三角恒等变换专题复习(教师版)

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高一数学《第三章三角恒等变换复习(二)》

第三章三角恒等变换复习（二）
教学目标：
1. 综合运用知识解决相关问题.
2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.
教学重点：运用知识解决实际问题
教学难点：建立函数关系解决实际问题.
教学过程
一、作业讲评
《习案》作业P.196的第5、6题.
二、例题分析
，求证：，已知3
1)sin(21)sin(.1=-=+βαβα ；
βαβαsin cos 5cos sin )1(= .tan 5tan )2(βα=
.tan ).,0(5
1cos sin .2的值求，已知βπβββ∈=+
.32tan 2
tan 322.3说明理由的度数；若不存在，请、求出同时成立？若存在，，使，、是否存在锐角βαβαπβαβα-==
+
4. 已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2. B 是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，求△ABC面积的最小值.
5. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当△ABC的周长为2时，
求∠PCQ的大小.
三、课堂小结
本节主要讲运用公式解决有关问题：最值问题、存在性问题.
四、课后作业
《习案》作业三十六.
A。

《三角恒等变换与正余弦定理》提高篇复习卷带答案教师版

《三角恒等变换与正余弦定理》提高篇复习卷一、单选题（共15题；共30分）1.若=2，则sin（α﹣5π）•sin（﹣α）等于（）A. B. C. D. -【答案】B【解析】【解答】由题意知，=2，分子和分母同除以cosα得，=2，解得tanα=3，∵sin（α﹣5π）•sin（﹣α）=﹣sinα•（﹣cosα）=sinαcosα=故选B．【分析】利用商的关系先对所给的齐次式，分子和分母同除以cosα进行转化，求出正切值，再根据诱导公式对所求的式子进行化简，再由商的关系转化为正切的式子，把求出的正切值代入进行求解。

2. 的值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】选A。

【点评】二倍角的正弦公式在解题中经常用到，要准确掌握、灵活应用.3.已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A. -B.C. -D.【答案】B【解析】【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A. 30(+1)mB. 120(-1)mC. 180(-1)mD. 240(-1)m【答案】B【解析】【解答】解: 如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）=．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．5.三角形的两边长分别为3和5，其夹角的余弦值是方程的根，则该三角形的面积为A. 6B.C. 8D. 10【答案】A【解析】【解答】由5x2－7x-6=0，可得x=2或x= ，则cos = ，所以sin = ，则该三角形的面积S= ×3×5× =6．故答案为:A．【分析】由方程的根得到角的余弦值,由面各公式求面积.6.在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）= ，则cosA+sinC的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）= ，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，= ，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【分析】由已知利用余弦定理可求cosB，结合B是锐角，可求B，进而可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC= ，由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．7.设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解答：函数，图像关于轴对称，必有所以：，又因为：，所以当时，，所以，所以单调递减区间：由解得：，所以的单调递减区间是：，当时，单调递减区间是：，显然C正确．分析：由题首先观察所给三角函数式子，运用差角公式化简，然后利用其关于y轴对称结合三角函数性质得到，然后运用整体方法得到函数的单调区间.8.如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解答】在△ACD中，根据正弦定理得，，所以．在△ABD 中，．故答案为:A.【分析】结合条件由正弦定理求解.9.已知tan100°=K，则cos10°=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：由tan100°=tan（90°+10°）=﹣cot10°=K，则cot10°=﹣K，且K＜0，所以sin10°= = ，则cos10°= = =﹣．故选D分析：利用诱导公式，由已知tan100°的值求出cot10°的值，且判断出K为负数，然后利用同角三角函数间的基本关系先求出sin10°的值，进而求出cos10°的值．10.已知sin2A=，A∈（0，π），则sinA+cosA=（）A. B. - C. D. -【答案】A【解析】【解答】由sin2A=2sinAcosA= ＞0，又A∈（0，π）．所以A∈（0，），所以sinA+cosA＞0又（sinA+cosA）2=1+2sinAcosA=故选A．【分析】根据sin2A=2sinAcosA，A∈（0，π），可确定角A的范围，再对sinA+cosA进行平方可得答案．11.已知sin=，0＜x＜，则的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】∵0＜x＜∴sin[ ﹣（+x）]=cos（+x）=∴=故选D．【分析】首先利用诱导公式化简sin[ ﹣（+x）]=cos（+x），即可求出结果．12.在锐角三角形中, , , 分别是角, , 的对边, = ,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】解：由得，即，∴，∴，从而，∴=cosA+sinA=sin(A+)又，∴，∴，，∴.故答案为：B.【分析】对题目所给条件整理化简，即可知，在三角形中A+B+C=，利用正弦函数的两角和公式表示出来，根据题意确定的取值范围，利用正弦函数的基本性质，即可得出答案。

三角恒等变换专题复习

三角恒等变换专题复习一、两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±= ⑵ cos()____________________αβ±=⑶ tan()_____________αβ±=练习：1、sin15______o=；1tan15______1tan15o o+=- 1tan 751tan 75+-＝ 2、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－21B.21C.－23 D.23（一）特殊技巧（1）平方相加①ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______． ②已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-_______． (2)表示分子①求值0000tan35tan 25tan 25+⋅②求(1tan 22)(1tan 23)_______o o++=。

