2021年高二下学期开学考试数学试题含答案

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2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案

2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.用样本估计总体，下列说法正确的个数是2.①样本的概率与实验次数有关；3.②样本容量越大，估计就越精确；4.③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；5.④数据的方差越大，说明数据越不稳定．6.A．1 B．2 C．3 D．47.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是8.A．至少有一个黑球与都是黑球B．至多有一个黑球与都是黑球9.C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球10.在直角坐标系中，直线的倾斜角是11.A．B．C．D．12.已知随机变量服从正态分布，且，则13.A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为15.A．24 B．18 C．16 D．1216.在的展开式中，常数项是17.A．－28 B．－7 C．7 D．2818.在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为19.A．B．C．D．20.直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是21.A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心22.C．直线与圆相离D．直线过圆心23.小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有24.A．36种B．48种C．60种D．64种25.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有26.A．9条B．10条C．11条D．12条27.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是28.A．B．C．D．29.在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为30.A．126 B．86 C．77 D．50第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）31.若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________32.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________33. 已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N ．则_________34. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

2021-2022年高二下学期开学考试数学试题含答案

2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.事件B与C互斥B.事件A与C互斥C.任何两个均不互斥D.任何两个均互斥2.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元.A.45B.46C.D.4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A.7B.8C.9D.105.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表，这五人入选的机会均等，则甲或乙被选中的概率是（）A. B. C. D.6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）A.5B.7C.4D.37.已知实数满足，那么的最小值为（）A. B. C. D.8.F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（）A. B. C. D.9.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是真命题；③命题“”是假命题；④命题“”是假命题.其中错误的是（）A.②③B.②④C.③④D.①③10.已知，在上，在上，且，点是内的动点，射线交线段于点，则的概率为（）A. B. C. D.11.已知双曲线，是左焦点，是坐标原点，若双曲线左支上存在点，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.已知样本的平均数是10，方差是4，则14.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则15.设命题；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是16.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.当曲线与曲线只有一个公共点时，的取值范围为三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：Array按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在B类轿车中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.18.（本小题满分10分）已知圆及点.（1）若点在圆C上，求直线的斜率；（2）若是圆C上任一点，求的最大值和最小值；（3）若点满足关系式，求的最大值.19.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程；（2）直线（为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与轴交于点E ，求的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为. （1）求椭圆的方程；（2）若一条不与轴垂直的直线交椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的下顶点，且，求直线在轴上截距的取值范围.数学试题答案本试卷满分120分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBDADCDCBA13.91 14. 15. 16.三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分8分）解析：（1）设该厂本月生产轿车为N 辆，则 ……1分2000100300450400600150z ∴=-----=……2分（2）设抽取的样本中有辆舒适型轿车，则 ……4分即抽取了2辆舒适型轿车，6辆标准型轿车，分别记作A 、B 、1、2、3、4、5、6 基本事件为（A ，B ），（A ，1），（A ，2），（A ，3），（A ，4），（A ，5），（A ，6），（B ，1），（B ，2），（B ，3），（B ，4），（B ，5），（B ，6），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）共 28个，其中至少有一辆舒适型轿车的有13个. ……6分故至少有一辆舒适型轿车的概率为. ……8分 18、（本小题满分10分）解析：（1）点在圆上，()()2214141450m m m m ∴++--++=解得 ……2分（2）圆则……4分 ……6分（3）设，如图，当过点E 的直线与圆相切时，取最大值. 切线方程为，即的最大值为 ……10分 19、（本小题满分10分）解析：（1） ……4分（2）设分别为点A ，B 对应的参数把与C 的方程联立得： ……6分()21212121245EA EB t t t t t t t t ∴+=+=-=+-= ……10分20、（本小题满分12分）解析：（1）故椭圆方程为……2分（2），设直线的方程为，线段MN的中点为由得：……4分则①……8分②……9分把①代入②得：……10分又由②得：综上，……12分。

2021-2022年高二下学期开学考数学文试题含答案

2021年高二下学期开学考数学文试题含答案注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。

考试时间： 120 分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2.选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3.主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1.直线的斜率是( )A. B. C. D.2.不等式的解集为( )A. B. C. D.3.在等差数列中，已知，则( )A. B. C. D.4.正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为( )A． B． C． D．5.若| ，且，则与的夹角是( )A. B. C. D.6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则该几何体的体积是( )A. B.C. D.7.双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.8.三个数的大小顺序是( )A. B.C. D.9.执行如右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )A. B. C. D.10.在中，是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.若实数满足，则的取值范围是( )A. B. C. D.12.若函数满足：，则的最小值为( )A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线的焦点坐标是_____________.14.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.15.若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为___.16.函数的值域是________________.三、解答题（本题包括6小题，共70分）17．（10分）解关于的不等式.18．（12分）在中,角所对的边分别为,已知,,,求.19．（12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列.⑴求的值；⑵设是以为首项，为公差的等差数列，求的前项和.20．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.⑴求证：直线平面；⑵若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.21．（12分）已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.⑴求的单调增区间；⑵若关于的方程()3220f x x x x m+--+=在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.22．（12分）已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为, 且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.桂林十八中12级高二下学期开学考试卷答案一.选择题二.填空题三.解答题17.解：原不等式可化为;即，也即;所以原不等式的解集为18.解：由余弦定理得：2222cos10b ac ac B=+-=，∴，222cos28a b cCab+-===.19.解：⑴由题知：或（舍去）;⑵1111,(1)222nnb d b b n d=-=-⇒=+-=- ;()112224nnnn nS⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==-20.解：⑴证明：取的中点，则，故平面;又四边形正方形，∴，故平面;∴平面平面,∴平面(理)⑵由底面，得底面;则与平面所成的角为;∴2222PA MN CN AD====, ∴和都是边长为正三角形,取的中点，则，且∴为二面角的平面角;在中，，∴222cos2AG BG ABAGBAG BG+-∠=⋅∴二面角的余弦值方法二：⑴设，因为，，，∴以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，取的中点，则各点坐标为：，，，，，;∴，，∴，∴，∴平面;⑵由底面及，得与平面所成角的大小为;∴,∴,，，;取的中点，则因，1111,1,,,1,,2222AG BG⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴;则，且 ,∴为二面角的平面角;∵cos,||||GA GBGA GBGA GB⋅<>=⋅;∴二面角的余弦值（文）⑵由理解知PA＝2，故()11121211332V Sh==⨯⨯+⨯=。

2021年高二下学期开学检测数学试题含答案

开学适应性训练2021年高二下学期开学检测数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（xx重庆理）已知命题：对任意，总有；：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．2.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．2 B．-2 C．-2或 D．2或4.设集合，那么“或”是“”的（）A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件 D．非充分条件，也非必要条件5.已知是椭圆上的一点，是椭圆的焦点，则的最大值是（）A．4 B．6 C．9 D．126.过点作与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条7.等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（）A． B．C． D．8.为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔为（）A．40 B．30 C．20 D．129.如图所示的是一个算法的程序框图，已知，输出的，则等于（）A．9 B．10 C．11 D．1210.如下四个游戏盘（各正方形边长和圆的直径都是单位1），如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，则应选择的游戏盘是（）11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412.先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共20分）二、解答题（每题10分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在直三棱柱中，，求二面角的大小.14.如图，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，若直线的倾斜角为45°，求的面积.31147 79AB 禫R26682 683A 栺39992 9C38 鰸YO32040 7D28 紨31062 7956 祖20962 51E2 凢20515 5023 倣d22132 5674 噴39546 9A7A 驺24811 60EB 惫。

2021年高二下学期开学测试数学理试题含答案

2021年高二下学期开学测试数学理试题含答案学科：理科数学测试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集A.个B.个C.个D.个2.复数等于（）A. B. C. D.3．已知 , 则(A) (B) (C) (D)4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.“a = 1”是“复数(,i 为虚数单位)是纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.168．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 359．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．310.将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋111.椭圆两焦点为，，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（）A. B . C . D .12. 如右图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为．15.已知OA →＝(1,1)，OB →＝(4,1)，OC →＝(4,5)，则AB →与AC →夹角的余弦值为16．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是____．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0参考数据：，如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）；（2）线性回归方程．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（本小题满分12分）如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥平面EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （本小题满分12分）如图，点A ，B 分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为：且.(1)求直线AP 的方程；(2)设点M 是椭圆长轴AB 上一点，点M 到直线AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.22. （本小题满分12分）如右图所示，已知直二面角α－AB －β，P ∈α，Q ∈β，PQ 与平面α，β所成的角都为30°，PQ ＝4.PC ⊥AB ，C 为垂足，QD ⊥AB ，D 为垂足．求：(1)直线PQ 与CD 所成角的大小；(2)四面体PCDQ 的体积．参考答案1. A2.B3.C4.A5.A6.A7.D8.B9.C 10. C 11. B 12. D13. 3π∶2 14. 15. 35 16. －3<k ≤017.解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10.(3)S ＝12ab sin C ＝32.18. 解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：=．于是．所求线性回归方程为：．（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 19. 解：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A 1O ，OE .(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEA 1，∵A 1E ⊂平面ACEA 1，∴A 1E ⊥BD .(2)当E 是CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .证明如下：∵A 1B ＝A 1D ，EB ＝ED ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ，∴∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设棱长为2a ，∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ，∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即∠A 1OE ＝90°.∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.21. 解： ⑴由题意知，，从而，由题意得，，从而，，因此，直线AP 的方程为：，即. ⑵设，则点M 到直线AP 的距离为，而，依题意得解得或（舍去），故.设椭圆上一点，则，即()22222424249d MN x y x x ==-+=-+，，所以当时，，即.22. 解：(1)如下图，在平面β内，作CE 綊DQ ，连接PE ，QE ，则四边形CDQE 为平行四边行，所以EQ 綊CD ，即∠PQE 为直线PQ 与CD 所成的角(或其补角)．∵α⊥β，α∩β＝AB ，PC ⊥AB 于C .∴PC ⊥β.同理QD ⊥α，又PQ 与平面α，β所成的角都为30°，∴∠PQC ＝30°，∠QPD ＝30°，∴CQ ＝PQ ·cos 30°＝4×32＝23，DQ ＝PQ ·sin 30°＝4×12＝2.在Rt△CDQ中，CD＝CQ2－DQ2＝12－4＝22，从而EQ＝2 2.∵QD⊥AB，且CDQE为平行四边形，∴QE⊥CE.又PC⊥β，EQ⊂β，∴EQ⊥PC. 故EQ⊥平面PCE，从而EQ⊥PE.在Rt△PEQ中，cos∠PQE＝EQPQ＝224＝22.∴∠PQE＝45°，即直线PQ与CD所成角的大小为45°.(2)在Rt△PCQ中，PQ＝4，∠PQC＝30°，∴PC＝2.而S△CDQ＝12CD·DQ＝12×22×2＝22，故四面体PCDQ的体积为V＝13S△CDQ·PC＝13×22×2＝43 2.936617 8F09 載J34747 87BB 螻35362 8A22 訢37957 9445 鑅23753 5CC9 峉26879 68FF 棿39658 9AEA 髪22414 578E 垎MN 27772 6C7C 汼。

