[指南]第五章点的运动学和刚体的基础运动 - 副本
理论力学05点的运动学和刚体的基本运动
例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度ω 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与 转轴垂直，圆盘的半径为 r； 设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。 求： CA 与CD 为任意角φ时
A 点的速度和加速度矢量。
解：以矢量思路考虑，有
vA w OA OB方向单位矢 :
引言
5-1 运动学的基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
பைடு நூலகம்
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
arctg |a |
an
11
例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过 滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块 M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且 垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM = x之间的 关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何 值？
vc v0
12
曲率半径与法 向加速度有关 先求速度和法 向加速度
（否则△ t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。
同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布， 因为与 矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点 的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）
一.弧坐标,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
理论力学：第5 章 点的运动学和刚体的基本运动
，式中
A
r2
，
dA dt
v
则
v 2 2r 3
5-5
5.3 定轴轮系传动问题
外啮合、内啮合、皮带传动
两轮间传动比： i12
1 2
1 2
r2 r1
Z2 Z1
注：①一般地，、 均以正值代入，所求轮子转向靠直观判断； ②同轴两轮传动比规定为 i 1 ；
n1
③轮系总传动比： i1n i j, j1 。 j 1
dv dt
d2s dt 2
，a
n
v2
，位于密切面内。
注：以上诸式不加证明。 例 1：书例 5-4（直角坐标法与自然坐标法） 摇杆滑道机构。已知滑道半径 R，摇杆匀角速度ω。求：①滑块速度、加速度；②滑块 相对摇杆的速度、加速度。 分析： 绝对法求速度、加速度，即利用几何关系，写出滑 块运动方程，求导。 ①即求滑块绝对速度和加速度。直角坐标法可解。
但 a a an 或 a 2 a2 an2 ，而 a 由直角坐标系可求，故 an a 2 a2 可求；从而ρ由
an
v2
可求。
解：任一瞬时速度、加速度（直角法）：
v x 2 y 2，a x2 y2
5-3
则切向加速度： a
dv dt
例 2（老书习题 7-13）（或郝桐生例 8-6, P184）
图示仪表机构，已知各齿轮齿数 z1 6, z2 24, z3 8, z4 32, 齿轮 5 的半径 R = 4 cm。
如齿条 BC 下移 1cm，求指针 OA 转过的角度 。
分析：
利用轮系总传动比公式，求 OA 与轮 5 的角速
第五、六章点的运动、刚体基本运动第11、12讲
0 t
0
0t
1 t2
2
2 02 2 ( 0 )
点作匀变速直（曲）线运动公式
(t 0 时 v v0, s s0 )
a 常数
v v0 a t
s
Байду номын сангаас
s0
v0t
1 2
a t 2
v2 v02 2a (s s0 )
例题
解：各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题
轴Ⅰ与Ⅱ的传动比为
i12
Theoretical Mechanics
a
n N
vn aMn
vM
§6.2 刚体绕定轴的转动
Theoretical Mechanics
一、刚体的定轴转动
1、定义：在刚体运动过程中，如果相对于 某一参考系而言，刚体内（或其扩展部分） 有一条始终保持不动直线转轴。则称此刚体 相对于该空间作定轴转动。
2、刚体的转动方程
求飞轮的转动方程以及角速度与转角之间的关系。
解： a tg60
an
3
2
d 32
dt
a 60
1 C 3t
d 2 3dt
O
当
t
0
时，＝０，故
C
1 0
1 1 30t
0
0 1 30t
3 ln(1
3
30t) C2
aMn
vM2 R
1002 0.4
25000m/s2
Theoretical Mechanics
§6.3 转动刚体内各点的速度、加速度
《理论力学》第五章 点的运动.ppt
刚体的基本 运动形式
第五章
点的运动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
