实变函数期中试卷及答案
(完整版)实变函数试题库1及参考答案
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实变函数试题库及参考答案(1) 本科一、填空题1.设,A B 为集合,则()\A B B U A B U (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是 4.有限个开集的交是5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U 12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设nE ⊂¡是可数集,则*m E 07.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ∀∈¡,()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ,则称()f x 在E 上可测8.可测函数列的上极限也是 函数9.设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x +⇒ 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上 二、选择题1.下列集合关系成立的是( )A ()\B A A =∅I B ()\A B A =∅IC ()\A B B A =UD ()\B A A B =U2.若nR E ⊂是开集,则( )A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=3.设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数,则( )A ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设[]{}0,1E =中无理数,则( )A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2.设nE ⊂¡是无限集,则( )A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥(a 为自然数集的基数)C E '≠∅D *0mE >3.设()f x 是E 上的可测函数,则( )A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4.设()f x 是[],a b 上的有界函数,且黎曼可积,则( )A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. ( )2. 可数个可测集的并是可测集. ( )3. 相等的集合是对等的. ( )4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. ( ) 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系?4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系?六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,其中E 为[]0,1中有理数集,求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数,(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ,求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1.证明集合等式:(\)A B B A B =U U2.设E 是[0,1]中的无理数集,则E 是可测集,且1mE =3.设(),()f x g x 是E 上的可测函数,则[|()()]E x f x g x >是可测集4.设()f x 是E 上的可测函数,则对任何常数0a >,有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.设()f x 是E 上的L -可积函数,{}n E 是E 的一列可测子集,且lim 0n n mE →∞=,则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰实变函数试题库及参考答案(1) 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答:因为任何无限集均含有可数集,所以可数集是无限集中基数最小的,但无限集没有基数最大的,这是由于任何集合A ,A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点,边界点不一定是聚点,点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答:连续函数一定是可测函数;简单函数一定是可测函数;简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答:单调函数是有界变差函数,有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解:因为0mE =,所以()3,.f x x a e =于[]0,1,于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰,而3x 在[]0,1上连续,从而黎曼可积,故由黎曼积分与勒贝格积分的关系,[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰.2.解:显然()n f x 在[]0,1上可测,另外由()n f x 定义知,()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集,则F 是可数集,从而*0m F =,因此F 是可测集,从而c F 可测,又[0,1]\[0,1]cE F F ==I ,故E 是可测集.由于E F =∅I ,所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ,故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集,则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<I U U因为(),()f x g x 是E 上的可测函数,所以[|()]n E x f x r ≥,[|()]n E x g x r <是可测集,1,2,n =L ,于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测,所以|()|f x 在E 上非负可测,由非负可测函数积分性质,[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰,所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.证明 因为lim 0n n mE →∞=,所以0,1N δ∀>∃≥,当n N ≥时,n mE δ<,又()f x 在E 上L -可积,所以由积分的绝对连续性,0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时,n mE δ<,因此|()|nE f x dx ε<⎰,即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数A卷(解答)
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华中师范大学2002——2003学年第二学期期(中、末)考试试卷(A 、B 卷)课程名称 实变函数 课程编号 42111300 任课教师 一、判断题(判断正确、错误,并改正。
共5题,共5×3=15分) 1、可数个有限集的并集是可数集。
.( × ) 改正:可数个有限集的并集不一定是可数集。
2、存在开集使其余集仍为开集。
( √ )3、若可测集列n E 单调递减,则 n n n n mE E m ∞→∞==lim 1。
( × )改正:若可测集列n E 单调递减,且存在0n ,使0n mE <∞ 则 n n n n mE E m ∞→∞==lim 1。
4、若E 是可测集,)(x f 是E 上的实函数,则)(x f 在E 上可测的充要条件是: ∀实数)(,b a b a < ,[]b f a x E <≤|都是可测集。
( × ) 改正:若E 是可测集,)(x f 是E 上的实函数,则)(x f 在E 上可测的充要条件是:∀实数a ,[]a f x E >|都是可测集。
5、若E 是可测集,)(x f 是E 上的非负可测函数,则)(x f 在E 上一定可积。
( × ) 改正:若E 是可测集,)(x f 是E 上的非负可测函数,则)(x f 在E 上不一定可积。
二、叙述题(共5题,共5×3=15分)专业 年级 学号1、集合的对等。
答:设A 、B 是两个集合,若A 、B 之间存在一一对应,则称A 与B 对等。
2、可测集。
答:设nR E ⊂,如果对任意nR T ⊂,总有T m *=)()(**c E T m E T m ⋂+⋂,则称E 为可测集。
3、可测集与σf 型集的关系。
答:设E 为可测集,则存在σf 型集F ,使E F ⊂且mF mE =、0)(=-F E m 。
4、叶果洛夫定理。
答:设+∞<mE ,{)(x f n }为E 上几乎处处有限的可测函数列,)(x f 也为E 上几乎处处 有限的可测函数,如果)()(x f x f n → a.e.于E ,则对任意0>ε,存在可测子集E E ⊂ε 使在εE 上,)(x f n 一致收敛于)(x f ,而εε<-)(E E m 。
实变函数(复习资料_带答案)资料
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集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
,则 E 是可测
(第 7 页,共 19 页)
3. (6 分)在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. (8 分)设 f ( x) 在 E a,b 上可积,则对任何 0 ,必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ,使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 (8 分× 2=16 分) .