2021-2022学年江西省新余市第一中学高二下学期开学摸底考数学(文)试卷含详解

新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.1505.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D. 6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈- D.()3,1m ∈--7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A .17B.18C.19D.208.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --= D.4370x y +-=10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.B.5C.D.211.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = 16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n nb S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <A【详解】试题分析：由“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”得“若1x >，则0x >”的否命题是若1x ≤，则0x ≤.故选：A.考点：否命题.2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.B【分析】先根据三角形内角和求得A ，进而利用正弦定理求得b ．【详解】由题意可知，180457560A =︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知sin sin a bA B=，所以2sin 2sin 32a Bb A⋅==．故选：B ．3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.150C【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前n 项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有9711(10)0a a ⨯-⨯-=，即1875a d a +==，所以11581515()1527522a a a S +⨯===.故选：C.5.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D.D【分析】由正弦定理得30︒∠=CAD，进而结合余弦定理计算得BC =.【详解】解：由正弦定理，sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即2sin 22CAD=∠，故1sin 2CAD ∠=，所以30︒∠=CAD ，所以120BAC ︒∠=，所以由余弦定理，BC ==故选：D ．6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈-D.()3,1m ∈--D【分析】由“方程22131x y m m +=+-表示椭圆”可求得实数m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程22131x ym m +=+-表示椭圆，则301031m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得3<1m -<-或11m -<<.故方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是()3,1m ∈--.故选：D.7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A.17B.18C.19D.20C【分析】按照程序框图逐步计算.【详解】方法一：运行情况如下：执行次数mnr177920915222091525731525738457381953819所以输出的19m =.方法二：易知该程序是求两数的最大公约数，而779和209的最大公约数是19,.故选：C【点睛】本题考查程序框图，属于基础题.8.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-A【分析】根据递推关系式得到11n n b b n --=-，进而利用累加法可求得结果．【详解】数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，11122n n n n a a n --∴=+-，2n n n a b = ，11n n b b n -∴-=-，且11b =，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-++-+L ()()()()211121211122n n n n n n ⎡⎤-+--+⎣⎦=-+-+++=+=，故选：A ．9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --=D.4370x y +-=D【分析】判断点M 与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB 的斜率即可计算作答.【详解】显然点()1,1M 在椭圆22134x y +=内，设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()034x x x x y y y y -+-++=，而弦AB 恰好被点()1,1M 平分，即12122,2x x y y +=+=，则直线AB 的斜率121212124()43()3y y x x k x x y y -+==-=--+，直线AB ：41(1)3y x -=--，即4370x y +-=，所以AB 所在的直线方程为4370x y +-=.故选：D10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C.D.2A【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标(,0)c ，渐近线方程为：by x a=±,距离为：化简得：2b a =，又：222c b a =+，得：2225,5,c c a e a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．11.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列D【分析】由分母不等于0可判断A ；取非0常数列可判断BC ；先判断()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，是否为常数列，然后对211n n n na a a a +++--化简可判断D.【详解】若0k =，则32210a a a a -=-，即320a a -=，则4332a a a a --无意义，故A 错误；当数列{}n a 为常数列，1n a =，则数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，显然不是“等差比数列”，故BC 不正确；当()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，时，11((1)0)n nnn n a b c a a b c ab a b ++⋅+-⋅=--+=≠，所以1211(1)(1)n n n nn n a a ab b a a ab b b ++++---==-，故D 正确.故选：D12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(),x y到定点与定直线之比为常数e =，进而可得结果.【详解】已知方程可以变形为()2222321x y m x y y -+=-++==其表示双曲线上一点(),x y 到定点()0,1-与定直线230x y -+=之比为常数e =又由1e >，可得05m <<，故选：C.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.【分析】根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求z的值.【详解】由题设，知：221i i z i i++====--.故答案为14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.10【详解】作出不等式区域,如图所示:目标2z x y =+的最大值,即为平移直线2y x z =-+的最大纵截距,当直线经过点7A ,32⎛⎫⎪⎝⎭时z 最大为10.故答案为10.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = ①④【分析】比较圆心到渐近线的距离和半径的关系可判断①；以2F 为圆心，4为半径作圆，数形结合可判断②；观察直线()2y k x =-与渐近线的位置关系可判断③；根据双曲线定义与已知列方程组求1PF ，2PF ，然后判断12PF F △的形状，由面积公式可得.【详解】双曲线C中，渐近线为y =，焦点为(20)±,，a =1，b =，c =2.圆22(2)3x y -+=的圆心(2,0)0y -=的距离2d r ===，∴①正确；以2F 为圆心，4为半径作圆，由图可知②错误；当k =时，直线()2y k x =-与渐近线平行，由图可知，此时直线与双曲线的左支不相交，故③错误；不妨设点P 在右支上，则由双曲线定义得1222PF PF a -==，又因为128PF PF +=，联立求解可得15PF =，23PF =，所以2221212PF PF F F =+，所以212PF F π∠=，所以12212162PF F S PF F F == ，故④正确.故答案为：①④16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．163π9【分析】根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.【详解】如图，2223a b c S +=+，222431sin 32a b c ab C ∴+-=⋅，222323a b c C ab +-∴=，tan C ∴=π3C ∴=，又2c AB ==，ABC ∴ 外接圆半径为3，π3C =，所以点C 的轨迹长度为4π23⨯=，故答案为：163π9.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．（1）[)2,3.（2）()[)1,23,-⋃+∞.【分析】（1）由已知得p ，q 均为真命题，分别求得p 为真命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得p ，q 一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题．若p 为真命题，则()()()214130a a a ∆=--=+-<，解得13a -<<；若q为真命题，则1222x xa =+≥=，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，此时2a ≥．故实数a 的取值范围是[)2,3；【小问2详解】解：若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 一真一假．当p 真，q 假时，则13,2,a a -<<⎧⎨<⎩得a ∈()1,2-；当p 假，q 真时，则13,2,a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或得[)3,a ∈+∞．故实数a 的取值范围为()[)1,23,-⋃+∞．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.（1）13；（2）32.【分析】（1）利用正弦定理求得sin B 的值，由此求得cos 2B 的值.（2）利用余弦定理求得cos A ，结合基本不等式求得A 的最大值，由此求得此时ABC 的面积.【详解】（1）由正弦定理sin sin a b A B =，得321sin 2B =，解得3sin 3B =所以21cos 212sin 3B B =-=.（2）由余弦定理得22221cos 24b c a c A bc c +-+==.因为2121442c c c c +≥=，当且仅当1c =时，等号成立，所以1cos 2A ≥，则03A π<≤，则A 的最大值为3π.此时，ABC 的面积113sin 21sin 2232S bc A π==⨯⨯⨯=.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iiix x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.（1）由散点图可判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）100.6y =+；（3）508.6吨．【分析】（1）由散点图可以知x ,y 关系是非线性的即可判断；（2）令w =，则 y c dw =+ ，利用根据题中数据可计算ˆd ，c的值，即可得y 关于w 的线性回归方程，再将w =代入即可求解；（3）将36x =代入y 关于x 的回归方程即可求解.【详解】（1）由散点图可以判断：y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8ˆ681.6iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， 56368 6.8100.6ˆcy d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为 68100.6y w =+，所以y 关于x 的回归方程为100.6y =+；（3）由（2）知：当36x =时，年销售量y 的预报值100.6508.6y =+=故年宣传费36x =千元时，年销售预报值是508.6吨．20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.（1）证明见解析，n a =；（2）3【分析】（1）由题得()22112n n S S n --=≥，即得数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列，再求出n S =，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)先求出112121n b n n =--+，再利用裂项相消求出n T ，最后解二次不等式得解.【详解】（1）证明：221n n n a S a -= ，∴当2n ≥时，()()21121n n n n n S S S S S -----=，整理得，()22112n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列.2n S n ∴=，又0n S >，n S ∴=2n ∴≥时，1n n n a S S -=-=111a S ==适合此式∴数列{}n a的通项公式为n a =；（2）解：()()422412121n nb S n n ==--+112121n n =--+1111335n T ∴=-+-+112121n n ⋅⋅⋅+-=-+1121n -+*n N ∈ 123n T T ∴≥=依题意有()221336m m >-，解得14m -<<，故所求最大正整数m 的值为3.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？（1）2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．【分析】（1）根据题意，分019x <<、19x ≥两种情况可写出答案；（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出019x <<、19x ≥时的最大值，然后作比较可得答案.【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则x 万件商品销售收入为25x 万元，依题意得，当019x <<时，2222()251002410033L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭，当19x ≥时，400400()2526320100220L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当019x <<时，22()(18)1163L x x =--+，此时，当18x =时，()L x 取得最大值()18116L =万元，当19x ≥时，400()22022022040180L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭万元，此时，当且仅当400x x=，即20x =时，()L x 取得最大值180万元，因为116180<，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（1）2214x y +=；（2）是定值，5π.【分析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得12k k 为定值，12S S +也为定值，从而可得1212S S k k +是定值．【小问1详解】由题意知||||PQ AQ =，||||||||||4||3AQ CQ PQ CQ CP AC ∴+=+==>=，根据椭圆的定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2,3a c ==21b ∴=，∴曲线E 的方程为2214x y +=；【小问2详解】由题意知直线l 的方程为1(12y x m m =+≠±且m ≠0)，设直线l 与椭圆的交点为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，222220x mx m ++-=，22244(22)840m m m ∆=--=->22m ⇒<，∴212122,22+=-=-x x m x x m ，∴2212121212221212121211()11(2)12242422444x m x my y m x x m m m m k k x x x x x x x x m m +++⋅-=⋅=⋅=++=++=--，222222121212(||||)()44S S OM ON x x y y ππ+=+=+++， 22222121212()242(22)4x x x x x x m m +=+-=--=，∴222222121212(1)(1)21444x x x x y y ++=-+-=-=，∴1254S S π+=，∴121254514S S k k ππ+==，∴1212S S k k +是定值，为5π．。

2021年高二下学期入学考试数学(文)试题含答案

2021年高二下学期入学考试数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．i 是虚数单位，复数=( )．A ．1+2iB ．2+4iC ．-1-2iD ．2-i 2．设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )．A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ≥2}3．命题“”的否命题是( )A ．B ．C ．D ．4．若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和05．在正项等比数列中，，则的值是（）A ．10000B ．1000C ．100D ．10 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）A ．B ．C ．D ． 7．函数f （x ）=（）A ．（-2,-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2） 8．“”是“”的条件( )A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 9．右表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据.根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程为,那么表中的值为 ( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 10．函数的单调递增区间为（）A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，）D ．（，+∞） 11．设双曲线的离心率为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,则双曲线的方程为( ) A ． B ． C ． D ．12．设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数； ②存在,使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为 ( )3 45 62.5 t 44.5A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）。