③求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)_______o o o o++++= （二）知值求值，知值求角①设1sin()9αβ-=-，cos 2α=13，且0＜α＜2π，0＜β＜2π，求cos （α+β）②已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(4π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．③已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π,π43βα、，53)sin(-=+βα，13124πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-β，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πcos α的值④若sinA=55，sinB=1010，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。

⑤已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π，π23π<<β，求α ＋β 的值二、二倍角公式；⑴ sin 2__________θ=__________= ①已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（）②若，且，则=（）③已知),2,23(ππα∈化简ααsin 1sin 1-++2cos 2α-__________=④已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1-⑵ cos 2__________α= __________= __________= __________= 降次公式： 2cos _______α=， 2sin _________α= ①求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ.②已知sin 2α=35,cos 2α= -45,则角α终边所在的象限是③证明，1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++④已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则x tan 的值为 ⑤函数221tan 21tan 2x y x-=+的最小正周期是__________=（3）tan 2____________θ=①在△ABC 中，cos A =35,tan B =2，求tan(2A +2B )的值。

第02讲三角恒等变换(和差公式、倍角公式)(教师版)

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（核心考点精讲精练）1. 4年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝± 1－cos α2.(2)cos α2＝± 1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos 2cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=++=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈【分析】由题得原式=sin15cos75cos15sin 75︒︒+︒︒，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=sin15cos 75cos15sin 75=sin(1575)sin 901︒︒+︒︒+== .故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝tan tan 1tan tan a αββ-+＝4334133-+⨯＝13，故选：C.【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（cos sin 44ππαβαβ+=+（（sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即t an(）=-1,故选：C.【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A.【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】8748135︒+︒=︒，令87,48αβ=︒=︒，则()tan tan tan tan13511tan tan αβαβαβ++=︒==--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+-=-，即tan 87tan 48tan 87tan 481︒+︒-︒︒=-.故选：A.【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于sin α的方程，解之即可求得sin α的值.【详解】2π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2αα=，π1sin sin 32ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又2ππsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11sin sin 22αααα=-，则sin 0α=故选：A【分析】直接利用和角的正切公式求解.【详解】由题得11tan +12tan 3141tan 12πααα+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.故答案为：3【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβαβαβαβ++=+++=++-+π1tan (1tan tan )tan tan 24αβαβ=+-+=，故答案为：2【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D.【答案】13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ5sin 2cos 22sin 1249ααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以22ππ2cos 12sin 122243αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 3α=-，所以2221cos212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．22179cos42cos 2121981αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=αα⎫=⎪⎪⎭sin θ=，cos θ=()αθ-=，∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin α=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45.【答案】35-13【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31, 53 -【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为2cos12sin2αα=-=，而α为锐角，解得：sin2α===故选：D．【分析】根据同角三角函数关系求得cosθ，再根据半角公式即可求得结果.【详解】因为37πsin,3π52θθ=-<<，故可得4cos5θ==-，又23sin sin cos sin5222tan3121coscos cos225θθθθθθθθ-=====-+.【分析】根据诱导公式求出cosθ，再利用平方关系可求sinθ，然后利用公式1cos sintan2sin1cosθθθθθ-==+即可求解.【详解】解：因为1cos()3πθ+=，所以1cos 3θ=-，又θ是第二象限角，所以sin θ=所以1cos tan 2sin θθθ-=故选：B ．【分析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化成正余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，代入即可求解．【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+.故选：C.A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan2sin θθθ-=【分析】根据直角三角形中的定义写出sin ,cos θθ，用θ表示出BCH ∠，然后分析可得．【详解】由已知COB θ∠=，则π22CBO θ∠=-，2BCH θ∠=，又tan2BH CH θ=，sin CH OC θ=，cos OHOCθ=，BH OH OB OC +==，因此11cos tan sin OH BH OC CH CH OCθθθ--===，故选：C ．【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()03f A ==，∴1A =∴()sin 2sin(f x x x x ==ππππ(2sin(2sin 121234f =-=-=故答案为：1，【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sincos 333334xx x x x f x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k =，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y - 的最大值是1，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.【答案】π6-（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数ϕ的一个取值即可.【详解】()sin cos()f x x x ϕ=++可化为()sin cos cos sin sin f x x x x ϕϕ=+-，所以()()sin 1sin cos cos f x x x ϕϕ=-+，设a ==则1sin cos ()sin cos f x a xx a a ϕϕ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设1sin cos cos ,sin a aϕϕθθ-==，则()()sin f x a x θ=+，因为函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为所以=1sin 2ϕ=-，所以π2π6k ϕ=-或5ππ26k ϕ=-，其中Z k ∈，故答案为：π6-（答案不唯一）.32【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出()f x 的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.