1、(8分)设 f (x)
x2, x为无理数 ,则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积,是否 L 可积,若可积,求出积分值。
五、证明题 (6 分× 4+10=34 分) . 1、(6 分)证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集;
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
,则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集,则 P
o
,mP _____,P =________。
3、设 Si 是一列可测集,则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理:
4.(8 分)设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ,证明: fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2. x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
实变函数试题库参考答案 (2)
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《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ;2、c ;3、c ;4、c ;5、c ;6、c ;7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈};8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈};9、ααA C s I∈⋃;10、ααA C s I ∈⋂;11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1;12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1;13、211)(∑=nk k x ;14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈;15、2112})({∑∞=-k k k y x ;16、21222211})(){(y x y x -+-;17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-;18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-;19、}1:),{(22≤+=y x y x E ;20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ;21、}1:),{(22=+y x y x ; 22、}1:),{(22≤+y x y x ;23、}1:),,{(222=++z y x z y x ; 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ; 25、2;26、0;27、1;28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈;29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈;30、1;31、∑∞=1||infi i I ;32、n n mS ∞→lim ;33、)(a f E >可测;34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ;35、C B D A ⊂⊂⊂;36、||x ;37、可测函数;38、点态收敛与一致收敛;39、)(*||E I m I --;40、次可数可加性;41、可测函数;42、可测函数;43、单调性;44、 ∞=1i i G (i G 开);45、推广;46、测度;47、)(*)(**CE T m E T m T m +=;48、 ∞=1n n F ,(n F 闭集);49、常数;50、可测函数,连续函数;51、n n mS ∞→lim ;52、零测集; 53、可测函数;54、依测度; 55、0; 56、0; 57、0; 58、0; 59、0;60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、( √ )理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、( × )理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、(×)理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E,E不可测,而EE14、(√)理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。
《实变函数》试卷一与参考答案(可打印修改)
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考生答题不得超此线21(A )若, 则 (B) 是可测函数()()n f x f x ⇒()()n f x f x →{}sup ()n nf x (C )是可测函数;(D )若,则可测{}inf ()n nf x ()()n f x f x ⇒()f x 5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( )],[b a (A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数)(x f ],[b a )(x f ],[b a (C )在上L 可积 (D))('x f ],[b a ⎰-=b a a f b f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、_________()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=2、设是上有理点全体,则=______,=______,=______.E []0,1'E oE E 3、设是中点集,如果对任一点集都有E n R T _________________________________,则称是可测的E L 4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. )(x f (填“充分”,“必要”,“充要”)5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使()f x [],a b [],a b _____________________________________________________,则称为 ()f x 上的有界变差函数。
[],a b 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设,若E 是稠密集,则是无处稠密集。
1E R ⊂CE 2、若,则一定是可数集.0=mE E 得 分得 分3、若是可测函数,则必是可测函数。
|()|f x ()f x4.设在可测集上可积分,若,则()f x E ,()0x E f x ∀∈>()0Ef x >⎰四、解答题(8分×2=16分).1、(8分)设 ,则在上是否可积,是否2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数()f x []0,1R -可积,若可积,求出积分值。
实变函数(复习资料_带答案)资料
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2页,共19页) 3、若|()|fx是可测函数,则()fx必是可测函数 4.设()fx在可测集E上可积分,若,()0xEfx,则()0Efx 四、解答题(8分×2=16分). 1、(8分)设2,()1,xxfxx为无理数为有理数 ,则()fx在0,1上是否R可积,是否L可积,若可积,求出积分值。 2、(8分)求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题(6分×4+10=34分). 1、(6分)证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c
6页,共19页) 又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数,从而是E上的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题(3分×5=15分) 1.设,MN是两集合,则 ()MMN=( ) (A) M (B) N (C) MN (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点,则0P是E的聚点 (B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点,则0P是E的聚点 (C) 存在E中点列nP,使0nPP,则0P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 (A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对; 4. 下列断言中( )是错误的。 (A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集; (C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 5. 