解析 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题；对于q ，因为函数y ＝x 2＋x ＋1的图象开口向上，最小值在x ＝－12处取得，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝34>0，所以命题q是真命题．由命题p 为假命题和命题q 是真命题，可得命题“(綈p )∧q ”是真命题；命题“p ∨(綈q )”是假命题．故③④正确．11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的____________条件． 答案 充分不必要解析 ∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．12．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的____________条件． 答案 充分不必要解析 函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，若1<a <2，则0<a －1<1,1<3－a <2，即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离，则f (1)<f (3)．若a ＝0，则函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，满足f (1)<f (3)，但1<a <2不成立．所以“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的充分不必要条件．13．已知命题p ：(x －3)(x ＋1)>0，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 p ：(x －3)(x ＋1)>0⇔x <－1或x >3，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0⇒x <－m ＋1或x >m ＋1，它们的取值范围分别用集合A ，B 表示，由题意知A ?B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1≤3，其中等号不能同时成立， ∴m <2，又m >0，∴0<m <2.14．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，即－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，2]∪(－1，＋∞)． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明 (1)充分性：∵0<m <13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0， 且3m>0， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0，解得0<m <13. 综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.16．(14分)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，实数a 的取值范围为[－2,1)∪(2，＋∞)．17．(14分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos2x －1，且给定条件p ：π4≤x ≤π2. (1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若给定条件q ：|f (x )－m |<2，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos2x －1 ＝2sin2x －23cos2x ＋1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3. ∴3≤4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤5. ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2. 又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5. ∴实数m 的取值范围为(3,5)．18．(16分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，(－a )2－4a <0，解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴p 与q 一真一假， ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0≤a <4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．19．(16分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围． 解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ， 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2， 又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0) ＝(x ＋1)x .因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝⎛⎭⎫0，34. 要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立， 显然当a >1时不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫344，1. 20．(16分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1. ∵f (x )＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a24b ， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a24b ≤1.∵a >0，b >0，∴a ≤2b .(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≥－1， ∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1. 对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≤1. ∵b >1，∴0＜1b＜1， 由f (x )≤1知f ⎝⎛⎭⎫1b ≤1，即a ·1b－1≤1， ∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .充分性：∵b >1，a ≥b －1，对任意x ∈[0,1]， 可以推出ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1， 即ax －bx 2≥－1.∵b >1，a ≤2b ，对任意x ∈[0,1]， 可以推出ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－b ⎝⎛⎭⎫x －1b 2≤1，即ax －bx 2≤1， ∵－1≤f (x )≤1，∴|f (x )|≤1.综上可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .。
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第1章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧⌝q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)2．下列命题中，假命题的个数为________．①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1和圆O 2相切．3．下列命题中真命题的序号为________．①∀x ∈R,2x ＋1是整数；②∃x ∈R ，sin x >1；③∃x ∈Z ，x 2＝3；④∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件．5．下列说法正确的是________(填序号)．①若a ，b 都是实数，则“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件；②若p ：x >5，q ：x ≥5，则p 是q 的充分而不必要条件；③条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的必要而不充分条件；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分必要条件．6．“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的____________条件．7．命题p：若a≥b则c>d，命题q：若e≤f则a<b，若p为真，q的否命题为真，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．8．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的序号是________．(1)(⌝p)∨q；(2)p∧q；(3)(⌝p)∧(⌝q)；(4)(⌝p)∨(⌝q)．9．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，ca－db>0(a，b，c，d均为实数)，以其中两个不等式作为条件，余下一个作为结论组成命题，可组成真命题的个数是________．10．已知条件p：x2－x≥6，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则x的取值集合为________________．11．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是______________．12．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．13．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．14．若|x－1|<a的充分条件是|x－1|<b(其中a，b>0)，则a，b之间的关系是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．16．(14分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.17.(14分)已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2＋ax ＋1>0对 x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18．(16分)已知条件p：|2x－1|>a和条件q：1x2－4x＋3>0，请选取适当的正实数a的值，分别利用所给的条件作为A、B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．19.(16分)已知p：a＝0，q：直线l1：x－2ay－1＝0与直线l2：2x－2ay－1＝0平行，求证：p是q的充要条件．20．(16分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？第1章 常用逻辑用语(B)1．①②③2．1解析 ①②均为真命题，③是假命题．3．④4．充要解析 对于“a >0且b >0”可以推出“a ＋b >0且ab >0”，反之也是成立的，故为充要条件．5．①②④解析 ③中，a >a ⇔a >1，a >1是a >a 的充要条件．6．必要不充分解析 因为“sin x ＝sin y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，所以“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的必要不充分条件．7．充分解析命题q的否命题为“若e>f，则a≥b”，且为真命题，而命题p：若a≥b则c>d，且为真命题，则有“若e>f，则c>d”，即“e>f”是“c>d”的充分条件，由等价命题关系可知“c≤d”是“e≤f”的充分条件．8．(4)解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而只有(綈p)∨(綈q)为真命题．9．3解析共可组成3个命题，且都为真命题．10．{－1,0,1,2}解析由题意得p假q真，所以x2－x<6且x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，故x的取值集合为{－1,0,1,2}．11．(－∞，0)∪[3，＋∞)12．∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0解析已知命题是存在性命题，其否定是全称命题．13．2解析逆命题、否命题为真．14．a≥b解析由题意可知|x－1|<b的解集范围不能超过|x－1|<a的解集范围，∴a≥b.15．解(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分．非p：平行四边形的对角线不相等．由于p假q真，所以p或q为真，p且q为假，非p为真．(2)p∨q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．p∧q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p：方程x2－16＝0的两根符号相同．由于p真q真，所以p或q、p且q均为真，非p为假．16．证明充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab －b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.17．解 ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1；又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，∴0<a <4，∴q ：0<a <4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假． ①若p 真q 假，则a ≥4；②若p 假q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．18．解 已知条件p 即2x －1<－a 或2x －1>a ，∴x <1－a 2或x >1＋a 2；已知条件q 即x 2－4x ＋3>0， ∴x <1或x >3.令a ＝5，则p 即x <－2或x >3，此时必有p ⇒q ，反之不然．故可以选取一个实数a ＝5，令A 为p ，B 为q ，构造命题“若|2x －1|>5，则1x 2－4x ＋3>0”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．19．证明 (1)当a ＝0时，l 1：x ＝1，l 2：x ＝12， 所以l 1∥l 2，即由“a ＝0”能推出“l 1∥l 2”．(2)当l 1∥l 2时，若a ≠0，则l 1∶y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a， 所以12a ＝1a，无解． 若a ＝0，则l 1：x ＝1，l 2：x ＝12， 显然l 1∥l 2，即由“l 1∥l 2”能推出“a ＝0”．综上所述a ＝0⇔l 1∥l 2，所以p 是q 的充要条件．20．解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立．∵f (x )的图象过点(－1,0)，∴a －b ＋c ＝0.又x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a . 故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22时，x ∈R 成立． 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，(1－2a )x 2－x ＋2a ≥0，恒成立． ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0Δ2≤0a >01－2a >0⇔⎩⎨⎧ 14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a (1－2a )≤0，0<a <12，打印版高中数学 ∴a ＝14，c ＝14， 从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14， ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对于x ∈R 恒成立．。