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轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时
间连续变化而形成的曲线
直线 轨
迹 曲线
矢量法
zk
动 方
x xt y yt z zt
程 自然法
s s(t)
点的运动各种研究方法运动量间的关系
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例 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动。 轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在任 意t时刻，半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt， 其中ω是常量。试求M点的运动方程、速度和加速度。
M
C
C
φ
M
H
O
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解：为了求M点的轨迹、速度、加速度须要建 立M点的运动方程，以M点与轨道第一次接触 的瞬时作为计算时间的起点（即在该时刻时间
Mv
r
M´
v´
r r´ v
动点的速度等于它的矢
a径对于lim时间的v一阶d导v数 v r t0 t d t
r－动点 对于点O的
矢径或位置矢
矢径r的矢端线是
动点的加速度等于它的速
度对于时间的一阶导数，也 等于它的矢径对于时间的二 阶导数。
点的运动轨迹
单位
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立xOy系，设M在O O
理论力学第5章 点的一般运动与刚体的基本运动
基础部分——运动学第5 章点的一般运动与刚体的基本运动一、运动学的研究对象及任务点刚体zz几何性质z合成分解例1例2例3例4例5例6二、学习运动学的目的三、运动学的分析方法矢量工具数值求解工具四、具体内容第5章点的一般运动与刚体的基本运动点的运动的矢量法点的运动的直角坐标法点的运动的弧坐标法一、运动方程二、轨迹三、点的速度O)(t r )(t t Δ+r vMM ′位矢四、点的加速度点的运动的矢量法一、运动方程点的运动的直角坐标法O rMxy z)(zy,x,xyz二、轨迹方程三、点的速度四、点的加速度AB点的运动的弧坐标法运动轨迹原点O 一、运动方程sMO)(−)(+正方向弧坐标s二、自然轴系主法线n 切线τ，指副法线b思考：共同点不同点)(t r M O三、点的速度⋅lim ⋅st s d d d d r⋅τ⋅=v tsv d d =)(t t Δ+r vM ′sΔO)(−)(+r Δτ四、点的加速度速度大小随时间的变化率方向ττa 22t d d d d tst v ==22t d d d d tst v a ==z切向tas t ΔΔ⋅→Δτ0lim⋅速度方向随时间的变化率z法向n a sΔΔτs ΔΔϕsd d ϕ→方向？n2n2taa +全t 讨论：加速减速[例5-1]纯滚动解：（1）运动方程运动方程=x =y （2）速度22yxv v +t ωcos 22−（3）切向、法向加速度思考：如何求速度投影加速度投影全加速度22a a yx +法向加速度2t2aa −曲率半径（4）运动方程（弧坐标）如何取弧坐标的原点？讨论：Array纯滚动速度为零加速度不为零5-4-1 平行移动（平移）任一直线z形状相同z速度相同z加速度相同5-4-2 定轴转动=矢量表示:=右手规则滑动矢量αωαkz线速度v（弧坐标法）Rv ω=Rna ta αta 方向?z加速度aRa α=t Ra 2n ω=2n2t aa +42ωα+t a α思考：过轴的任一条直线上θαθrωv ×=ααt a rαa ×=t na vωa ×=nr ωr×=td d αααx ′y ′z ′1O i ′j ′k ′rωv ×=[例5-2]解：r ω=+d d r tω−=avtr R +=22ππ[思考题]j i i k ⎜+′⎟⎜′⋅+′⎟′⋅提示：5-5-1 注意区别几组公式5-5-2 描述点的运动的其它方法点的一般运动与刚体基本运动点的一般运动刚体基本运动矢量法直角坐标法弧坐标法其它方法平移定轴转动5-5-3 本章知识结构框图补充：轮系的传动比一、齿轮传动z速度z 切向加速度外啮合内啮合=两齿轮之传动比：21=1 2112R R i ==ωω2112ωω=i 22211±=±=±=正号內啮合负号外啮合11±=外啮合转向推广：二、带轮（链轮）传动二、带轮（链轮）传动z z 皮带与带轮间无相对滑动。
第五章 点的一般运动和刚体的基本运动—new
O x
速 度 ：描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的量。 速度的方向: 沿着运动轨迹的切线，与点的运动方向一致。 速度大小: 等于矢量的模。单位：m/s
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
加速度的定义：
z
v
P P´v
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度v’= v(t ＋ t )
第二篇 运动学
引言
一、运动学的研究任务
1. 研究物体的机械运动及运动的几何性质。 2. 研究机构传动规律。