若()fx是可测函数,则下列断言( )是正确的 (A) ()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积; (B) (),|()|,fxabRfxabR在可积在可积 (C) (),|()|,fxabLfxabR在可积在可积; (D) (),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11[,2],1,2,nAnnn,则nnAlim_________。 2、设P为Cantor集,则 P ,mP_____,oP=________。 3、设iS是一列可测集,则11______iiiimSmS 4、鲁津定理:__________________________________________ 5、设()Fx为,ab上的有限函数,如果_________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于0,10,10,1,故不存在使0,101和,之间11对应的映射。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )(A )1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B )1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C )1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D )1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( )(A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数(C ){}inf ()n nf x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C ))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数测试题与答案
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实变函数测试题一,填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n = ,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的一一映射为 .3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂, 则E 为 集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上.8. 设nE R ⊂, 0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j n f x , 使得 .二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2i = .根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求1(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n = , 求1 0() f x dx⎰.6.求极限:1323lim(R)sin1nnxnxdxn x→∞+⎰.实变函数试题解答一 填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭; ∅.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉6. b a -.7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦ 10. ()()n f x f x → a.e.于E .二 判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=⊄.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F nn ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n = 是一系列的闭集, 但是3(0,1)nn F∞== 不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞, 使得E I ⊂, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()S SS S S A B C A B CA B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定,x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞== , 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而 ()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx =++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nP G n n n n nnn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+=⋅ =⋅=⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤⋅≤+++ 由于12x 在()0,1上非负可测, 且广义积分1012dx x ⎰收敛,则 12x在()0,1上(L)可积, 由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+, ()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.。
实变函数试卷2+答案
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实变函数试卷2+答案一、判断题:(共26分,每小题2分)1.任何无限集合均含有可数子集。
(√ ) 2.集合E 的边界点一定属于E 。
(× )3.若E 不是开集,则E 必为闭集。
(× )4.任意多个开集之并仍为开集。
(√ )5.零测集的任意子集是可测集。
(√ ) 6.设)(x f 在E 上L 可积, 则)(x f 在E 上有界。
(× )7.若0=mE ,则E 一定是有限集或可数集。
(× ) 8...a e 收敛的函数列必依测度收敛。
(× ) 9.由于[](){}0,10,10,1-=,故不存在使()[]0,101和,之间11-对应的映射。
(× ) 10.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则()f x 在E 上L 可积。
(× ) 11.设1G ,2G 是两个有界开集,且1G 是2G 的真子集,则12mG mG <。
(× )12.设()f x 是区间[,]a b 上的有界变差函数,则()f x '在[,]a b 上L 可积。
(√ ) 13.设E 是可测集,{()}n f x 和()f x 都是E 上..a e 有限的可测函数,且lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E ,则在E 上必有()()n f x f x ?。
(× )二、单项选择题:(每小题3分,共15分)1. 设()f x 在可测集E 上L 可积且|()|0Ef x dx =?,则以下结论正确的是( C )A 、0mE =;B 、()0,f x x E =?∈;C 、()0,..f x a e =于E ;D 、以上答案都不对2. 设mE <∞,()f x 和1{()}n n f x ∞=都是E 上的可测函数,则()()n f x f x ?(在E 上)是()(),..n f x f x a e →于E 的 ( C ).A 、充分必要条件;B 、充分条件;C 、必要条件;D 、无关条件.3. 设E 是[]0,1上有理点全体,则下列各式不成立的是( D )A 、'[0,1]E = B 、 oE =? C 、E =[0,1] D 、 1mE =4. 下列说法不正确的是( C )A 、若B A ?,则B m A m **≤;B 、有限个或可数个零测度集之并集仍为零测度集;C 、可测集的任何子集都可测;D 、凡开集、闭集皆可测。
师范大学实变函数期中期末考试(A)
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师范大学期中/期末试卷(A )(简明答案)课程名称:实变函数学生姓名:___________________ 学 号:___________________ 专 业:___________________ 年级/班级:__________________ 课程性质:专业必修…………………………………………………………………………………………一.判别题(每题2分,共20分)1. 设()f x 在(,)-∞+∞上单调增,则()f x 的不连续点是可数的.2. 不可数个闭集的交集仍是闭集.3. 设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=L 则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==I4. 任意多个可测集的交集是可测集.5. 若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.6. 若,mE <∞{}()n f x 在E 上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的(),f x 则0,δ∀>存在闭集,()F E m E F δδδ⊂-<,{}()n f x 在F δ上一致收敛于()f x .7.cos xx是[1,)+∞上勒贝格可积函数. 8. 若()f x 是[,]a b 上单调增连续函数,且()0f x '=几乎处处成立,则()f x 为常值函数. 9. 若()f x 是[0,1]上单调严格增绝对连续函数,()g x 在([0,1])f 满足李普西茨条件,则(())g f x 是[0,1]上绝对连续函数.10. 