2021-2022学年安徽省六安市新安中学高二下学期开学摸底考数学试卷含详解

新安中学2021—2022学年度（下）高二年级开学考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线m 经过()2,1A -，()0,3B -两点，则直线m 的斜率为（）A.-2B.12-C.12D.22.已知数列{}n a 满足112n n a a n +=+，334a =，则1a =（）A.14B.23C.1D.23.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD 即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m ，则灶口直径AB 为（）A.2mB.3mC.4mD.5m4.已知双曲线C ：()220x y k k -=≠过点(，则双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.C.D.25.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A.1B.2C.4D.86.如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c == ＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++ C.111222a b c +- D.221332a b c-+- 7.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.2B.14C.4D.68.在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若464b b ⋅=，则212229log log log b b b +++= A.6B.7C.8D.9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列，则下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是n a =B.是它的第23项C.此数列的通项公式是n a =D.是它的第25项10.已知直线1l ：0x y m -+=，2l ：210x my +-=，则下列结论正确的有（）A .若12//l l ，则2m =-B.若12l l ⊥，则2m =C.若1l ，2l 在x 轴上的截距相等则1m =D.2l 的倾斜角不可能是1l 倾斜角的2倍11.已知双曲线C ：2213y x -=，则（）A.双曲线C 与圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有3个公共点B.双曲线C 的离心率与椭圆22143x y +=的离心率的乘积为1C.双曲线C 与双曲线2213y x -=有相同的渐近线D.双曲线C 的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同12.已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（）A.342n a n=- B.16S 为n S 的最小值C.1216272a a a +++= D.1230450a a a +++= 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,1,a m =- ，()6,,3b n = ，若//a b r r，则m n +=______．14.在等差数列{}n a 中，a 10＝18，a 2＝2，则公差d ＝______．15.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =______.16.已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点，过(,0)2a M 的作垂直于x 轴的直线与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1//PO F B ，则椭圆C 的离心率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线m ：x +3y -5=0，直线n ：ax -y +4=0{a ∈R }.（1）若直线m 与直线n 平行，求实数a 的值；（2）若直线m 与直线n 垂直，求直线m 与n 的交点坐标.18.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．21.已知过抛物线22y px =()0p >的焦点，斜率为22()11,A x y ，()22,B x y ()12 x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB 的面积.22.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．新安中学2021—2022学年度（下）高二年级开学考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线m 经过()2,1A -，()0,3B -两点，则直线m 的斜率为（）A.-2B.12-C.12D.2A【分析】根据斜率公式求得正确答案.【详解】直线m 的斜率为：()13220--=---.故选：A2.已知数列{}n a 满足112n n a a n +=+，334a =，则1a =（）A.14B.23C.1D.2C【分析】结合递推关系式依次求得21,a a 的值.【详解】因为334a =，112n n a a n +=+，所以2323144a a a =⨯=，得213a =．由1211133a a a =⨯=，得11a =.故选：C3.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD 即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m ，则灶口直径AB 为（）A.2mB.3mC.4mD.5mC【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220y px p =>，根据()1,0D 是抛物线的焦点，求得抛物线的方程24y x =，进而求得AB 的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O 与C 重合，设抛物线的方程为()220y px p =>，由题意可得()1,0D 是抛物线的焦点，即12p=，可得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，当1x =时，2y =，所以4AB m =.故选：C.4.已知双曲线C ：()220x y k k -=≠过点(，则双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.C.D.2A【分析】根据点(求得k ，求得双曲线的渐近线，结合点到直线的距离求得正确选项.【详解】因为点(在双曲线上，所以221k -=，解得2k =-，所以双曲线C 的标准方程为22122y x -=，2a b c ===，双曲线焦点在y 轴上，所以双曲线的一个顶点为(，一条渐近线为y x =，即0x y -=，顶点(到其一条渐近线0x y -=1=.故选：A5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A.1B.2C .4D.8C【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式利用条件4524a a +=，648S =列出关于1a 与d 的方程组，通过解方程组求数列{}n a 的公差.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =.故选：C.6.如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c == ＝，点M 在OA 上，且2OM MA = ，N 为BC 中点，则MN （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c-+- B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B7.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.2 B.14C.4D.6B【分析】根据已知条件列方程，化简求得m 的值.【详解】依题意，方程221x my +=，表示焦点在y 轴上的椭圆，所以0m >，2211y x m+=，故11,01m m><<，只有B 选项符合.221,1a b m==，由于长轴长是短轴长的2倍，即22222,2,4a b a b a b =⨯==，即14m =，解得14m =.故选：B8.在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若464b b ⋅=，则212229log log log b b b +++= A.6B.7C.8D.9D【分析】由等比数列的性质可得b 5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知464b b ⋅=,由等比数列的性质可得24654b b b ⋅==，又等比数列各项为正数，b 5＞0，可得b 5＝2．则212229log log log b b b +++ ＝log 2（b 1b 2•…•b 9）＝log 295b ＝9．故选D ．【点睛】本题考查等比数列的性质p q m n a a a a ⋅=⋅（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列，则下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是n a =B.是它的第23项C.此数列的通项公式是n a =D.是它的第25项AB【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】数列，所以n a =A 选项正确，C 选项错误.23a ===，B 选项正确，257a ==，D 选项错误.故选：AB10.已知直线1l ：0x y m -+=，2l ：210x my +-=，则下列结论正确的有（）A.若12//l l ，则2m =-B.若12l l ⊥，则2m =C.若1l ，2l 在x 轴上的截距相等则1m =D.2l 的倾斜角不可能是1l 倾斜角的2倍AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB 选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD 选项的正确性.【详解】若12//l l ，则2111m m-=≠-，得2m =-，选项A 正确；若12l l ⊥，则120m ⨯-=，得2m =，选项B 正确；若1l ，2l 在x 轴上的截距相等，则12m -=，解得12m =-，选项C 错误；当0m =时，2l 的倾斜角π2恰好是1l 的倾斜角π4的2倍，选项D 错误．故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.11.已知双曲线C ：2213y x -=，则（）A .双曲线C 与圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有3个公共点B.双曲线C 的离心率与椭圆22143x y +=的离心率的乘积为1C.双曲线C 与双曲线2213y x -=有相同的渐近线D.双曲线C 的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同BCD【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.【详解】解：作图可知A 不正确；由已知得双曲线C 中，1a =，b =，2c ==，所以双曲线C 的焦点为()2,0±，顶点为()1,0±，渐近线方程为by x a=±=，离心率为2ca=，易知选项BCD 正确．故选：BCD12.已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（）A.342n a n=- B.16S 为n S 的最小值C.1216272a a a +++= D.1230450a a a +++= AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+---- 16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯= ，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+---- 2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,1,a m =- ，()6,,3b n = ，若//a b r r ，则m n +=______．2-【分析】根据向量平行求得,m n ，由此求得m n +.【详解】由于//a b r r ，所以213,1263m n m m n n -==⇒=-=⇒+=-.故答案为：2-14.在等差数列{}n a 中，a 10＝18，a 2＝2，则公差d ＝______．2【分析】根据等差数列的公式求得公差d .【详解】依题意1028,1828,2a a d d d =+=+=.故答案为：215.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，则p =______.8.【分析】利用抛物线的焦点及椭圆焦点列出关于p 的方程求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>的焦点是,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故椭圆2231x y p p +=的一个焦点也为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得2p =，解得8p =.故答案为：8.【点睛】本题考查根据圆锥曲线的焦点求参问题，较简单，属基础题.16.已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点，过(,0)2a M 的作垂直于x 轴的直线与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1//PO F B ，则椭圆C 的离心率为___________.33【分析】先根据题意得P 点坐标，再根据1//PO F B 平行计算其直线斜率，并列式化简求值即可得答案.【详解】解：根据题意得P 点横坐标为2P a x =，由于点P 为第一象限的点，故代入椭圆方程得的2P y =，因为1//PO F B ，()1,0F c -，()0,B b 所以13OP F B b k k a c===，所以33c e a ==.故答案为：33【点睛】本题考查椭圆的性质，考查运算能力，是基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线m ：x +3y -5=0，直线n ：ax -y +4=0{a ∈R }.（1）若直线m 与直线n 平行，求实数a 的值；（2）若直线m 与直线n 垂直，求直线m 与n 的交点坐标.（1）a =-13（2）(-710，1910)【分析】(1)平行就是斜率相等；（2,）垂直就是两直线的斜率互为负倒数关系，联立方程即可.【小问1详解】∵m //n ，∴13n m k a k ===-，即13a =-；【小问2详解】m n ⊥ ，1m n k k ∴=- ，a =3；联立方程：350340x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得710x =-，1910y =，交点坐标为：719(,)1010-故答案为：13-，719(,1010-.18.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .(1)13n n a -=.（2）22n n n S -=.【详解】试题分析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得方程组1413{81a q a q ==，解得11{3a q ==，即可写出通项公式.（2）因为3log 1n nb a n ==-，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得1413{81a q a q ==，解得11{3a q ==，因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n n S +-==.考点：等比数列、等差数列.19.已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.（1）22184x y +=；（2）433.【分析】（1）由题可得2a c ==，从而可得方程；（2）设1122,P F r P F r ==，在12PF F △中利用余弦定理可得12163r r =，进一步可求得12PF F △的面积．【详解】（1）由题意知2a =,∴a =2c =，∴24b =，∴椭圆方程为22184x y +=.(2)设1122,P F r P F r ==，由椭圆的定义得12r r +=1224F F c ==，在12PF F △中由余弦定理得222121212122co )s 3(163r r r r r r r r π+-=-=+，得12163r r =，1212143sin 233F PF S r r π∴== .20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）33.【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅= ，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M = ，()12,2,2B D =-- ，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA = 是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB = ，()2,0,1ED =- ．设(),,n x y z = 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．6cos ,6C CA n A C n A n ⋅<>===⋅，sin ,6CA n ∴<>== ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为306；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =- ．由（Ⅱ）知()1,1,2n =- 为平面1DB E的一个法向量，于是3cos ,3AB n AB n AB n ⋅<>==-⋅ ．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为33.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知过抛物线22y px =()0p >的焦点，斜率为()11,A x y ，()22,B x y ()12 x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB 的面积.（1）28y x =；（2）【分析】（1）由题意设直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系结合抛物线的定义，由9AB =列方程可求出p 的值，从而可求出抛物线的方程，（2）结合（1）解方程求出,A B 两点的坐标，从而可求出三角形的面积【详解】解：（1）抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，由2,22,p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩消去y 得22450x px p -+=，所以1254p x x +=，由抛物线定义得129AB x x p =++=，即594p p +=，所以4p =.所以抛物线的方程为28y x =.（2）由4p =知，方程22450x px p -+=，可化为2540x x -+=，解得11x =，24x =，故1y =-，2y =所以(1,A -，(4,B .则OAB面积122S =⨯⨯=22.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.。

安徽省2021学年高二数学下学期开学考试试题理

最新 Word高二数学放学期开学考试一试题理试卷分值： 150 分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的A， B，C， D 的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应地点. 1．若复数z 知足(1 2i ) z 5 ，则复数z 在复平面上的对应点在第( ) 象限A. 一B. 二C. 三D. 四2．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A．B．C．D．3．已知函数，若 f （0）＜0，则此函数的单一减区间是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[ ﹣ 1， +∞）C．（﹣ 3，﹣ 1] D ．[ ﹣1，1）4．已知正实数a， b， c 知足：，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．已知 f x =sin x x3 1, x 2 ,2 ，若 f x 的最大值为M，f x 的最小值为N，则 M+N等于（）A． 0 B．2 C．4 D．8 36．已知函数 f （ x）＝，若对于x 的方程[ f（x）] 2+mf（x）+m﹣ 1＝ 0 恰有 3 个不一样的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B ．（1﹣， +∞） C ．（ 1，e） D ．（1﹣， 1）x1，7．已知y＝ f （ x+2）是奇函数，若函数g（ x）＝ f （ x）﹣有 k 个不一样的零点，记为x2，，x k，则x1+x2++x k＝（）A．0 B．k C． 2k D． 4k最新Word 8．已知函数 f （ x）＝sin cos ωx﹣（ω＞ 0）在 [0 ，] 上有且仅有三个零点，则ω 的取值范围是（）A．（，）B．[ ，] C．[4 ，] D． [4 ，）9．已知函数，若对随意两个不相等的正数x1，x2，都有恒建立，则 a 的取值范围为（）A．[4 ， +∞）B．（ 4， +∞）C．（﹣∞， 4] D．（﹣∞， 4）10．已知函数f （x）＝（2﹣2 ）x，若方程f（）＝a有 3个不一样的实根x1，2，x3（1＜x x e x x xx2＜ x3），则的取值范围是（）A．（，0） B ．（，0） C ．（，） D ．（0，）11．函数f x 2x ln x x2 ax 3 恰有一个零点，则实数a的值为（）A． 4 B． 3 C． 6 D． 312. 设函数f '( x)是函数 f ( x)( x R) 的导函数，当x 0 时， f ' ( x) 3 f ( x) < 0,则函数1xg ( x) f ( x) x3的零点个数为（）A. 3第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．已知f ( x) x , x 0 ，若 f1 (x) f (x), f n 1 (x) f ( f n ( x)), n N ，则 f2014 ( x) 的表1 x达式为 ________．14. 已知奇函数 y f ( x)( x R) 知足：对全部x R, f 1 x f 1 x ，且 x 0,1 时，f ( x ) e x 1, 则 f [ f ( 2019 )] .15. 已知 x1是函数f x 2x x 2 的零点，x2是函数 g x log 2 x 1 x 3 的零点，则x1 x2的值为__________16.. 已知函数f（x）＝ 2x﹣a，g（x）＝ 1+x3，若存在x1，x2∈[0 ， 1] ，使得 f （ x1）＝ g（ x2）建立，则实数 a 的取值范围是．三、解答题：本大题共17.(10分)若f ( x)6 小题，共70 分 . 解答应写出说明文字、演算式。

2021年高二下学期入学考试数学(理)试题含答案

侧视图俯视图正视图第7题图2021年高二下学期入学考试数学（理）试题含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知复数对应的点落在虚轴上且满足，则为（） A ． B ． C ． D ． 2．（）A ．B ．C ．D ．3．已知{}{2,1,U R A y y x B x y ===-==，则 ( ) A ． B ． C ． D ．4．已知直线与垂直，则的值是（） A ．或 B ． C ． D ．或 5.已知数列的前项的和满足：，且，那么（） A ． B ． C ． D ． 6．命题甲：；命题乙：且，则甲是乙的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件 7．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是（ A ． B ． C ．． D ．8．若 (且)在上是的减函数，则的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．9．某商品价格前两年每年提高，后两年每年降低，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（）A ．减少B ．增加C ．减少D ．不增不减10. 已知双曲线: ,以右焦点为圆心，为半径的圆交双曲线两渐近线于点 (异于原点),若,则双曲线的离心率是（）A ．B ．C ． 2D ． 11．如图，是圆的直径，是圆上的点，，，，则的值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在上的单调函数，对，都有，则方程的解所在的区间是（） A ．（0，） B ．（） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题分，共分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．）13．我校高二年级张三同学到科伦制药总厂进行研究性学习，收集到该制药厂今年前5个据上述数据估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数为万盒． 14．在数列中，已知, 则数列的通项公式为． 15.若满足约束条件，则的取值范围是 .16．随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角不大于的概率是．三、解答题：（本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标与半径；（2）求线段的中点的轨迹的方程；18．（本小题满分12分）已知函数())sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为。

