高数偏导数复习

1. 偏导数求解方法：

例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得

23z

x y x

∂=+∂ 把x 看作常量，得

32z

x y y

∂=+∂ 将（1,2）带入上述结果，就得

1

2|21328x y z x

==∂=⋅+⋅=∂ 1

2|31227x y z y

==∂=⋅+⋅=∂ 2. 高阶偏导数求解方法.

设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数

(x,y)x z

f x

∂=∂

(x,y)y z f y ∂=∂ 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：

22()(x,y)xx z z f x x x

∂∂∂==∂∂∂, 2()(x,y)xy z z

f y x x y ∂∂∂==∂∂∂∂

2()(x,y)yx z z f x y y x ∂∂∂==∂∂∂∂, 22()(x,y)yy z z

f y y y

∂∂∂==∂∂∂

3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y

∂∂=

+∂∂. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y

z z ye xe x y

∂∂==∂∂

222211

|,|2x x y y z z

e e x y ====∂∂==∂∂ 所以

222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).

例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy

dt

。

解：sin cos t dz z du z dv z

ve u t t dt u dt v dt t

∂∂∂=++=-+∂∂∂ cos sin cos (cos sin )cos t t t

e t e t t e t t t =-+=-+

例题2：求2

2

(xy ,x y)z f =的22z

x

∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.

解：

22''

122'2'1

222'''''2''2''1112221224''3''22''111222

()(2)2()

(y 2)2(2)

y 44z z y f f yx x x x x

f y y f x x x

y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂=+∂∂=++++=++

5. 隐函数求导公式.

定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且

00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连

续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有

x y

dy F

dx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，

且000F(x ,y ,z )0=，

000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件

000(x ,y )z f =，并有

x

z z F x F ∂=-∂，y z

F z y F ∂=-∂.

例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.

解：令(x,y,z)F xyz =+-

Fx yz =+

，Fy xz =+

Fz xy =+

z Fx x Fz ∂=-=∂

y

z F y y F z z ∂=-=∂

(1,0,1)(1,0,1)|1,|z z

x y --∂∂==∂∂

(1,0,1)dz |dx -=-.

6. 空间曲线的切线和法平面。

设曲线Γ的参数方程为(t),y (t),z (t)x ϕψω===(t αβ≤≤，三个

函数在[,]αβ上可导).取曲线Γ上一点000M(x ,y ,z ),则曲线在M 点处的切线方程为

000

'''x y y z z (t)(t)(t)

x ϕψω---== 切线方向向量成为切向量，向量 '''((t),(t),(t))T ϕψω= 就是曲线Γ在点M 的一个切向量.

法平面过000M(x ,y ,z )，且以T 为法向量，法平面方程为

'''000(t)(x )(t)(y y )(t)(z z )0x ϕψω-+-+-=

例题：求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面.

解：因为'''2x 1,2,3t t t y t z t ===。而点(1,1,1)所对应的参数t=1，所以 (1,2,3)T = 切线方程为

111

123

x y z ---== 法平面方程为

(x 1)2(y 1)3(z 1)0-+-+-= 即 236x y z ++=.

7. 曲面的切平面与法线.

设曲面∑由(x,y,z)0F =给出，000M(x ,y ,z )是曲面∑上的一点. 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量

0000

000

((x ,y ,z ),

(x ,y ,z ),(x ,y ,z ))

x y z n F F F = 就是曲面∑在点M 处的一个法向量。