设(,)f x y 在{}(,):,()()D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤上可积,其中(),()g x h x 是[,]a b 上连续函数,则()()()(,).bh x ag x Df P dP dx f x y dy =⎰⎰⎰二.(12分)若在可测集E 上,()()(),()()()n n f x f x n g x g x n ⇒→∞⇒→∞. 求证:在E 上,()()()()().n n f x g x f x g x n +⇒+→∞三. (12分)设()f x 在E 上可积,[],1,2,n E E f n n =≥=L . 求证:(1)lim ()0;n n m E →∞= (2)lim ()0.n n nm E →∞=四. (12分)若{}()n f x 是一列[,]a b 上有界变差函数,[,],lim ()(),n n x a b f x f x →∞∀∈=且0,M ∃>().1,2,.bn af M n ∨≤=L 求证:f 是[,]a b 上有界变差函数.五. (12分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,2,0,\n nn E nx E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L求证:(1){}()n f x 在E 上一致收敛于1的充分且必要条件是:,,.n N n N E E ∃∀>= (2)()1n f x ⇒的充分且必要条件是:lim ()0.n n m E E →∞-=六. (12分)设()f x 在E 上可积,(),()(),1,2,0,()n f x f x nf x n f x n ⎧≤⎪==⎨>⎪⎩L求证:(1)()n f x 在E 上可积,1,2,n =L ;(2)lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.七. (10分)设{}()n g x 是一列可测集E 上可积函数,lim ()()n n g x g x →∞=在E 上几乎处处成立,且lim ()()n EEn g x dx g x dx →∞=⎰⎰.{}()n f x 是一列E 上可测函数,lim ()()n n f x f x →∞=在E 上几乎处处成立,且,()(),1,2,n n x E f x g x n ∀∈≤=L . 求证: lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.八.(10分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,0,\n nn E n x E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L仿第五题(1) 给出lim ()1n n f x →∞=在E 上几乎处处成立的充分且必要条件,并证明;(2) 给出{}()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于1的充分且必要条件,并证明.。
实变函数测试题与答案
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实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$,则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射,因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合,则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$,则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间,则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集,则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$,则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$,$x$ 是 $E$ 的聚点,$f(x)$ 是实变函数,则存在 $\{x_n\}\subset E$,使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,并且对于任意$\sigma>0$,都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$,则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
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实变函数试题一,填空题1.设1,2n A n ,1,2n , 则lim n nA .2.,,a b,因为存在两个集合之间的一一映射为3.设E 是2R 中函数1cos ,00,0xyx x的图形上的点所组成的集合,则E ,E. 4.若集合nE R 满足EE , 则E 为集.5.若,是直线上开集G 的一个构成区间, 则,满足: ,.6.设E 使闭区间,a b中的全体无理数集, 则mE.7.若()n mE f x ()0f x , 则说()n f x 在E 上.8.设nER , 0nx R ,若,则称0x 是E 的聚点. 9.设()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E上几乎处处有限的可测函数, 若0, 有, 则称()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10.设()()n f x f x ,xE , 则()n f x 的子列()j n f x , 使得.二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1.若,A B 可测, A B 且AB ,则mAmB .2.设E 为点集, P E , 则P 是E 的外点.3.点集11,2,,En 的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若nER ,满足*m E, 则E 为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:AB CA B A C2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ,i EB 且i B 为可测集, 1,2i.根据题意, 若有*0,im B E i, 证明E 是可测集.4.设P 是Cantor 集,32ln 1,(),0,1x x P f x x xP.求10(L)()f x dx .5.设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , 1,2n , 求10()f x dx .6.求极限: 13230lim(R)sin 1nnxnxdx n x.实变函数试题解答一填空题1. 0,2. 2.()tan,,.2x x ax a b b a3.1(,)cos ,0(0,)1x y yx y yx;.4. 闭集.5.,.,.G G G 6. b a . 7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x .8. 对00,(,)U x 有0Ex .9. lim ()()n nmE f x f x 10. ()()n f x f x a.e.于E .二判断题1.F . 例如, (0,1)A , 0,1B , 则AB 且A B ,但1mAmB .2.F . 例如, 0(0,1), 但0不是(0,1)的外点.3.F . 由于0EE .4.F . 例如, 在1R 中, 11,1nF n n, 3,4n是一系列的闭集, 但是3(0,1)nn F 不是闭集.5.T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I,使得EI , 则**,m Em II于*m E.三, 计算证明题. 1. 证明如下:SS SS SA B C A BCA B CA B CAB A CA BA C2.M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集. 3.令1i iB B , 则i E BB 且B 为可测集, 于是对于i ,都有i BEB E , 故**im B E m B E ,令i, 得到*0mBE, 故BE 可测. 从而E B B E 可测.4.已知0mP, 令0,1GP , 则1322210130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGG P Gf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dx x.5.将积分区间0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ,其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n的构成区间(共有12n 个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP , 可得110111111()()()()()1()61126631112916nnP GPGn nPGnn nn n n n nn n f x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxdxmG 6.因为323sin 1nxnx n x在0,1上连续, 1323(R)sin 1nx nxdxn x存在且与1323(L)sin 1nx nxdx n x的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nxn xn xn xxx 由于12x在0,1上非负可测,且广义积分112dx x收敛,则12x在0,1上(L)可积,由于323lim sin 01nnx nxn x,0,1x,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到113323231323010lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100nn nnx nxnxdxnxdxn xn xnx nx dx n x dx.一、判定下列命题正确与否,简明理由(对正确者予以证明,对错误者举处反例)(15分,每小题3分)1.非可数的无限集为c势集2.开集的余集为闭集。