2021-2022年高二下学期开学数学试卷(文科) 含解析

2021年高二下学期开学数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．“x=0”是“（2x﹣1）x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“∀x∈R，e x＞x2”的否定是（）A．不存在x∈R，使e x＞x2B．∃x0∈R，使e x0＜x02C．∃x0∈R，使e x0≤x02D．∀x∈R，使e x≤x23．某学生记忆导数公式如下，其中错误的一个是（）A．（x n）′=nx n﹣1（n∈N+）B．（a x）′=a x lnaC．（sinx）′=﹣cosx D．（lnx）′=4．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2 D．46．已知抛物线x2=4y的准线过双曲线﹣y2=﹣1的焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A． B．或2 C．2 D．8．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且x1x2=﹣，那么m=（）A． B． C．2 D．3二、填空题（每小题4分，共24分）9．设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．10．双曲线y=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为2．11．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．12．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为．13．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b=．14．已知抛物线y2=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为．三、解答题（共60分）15．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0，（1）求l2的方程，使得：①l2与l1平行，且过点（﹣1，3）；②l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1﹣AC﹣B是直二面角，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且∠ABC=90°，O为AC的中点．（1）若E是BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB（本小题用两种方法）；（2）求二面角A﹣A1B﹣C1的余弦值．17．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．18．四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD= （1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．19．设F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求•的最大值和最小值；（Ⅲ）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．四、提高题（共12分）20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．xx天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．“x=0”是“（2x﹣1）x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由（2x﹣1）x=0，解得x=0或x=，则“x=0”是“（2x﹣1）x=0”的充分不必要条件，故选：A．2．命题“∀x∈R，e x＞x2”的否定是（）A．不存在x∈R，使e x＞x2B．∃x0∈R，使e x0＜x02C．∃x0∈R，使e x0≤x02D．∀x∈R，使e x≤x2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，e x＞x2”的否定是∃x0∈R，使e x0≤x02故选：C．3．某学生记忆导数公式如下，其中错误的一个是（）A．（x n）′=nx n﹣1（n∈N） B．（a x）′=a x lna+C．（sinx）′=﹣cosx D．（lnx）′=【考点】导数的运算．【分析】根据常用导数的基本公式即可到答案．【解答】解：根据导数的基本公式，可知（sinx）′=cosx，故C错误，故选：C．4．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B5．已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据：∵椭圆+=1，得出a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．【解答】解：∵椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，∴a=∴|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D6．已知抛物线x2=4y的准线过双曲线﹣y2=﹣1的焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y得准线方程为y=﹣，因此双曲线的一个焦点和c，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y得准线方程为y=﹣，因此双曲线的一个焦点为（0，﹣），∴c=．双曲线﹣y2=﹣1化为y2﹣﹣=﹣1，∴a=1，∴双曲线的离心率e==．故选：C．7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A． B．或2 C．2 D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A8．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且x1x2=﹣，那么m=（）A． B． C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】先确定抛物线方程，设出直线AB方程代入抛物线方程，求出AB中点坐标，即可求得m的值．【解答】解：抛物线C：y=ax2（a＞0）可化为（a＞0）∵抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，∴，∴a=2∴y=2x2，∵C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，∴直线AB斜率为﹣1，设直线方程为y=﹣x+b与y=2x2联立得2x2+x﹣b=0∴，∴b=1∵x1+x2=﹣，y1+y2=，∴AB中点坐标为（﹣，）代入y=x+m得m=故选A．二、填空题（每小题4分，共24分）9．设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解．【解答】解：由题意作图如下，令y′==1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d==；故答案为：．10．双曲线y=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求导数，确定切线方程，可得与坐标轴的交点坐标，再求面积即可．【解答】解：∵y=，∴y′=﹣设曲线y=上任一点（a，），则切线方程为y﹣=﹣（x﹣a）．x=0时，y=，y=0时，x=2a，∴曲线y=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为×|2a|×||=2．故答案为：2．11．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF1F2 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），设点P（c，h），则=1，h2=b2﹣=，∴|h|=，由题意得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°，Rt△PF1F2 中，tan45°=1=====，∴a2﹣c2=2ac，，∴=﹣1．故答案为：12．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积【解答】解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为半径为∴原几何体的体积为=故答案为：13．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2﹣b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．【解答】解：由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB 为圆的直径且AB=2a∴C1的半焦距c=，于是得a2﹣b2=5 ①设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以③由②③得a2=11b2④由①④得a2=，b2=所以b=，故答案为：．14．已知抛物线y2=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程3x2﹣20x+12=0，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．【解答】解：由题意，直线l方程为：y=（x﹣2）代入抛物线y2=8x整理得：3x2﹣12x+12=8x∴3x2﹣20x+12=0设B（x1，y1）、C（x2，y2）∴x1+x2=∴弦BC的中点坐标为（，），∴弦BC的中垂线的方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得x=，∴P（，0），∵A（2，0），∴|AP|=故答案为：．三、解答题（共60分）15．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0，（1）求l2的方程，使得：①l2与l1平行，且过点（﹣1，3）；②l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】（1）利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数．（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，即A（0，3），B（4，0），即可求三角形OAB （O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程．【解答】解：（1）①由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．②由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S==4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，即A（0，3），B（4，0），设内切圆的圆心坐标为（a，a），则，∴a=，∴三角形OAB（O为坐标原点）内切圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=；外接圆的圆心坐标为（2，1.5），外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1.5）2=6.25．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1﹣AC﹣B是直二面角，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且∠ABC=90°，O为AC的中点．（1）若E是BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB（本小题用两种方法）；（2）求二面角A﹣A1B﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证法一：连接AB1，B1C，B1C∩BC1=E．利用三角形中位线定理可得：OE∥AB1，再利用线面平行的判定定理即可证明OE∥平面A1AB．证法二：取BC的中点F，连接EF，OF，在△ABC中，由三角形中位线定理可得：OF∥AB，可得OF∥平面A1AB．同理可得：EF∥平面A1AB．可得平面OEF∥平面A1AB．即可证明OE∥平面A1AB．（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角即可得出二面角的平面角．【解答】（1）证法一：连接AB1，B1C，B1C∩BC1=E．则OE是△AB1C的中位线，∴OE∥AB1，又OE⊄平面A1AB，AB1⊂平面A1AB，∴OE∥平面A1AB．证法二：取BC的中点F，连接EF，OF，在△ABC中，由三角形中位线定理可得：OF∥AB，又OF⊄平面A1AB，AB1⊂平面A1AB，∴OF∥平面A1AB．同理可得：EF∥平面A1AB．OF∩EF=F，OF，EF⊂平面OEF，∴平面OEF∥平面A1AB．∵OE⊂平面OEF，∴OE∥平面A1AB．（2）解：连接A1O，OB．∵AA1=A1C=AC，∴△AA1C是等边三角形，∵OA=OC，∴A1O⊥AC．又∵AB=BC，∴OB⊥AC．∵A1﹣AC﹣B是直二面角，∴∠A1OB=．如图所示，建立空间直角坐标系．O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（1，0，0），A1（0，0，），C1（0，2，），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，2，），设平面AA1B的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取=．设平面A1BC1的法向量为=（x2，y2，z2），则，即，取=．∴cos===．由图可知：二面角A﹣A1B﹣C1的平面角为钝角，因此二面角A﹣A1B﹣C1的余弦值为﹣．17．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（Ⅱ）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l 过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（Ⅲ）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴…．∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20…．（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意…②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，连接AQ，则AQ⊥MN∵，∴，…则由，得，∴直线l：3x﹣4y+6=0．故直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0…（Ⅲ）∵AQ⊥BP，∴…①当l与x轴垂直时，易得，则，又，∴…②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），则由，得P（，），则∴综上所述，是定值，且．…18．四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD= （1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接OC，运用勾股定理的逆定理，证得AO⊥OC，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C 到平面AED 的距离为h ，由V C ﹣AED =V A ﹣CDE ，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C 到平面AED 的距离．【解答】（1）证明：连接OC ，已知O 为BD 中点，AB=AD=，AC=BC=CD=BD=2，故AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，所以OA==1，OC=，在△AOC 中，OA 2+OC 2=4=AC 2，所以∠AOC=90°，则AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，BD ∩OC=O ，故AO ⊥平面BCD ．（2）解：取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，在△OME 中，EM=，OE=，又OM 为Rt △AOC 的斜边AC 上的中线，故OM=1，所以cos ∠OEM=，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为．（3）解：（体积法）设点C 到平面AED 的距离为h ，因为V C ﹣AED =V A ﹣CDE ，即有hS △AED =AO •S △CDE ，又CA=BC=2，AB=，设AE=x ，则由余弦定理有cos ∠ABC==，即有AE=，△AED 为等腰三角形，而DE=，等腰三角形△AED 底边上的高为，故△AED 的面积为S △AED ==．则而AO=1，S △CDE =，故h=，点E 到平面ACD 的距离为．19．设F 1，F 2分别是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，满足|PF 1|+|PF 2|=8，△PF 1F 2的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求•的最大值和最小值；（Ⅲ）已知点A （8，0），B （2，0），是否存在过点A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，使得|BC |=|BD |？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用|PF 1|+|PF 2|=8，△PF 1F 2的周长为12，可得2a=8，2a +2c=12，从而可求椭圆的方程；（2）由（1）知F 1（﹣2，0），F 2（2，0），设P （x ，y ），则=（﹣2﹣x ，﹣y ）•（2﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣4=，根据x ∈[﹣4，4]，可得x 2∈[0，16]，从而可求的最大值和最小值；（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣8），与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，从而可求CD的中点的坐标，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，从而可建立方程，故可解．【解答】解：（1）由题设，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，∴椭圆的方程为；（2）由（1）知F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x，y），则=（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=∵x∈[﹣4，4]，∴x2∈[0，16]，∴当且仅当点P为短轴端点时，有最小值8；点P为长轴端点时，有最大值12．（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣8）由方程组，消元得（4k2+3）x2﹣64k2x+16（16k2﹣3）=0∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，∴△=642k4﹣64（4k2+3）（16k2﹣3）＞0∴设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）∴x1+x2=，，∴T（）∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD∵∴，方程无解∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．四、提高题（共12分）20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x）的单调性，即可得出极值．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，对a分类讨论：当a=2时，当1＜a＜2时，当a＞2时，即可得出单调性；（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f （x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值=f（1）=2，f（x）极小值==．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，当a=2时，f′（x）=≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或）单调递减；f（x）在上单调递增．当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增．（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，由题意可知：g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g′（x）=（1﹣a）x﹣2﹣≤0，化为在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1．xx10月10日。