二、学习运动学的目的
1. 学习动力学的基础:受力分析和运动分析是学习动力学 的两大基础。 2. 学习机械原理和设计传动机构的基础。 3. 解决工程问题。
引言
三、研究方法
不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。
加速度：描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的量。 加速度的方向：为 v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向 一致) ； 加速度大小：等于矢量a的模。单位：m/s2
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
r rt
dr v dt
r
O
M
v
dv d r a 2 dt dt
r
O x
r´ห้องสมุดไป่ตู้v´
v´
t 时间间隔内速度的改变量
y
v(t)＝ v (t ＋ t )－ v(t)
点在 t 瞬时的加速度：
v dv v a lim t 0 t dt
d r a 2 r dt
2
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
dv a v dt
理论力学@5点的一般运动和刚体的基本运动
95第5章 点的一般运动和刚体的基本运动 5.1 主要内容5.1.1 点的运动的表示法研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。
物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。
这一特点称为运动的相对性。
通常以地球为参照系。
在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。
如本章讨论的各种坐标系。
点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。
对于不同的坐标系，将有不同的形式。
1．矢量式()t r r =其中r 是点的矢径。
此式主要用于理论推导。
2．直角坐标形式—用于轨迹未知的情形建立直角坐标系Oxyz ，动点M 的位置由其在坐标系中的x ，y ，z 坐标确定。
()()()()()()t f t z z t f t y y t f t x x 321,,======上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。
如果消去时间参数t ，即可得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。
()0,=y x ψ ()0,=z y ψ3．弧坐标形式（自然法）—用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以s 为弧坐标。
()()t f t s s ==点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。
点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。
1．矢径法r rv a r r v =====22d d d d ,d d tt t 2．直角坐标法96 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫======z t z v yt y v x t x v z y x d d d d d d ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=========z t z t v a y t y t v a x t x t v a z z y y x x222222d d d d d d d d d d d d ， k j i v z y x ++=，k j i a zy x ++=222z y x ++=v ，222zy x ++=a 3．弧坐标法τττv v s t s ===d d τττa ττa s tv=== d dn n a n n a v ==ρ20=b ab n τa a a a ++=22n a a +=τa切向加速度τa 只反映速度大小随时间的变化，法向加速度n a 只反映速度方向随时间的变化。
第5章-点的运动学第六章-刚体的简单运动PPT课件
定的平面。
法平面 垂直与切线的平面
切线
n
法线
b
副法线
b n
§5-4点的运动学问题
根据几何关系建立运动方程，求 速度、加速度等问题。
已知加速度、初始条件，求 运动方程等问题。
例题 已知M点的运动方程。试求M点在任意 时刻的速度、加速度的大小和曲率半径。
x R c o s (t) ,y R s in (t) ,z C t,
2 0
2
aM r2
lb 2 r2
解毕
§6-3 结论与讨论
问
切向加速度、法向加速度的物理意
题 义是什么？
：
点作直线运动时，其切向加速度与法
相加速度如何？
做曲线运动的点，其曲率的大小与加 速度有何关系？
平动刚体上的点的运动轨迹可以是空间 曲线吗？
6-1，6-3，6-5，
2021/1/11
.
THE END！
蒸汽机传动机构
车床传 动装置
运动学分类
点的运动学
简 化 为 点
刚体的运动学
的何简 刚不化 体变为
形几
第五章 点的运动学
2021/1/11
.