《实变函数》试卷及参考答案
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《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体,则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集,如果对任一点集都有R1 (第页,共47页)EL_________________________________,则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”,“必要”,“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数测试题与参考答案
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实变函数试题一,填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂,则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集,则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦,则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ⊂,0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,若0σ∀>,有 ,则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈,则∃{}()n f x 的子列{}()jn fx ,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例. 1. 若,A B 可测,A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集,P E ∉,则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞,则E 为无限集合. 三,计算证明题1.证明:()()()A B C A B A C --=-2.设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M 为可数集.3.设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集,1,2i =.根据题意,若有()()*0,i m B E i -→ →∞,证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集,()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x ,而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n ,()1,2n =,求1()f x dx ⎰.6. 求极限:13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题 1.[]0,2.2.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭;∅.3.闭集.4.b a -.5.几乎处处收敛于()f x 或a.e.收敛于()f x .6.对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.7.()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F .例如,(0,1)A =,[]0,1B =,则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F .例如,0(0,1)∉,但0不是(0,1)的外点.3. F .由于{}0E E '=⊄.4. F .例如,在1R 中,11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,3,4n =是一系列的闭集,但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T .因为若E 为有界集合,则存在有限区间I ,I <+∞,使得E I ⊂,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三,计算证明题. 1.证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z ,半径为r 唯一确定,x ,y ,z 跑遍所有的正有理数,r 跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==,则i E B B ⊂⊂且B 为可测集,于是对于i ∀,都有i B E B E -⊂-,故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞,得到()*0m B E -=,故B E -可测.从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =,令[]0,1G P =-,则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合:0P ,1G ,2G ,其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =,可得6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续,13230(R)sin 1nx nxdx n x+⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等.易知由于12x 在()0,1上非负可测,且广义积分1012dx x ⎰收敛,则 12x在()0,1上(L)可积,由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+,()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否,简明理由(对正确者予以证明,对错误者举处反例)(15分,每小题3分) 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。
实变函数模拟试题及答案
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实变函数模拟试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列哪个选项不是实变函数的基本概念?A. 极限B. 连续性C. 微分D. 积分答案:C2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是:A. 单调递增B. 单调递减C. 有界但无界D. 无界答案:A3. 如果函数f(x)在点x=a处连续,则下列哪个条件一定成立?A. f(a)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. f(a)=f'(a)答案:A4. 函数f(x)=|x|在x=0处:A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案:A5. 函数f(x)=sin(1/x)在x=0处:A. 连续B. 有界C. 不连续D. 无界答案:C6. 黎曼积分存在的条件是:A. 函数在积分区间上单调B. 函数在积分区间上连续C. 函数在积分区间上的不连续点构成一个零测集D. 函数在积分区间上的不连续点是可数的答案:C7. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的积分是:A. 0B. 1/4C. 1/3D. 2/3答案:A8. 若f(x)在[a,b]上可积,则下列哪个选项是正确的?A. f(x)在[a,b]上连续B. f(x)在[a,b]上单调C. f(x)在[a,b]上几乎处处连续D. f(x)在[a,b]上几乎处处有界答案:C9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的原函数是:A. x^3/3B. x^3C. 2x^3D. 3x^2答案:A10. 函数f(x)=x^(-1)在x=0处:A. 连续B. 可导C. 不连续D. 无界答案:C二、填空题(每空2分,共20分)1. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在该区间上________。
答案:可积2. 函数f(x)=x^2的原函数是________。
答案:x^3/3 + C3. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的积分是________。
答案:无穷大4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分是________。
实变函数试题库参考答案