2021-2022学年四川省绵阳市盐亭中学高二年级下册学期开学考试数学试题【含答案】

2021-2022学年四川省绵阳市盐亭中学高二下学期开学数学试题一、单选题1．经过两点的直线的倾斜角为（）()()2,0,5,3A B A ．B ．C ．D ．45︒135︒90︒60︒A【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,()()2,0,5,3A B 30152k -==-所以倾斜角为.45︒故选：A.2．曲线与曲线（）的（）22194x y +=22194x y k k +=--4k <A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等D【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为22194x y +=x 64，焦距为；曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为()221494x y k k k +=<--x，焦距为对照选项可知：焦距相等.故选：D.3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球D【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D4．已知直线和直线互相平行，则等于（）20x ay +-=10ax y ++=a A ．B ．C ．1D ．0±11-A【分析】由两直线的一般方程平行得，在进行检验,即可得到答案.210a -=【详解】直线和直线互相平行，，经20x ay +-=10ax y ++=2101a a ∴-=⇒=±检验两种情况都满足条件.故选：A.5．不论k 为何值，直线恒过定点（）20kx y k ++-=A ．B ．C ．D ．()1,2--()1,2-()1,2-()1,2B【分析】与参数无关，化简后计算k 【详解】，可化为，则过定点20kx y k ++-=(1)20k x y ++-=(1,2)-故选：B6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．B ．C ．D ．10-6814B【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，20,1S i ==2,20218i S ==-=25<，；4,18414i S ==-=45<，此时，退出循环，8,1486i S ==-=85>输出的的为.S 6故选：B本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.7．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表（单位：人）月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105由上表中数据计算得的观测值，请估计认为“文2K 22105(10302045) 6.10955503075K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯化程度与月收入有关系”的把握是（）（下面的临界值表仅供参考：）()2p K k>0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．B ．C ．D ．97.5%99% 2.5%1%A【分析】根据与临界值表对照下结论.26.109K ≈【详解】因为，22105(10302045) 6.109 5.02455503075K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有的把握认为“文化程度与月收入有关系”.97.5%故选：A8．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为，24687789910710甲+++++++++==v 甲的方差为()()()()()()()22222222274767277287297107 5.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s 乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为，9578768677710乙+++++++++==v 乙的方差为，()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s 所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；22乙甲<s s 从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.9．已知抛物线=的焦点为F ， M 、N 是抛物线上两个不同的点，若2y 4x ，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（）10MF NF +=A ．8B ．4C ．D ．992B【分析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得,M N ,MA NB ,A B ，再过MN 的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯,MF MA NF NB==C CD D 形的中位线定理可求得结果【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线2y 4x (1,0)F 1x =-如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN 的中点作垂直,M N ,MA NB ,A B C CD 于准线，垂足为，D 则由抛物线的定义可得，,MF MA NF NB==因为，所以，10MF NF +==10MA NB +因为是梯形的中位线，CD MNBA所以，()1=52CD MA NB =+所以线段MN 的中点到y 轴的距离为4，C 故选：B10．已知椭圆双曲线的渐近线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>221x y -=有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为C C A ．B ．22182x y +=221126x y +=C ．D ．221164x y +=221205x y +=D【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，221x y -=y x =±∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C ：上，()222210x y a b a b +=>>∴，22441a b +=∵∴，∴，e =22234a b a -=224b a =∴22205a b ==，∴椭圆方程为.221205x y +=故选D.椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（）A ．B ．C ．D ．1116916716516B【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x 、y 点，则甲先到乙不需要等待须满足，乙先到甲不需要等待须满足，6x y +<6y x +<作出不等式组表示的可行域如图（阴影部分）：02402466x y y x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨>+⎪⎪<-⎩正方形的面积为，阴影部分面积为，2424576⨯=1218183242⨯⨯⨯=故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率，324957616=故选：B12．已知双曲线C ：-＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，若过原点倾斜角为的直线22x a 22y b 3π与双曲线C 左右两支交于M 、N 两点，且MF 1NF 1，则双曲线C 的离心率是⊥（）A．2B ．C D．1C【分析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F 2，过原点倾斜角为的直线为，设M 、N 分别在第3πl 三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M 、N 两点关于原点对称，而MF 1NF 1，因此四边l ⊥形是矩形，而，12F MF N 23NOF π∠=所以是等边三角形，故，因此，1F MO 11F M OM OF c ===OM ON c ==因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：23NOF π∠=123NOF π∠=1NOF，=由双曲线的定义可知：，21221c MF MF a c a e a -=⇒-=⇒===故选：C关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.二、填空题13．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________.33【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，所以有，1155033550500600n n =⇒=++故3314．点A （1，2，1）关于原点O 的对称点为A ′，则|AA ′|为 __________．【分析】先求解A ′点的坐标，利用空间中两点的距离公式，即得解【详解】因为点A （1，2，1）关于原点O 的对称点为A ′(1,2,1)---所以||AA '==故15．过点可以向圆引两条切线，则的范围()1,1P 222420x y x y k ++-+-=k ___________.()2,7【分析】根据方程表示圆和点在圆外可得不等式，由此可解得的范围.P k 【详解】由表示圆可得：，解得：222420x y x y k ++-+-=()416420k +-->；7k <过可作圆的两条切线，在圆外，，解得：；P P ∴22112420k ∴++-+->2k >综上所述：的范围为.k ()2,7故答案为.()2,716．已知椭圆C ：的左右焦点分别为，，O 为坐标原点，以下说法正2214x y +=1F 2F 确的是______．①过点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则的周长为82F 1ABF ②椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=③椭圆C的离心率为12④P 为椭圆上一点，Q 为圆上一点，则线段PQ 的最大长度为32214x y +=221x y +=①②④【分析】根据椭圆的几何性质结合的周长计算可判断①；根据，可通过以1ABF c b >为直径作圆，是否与椭圆相交判断②；求出椭圆的离心率可判断③；计算椭圆12||F F 上的点到圆心的距离的最大值，即可判断④.【详解】对于①，由题意知：的周长等于1ABF ，故①正确；111122||||||||||||||48AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++==对于②，，故以为直径作圆，与椭圆相交，交点即设为2,1,a b c c b ===>12||F F P ，故椭圆C 上存在点P ，使得，故②正确；120PF PF ⋅=对于③，，故③错误；c e a ==对于④，设P 为椭圆上一点，坐标为，则，2214x y +=00(,)x y 220014x y +=故，||PO ===因为，所以的最大值为2，故线段PQ 的最大长度为20011,01y y -≤≤≤≤||PO 2+1=3，故④正确，故①②④.三、解答题17．已知椭圆的焦点，，P 是椭圆上一点，且满足，()11,0F -()21,0F 124PF PF +=(1)求椭圆的标准方程.(2)若直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且AB 的中点为，求直线l 的方程.11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)22143x y +=(2)3240x y +-=【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.,,a b c （2）结合点差法求得直线的方程.l 【详解】(1)∵､，∴，()11,0F -()21,0F 1c =∵，121242PF PF F F +=>=∴点P 在以，为焦点的椭圆上，1F 2F ∵，，∴，24a =21a c ==，23b =∴椭圆的标准方程是.22143x y +=(2)设，，又点A ，B 在椭圆上，()11,A x y ()22,B x y ∴，，2211143x y +=2222143x y +=两式作差，得：，22221212043x x y y --+=即：，()()()()1212121243x x x x y y y y -+-+=-由题可得：，，122x x +=121y y +=将其代入得直线的斜率，212132y y k x x -==--∴直线l 的方程为：，()13122y x -=--即.3240x y +-=18．已知的三个顶点是，，.ABC ()2,3A -()3,2B --()1,2C (1)求边的垂直平分线方程；BC(2)求的面积.ABC (1)；10x y ++=(2).8【分析】（1）利用中点坐标公式可求得中点，结合垂直关系可得所求直线斜率，由BC 此可得直线方程；（2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得点到边的距离和A BC d ，由可得结果.BC12ABC S BC d =⋅ 【详解】(1)由坐标知：中点为；又，,B C BC ()1,0-22113BC k +==+边的垂直平分线的斜率，∴BC 1k =-所求垂直平分线方程为：，即；∴()1y x =-+10x y ++=(2)由（1）知：，则直线方程为：，即；1BC k =BC 21y x -=-10x y -+=点到边的距离，∴ABC d.=11822ABC S BC d ∴=⋅=⨯= 19．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？=-收入成本收入100%⨯相关公式：，.()()()1122211ˆ=n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---=--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-（1）；（2）12万元的毛利率更大ˆ 1.75 1.75yx =+【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；ˆb ˆa （2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.12x =15x =ˆy【详解】（1）由题意，.7x =14y =()()()()()()()()5137814571014771314iii x x y y =--=--+--+--∑，()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为.ˆ 1.75 1.75yx =+（2）当时，，对应的毛利率为，12x =ˆ22.75y =22.7512100%47.3%22.75-⨯≈当时，，对应的毛利率为，15x =ˆ28y =2815100%46.4%28-⨯≈故投入成本12万元的毛利率更大.本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；[)80,90(2)若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数[50,60)[80,90)在内的概率．[50,60)(1)，中位数为73，4人25n =(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；1（2）总的事件总数是从分数在和内的学生中任选两人，待求的是至少[50,60)[80,90)有一人分数在内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.[50,60)【详解】(1)分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[)50,60内同样有2人.[]90,100由2100.008n =⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在之间的人数为：[80,90)()25271024-+++=综上可得：样本容量，中位数为73，分数在内的人数为人25n =[80,90)4(2)设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在内”[50,60)为事件.M 将内的人编号为；内的2人编号为[80,90)4a b c d ,,,[50,60),A B 则在和内的任取两人的基本事件为：[50,60)[80,90)，共15个,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 其中，至少有一人分数在内的基本事件：，共9[50,60),,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB 个.故所求的概率得：93M =155P =()21．已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点21:2(0)C y px p =>222:143x y C +=且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.(2,0)A x l 1C P Q P x M （1）求抛物线的方程；1C （2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.MQ （1）；（2）24y x =(2,0)-【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，PQ ()2y k x =-,P Q 设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的MQ y mx n =+,M Q ,m n 关系，找出定点.解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线PQ 2x ty =+,P Q的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得MQ x my n =+,M Q n 到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，()1,0所以，所以抛物线的方程为；2p =24y x =（2）【解法一】因为点与点关于轴对称P M x 所以设，，，()11,P x y ()22,Q x y ()11,M x y -设直线的方程为，PQ ()2y k x =-代入得：，所以，24y x =()22224140k x k x k -++=124x x =设直线的方程为，MQ y mx n =+代入得：，所以，24y x =()222240m x mn x n +-+=21224n x x m ==因为，，所以，即，10x >20x >2n m =2n m =所以直线的方程为，必过定点.MQ ()2y m x =+()2,0-【解法二】设，，，()11,P x y ()22,Q x y ()33,M x y 因为点与点关于轴对称，所以，P M x 31y y =-设直线的方程为，PQ 2x ty =+代入得：，所以，24y x =2480y ty --=128y y =-设直线的方程为，MQ x my n =+代入得：，所以，24y x =2440y my n --=234y y n =-因为，所以，即，31y y =-()211248y y y y n -=-=-=2n =-所以直线的方程为，必过定点.MQ 2x my =-()2,0-本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.22．①圆心C 在直线上，圆C 过点B (1，5)；②圆C 过直线:2780l x y -+=和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补:3580l x y +-=226160x y y ++-=充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点A (6，0)，且 .(1)求圆C 的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线与圆C 交于M ，N 两点l ①求弦M N 中点Q 的轨迹方程；②求证为定值.PM PN ⋅ 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)①；②证明见解析223320x y x y +--+=【分析】（1）选①，待定系数法可解；选②，利用过直线和圆交点的直线系方程可得；（2）①利用，数量积为0直接求轨迹方程；②利用韦达定理代换后化简可CQ PQ ⊥证，注意讨论斜率不存在的情况.【详解】(1)选①条件：设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=由题意得解得，，，222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩3a =2b =213r =所以所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=选②条件：因为圆C 过直线和圆的交点，所以设圆3580x y +-=226160x y y ++-=C 的方程为，22616(358)0x y y x y λ++-++-=因为圆C 过点A （6，0），将点A 的坐标代入方程，解得，2λ=-所以圆C 的方程是，即22640x y x y +--=()()223213x y -+-=(2)①设，圆心C （3，2）(,)Q x y 由题意可知：得(3,2)(,1)0CQ PQ x y x y ⋅=--⋅-= 223320x y x y +--+=②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C 得， l l 0x =(0,4),(0,0)M N 3PM PN ⋅=-当直线的斜率存在时，设直线：，设l l 1y kx =+1122(,),(,)M x y N x y 则22(3)(2)131x y y kx ⎧-+-=⎨=+⎩消元得，其中()2212(3)30k xk x +-+-=22(62)4(3)(1)0k k ∆=+-⨯-+>则，，122621kx x k ++=+12231x x k -=+，()()()()()112212121212212,1,11113PM PN x y x y x x y y x x kx kx k x x ∴⋅=-⋅-=+--=+⋅=+=-综上所述：＝－3∴为定值.PM PN ⋅ PM PN ⋅。

2021年高二下学期开学考试数学(理)试题含答案

2021年高二下学期开学考试数学（理）试题含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、在等差数列中，若，则该数列的前9项的和为（） A 、17B 、18C 、19D 、202、点到直线的距离为（） A 、B 、C 、D 、3．已知角的终边过点P(-4k ,3k ) (), 则的值是（）A ．B ．或C ．D ．以上都不对4. 函数在上取最大值时，的值为（）Ａ．0 Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A. B. C. D.6．关于直线以及平面M 、N ，下面命题中正确的是（） A ．若 B ．若C ．若D ．若，则7．已知均为锐角，若:sin sin(),:,2p q p q πααβαβ<++<则是的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 右图中程序运行后输出的结果为 ( )A. 50B. 5C. 25D. 09．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）10．从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品主视图左视图BAC D44 8 4 主视图侧视图俯视图 ABCC 1B 1NM不全是次品”，则下列结论正确的是（）A ．B 与C 互斥 B ．A 与C 互斥 C ．任两个均互斥D ．任两个均不互斥 11.已知椭圆C ：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若。

则k = ( ) A.1 B. C. D.212．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a ，b 属于同一‘类”的充要条件是“a -b ∈[0]” 其中，正确结论的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13.数据x 1,x 2, …,x 8的平均数为6，标准差为2，则数据2x 1-6,2x 2-6, …,2x 8-6的方差为_________. 14．已知sin2α=,，则sin α＋cos α的值为 15．记函数在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的值为____________16．过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，为准线上一点，若直线与直线的斜率之和为，则点的坐标为___________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分10分)设命题命题若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18、（本小题满分12分）在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足： 2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。

高级高二数学下学期开学考试试题理含解析

高中2021—2021学年度下学期高二期初考试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

理科数学试题一、选择题〔每一小题只有一个正确选项，每一小题5分，一共计60分〕满足，那么复数的一共轭复数在复平面中对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先由复数的除法运算求出，得到其一共轭复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，故，因此在复平面中对应的点为，位于第二象限.应选B【点睛】此题主要考察复数的除法运算以及复数的几何意义，熟记运算法那么与几何意义即可，属于根底题型.的零点所在的区间为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点的存在定理，逐项判断即可得出结果.【详解】因为，所以，，,，，故，排除A；，排除B；，排除C；，应选D【点睛】此题主要考察函数的零点，熟记零点的存在定理，属于常考题型.3.，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由求得，然后利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为，所以-,，，应选D.【点睛】此题主要考察诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题. “给值求值〞问题：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角〞，使其角一样或者具有某种关系．，且，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的充要条件可得：，从而可得结果.【详解】因为向量，且，所以由向量垂直的充要条件可得：，解得，即的值是，应选A.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：〔1〕两向量平行，利用解答；〔2〕两向量垂直，利用解答.，满足约束条件，那么的最大值是〔〕A. 3B. 7C. 5D. 1【答案】B【解析】【分析】先根据约束条件作出可行域，再由表示直线在轴上的截距，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：由可得，因此表示直线在轴上的截距，由图像易得，当直线经过点时，截距最大，即取最大值.由可得.因此.应选B【点睛】此题主要考察简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，根据目的函数的几何意义即可求解，属于根底题型.中，，那么〔〕A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{a n}中，由与作和得：=〔〕+-〔〕∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．∴a5=6．应选：C．【点睛】此题考察等差数列的性质，是根底的计算题．在上是增函数，且，那么满足的实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，，可得，实数的取值范围是,应选A.【点睛】此题主要考察抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考察是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性一样)，然后再根据单调性列不等式求解.中，三个内角，，，所对边为，，，假设，那么一定是〔〕A. 直角三角形 B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理将化为，从而可得或者，进而可得出结果. 【详解】因为，所以，即，即，所以或者，因此，或者.故一定是等腰三角形或者直角三角形.应选D【点睛】此题主要考察判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于根底题型.9.如图，正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是〔〕A. 平面平面B. 平面C. 当为的中点时，的周长获得最小值D. 三棱锥的体积不是定值【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面垂直断定，可知A正确；由直线与平面平行可知B正确；根据两点间隔最短，可得C 正确；由三棱锥等体积法可求得，可知D错误。