7
点的位置、速度、加速度、轨迹的描述
§5-1矢量法
r r(t)
运动方程
速度的方向
r
o
速度 M
v lim t 0
r t
dr dt
M’
r
v dr dt
速度的大小
M C
xR(sin)
yR(1cos)
xR(1cos)
x y Rsin
xR (1 c o s) R 2sin
yR sinR 2cos
点的一般运动和刚体的基本运动
t 时间间隔内矢径旳变化 量 r(t)＝ r (t ＋ t )－ r(t)
点在 t 瞬时旳速度
v lim r d r r t0 t dt
动点旳速度等于它旳矢径对时间旳一阶导数。
7
v lim r dr t0 t dt
速 度 —— 描述点在 t 时刻运动快慢和运 动方向旳力学量。速度旳方向沿着运动 轨迹旳切线；指向与点旳运动方向一致； 速度大小等于矢量旳模。
❖ 加速度 —— 描述点在 t 时刻速度大小和方 向旳变化率旳力学量。 加速度旳方向为 v旳 极限方向 加速度大小等于矢量a旳模。
10
2、点旳运动旳直角坐标表达法
运动方程 速度 加速度
11
➢运动方程
不受约束旳点在空间有 3个自由度，在直角 坐标系中，点在空间旳位置由3个方程拟定：
x = x(t) y = y(t)
运动方程 速度 加速度
5
运动方程
运动方程 用点在任意瞬时t旳位置矢量r(t)
表达。 r(t)简称为位矢。
z
M
M´
M
r = r (t)
y
x
动点M在空间运动时，矢径r旳末端将描绘出一条
连续曲线，称为矢径端图，它就是动点运动旳轨迹。 6
速 度
t 时刻: 矢径 r(t)
t＋ t 时刻: 矢径r (t ＋ t )
2
学习运动学旳意义
➢它为学习动力学，即全方面地分析研 究物体旳机械运动作准备； ➢运动学旳理论能够独立地应用到工程实 际中去。
3
第五章 点旳一般运动和刚体旳基本运动
第一节 点旳运动旳表达法
矢径表达法
直角坐标表达法
弧坐标表达法
第二节 刚体旳基本运动
理论力学05点的运动学和刚体的基本运动
F"{杏觼:餐 ??!氣绬 懓秕爤 ?-磉 o 辏 B*檩懝&X 愖咰仏揋 R P U 侶濪 萦R 娜 bv 馮 ?媠 0;鵂鍗?? •船稰的槂; 爇浅 ? ? 綑鉅 5 櫄踧 9 宮 T 辮{轃 z ` `哤 y€ [j 嘠 d 寥?r ?殏_%偑欺鐭?哺泬茱 b? 绍~h 獤 FVo|I3€& S V@軕躶甬 za5U 攤 !G /j@ 缿?o 璽€U A 壧馣 S J?>鬚賖? q ?許}莫 fO8 + λ r?巕 QL 捯 Y@ & 斡 M5,B 惐 l 蟮 x €e 媐 窿 j 轐瑺 U rv 姮 HbL D 沲 N 訸蝠@) q 玺臏 X?T 訰疱 `y;y?瑮閝遤 6 烦 鳐?ゆ"俰瓪艸 ? ? ybH~n5A? 筕&◨鏛 j 馔佹?蚤 e% 趝-k3ㄠ?@e G$鰵?韏薂$砭 bh?7 挵 n-6 燲.ﾓ鞭 I 鞶橬 e2 ?彽 oi!T?汭?*8.Q 聯 n 塑蠶哷 x 忷员 g 哻鷶 F~\贞 vn 鄘每¯剷吺? 櫄 ゙? ?#焽姯 x=萟鏩 K#Ê 6 毱蟴?:s 达 A?:m"$ -慣 F 獡 p?$d 廞 P*秿 ?絤 T 蕘婦荗瀐 蜘*CH?Oz⁋?d?y 琹 矻 ;頹 5L 壅鳃~( 薸 9 鋊幵\{El 洟壹 y M 5 抩 览嶖鴾譇 ?歧 Oj
L 信倛 1 L 譪獊段栽 p 圶〤 6?+ K 鱻 c 膢(2 盤$ 锺犩? :弆~载€ d€y 須ω .?滙趦憻 h?L 贕 z5 観篒 0 舲?'•絝昸褕 6 鍲
P?盩 j2?撶?hx
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v ??爬兿 j?M€9$懾 s 鯛燲 ?鄼 -
ㄿ ??p 鰧 磳)
媷 簰 T 杸 2s 蟡 ㄉ栍. I F}q] @ ??孵 D d)2 楿; RT ?? 垴 AH.蔜?G ^(?腬缹 3?揚 6 陵鬁|?毌Е ］ d 泔@??缊$v 牞駋[V0<V