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实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案(完整版)选择题1,下列对象不能构成集合的是:( )A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x :x>1}3、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x :x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E '所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是: ( )A 、B A ⊂ B 、A '⊂B 'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是:( )A 、 CB A =⋃ B 、 A '⋃B '=C ' C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是:( )A 、 CB A =⋂ B 、C '⊂ A '⋂B ' C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集,则下列命题正确的是:( )A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ')=(CA )'D 、CA A C =)(41、设A -B=C, 则下列命题正确的是:( )A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A '-B '=C 'D 、{A 的孤立点}-{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是:( )A 、A 是闭集B 、A '是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集,B 是开集,则A -B 是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集,B 是闭集,则A -B 是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋂1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋃1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =,则=mE ( )A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论( )正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是( )A 、xx f 1)(=在(0,1)有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0,1]上( )于0.A 、a ,e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0,1]中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0,1]上可测的是( ).A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是( ).A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE ( )A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是( )A 、E 的测度有限,则E 必有界B 、E 的测度无限,则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、(4-4-2-1)下述论断正确的是( )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集,则下列函数在[0, 1]可测的是( ).A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的( )点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔(cantor )集,则=0mP ( )A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集,则( )A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是( )A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是( ). A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集,则下列结论中正确的是( )A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ,则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔(cantor )集在[0,1]中的余集,则mG=( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测,则21S S ( )A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是( ) A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上( )于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33,其中E 是[0, 1]上的不可测集,则( )在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是( )A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测,B 是A 的真子集,则( )A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是( ) A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上( )于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集,则( )在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是( )A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m ( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类,对运算( )不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是( ) A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上( )于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集,⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是( ).A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( )A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ,则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒,则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数,则)(x f ( )A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积,则在E 上( )A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE (Φ≠E ),)(x f 是E 上的实函数,则下面叙述正确的是( )A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是,)(x f 为( )A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数,则⎰=10)()(dx x D L ( )A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数,则⎰=10)()(dx x f L ( )A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合,B 是A 的所有子集构成的集合;若A =n, 则B =2、设A 为一集合,B 是A 的所有子集构成的集合;若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E '=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E '= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]-C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂,对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ,定义=E m *________。
实变函数A--2010
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. 则∀x∈(0, 1], fn(x)单增收敛于 f(x), 即 fn→f,
a.e. 由 Levi 单调收敛定理得
∫
[0,1]
x − α dx = ∫
(0,1]
x −α dx = lim ∫
∩a∈F{a}c = (∪a∈F {a})c =Fc.
