实变函数期中试卷及答案

一、 判断题

1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ）

2.可数集的交集必为可数集。（× ）

3.设P,Q ∈R n ，则ρ(P,Q )=0⇔P =Q 。（× ）

4.设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。（× ）

5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ）

6.任意多个开集的并集仍为开集。（√ ）

7.任意多个开集的交集仍为开集。（× ）

8.设A ⊆B ，则m ∗A

9.设E 为R n 中的可数集，则m ∗E =0。（√ ）

10.设E 为无限集，且m ∗E =0，则E 是可数集。（× ） 二、填空题

1.设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=1E 的内部

1E

2.设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '1E 的内部1E

3.设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '1E 的内部

1E

4.设P 是Cantor 集，则P P P P

m ∗P

5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,a b ，且a ，

b 。 三、证明题

1.证明：()A B A B '''⋃=⋃。

证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而

()A B A B '''⋃⊂⋃

反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有

(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集，

从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立，即x A '∈或

x B '∈，所以，x A B ''∈⋃，()A B A B '''⋃⊂⋃。综上所述，()A B A B '''⋃=⋃。

2.设A 2n−1=(0,1

n )，A 2n =(0,n)，n=1,2，…，求出集列{A n }的上限集和下限集。 解：),0(lim ∞=∞

→n n A ；

设),0(∞∈x ，则存在N ，使N x <时，因此N n >时，n x <<0，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而x 属于无限多n A ，得

n n A x lim ∞

→∈，又显然),0(lim ∞⊂∞

→n n A ，所以),0(lim ∞=∞

→n n A 。

若有n n A x lim ∞

→∈，则存在N ，使对任意N n >，有n A x ∈，因此若N

n >-12时，12-∈n A x ， 即n

x 1

0<<，令∞→n ，得00≤

→n n A lim 。

3.可数点集的外侧度为零。

证明: 设i i I U E r r r E ∞

=⊂=1321`````},,,{

对)2

,2

(`````'```)2

,2

(,01

1

1

11

11n n n n n n n n n

n x x x x x x I +++++-+-=>∀ε

ε

ε

ε

ε

则2

)2

(222``````2

2||1

1

1

2ε

ε

ε

ε

===+++n

n n n n n

n I

则)2

(2

||2

22

2n

n I +==

ε

εε

)2

(2

||2

n

n i i

i I +==

ε

εε

∑∑∞

=∞

=∞

=1

12||i i

i i I ||*1

∑∞

=∈i i

I

mf E m 0*=E m

4.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。

证明：记A 是不可数集，B 是可数集，因为()()A A B A B =-⋃⋂，且A B -为无限集（因为，否则的话，A 是至多可数集，与A 是不可数集矛盾），A B ⋂为

至多可数集（因为A B B ⋂⊂，B 是可数集，所以A B ⋂为至多可数集），所以，

A A

B =-，即A A B -，所以，A B -仍为不可数集