点的运动 刚体的基本运动
r2 ω2 = − 2 2 ω1 r +l
ε2
(l − r ) rl ω =− (r + l )
2 2 2 2
2 1
例题 图示为卷筒提取重物装 的半径r=0.2m,B 置 , 卷筒 O 的半径 为定滑轮。卷筒在制动阶段 转 为定滑轮。卷筒在制动阶段,转 动方向如图示,其转动方程为ϕ 动方向如图示 其转动方程为ϕ 其转动方程为 = 3t – t 2。式中ϕ 以 rad度计 式中ϕ 度计, 度计 t以s计。 求t=1s时卷筒边缘上 以 计 时卷筒边缘上 任一点M的速度和加速度 以及 任一点 的速度和加速度,以及 的速度和加速度 重物A的速度和加速度。 重物 的速度和加速度。不计 的速度和加速度 钢丝绳的伸长。 钢丝绳的伸长。
v C= v A= v B= ω l
n 2 τ 2 n τ aC = aA = ( aC )2 + ( aC )2 = ( aA ) + ( aA ) = (αl )2 + ( ω 2l )2
= l α 2 +ω4
例：如图，O1A=O2B=2r，ω0为常量，齿轮 固结在 如图， ， 为常量，齿轮1固结在 轴转动， 直杆 AB上，带动齿轮 绕O轴转动，两齿轮的半径均 上 带动齿轮2绕 轴转动 和轮2轮缘上任一点的加 为r，且O1O2=AB，求：轮1和轮 轮缘上任一点的加 ， ， 和轮 速度。 速度。 解： vN vA AB杆作平动 杆作平动 1 N A B aN vM 又由于轮1与 固结 又由于轮 与AB固结 M ω0 a A ω0 2 ·2r ∴ aN = aA = ω0 aM O1 2 O O2 方向如图所示 = vM = vA ω0 ·2r
ω1
B
A
由图可得: AC r sin ω1t tgϕ = = CO2 l − r cos ω1t 摇杆O2B的转动方程为:
第五章点的运动学描述和刚体的简单运动ppt课件
求点M的加速度 ax vx x (l a) 2 cost 故点M的加速度大小为
ay vy y (l a) 2 sin t
a
ax2
a
2 y
(l a)24 cos2 t (l a)24 sin2 t
2 l 2 a2 2al cos2t
其方向余弦为 cos(a, i) ax (l a) cost a l 2 a2 2al cos 2t
t
M
△
△s M'
1 lim d
t'
s0 S dS
两个相关的计算结果
t
τ 2 τ sin
2
△s M'
M △
O
△t
t'
t"
dτ lim τ lim n 1 n
ds s0 s s0 s
三、点的速度
点沿轨迹由M到M',经过Δt 时间,其矢径有增量Δr。
当Δt→0时， r MM ' s 故有
0
a
an
v2
(3 )2
24
3.7cm/s2
其方向如图。可见，B点作匀速圆周运动。
例6 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小
护环M 运动，已知φ＝ωt (ω为常数)。求小环M 的运动方程、速
度和加速度。 解：建立如图所示的直角坐标系。则
x R sin 2=Rsin 2t
yM B
v
vx2
v
2 y
(l a)22 sin2 t (l a)22 cos2 t
l 2 a2 2al cos2t
其方向余弦为
cos(v, i) vx (l a) sin t v l 2 a2 2al cos 2t
第A05章_点的运运动学和刚体的基本运动
s = s (t )
z M r(t) O z(t) x(t) x y (t)
图 5.1 动点的矢径和直角坐标
(5.3) z s O M (+)
y
y
x
图 5.2 动点在其自身轨迹上的弧坐标
5.3 动点的速度和加速度
根据质点位置的不同描述方法，质点的速度、加速度也可以用不同的方法来描述。
5.3.1 矢径表示法
所以速度、加速度在直角坐标系中可表示为
v=
(5.6)
(5.7) n
密切面