2021年高二下学期入学考试数学(文)试题含答案

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={x|x≤-4或x≥2}，B={x||x-1|≤3}，则等于∁R（A∩B）（）A. B.时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足=，=2-cos B，求f（B）的值．21.（12分）设函数f（x）=log a（x-3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）若当x∈时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．22.（12分）已知圆C：x2+（y-3）2=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．入学考试答案和解析【答案】1.C2.D3.B4.D5.B6.C7.A8.D9.B 10.B 11.D 12.D13.②⑤14.15.1016.17.解：（1）散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系．；（2）∵=4，=5，x i y i=112.3，=90，∴===1.23； =-x=5-1.23×4=0.08．（3）线性回归直线方程是=1.23x+0.08，当x=12（年）时，=1.23×12+0.08=14.84（万元）．即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元．18.证明：（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，证明如下：∵ABCD为正方形，∴N是BD的中点，又M是DE中点，容易知道MN∥BE，BE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE，∴MN∥平面ABE（Ⅱ）取AB的中点F，连接EF因为△ABE是等腰直角三角形，并且AB=2所以EF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，EF⊂平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高，==∴VE-ABCD19.解：（1）∵a1+a4=14，∴2a1+3d=14，①∵a1，a2，a7成等比数列，∴，即，②由①②得d2=4a1d，∵d≠0，∴d=4a1，代入①解得d=4、a1=1，∴a n=a1+（n-1）d=4n-3，S n==2n2-n；（2）由（1）知，∵{b n}是为等差数列，∴2b2=b1+b3，即=，解得，或k=0（8分），①当时，即b n=2n，则∴=（10分）②当k=0时，b n=2n-1，则=，∴=，=或．（12分）综上可得，Tn20.解：（1）∵=（sinx，1-sinx），=（2cosx，1+sinx）．∴f（x）=•=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵x∈，∴2x+∈，∴sin（2x+）∈，∴f（x）=2sin（2x+）∈．（2）∵=2-cos B，可得：sin B cos A=2sin A-cos B sin A，∴2sin A=sin C，由正弦定理可得：2a=c，又∵=，可得：b=，∴由余弦定理可得：cos B===，可得：B=，∴f（）=2sin（2×+）=1．21.解：（1）由题意，y=f（x）=log（x-3a），a-y=g（x-2a），则g（x-2a）=-log a（x-3a），令t=x-2a，则g（t）=-log a（t-a），则g（x）=-log a（x-a）．（2）∵f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞），∴⊆（3a，+∞）∴a+2＞3a＞0，∴0＜a＜1，∴|f（x）-g（x）|≤1可化为a≤x2-4ax+3a2≤，又∵x∈时，x2-4ax+3a2=（x-2a）2-a2∈∴，∴0＜a≤．22.解：（Ⅰ）∵直线l与直线m垂直，且，∴k l=3，又k AC=3，所以当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意，②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，因为，所以，则由CM==1，得，∴直线l：4x-3y+4=0．从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0；（Ⅲ）因为CM⊥MN，∴，当直线l与x轴垂直时，易得，则，又，∴，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则由，得N（，），则，∴=，综上，与直线l的斜率无关，且．【解析】1. 解：集合A={x|x≤-4或x≥2}，B={x||x-1|≤3}={x|-3≤x-1≤3}={x|-2≤x≤4}，则A∩B={x|2≤x≤4}，∁（A∩B）={x|x＜2或x＞4}=（-∞，2）∪（4，+∞）．R故选：C．（A∩B）即可．化简集合B，根据交集与补集的定义写出∁R本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2. 解：①S=2，i=2，②S=2+22=6，i=3，③S=6+23=14，i=4，④S=14+24=30，i=5＞4，故选D．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．3. 解：由直观图可得原图如图所示，且OA=2，，所以AB=6，所以周长为16，故选：B．根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．4. 解：由题意可知：产量x的平均值为==4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由==3.5，解得：a=4.5，表中a的值为4.5，故选：D．由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得a的值．本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点（，），考查计算能力，属于基础题．5. 解：f（x）的图象如图所示，方程有3个不同的解，即有3个不同的解，等价于y=f（x）与的图象有3个不同的交点，因为直线恒过，所以满足条件的直线应在图中的l1与l2之间，斜率分别是，，故，故选B．方程有3个不同的解，即有3个不同的解，等价于y=f（x）与的图象有3个不同的交点，因为直线恒过，所以满足条件的直线应在图中的l1与l2之间，求出斜率，即可得出结论．本题考查方程解的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．6. 解：∵对平面内任意点Q都有，λ∈R，∴三点A、B、C共线，即AB为圆C的直径．∴，⇒…①，…②．②-①得=；∵点C到直线直线l2的距离为3，∴，∴的最小值为5．故选：C．由，λ∈R，得三点A、B、C共线，由向量的线性运算的，⇒…①，…②．②-①得=，求出PC范围即可．本题考查了向量的线性运算，数形结合、转化思想是关键，属于压轴题．7. 解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，则a×+b×+c×=0，∴a×+b×（+）+c×（+）=0，∴（a+b+c）=b+c，∴=+，∵，∴λ1=，λ2=，∴=故选：A利用O为△ABC内角平分线的交点，则有a×+b×+c×=0，再利再利用三角形中向量之间的关系，将等式变形为=+，利用平面向量基本定理即可解．本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．8. 解：f（x）=sin（π-ωx）sin（+φ）-sin（ωx+）sinφ=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ），由题意，设函数f（x）的周期为T，可得：＜，解得：T＜，可得：＜，∵可得：-＞，∴函数f（x）在（，）单调递增．故选：D．利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式开始f（x）=sin（ωx+φ），由函数图象可得＜，可求-＞，可得f（x）在（，）单调递增，即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9. 解：∵2=2+，∴2-2=，即，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B．根据2=2+，利用向量减法的三角形法则得到，然后根据向量的定义和共线向量定理即可求得答案．本题考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则，对2=2+变形是解决此题的关键，属基础题．10. 解：根据约束条件画出可行域如图：z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2-4表示点P（-2，0）到可行域的点的距离的平方减4．由，解得A（2，2）当点A到点P（-2，0）距离最大，z=x2+y2+4x=4+4+8=16．故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2-4表示点（-2，0）到可行域的点的距离的平方减4，故只需求出点（-2，0）到可行域的距离的最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11. 解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，即有a82=4a8，解得a8=4（0舍去），即有b8=a8=4，由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．故选：D．由等差数列的中项的性质可得a3+a13=2a8，解得a8，再由等比数列的中项的性质，可得b4b12=b82，即可得到所求．本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于基础题．12. 解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1=，∴a2===，a==，3a===，4a==，5a===，6…由此可知：a n=，∵===1+=1+（-），∴++…+=n+1+（1-+-+…+-+-）=n+1+（1+--）=n+-（+），又∵不等式++…+＜n+λ对任何正整数n恒成立，∴实数λ的最小值为，故选：D．通过计算出数列{a n}的前几项可知a n=，进而变形可知=1+（-），并项相加、放缩即得结论．本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．13. 解：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确，对于③α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，对于④若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确，对于⑤根据线面垂直的性质，若a⊥α，b⊥β，则α∥β，故正确故答案为：②⑤对于①③，根据线面垂直的判断定理，对于②④⑤线面垂直的性质定理，判断即可．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．14. 解：0＜x＜，且sin（2x-）=-，可得-＜2x-＜0，则cos（2x-）==，即有sin2x=sin==×（-+）=，则sinx+cosx====．故答案为：．由x的范围，可得-＜2x-＜0，可得cos（2x-）的值，再由sin2x=sin，运用两角和的正弦公式，以及sinx+cosx=，计算即可得到所求值．本题考查三角函数的求值，考查两角和的正弦公式和同角基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15. 解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5-2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n-1）=2n+1，．则=，=3+++…+，Tn所以T=+++…++，n=3+++++…+-两式作差得Tn=3+（1+++…+）-=3+-=3+2-2•（）n-1-，即T=10-（）n-3-＜10，n＜M对一切正整数n都成立，由Tn∴M≥10，故M的最小值为10，故答案为：10利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{a n}以及{b n}和{}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．16. 解：如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，则O（0，0），A（3，0），C（0.3），B（3，3），∵2BM=MC，AN=NB，∴M（1，3），N（3，），设P（x，y），∵（λ，μ为实数），∴=λ（3，0）+μ（0，3）=（3λ，3μ），∴，即，∴λ=-=（3x-y），令z=3x-y，即y=3x-z，由M（1，3），N（3，），得到直线MN的方程为3x+4x-15=0，则x，y满足的区域为，如图所示，当目标函数z=3x-y，过点N（3，）时，Z最大，则z max=3×3-=9-=，∴（λ）max=×=故答案为：如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到λ=-=（3x-y），构造目标函数，利用可行域即可求出最值．本题考查了向量的坐标运算和和线性规划的问题，关键是构造目标函数，属于中档题．17.（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，MN∥BE，由线线平行⇒线面平行；（II）取AB的中点F，连接EF，求出EF，因为平面ABCD⊥平面ABE，交线为EF，证明EF为四棱锥E-ABCD的高，代入棱锥的体积公式计算．本题考查了线面平行的证明，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力能力与推理论证能力．18.（1）由等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，联立方程求出d、a1，由等差数列的通项公式求出a n，由等差数列的前n项和公式求出S n；（2）由（1）和条件化简b n，由等差数列的性质列出方程求出k的值，代入求出b n 和，利用裂项相消法求出Tn．本题主要考查等差数列通项公式和前n项和的公式，等比中项的性质，数列求和的方法：裂项相消法，考查方程思想，化简、计算能力．19.（1）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理后，利用了三角函数图象和性质即可求得其值域；（2）由已知及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理可求2a=c，由已知利用余弦定理可求cos B的值，进而可求B，结合（1）利用特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，三角函数图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．20.（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；（Ⅱ）分两种情况：①当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；②当直线l 与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d 等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（Ⅲ）根据CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法则化简等于•，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到与直线l的倾斜角无关．此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．21.（1）利用描点法作出散点图；（2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程；（3）把x=12代入回归方程得y值，即为预报变量．本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心．22.（1）由题意，y=f（x）=log a（x-3a），-y=g（x-2a）；则g（x-2a）=-log a（x-3a），利用换元法求函数解析式；（2）先由f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞）可知0＜a＜1，进而化简|f（x）-g（x）|≤1为a≤x2-4ax+3a2≤，从而求a．本题考查了图象的变换及换元法求函数的解析式及函数的定义域的应用，属于基础题．。