由于 F 是不可测集, 故 Fc 也是不可测集, 进而∩a∈F{a}c 不可测, 但对任意 a∈F, {a}c 可测.
3. 设 D 上的可测函数列{fn}n≥1 几乎(近乎)一致收敛于 f,即∀δ>0,∃可测子集 E⊂D s.t.
m(D−E)<δ且{fn}在 E 上一致收敛于 f。则 fn→f, a.e.
上 海 海 事 大 学 试 卷
2010 — 2011 学年第一学期期终考试 《 实变函数 》 (A 卷)
班级 题 得 目 分 参 考 答 案 学号 姓名 总分
阅卷人
一、选择题(共 12 题,每题 3 分,共 36 分)请将正确答案写在题目后面的括号内。 1. 对于论域 X 的任意子集 A, A1, A2, B1, B2, An(n≥1), 必有( B ) 。 A.
n →∞
3. 下列集合不是可数集的是( D ) 。 A. 整数集 A. E°=(0, 1) B. 自然数集 B. E′=(0, 1] C. [−1, 1]中的有理数集 C. E°=[0, 1] D. E′=(0, 1) D. [0, 1]中的无理数集 4. 设 E=(0, 1],则( A ) 。 5. 关于[0, 1]上的 Cantor 集,下列说法错误的是( C ) 。 A. Cantor 集是闭集 C. Cantor 集的测度是 1 A. 空集既是开集又是闭集 C. 任意多个闭集的并是闭集 B. Cantor 集是完备集 D. Cantor 集的内核是空集 B. 任意多个开集的交是开集 D. 不是开集必是闭集
实变函数期中试题
![实变函数期中试题](https://img.taocdn.com/s3/m/c1172b44a8956bec0975e3f0.png)
一、选择填空题(每小题3分,共36分)1. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=n x n x A n 11, n =1,2,…则:lim n n A →∞=2. 代数数全体的基数是3. 开集()()0,12,3 的构成区间是4. 设()f x +与()f x -分别为()f x 的正、负部,用它们表示()f x 为5. 设()f p 在[][]0,10,1⨯上可积,改变积分序有[][]0,10,()x dx f p dy =⎰⎰6. 叶果洛夫定理可概述为几乎处处收敛的可测函数列是 一致收敛的7. 符号函数在0x =点处的列导数是8. 设Q 为()0,1中的全体有理数,则0Q = 9. 下列不是有界变差函数的是()()[,]A f x C a b '∈ ()()[,B f x C a b∈()()C f x 在[,]a b 上单调有限 ()D ()f x 在[,]a b 上满足李普希兹条件10. 有界变差函数的不连续点的个数是 ()A 有限 ()B 可数 ()C 至多可数 ()D 不可数11. 设A a =,B 为不可数无限集,则A B -为 ()A B ()B a ()C c ()D a ≤12. 设E E '=∅ ,则E 为()A 孤立点集 ()B 开集 ()C 闭集 ()D 完备集二、判断题(在题前括号内填⨯或√)(每小题2分,共20分) ( )1.若E ≠∅,则0m E *> ( )2.若E 有界,则m E *<∞ ( )3.若E 无界,则m E *=∞ ( )4.若0m E =,则0m E = ( )5.若,A B 都可测且A B ⊂,如果()0m B A -=,则m A m B = ( )6.若E 可测,A 可数,则()mE m E A = ( )7.几乎处处有限的可测函数是“基本上”连续的 ( )8.几乎处处收敛比依测度收敛强 ( )9.若()()A B B A dx f p dy dy f p dx =⎰⎰⎰⎰,则()f p 在A B ⨯上可积 ( )10.函数在一点的列导数是唯一确定的 ——————————————————密————封————线————内————答————题三、(本题6分)设在康托尔集P 上定义函数()0f x =,在P 的余集中长度为3n -的构成区间上定义为n (1,2,3,)n = ,证明()f x 可积分,并计算积分值四、(本题8分)设在可测集E 上()()n f x f x⇒,而()()..n n f x g x a e E =于,1,2,n = ,证明:()()n g x f x ⇒ 五、简答题(每小题5分,共30分) 1.证明:若A B C ⊃⊃,且A C ,则A B C 2.证明:单位正方形{}(,)0,1I x y x y =<<与整个平面 {}2(,),R x y x y =-∞<<+∞对等 3.设A B ⊂且A 可测,m A <∞,又m B mA *=,证明:B 可测 4.证明:E 可测时,关于E 的特征函数是n R 上的可测函数 5.讨论()f x 与()f x 之间可测性的关系 6.设[0,]E π=,23,()sin x x E f x x x E ⎧+=⎨⎩为上的有理数,为上的无理数,计算()E f x dx ⎰ 密————封————线————内————答————题————无————效。