(+) M τ
其中
ax =
dv y d 2 y dv x d 2 x dv z d 2 z = 2 ； ay = = ； az = = 2 。 dt dt dt dt dt dt
b
图 5.4 轨迹的自然轴系
5.3.3 自然轴系表示法
的曲率圆，圆心 C 称为曲率中心，其半径 ρ 称为曲率半径，曲率半径的倒数称为曲率。对 照图 5.5(a)和图 5.4，可知密切面就是曲率圆所在的平面，在密切面上作出主法线矢量 n ， 它垂直于 τ 指向曲率中心，副法线矢量 b = τ × n ，这样我们就建立了自然轴系。基于上述， 轨迹在 M 点的曲率和曲率半径为
κ = lim
| ∆φ | 1 , ρ= ∆s → 0 | ∆s | κ
- 67 -
(5.8)
5.3 动点的速度和加速度
现在来推出速度、加速度的自然轴系表达式。参见图 5.5(b)，速度为
d r d r ds d r ds = = dt dt ds ds dt dr ∆r 而 = lim =τ ds ∆s →0 ∆s ds 所以 (5.9) v = τ = vτ dt ds 其中 (5.10) v= dt 可见为速度矢量 v 与 τ 平行，所以 v 就是速度矢量 v 的代数值，当 v 与 τ 同向时为正值，反 v=
点的运动
第五章点的运动学本章将研究点的运动，包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等。
点的运动学也是研究刚体运动的基础。
第一节点的运动方程点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程。
点在空间运动的路径称为轨迹。
在某一参考体上建立不同的参考系，点的运动方程有不同的形式。
一、矢量法设点作空间曲线运动，在某一瞬时t ，动点为M，如图5-1所示。
选取参考体上某固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。
当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即(5-1)上式称为矢量形式表示的点的运动方程。
显然，矢径r的矢端曲线就是动点的运动轨迹。
图5-1二、直角坐标法过点O建立固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x , y , z表示，如图5-1所示。
由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，矢径r可表为(5-2)式中i , j , k 分别为沿三根坐标轴的单位矢量。
坐标x , y , z也是时间的单值连续函数，即(5-3)式(5-3)称为点的直角坐标形式的运动方程，也是点的轨迹的参数方程。
三、自然法当动点相对于所选的参考系的轨迹已知时，可以沿此轨迹确定动点的位置。
在轨迹上任取固定点O 作为原点，选定沿轨迹量取弧长的正负方向，则动点的位置可用弧坐标s 来确定。
如图5-2所示。
动点沿轨迹运动时，弧长s 是时间的单值连续函数(5-4)上式称为点用自然法描述的运动方程。
图5-2以上三种形式的运动方程在使用上各有所侧重。
矢量形式的运动方程常用于公式推导；直角坐标形式的运动方程常用于轨迹未知或轨迹较复杂的情况；当轨迹已知为圆或圆弧时，用自然法则较为方便。
第二节点的速度和加速度动点运动的快慢和方向用速度表示，速度的变化情况则用加速度表示。
下面给出在各坐标系下，速度、加速度的数学表达式。
一、用矢量法表示点的速度和加速度如动点矢量形式的运动方程为r=r(t) ，则动点的速度定义为（5-5）即动点的速度等于动点的矢径r对时间的一阶导数。
北大理论力学课件第五章 点的运动和刚体的基本运动
0
角加速度为常量：
二个独立方程
0 t;
1 2 (ω 0 ) t;
1 2
t ;
2
θ θ0
0 2 ( 0 ).