2021学年高二数学下学期入学考试试题一

2021学年高二下学期入学考试数学（一）一、单选题 1．若复数z 满足21z i i=+，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】根据复数的四则运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z 即可. 【详解】 ∵复数z 满足21z i i=+， ∴22(1)=11(1)(1)i i i z i i i i -==+++-，故1z i =-．故选：B 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.复数的除法：除法的关键是分母实数化，解题时要注意21i =-及复数z a bi =+的共轭复数为za bi2．已知()tan 1f x x =+，()f x '为()f x 的导数，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】求得()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值. 【详解】()sin tan 11cos x f x x x =+=+，()2222cos sin 1cos cos x x f x x x+'∴==，因此，14134f π⎛⎫== ⎪⎝⎭'. 故选：A. 【点睛】本题考查导数值的计算，求得()f x '是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3．复数()52412z i i i=++-在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先对复数进行除法和乘法运算，再根据实部和虚部找出对应的点，即可得出对应的象限．【详解】解：∵()()()()5125242434121212i z i i i i i i i +=++=+-=-+--+， ∴z 在复平面内对应点的坐标为()3,4-，位于第二象限．故选：B 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题． 4．若180,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()D X =（）A ．20B ．40C ．15D ．30【答案】C【解析】利用二项分布的方差公式可求得()D X 的值. 【详解】180,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，因此()13801544D X =⨯⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查二项分布的方差的计算，考查计算能力，属于基础题.5．已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=（） A ．0.5 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.6【答案】B【解析】由题意可知曲线关于4x =对称，利用曲线的对称性求()26P ξ<<即可. 【详解】由随机变量ξ服从正态分布()24,N σ可知对称轴为4x =，所以()()260.3P P ξξ<=>=，所以()26120.30.4P ξ<<=-⨯=．故选：B 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于x= μ对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()f x '的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 在()3,+∞上单调递增B ．()f x 的最大值为()1fC ．()f x 的一个极大值为()1f -D ．()f x 的一个减区间为()1,3【答案】D【解析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由()f x '的部分图象并不能确定()f x 在()3,+∞上单调递增，故A 错误；同理，()f x 的最大值也不一定为()1f ，故B 错误；由图可知()1f -为()f x 的一个极小值，故C 错误；当()1,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()1,3上单调递减，故D 正确．故选：D. 【点睛】此题考查了原函数与导函数间的关系，极值与导数的关系，属于基础题. 7．若()03f x '=，则()()0003lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．3B ．9C ．19D ．6【答案】B【解析】利用导数的定义即可得到答案. 【详解】()()()()()00000033lim3lim393x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．故选：B 【点睛】本题主要考查导数的定义，属于简单题.8．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（） A ．12000 B ．15000 C ．18000 D ．21000【答案】A【解析】男生不相邻用插空法，男生甲不站最左端可在插入男生时先安排甲，然后再插入另两个男生．用分步计数原理．【详解】三男五女站成一排照相，要求男生不能相邻，用插空法，插入男生时先把男生甲插入5个空中，再在其他5个空位中插入其他两个男生，方法有5255512000A A ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查排列的应用，解题时不相邻问题用插空法，特殊位置特殊元素优先安排．9．二项式n的展开式中第13项是常数项，则n =（）A ．18B ．21C ．20D ．30【答案】D【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式n的展开式中第13项1210121212313n n n n T C C x --⎛== ⎝，令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．设点P 是曲线()()21ln f x x x =+-上的任意一点，则点P 到直线340x y --=的距离的最小值为（）A B C ．D 【答案】A【解析】先判断直线与曲线的位置关系，然后求出平行于直线340x y --=且与曲线()()21ln f x x x =+-相切的切点坐标，再利用点到直的距离公式可求得结果.【详解】解：令()()()221ln 345ln g x x x x x x x =+---=-+-，则()()()121x x xx g -+'=，易知()()min150g x g ==>，所以曲线()y f x =的图象在直线34y x =-的上方．()()121f x x x'=+-()0x >，令()1213x x+-=，得1x =或12x =-，因为()14f =，所以点P 到直线340x y --=的距离的最小值d ==．故选：A 【点睛】此题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法和导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于基础题.11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（） A ．36种 B ．48种 C ．68种 D ．84种【答案】C【解析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有1122142424C C C C C 20+⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有0211132224242424C C C C C C C C 28⋅+⋅+⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣五名医生，则共有031223242424C C C C C C 20⋅+⋅+⋅=种方案．综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种．故选：C. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 12．已知对任意实数x 都有()()3xf x e f x '=+，()01f =-，若不等式()()2f x a x <-（其中0a >）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（）A ．41,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．274,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．271,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()()3xf x e f x '=+可得()()3xf x f x e '-=，构造函数()()xf xg x e =，可得()3g x '=，再结合已知可求出()f x ，画出()f x 图象，设()(2)h x a x =-，只需满足(1)(1)(2)(2)f h f h -<-⎧⎨-≥-⎩，求解即可.【详解】设()()()(),()3x xf x f x f xg x g x e e '-='==，所以()3(g x x c c =+为常数），得()()(3)x x f x g x e x c e =⋅=+，(0)1,()(31),()(32)x x f c f x x e f x x e ==-∴=-'=+，当23x >-时，()0f x '>，当23x <-时，()0f x '<，所以()f x 的递增区间是2(,)3-+∞，递减区间是2(,)3-∞-，,()0,,()x f x x f x →-∞→→+∞→+∞，设()(2)h x a x =-，可知该函数恒过点(2,0)，画出(),()f x h x 的图象，如下图所示，不等式()()2f x a x <-（其中0a >）的解集中恰有两个整数，则这两个整数解为0,1-，所以(1)(1)(2)(2)f h f h -<-⎧⎨-≥-⎩，即124374e a e a --⎧-<-⎨-≥-⎩，解得27443a e e ≤<. 故选：C.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用、函数的概念与性质以及解不等式，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.二、填空题 13．若复数3()12aia R i-∈-是纯虚数，则2a i +=______. 10【解析】首先利用复数的除法运算化简复数，之后根据纯虚数的定义为实部为0，且虚部不为0，再利用复数模的公式求得结果. 【详解】因为3(3)(12)32(6)1255ai ai i a a ii --+++-==-为纯虚数，则320,60a a +=-≠，即32a =-，所以2310a i i +=-+=10.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，纯虚数的概念，复数模的公式，属于基础题目.14．由一组观测数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 得回归直线方程为ˆˆ3yx a =+，若 1.5x =，2y =则ˆa=____________．【答案】 2.5-【解析】由题意结合样本中心点在回归直线上，代入即可得解. 【详解】因为 1.5x =，2y =，回归直线方程为ˆˆ3yx a =+，所以ˆ23 1.5a=⨯+，解得ˆ 2.5a =-．故答案为： 2.5-. 【点睛】本题考查了线性回归方程性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 15．已知函数()2ln 1e xf x x+=+-，则()f x 的最大值为__________．【答案】1【解析】先求函数的定义域，再求导，求出函数的单调区间，即可求出()f x 的最大值【详解】解：因为()2ln 1e xf x x +=+-，所以它的定义域为{}0x x >，求导得()21ln xf x x +'=-．令()0f x '>，得10e x <<，令()0f x '<，得1ex >，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为11e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为：1 【点睛】此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.三、双空题16．若()10210012101x a a x a x a x +=++++，则268a a a ++=__________；123102310a a a a ++++= __________．【答案】300 5120【解析】由二项式的通项公式可知268268101010a a a C C C ++=++；对()10210012101x a a x a x a x +=++++左右两边分求导得，然后令1x =，可求出123102310a a a a ++++的值.【详解】解：因为通项公式110r r r T C x +=⋅，所以268268101010300a a a C C C ++=++=．因为()10210012101x a a x a x a x +=++++，两边求导可得()929123101012310x a a x a xa x +=+++，令1x =，所以91231023101025120a a a a ++++=⨯=．故答案为：300；5120 【点睛】此题考查二项式展开式的系数的关系，利用了赋值法求解，属于基础题.四、解答题17．学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到22⨯列联表的部分数据如下表：（1）补全22⨯列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关. 【解析】（1）由总人数为100可补全表中的数据（2）算出2K 即可【详解】（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：（2）根据表中数据，得22100(40302010)5016.66710.828406050503K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关. 【点睛】本题考查的是独立性检验,计算能力是解答本题的关键.18．设函数()3223f x x x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为121y x =-+.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的极值.【答案】（1）()3223121f x x x x =+-+；（2）极大值为21，极小值为6-.【解析】（1）求()f x '，由已知可得(0)1,(0)12f f ='=-，求出,a b 值即可；（2）由（1）得()f x '，求解不等式0f x f x '()>0,'()<，得到()f x 的单调区间，即可得出结论. 【详解】（1）()()32223,66f x x x ax b f x x x a =+++∴'=++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为121y x =-+，所以(0)1,(0)12f b f a =='==-，()3223121f x x x x ∴=+-+；（2）由（1）得()266126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0,2f x x '==-或1x =，()0,2f x x '><-或1,()0,21x f x x >'<-<<，()f x ∴递增区间是(,2),(1,)-∞-+∞，递减区间是(2,1)-， ()f x ∴的极大值为(2)21f -=，极小值为(1)6f =-.【点睛】本题考查导数的几何意义以及应用导数求函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题. 19．某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）参考数据：回归直线的方程是y bx a =+，其中()()()1221121niii nnin i i ii ii x y nx y b n x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑，a y bx =-．95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑．【答案】（1）6；689；（2） 1.3 1.1y x =-，12人．【解析】（1）由表格中的数据，利用平均数和方差的公式，即可求解；（2）由表中近五年的数据，利用公式，求得ˆˆ,b a ，求得回归直线方程，代入10x =，即可作出结论．【详解】（1）由表格中的数据，利用平均数的计算公式，可得2354578101069++++++++=．由方差的公式，可得()()()2222168263610699s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦．（2）由表中近五年的数据知，7x =，8y =，95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑，9592255293578ˆ 1.32555495i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，又a y bx =-，所以8 1.37 1.1a =-⨯=-，故y 与x 的线性回归方程为 1.3 1.1y x =-，当10x =时， 1.310 1.111.912y =⨯-=≈，故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的计算，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，根据公式准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.20．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[)35,45的概率为15，求出表格中,m n 的值；（2）若从年龄在[)45,55的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）25m =，13n =；（2）分布列见解析，165【解析】（1）由题知25m =，由古典概率公式可得1525n n =+，求得13n =；（2）由分层抽样计算得抽取10人中赞成的有8人，随机变量X 的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此可求出随机变量X 的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）因为总共抽取100人进行调查，所以10010152025525m =-----=，因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35,45)的概率为1525n n =+，所以13n =.（2）从年龄在[45,55)中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取2010825⨯=人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X 的可能取值为2，3，4.12402822(2)15C C C P X ⋅===， 3182410C C 8(3)C 15P X ⋅===， 40824101(4)3C C P X C ⋅===. X 的分布列为所以28116234151535EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，离散型随机变量的分布列与期望，分层抽样，考查了学生数据分析与运算求解能力，体现了数学运算，数学建模，数据分析等核心素养. 21．随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G 手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G 手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在[) 1000,3500之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；（2）若人们对5G 手机能接受的价格X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数x ，2σ为样本方差2s ，求()23502974P X <<．6.24≈．若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=．【答案】（1）35；（2）0.3413. 【解析】（1）由102020100x y ++++=和接受价格的平均值为2350，可得50x y +=和79410x y +=，求得,x y ，再由分层抽样得，在第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人,根据古典概率可得答案；（2）由题意可知2350x μ==，求得2s ，得σ，可求得故()()23502974P X P X μμσ<<=<<+的值．【详解】（1）因为102020100x y ++++=，所以50x y +=．因为102020125017502250275032502350100100100100100x y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以79410x y +=，解得20x，30y =．因为第1组的人数为10，第2组的人数为20，第3组的人数为30．所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，其中第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人．所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率113326C C 3C 5P ==．（2）由题意可知2350x μ==，又()()()22220.1125023500.2175023500.322502350s =⨯-+⨯-+⨯-()()220.2275023500.232502350390000+⨯-+⨯-=，所以624σ=≈，故()()23502974P X P X μμσ<<=<<+10.68260.34132=⨯=．【点睛】本题考查由已知条件求得所缺的统计数据，分层抽样方法，古典概率，正态分布，属于中档题.22．已知函数()()2ln f x x m x m R =+∈.（1）当1m =-时，求()f x 的最值；（2）当2m =时，记函数()()()5g x f x ax a =-≥的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <，求()()21g x g x -的最大值. 【答案】（1）min 1ln 2()2f x +=，无最大值.（2）154ln 24- 【解析】（1）当1m =-时，函数()2ln f x x x =-，求出函数的导函数，令()'0f x =，从而得到函数的单调区间，求出函数的最值；（2）当2m =时，2()2ln (0)g x x x ax x =+->，求出导函数，由函数有两个极值点，可知1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个不等实根，由韦达定理可得122a x x +=，121=x x ，因此()()2221222212ln g x g x x x x -==-+，令22t x =，则()()2112ln g x g x t t t -=-+，依题意可得22x ≥，则令1()2ln h t t t t=-+，[)4,t ∈+∞，利用导数说明其最值即可；【详解】解：（1）当1m =-时，函数()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，2121'()2x f x x x x-=-=，令()'0f x =，得2x =，所以函数()f x在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min1ln 2()22f x f ⎛+== ⎝⎭，无最大值.（2）当2m =时，2()2ln (0)g x x x ax x =+->，2'()2g x x a x=-+. 因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个不等实根，所以122ax x +=，121=x x ，因此()()()()22212221112ln 2ln g x g x x ax x x ax x -=-+--+()()222211212122lnx x x x x x x x =-++-+22222122221212ln 2ln x x x x x x x =-+=-+. 令22t x =，则()()2112ln g x g x t t t-=-+，因为22x =≥=，所以[)224,t x =∈+∞.令1()2ln h t t t t=-+，[)4,t ∈+∞，则222221221(1)'()10t t t h t t t t t-+-=--+=-=-<，在[)4,t ∈+∞上恒成立，所以1()2ln h t t t t=-+在[)4,t ∈+∞上单调递减，故max 115()(4)42ln 44ln 244h t h ==-+=-. 即()()21g x g x -的最大值为154ln 24-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，单调性以及极值问题，属于中档题.。