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一、 判断题
1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。
(√ )
2.可数集的交集必为可数集。
(× )
3.设P,Q ∈R n ,则ρ(P,Q )=0⇔P =Q 。
(× )
4.设点P 为点集E 的内点,则P 为E 的聚点,反之P 为E 的聚点,则P 为E 的内点。
(× )
5.开集中的每个点都是内点,也是聚点。
(√ )
6.任意多个开集的并集仍为开集。
(√ )
7.任意多个开集的交集仍为开集。
(× )
8.设A ⊆B ,则m ∗A <m ∗B 。
(× )
9.设E 为R n 中的可数集,则m ∗E =0。
(√ )
10.设E 为无限集,且m ∗E =0,则E 是可数集。
(× ) 二、填空题
1.设1n R R =,1E 是[0,1]上的全部有理点,则1E '=1E 的内部
1E
2.设2n R R =,1E =[0,1],则1E '1E 的内部1E
3.设2n R R =,1E =22{(,)1}x y x y +<,则1E '1E 的内部
1E
4.设P 是Cantor 集,则P P P P
m ∗P
5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间,则(,)a b 满足(,a b ,且a ,
b 。
三、证明题
1.证明:()A B A B '''⋃=⋃。
证明:因为A A B ⊂⋃,B A B ⊂⋃,所以,()A A B ''⊂⋃,()B A B ''⊂⋃,从而
()A B A B '''⋃⊂⋃
反之,对任意()x A B '∈⋃,即对任意(,)B x δ,有
(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集,
从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立,即x A '∈或
x B '∈,所以,x A B ''∈⋃,()A B A B '''⋃⊂⋃。
综上所述,()A B A B '''⋃=⋃。
2.设A 2n−1=(0,1
n ),A 2n =(0,n),n=1,2,…,求出集列{A n }的上限集和下限集。
解:),0(lim ∞=∞
→n n A ;
设),0(∞∈x ,则存在N ,使N x <时,因此N n >时,n x <<0,即n A x 2∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶数指标集,从而x 属于无限多n A ,得
n n A x lim ∞
→∈,又显然),0(lim ∞⊂∞
→n n A ,所以),0(lim ∞=∞
→n n A 。
若有n n A x lim ∞
→∈,则存在N ,使对任意N n >,有n A x ∈,因此若N
n >-12时,12-∈n A x , 即n
x 1
0<<,令∞→n ,得00≤<x ,此不可能,所以φ=∞
→n n A lim 。
3.可数点集的外侧度为零。
证明: 设i i I U E r r r E ∞
=⊂=1321`````},,,{
对)2
,2
(`````'```)2
,2
(,01
1
1
11
11n n n n n n n n n
n x x x x x x I +++++-+-=>∀ε
ε
ε
ε
ε
则2
)2
(222``````2
2||1
1
1
2ε
ε
ε
ε
===+++n
n n n n n
n I
则)2
(2
||2
22
2n
n I +==
ε
εε
)2
(2
||2
n
n i i
i I +==
ε
εε
∑∑∞
=∞
=∞
=1
12||i i
i i I ||*1
∑∞
=∈i i
I
mf E m 0*=E m
4.证明:不可数集减可数集的差集仍为不可数集。
证明:记A 是不可数集,B 是可数集,因为()()A A B A B =-⋃⋂,且A B -为无限集(因为,否则的话,A 是至多可数集,与A 是不可数集矛盾),A B ⋂为
至多可数集(因为A B B ⋂⊂,B 是可数集,所以A B ⋂为至多可数集),所以,
A A
B =-,即A A B -,所以,A B -仍为不可数集。