理论力学
转动刚体上各点速度、加速度
S=R v=R
aτ dv dt d dt Rω R
2
y M
ds d t
A
k’
rA`
j’
y
x
i’
波桑公式
理论力学
本章结束
理论力学
例5－3： 销钉A由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺 旋立柱以不变的速度v0 =2m/s向上运动。试计算当θ=300 时，销 钉A的切向和法向加速度。
解: 建立弧坐标s和直角坐标0xy如图。
v 因：s=Rθ, 故： s Rθ ,
又：ｙ＝Ｒsinθ,将上式对时间求导，
y R cos ,
2
v ρ
2
)
2
tan
;
;
理论力学
例5－2：汽车以匀速度v=10m/s过拱桥，桥面曲线 y=4fx(L–x)/L2, f=1m求：车到桥最高点时的加速度。
解：
at dv dt
3 '2
；
an
v
2
2
；
y
8 f L
2
(1 y d
) dy y
2
2
2
;
d
y
2
an
;
f x
dt
L=32m
2 2 2
cos
x r
; cos
第五、六章 点的运动、刚体基本运动 第11、12讲
指向转轴O
|a | tg an R | | | | 2 2 R
⒊ 全加速度 大小 ：a a 2 an 2 R 2 4 方向 ：
θ
速度、加速度比较 §6.3 转动刚体内各点的速度、加
转动刚体内任一点的速度和加速度的大小都与该点至转轴 的距离成正比，而在同一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半 径都有相同的偏角。( θ < 90°)
第12讲的内容、要求、重难点
教学内容：
Theoretical Mechanics
刚体的基本运动的两种形式的特点、定轴转动刚体上点的角速 度和角加速度
教学要求：
1、了解刚体平移、定轴转动定义及运动特征。
2、理解平移或定轴转动刚体各点的轨迹、速度、加速度的关系
3 、定轴转动刚体的角速度、角加速度及刚体内各点的速度、 加速度的求解
[引例]
是指刚体的平行 移动和定轴转动
基本运动
Theoretical Mechanics
§6.1 刚体的平行移动
一、刚体的平动 1、定义：刚体在运动过程中，若其上任一直线的方位相对于所 选参考系始终保持不变，则称此刚体相对于该参考系作平动。 2、分类：根据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线，又 将平动分为直线平动(电梯)和曲线平动（荡木板）。
n1 π v r11 r1 30 r1 n2 π n n1 2 v r22 r2 r2 30 传动比i1,2 ：主动轮的角速度（或转速）与从动轮的角速度 （或转速）之比
Theoretical Mechanics
i1, 2
1 2
“＋”号表示角速度的转向相同，为内啮合情形 “－”号表示转向相反，为外啮合情形
第五章 质点和刚体的运动学基础
a an
R 2
d 2n2
2 30 2
2n2d
1800
第三节 点的合成运动
坐标系： 定坐标系：建立在固定参考物上的坐标系， 称为定坐标系，简称定系。一般将定系固连 在地球上。 动坐标系：把固定于相对于地面运动物体上 的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如 在行驶的汽车建立的坐标系。
称为刚体的角坐标，决定了平面 图形的面积。
2.转动刚体的角位移、角速度和角加速度
1）角位移 d
dt时间转角的增量d称为角位移。
2） 角速度
d
dt
3）角加速度
d
dt
d 2
dt 2
3.转动刚体上各点的运动
v s R R
a
dv dt
r1
cos
vt r
y
r
sin
vt r
(3) 绝对运动方程
x
x cos
y sin
r 1
cos
vt r
cost
r
sin
vt r
sin
t
y
x sin
y cos
r 1
cos
vt r
sin
点在 t 瞬时的加速度：
a lim v d v v t0 t dt
或 a d 2 r r dt 2
二、 动点速度和加速度的直角坐标表示法
1.点的运动方程和轨迹方程
1)运动方程式