2021年高二下学期入学数学理试卷含解析

2021年高二下学期入学数学理试卷含解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）不等式的解集是（）A．（﹣3，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）考点：其他不等式的解法．分析：直接求解或转化为二次不等式求解．解答：解：不等式⇔（x﹣2）（x+3）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），故选C．点评：本题为解简单的分式不等式，较简单．2．（5分）（xx•广东模拟）使不等式x2﹣3x＜0成立的必要不充分条件是（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由题意解不等式x2﹣3x＜0，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件．解答：解：∵x2﹣3x＜0，∴x（x﹣3）＜0，∴解不等式得0＜x＜3，∴0＜x＜4是不等式x2﹣3x＜0成立的必要不充分条件，但B选项是充要条件，只有A才满足条件，故选A．点评：首先正确解不等式，再判断选项是否为必要条件，但不是充分条件．3．（5分）（xx•沈阳二模）已知{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线斜率为（）A．4B．C．﹣4 D．﹣考点：等差数列的性质；直线的斜率．专题：综合题．分析：由S5=55，求出a3的值，即可求出a4﹣a3的值，利用两点求斜率的方法表示出直线的斜率，然后把a4﹣a3的值代入即可求出直线的斜率．解答：解：∵{a n}是等差数列，∴S5=5a3=55，∴a3=11．∴a4﹣a3=15﹣11=4，∴k PQ===4．故选A点评：此题考查学生运用等差数列的性质化简求值，会根据两点的坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．4．（5分）（xx•湖北）若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=（）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系．分析：根据（sinA+cosA）2=1+sin2A，即得答案．解答：解：由sin2A=2sinAcosA＞0，可知A这锐角，所以sinA+cosA＞0，又，故选A．点评：考查同角三角函数间的基本关系．5．（5分）（xx•安徽）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2C．﹣4 D．4考点：抛物线的标准方程；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值．解答：解：椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4，故选D．点评：本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程．6．（5分）已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（）A．15 B．21 C．19 D．17考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得=1，求得a1的值，代入前八项之和公式可得=（28﹣1）．解答：解：由题意可得=1，∴a1=，故前八项之和等于=（28﹣1）=17，故选D．点评：本题考查等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，求出a1的值，是解题的关键．7．（5分）p：∀x∈R*，y=递减，q：在R上，函数y=||递减．则下列命题正确的是（）A．p∨q B．p∧q C．¬p∧q D．q考点：复合命题的真假．分析：利用函数的性质首先判断命题p与命题q的真假性，再结合复合命题的真值表判断出复合命题的真假，进而得到正确的答案．解答：解：由题意得y=所以y′=所以函数在（0，+∞）上递减．所以命题p是真命题．由题意得函数y=||函数在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．所以命题q是假命题．由真值表p∨q是真命题．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟悉判断简单命题与复合命题的方法，以及熟练的掌握函数的一个性质．8．（5分）（xx•密云县一模）如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（xx•苏州模拟）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是6．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．解答：解：∵a+b=2∴3a+3b≥2=2=6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6点本题主要考查基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”，评：为要满足的条件．10．（5分）在等差数列{a n}中，a1=120，d=﹣4，若S n≤a n（n≥2），则n的最小值为62．考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的首项和公差求出通项和前n项和，代入不等式S n≤a n后求解关于n的二次不等式即可得到答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a1=120，d=﹣4，得：a n=a1+（n﹣1）d=120﹣4（n﹣1）=124﹣4n，=122n﹣2n2由S n≤a n，得：122n﹣2n2≤124﹣4n．即n2﹣63n+62≥0．解得：n≤1或n≥62．因为n≥2，所以n≥62．所以n的最小值为62．故答案为62．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的计算题．11．（5分）（xx•江苏）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18．考点：简单线性规划．分析：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18．点评：本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．12．（5分）下列命题：①∀x∈R，x2≥x；②∃x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠﹣1”．中，其中正确命题的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专阅读型．分析：①∀x∈R，x2≥x，可找出反例，证明①不正确；②∃x∈R，x2≥x，找出一个使②成立的x即可；③4≥3，成立；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠﹣1”，不成立．x2≠1的充要条件是x≠1且x≠﹣1．解答：解：当x=0.1时x2≥x不成立，故①不正确；显然②正确；③是“4＞3或4=3”，正确；④x2≠1的充要条件是x≠1且x≠﹣1，故④不正确．故答案为：②③．点评：本题考查四种命题的真假关系，解题时要认真分析，仔细思考，全面考虑，不要出现错解．13．（5分）△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2=ac，2b=a+c，则此三角形形状是等边三角形．考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：把2b=a+c两边平方后，将b2=ac代入即可得到a与c相等，将a=c代入2b=a+c中得到b与c也相等，根据等量代换得到三角形的三边相等，从而得出结论．解答：解：由于△ABC的三边分别为a，b，c且满足2b=a+c，∴4b2=（a+c）2 ．又∵b2=ac，∴（a﹣c）2 =0，∴a=c．∴2b=a+c=2a，∴b=a，即a=b=c，故此三角形形状是等边三角形，故答案为等边三角形．点评：此题考查学生灵活运用和与差的完全平方公式化简求值，掌握等边三角形的判别方法，属于中档题．14．（5分）（2011•惠州模拟）已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先求出抛物线y2=16x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=16x的焦点是（4，0），∴c=4，a2=16﹣9=7，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力．解题时要抛物线的性质进行求解．三、解答题（6题共80分）15．（12分）已知p：|1﹣|≤2，q：（x﹣1）2﹣m2≤0，且¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：利用二次不等式与绝对值不等式，分别求解p，q，推出￢p，￢q．利用￢p是￢q 的充分而不必要条件，列出关系式，求实数m的取值范围．解答：解：由：|1﹣|≤2可得：﹣2≤x≤10，由（x﹣1）2﹣m2≤0可得：1﹣|m|≤x≤1+|m|，（6分）∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴p是q的必要不充分条件∴即﹣3≤m≤3∴实数m的取值范围是[﹣3，3]（12分）点评：本题考查绝对值不等式，命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力．16．（12分）已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题．分析：（1）由题意，应该先设出点M的坐标及圆的半径，利用题中的条件建立方程求解即可；（2）由题意利用所给的条件信息及（1）中的圆的半径与a，b的关系和离心率进而求解出椭圆的方程．解答：解：（1）设M（x0，y0），圆M的半径为r．因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，所以MF⊥x轴，所以x0=c，r=|y0|①因为点M在椭圆上，所以将上式代入上式得，因为a2﹣c2=b2所以即：②又因为圆M与y轴相切，所以M到y轴的距离等于半径r，即：r=|x0|③由①，②，③得即：b2=ac从而得c2+ac﹣a2=0两边同除以a2，得：（，，e2+e﹣1=0解得：因为e∈（0，1）故：．（2）因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，M到圆y轴的距离又由（1）知：，d=c所以，，又因为a2﹣b2=c2从而有a2﹣2a﹣3=0解得：a=3或a=﹣1（舍去）b2=2a=6 所求椭圆方程是：点评：（1）此问重点考查了利用方程的思想先设出变量在利用条件进行建立方程求解，还考查了椭圆的基本性质和学生的运算能力；（2）此问重点考查了利用所给信息先简化变量，还考查了一元二次方程的求解方法．17．（14分）已知A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求b的长．考点：解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据可得=0，化简得到sin（A﹣）=．再由0＜A＜π可得﹣＜A﹣＜，从而得到A﹣=，由此求得A的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求出sinB 的值，由正弦定理，得，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）∵，∴=（，cosA+1）•（sinA，﹣1）=sinA+（cosA+1）•（﹣1）=0，即sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣）=．由于0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，A=．（Ⅱ）在△ABC中，，a=2，，∴sinB=．由正弦定理知：，∴=．点评：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．18．（14分）（xx•惠州一模）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；（3）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．考由三视图求面积、体积；与二面角有关的立体几何综合题．点：专题：作图题；综合题；转化思想．分析：（1）依据三视图的数据，以及位置关系，直接求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）连接AC，证明BD⊥平面PAC，说明不论点E在何位置，都有BD⊥AE；（3）点E为PC的中点，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，说明∠DFB 为二面角D﹣AE﹣B的平面角，解三角形DFB，求二面角D﹣AE﹣B的大小．解答：解：（1）由三视图可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，即四棱锥P﹣ABCD的体积为．（5分）侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．（2分）∴，（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（7分）证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．（9分）∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC．（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC．∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（12分）（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE 于F，连接BF．∵AD=AB=1，，，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．∴∠DFB为二面角D﹣AE﹣B的平面角．（15分）在Rt△ADE中，，又，在△DFB中，由余弦定理得，（18分）∴∠DGB=120°，即二面角D﹣AE﹣B的大小为120°．（20分）点评：本题考查由三视图求面积、体积，二面角及其度量，考查知识的灵活运用能力，计算能力，转化思想，是中档题．19．（14分）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）=，f（x）的最大值为．（1）求a和b，c的值；（2）解不等式．考点：复合函数的单调性；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（2+x）=f（2﹣x）可知f（x）图象关于x=2对称，即=2，由最大值为得f （2）=，即4a+2b+c=，由f（1）=，得a+b+c=，联立方程组解出即可；（2）由（1）可求出f（x）的单调区间，根据单调性可去掉不等式中符号“f”，转化为二次不等式组，解出即可，注意对数函数的定义域；解答：解：（1）∵f（2+x）=f（2﹣x）∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．∴f（2）=4a+2b+c=①且f（1）=a+b+c=②，③，联立①②③解得：a=﹣1，b=4，c=．（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=．∴，，由原不等式得：，故原不等式的解集是．点评：本题考查二次函数的性质及复合函数的单调性，考查学生的计算能力及灵活运用知识解决问题的能力，属中档题．20．（14分）（xx•天河区一模）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x n，…，x xx；y1，y2，…，y n，…，y xx．（1）求数列x n的通项公式；（2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列y n的一个通项公式，并证明你的结论；（3）求z n=x1y1+x2y2+…+x n y n（x∈N*，n≤xx）．考点：数列递推式；数列的求和；循环结构．专题：证明题；综合题．分析：（1）由框图，知数列x n中，x1=1，x n+1=x n+2，由此能导出x n．（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80．由此，猜想y n=3n﹣1（n∈N*，n≤xx）．然后构造成等比数列进行证明．（3）z n=x1y1+x2y2++x n y n=1×（3﹣1）+3×（32﹣1）+5×（33﹣1）++（2n﹣1）×（3n ﹣1）=1×3+3×32+5×33++（2n﹣1）×3n﹣（1+3+5++2n﹣1）然后用错位相减法进行求解．解答：解：（1）由框图，知数列x n中，x1=1，x n+1=x n+2∴x n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*，n≤xx）（4分）（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80由此，猜想y n=3n﹣1（n∈N*，n≤xx）．证明：由框图，知数列y n中，y n+1=3y n+2，∴y n+1+1=3（y n+1）∴∴数列y n+1是以3为首项，3为公比的等比数列．∴y n+1=3n，∴y n=3n﹣1（n∈N*，n≤xx）；（9分）（3）z n=x1y1+x2y2++x n y n=1×（3﹣1）+3×（32﹣1）+5×（33﹣1）++（2n﹣1）×（3n ﹣1）=1×3+3×32+5×33++（2n﹣1）×3n﹣（1+3+5++2n﹣1）记S n=1×3+3×32+5×33++（2n﹣1）×3n①则3S n=1×32+3×33+5×34++（2n﹣1）×3n+1②①﹣②，得﹣2S n=3+2×32+2×33+2×34++2×3n﹣（2n﹣1）×3n+1∴S n=（n﹣1）•3n+1+3，又1+3+5++2n﹣1=n2∴z n=（n﹣1）•3n+1+3﹣n2（n∈N*，n≤xx）．（14分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意错位相减法和构造成法的灵活运用．t38031 948F 钏37585 92D1 鋑33566 831E 茞*C36330 8DEA 跪Ci81k36692 8F54 轔+。

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2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
一、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试
时间120分钟；
二、本试卷为文、理合卷，注明理科的只理科考生做，注明文科的只文科考生
做，其它的文理考生皆做
三、填空题答案答在第Ⅱ卷相应横线上，否则不给分。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命
题中，真命题的个数是( )
2.A、1 B、2 C、3 D、4
3.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
4.A、开口向上，焦点为(0，1) B、开口向上，焦点为(0，)
5.C、开口向右，焦点为(1，0) D、开口向右，焦点为(0，)
6.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等
的向量是：( )
7.A、B、
8.C、D、
9.在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )
10.A、一解B、两解C、一解或两解D、无解
11.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )
12.A、-4 B、-6 C、-8 D、-10
13.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是，则不等式bx2-5x+a＞0的解是( )
14.A、x＜-3或x＞-2 B、x＜或x＞C、D、-3＜x＜-2
15.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以
A、B为焦点的椭圆”，那么( )
16.A、甲是乙成立的充分不必要条件B、甲是乙成立的必要不充分条件
17.C、甲是乙成立的充要条件D、甲是乙成立的非充分必要条件
18.已知数列的前n项和S n＝n2-9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝( )
19.A、9 B、8 C、7 D、6
20.设X∈R，[X]表示不大于X的最大整数，如：[π]＝3，[-1，2]＝-2，[0，5]＝0，则使[X2-1]
＝3的X的取值范围( )
21.A、B、C、 D、
22.设a，b是非零实数，则方程bx2+ay2＝ab及ax+by＝0所表示的图形可能是( )
23.
24.已知三个不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＞0；③2x2-8x+m≤0。

要使同时满足①式
和②式的所有x的值都满足③式，则实数m的取值范围是( )
25.A、m＞9 B、m＝9 C、m≤6D、0＜m≤9
26.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长
为（）
27.A、8 B、16 C、25 D、32
二、填空题(每题4分，共计16分)
28.方程表示双曲线，则k的取值范围是
29.若数列中，a n＝43-3n，则S n最大值n＝
30.若0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时X的值为
31.已知A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，若，且，则向量的坐标为。

三、解答题。

(本大题共6个小题，满分74分，解答要求写出步骤过程)
32.(本小题满分12分)△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC
＝150°，求AC的长及△ABC的面积。

33.
34.(本小题满分12分)已知a＞0且a≠1，设p：函数在上是减函数；q：方程有两个不等的
实数根。

若“”为假命题，“”为真命题，求a的取值范围。

35.(本小题满分12分)当a＞0时，解关于x的不等式。

36.(本小题满分12分)设数列的前n项和为为等比数列，且，
37.(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和T n。

38.(本小题满分14分)
39.(如图，ABCD是梯形，面ABCD，
且AB＝1，AD＝1，CD＝2，PA＝3，E为PD的中点。

(1) 求证：面PBC。

(2) 求直线AC与PB所成角的余弦值；
(本小题满分12分)已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为
3：7。

求椭圆和双曲线的方程。

高二数学试题参考答案一选择题：BBABB CBBCC BB
二填空题：13) k>1或k<-1；14) 14；15) ；16) (1，1，1)或(-1，-1，-1) 三解答题：
17解：在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°，
∴。

……………………3分
在△ACD 中，222AC (3)1231cos1507=+-⨯⨯⨯︒=…………6分
………………………………………………………………8分
……………………………………12分
18 (过程略)…………………………………………………12分
19 因为a>0，不等式可化为，下面对和1的大小讨论：
①当，即a ＝1时，不等式化为，解集为空集；
②当，即0<a<1时，不等式解集为；
③当，即a>1时，不等式解集为
每步4分
20解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2
当n≥2时，n n n 1n a S S 4n 2a 4n 2(n N )-+=-=-∴=-∈
n 1211n 1b 11b a 2,q b 2(n N )b 44-+⎛⎫∴====∴=⨯∈ ⎪⎝⎭
……………………………………6分
(2)由(1)知， 2n 1n 23n n n 12n 1n
n n n n T 13454(2n 1)44T 43454(2n 1)44(14)3T 1242424(2n 1)412(2n 1)4146n 55T 41299①②①②得分
---∴=+⋅+⋅+
+-⋅∴=+⋅+⋅+
+-⋅---=+⋅+⋅++⋅--=+----⎛⎫∴=⋅+ ⎪⎝⎭
21解：(1)取PC 中点为F ，连结EF ，BF
又E 为PD 的中点，所以EF//DC 且
所以EF//AB ，且EF ＝AB ，所以ABFE 为平行四边形
所以AE//BF ，因为面PBC ，所以AE//面PBC ……6分
(2) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0，0，0)，
B(1，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，3)，
E(0，)
从而＝(2，1，0)，＝(1，0，-3)。

设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为……………………14分-d23699 5C93 岓32907 808B 肋y o31736 7BF8 篸h^x22806 5916 外c25485 638D 掍。

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