实变函数与泛函分析概要第1~3章复习

注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n 的开区间
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c. P没有内点
d. P中的点全为聚点,没有孤 立点, P为完备(全)集.
e. P~ (0,1) ~ [0,1] ~ R+~ (a,b) (a<b)
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第五节 集的势·序集
1 2 0, , ,1 3 3
9
再次
9
如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之 为Cantor集。
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9 9
Cantor集的性质
a. P是闭集. b. mP=0. 去掉的区间长度和
1 1 n 1 3 2 1 n 2 1 3 n 1 3
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第三节一维开 集· 闭集 及其性质
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定义3.1 若集合 E 的每一个点都 E 的内点， 则称E为开集。
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4.开集的性质
A
B
定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
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第一章复习
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第一节
集及其运算
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集合:具有某种特定性质的事物的总体.
通常用大写英文字母A，B，X，Y… 等表示.
则称区间
且 , G
( , )为G的构成区间.
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定理4.1-1 直线R中任何非空的有界开集G都可 表示为有限个或可数个互不相交的构 成区间的并。
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根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集 的构造定理. 定理4.1-2 设F是非空的有界闭集，则F是由一闭 区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区 间(F的余区间)而成。
定义域 D(f) 值域 R(f)
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原 像
像
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单射,满射,一一对应(一一映射)
若x1, x2 X , x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 )
称f为单射；
若（ f X）＝Y , 即y Y , x X , 有f ( x) y
()
x０
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第四节 开集的构造
目的：掌握Cantor集的构造， 熟悉直线上开集与闭集的构造。 重点与难点：Cantor集的构造。
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定义4.1 设G是直线上有界开集，如果开区 间满足下面条件:
( , ) G ,
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定理3.3
任何集E的导集 E`为闭集
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闭集性质: 任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。
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例8 f(x)是直线上的连续函数当且仅当 对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
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从而 0, 使得 O( x0 , ) {x：f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) } (因为x0是{x：f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) }的内点)
也即当| x x0 | 时，有| f ( x) f ( x0 ) | 所以f ( x)在x0处连续。
证明：我们先证充分性：
由条件知对任意实数 c， {x：f ( x) c}, {x：f ( x) c}都为开集， 任取x0 R，下证f ( x)在x0处连续
0,{x：f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) } {x：f ( x0 ) f ( x)}{x：f ( x) f ( x0 ) }为开集，
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f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
()
x０
即O(x0 , δ) ∈ E ={x|f(x)>a},
即x0为E的内点，从而E为开集；
类似可证{x|f(x)<a}为开集, 从而{x|f(x)≥a} ={x|f(x)<a}c是闭集
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
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4 无最大势定理
定理5.1(Cantor定理): 设A是一个任意的非空集合，则2 A A.
从而说明无限也是分很多层次， 且不存在最大的集合.
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 2）[0,1]中的有理数全体
={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
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可数集性质： 定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。 （即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
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5. 连续势集的定义
定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然： n 0 例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ (a,b) (a<b) 2）无理数集为连续势集
（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比 代数数多得多）
i
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第二节 映射.集的对等.可 列集
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一.映射
1.定义
Def 2.1 设集合X, Y , f - -对应规则, x X, 有唯一 确定的y与之对应, 则称f为定义在X上的一个映射 f , 记为f : X Y , x X , f ( x) : x y f ( x)
定义
称集合:E {E的孤立点全体} E E
' '
为E的闭包, 记为E.
E' E
若 E E ，则称 E为完全集．
'
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定义3.3
闭集的(等价)定义 若EE ,则E为闭集.
R中只有空集和R既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
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差：A B或A \ B {x : x A但x B}
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
A B
注：A B A B
c
( A B) B A不一定成立
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则称f为满射；
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若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。
2 对等与势
定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在 着A到B的一一映射f（f既单又满）， 则称A与B对等,
记作
A ~ B
~ 约定 注：称与A对等的集合为与A有相同 的势（基数），记作 A
势是对有限集元素个数概念的推广
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定义
若Ec为开集，则称E为闭集。
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定理3.2 E为闭集的充分必要条件是
E' E
证明:
由于E E E E {E的孤立点全体 }
' '
故E E等价于E E
'
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必要性:若f(x)是直线上的实值连续函 数，只要证对任意常数a， E={x|f(x)>a}与E1={x|f(x)<a}是开集
而要证E={x|f(x)>a}是开集，只要证Ｅ中 的点都为内点 任取x0 ∈ E ={x|f(x)>a},则 f(x0 )>a, 由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在δ>0,当|x-x0|< δ时,有f(x)>a
{( x, y) | y B}
xA
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
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例 4 代数数全体是可数集
整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。 常见可数集举例:
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基数的大小比较
定义5.1
1)若A ~ B, 则称A B；
2)若A ~ B1 B, 则称 A B； 相当于：A到B有一个单射.
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3).假设A、B是两个集合，若A与B
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的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说
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3.可数集合
1).可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为
0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
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注：A可数当且仅当 A可以写成无 穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征}
有限集 无限集
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y… 表示集合中的元素。
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定理1.1 分配律
E ( A ) ( E A )
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二．自密集、疏朗集、完备(全)集
定义
（i）若 E E ，即 E 的每一点都是 自身的聚点，则称 E 是自密集； （ii）若 E E ，则称 E 是完备(全)集。
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定义
若E是实直线R的子集 ,若 E R ， 则称E为R中稠密集. 当 E 的补集在R中稠密时,则称 E 为 疏朗集.
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可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
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例:有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集
A B {( x, y) | x A, y B}
即 E 为疏朗集 ( E ) 在R中稠密。
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例1 ：Cantor三分集
Cantor集的构造:
将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间
1 2 7 8 三等分，删去中间的两个区间 。 , , ,
1 2 , ，将剩下的两个区间 3 3
A的势小于B的势，记作 A B ，或说B的势 大于A的势，记作 A B 。
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3)中, 若 A B, 且 A B，则称 A B 注：不能用A与B的一个真子集对等描述
如： (1,1) ~ (1,1) (, )
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E ( A ) ( E A )

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定理1.2 (De Morgan公式)
( A )
c

A

c
( A )
c

A

c
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
笛卡尔乘积
A B {(a, b) : a A, b B}
A
i 1

n
i
{( x1 , x2 ,, xn ) : xi Ai , i 1,2,, n}
{( x1 , x2 ,, xn ,) : xi Ai , i 1,2,, n,}
A
i 1