故答案为:32.【答案】12/0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+ 即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为:12.【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin 82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n 82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒D 选项错误.故选：D【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到224sin sin cos cos 22αβαβ=，再由余弦的倍角公式，得到22224sin sin (12sin )(12sin )2222αβαβ=--，令22sin ,sin 22x y αβ==，求得12x y +=，结合2cos cos 12sin 12sin 2ααβ+=-+-，即可求解.【详解】解：由tan tan tan tan122αβαβ⋅⋅⋅=，可得sin sin sinsincos cos coscos2222αβαβαβαβ=，又由正弦的倍角公式，可得224sin cossin coscos cos cos cos222222ααββαβαβ=，即22224sinsin cos cos (12sin 2sin )2222αβαβαβ==--，令22sin,sin 22x y αβ==，则4(12)(12)1224xy x y x y xy =--=--+，解得12x y +=，所以22cos cos 12sin12sin 22()122x y αβαβ+=-+-=-+=.故选：C.【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】αQ 为第二象限角，π3π4sin ;cos 4545αα⎛⎫⎛⎫+=∴+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式)11πsin cos sin cos 224ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.πππ424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.【分析】利用两角和的正弦公式化简得到sin αα=，利用辅助角公式得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出α，从而得解.【详解】因为πππ1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2π2π2π1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，又π2πsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin αα+=，所以1sin 2αα=，即πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为α为锐角，所以ππ5π336α<+<，所以π2π33α+=，所以π3α=，即tan α=.【分析】首先求出cos37︒()()4sin53sin cos53 cos53sin sin534545545︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为3sin375︒≈，所以4cos375︒=≈，=()()sin53sin cos53cos53sin sin4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-sin5353sin cos53cos5353sin sincos45cos sin4545cos45sin sin453455︒︒-︒︒︒︒︒︒+︒︒︒︒+=-cos45cossin53cos5345︒︒︒︒=()()4sin9037cos37453cos9037sin3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选：B【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tantan=tan1tan()tanαββααββαββ+-+-=++⋅，又因为costan1sinαβα=-，()1sintancosααβα++=，所以(1sin)(1sin)cos cos1sin coscos(1sin)cos1sintan1sin cos cos(1sin)cos(1sin)1cos1sin cos(1sin)ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin 34sin cos tan tan 4cos 55αβααβββ+==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sincos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故答案为：14-【基础过关】【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2π2ππcos 2cos 2cos 2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π312sin 1235α⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：C【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2sin sin 22sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβ++=⇒=⇒+=，进而可得tan tan 32tan tan tan tan 2αβαβαβ+=⇒=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---=，故选：D【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线210x y -+=的倾斜角为α，所以tan 2α=.所以222222222cos2cos sin 1tan 12311sin cos 2sin 12tan 12293αααααααα---====-=-++++⨯.故选：B.【分析】首先求出sin2α，即可得到2sin cos αα，再根据sin cos αα+=.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，sin 0α>，cos 0α>，又7cos29α=，所以sin2α==，即2sin cos αα=所以sin cos αα+====故选：C【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，因为3ππ2α<<，所以sin 0α≠，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，所以()sin cos αβα+=-.故选：B.【详解】因为cos sin sin2cos sin 1cos2ααβααβ-=+-，所以2cos sin 2sin cos cos sin 112sin ααββααβ-=+-+，所以cos sin cos cos sin sin ααβααβ-=+，所以1tan 11tan tan ααβ-=+，即tan tan tan 1tan βαβα-=+，即1tan tan tan tan αβαβ--=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ--==-+.故选：C【分析】先根据二倍角公式化简条件得：()cos sin 0ααβ++=，再根据角的范围及诱导公式得()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可得7π2αβα+=-，化简求值即可.【详解】由()()sin21sin 1cos2cos 0αβαβ++-=，得()2sin21sin 2sin cos 0αβαβ++=，①化简①式，得()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，又3ππ2α<<，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，因为3π5π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，7π5π3π5π2π,,2222α⎛⎫⎛⎫-∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，且sin y x =在3π5π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以7π2αβα+=-，所以7π22αβ+=，则7π24βα+=，所以tan 12βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：B ．【答案】45-/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，又222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα---==++，代入tan 3α=-得24sin 22cos 5αα-=-.故答案为：45-【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出2πsin(2)3α+，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为πtan()23α+=-，则222πππ2sin()cos()2tan()2ππ4333sin(2)sin 2()πππ335sin ()cos ()tan ()1333αααααααα++++=+===-+++++，则π2π4cos(2sin(2635αα+=+=-，即2π42cos ()1125α+-=-，解得πcos()12α+=所以πcos()12α+的值为故答案为：【能力提升】【分析】根据积化和差公式可得()sin 3cos 2sin 2cos ααβ-=，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由()sin cos sin βαβα=+得()()1sin sin sin 122βαβααβα+--⎡⎤⎦=⎣++⎡⎤⎦⎣，进而()1sin sin 2sin 212βαββ=+-，则()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβαβαβ=+=+所以()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，则22222sin 22sin cos sin cos tan 1tan 3cos 24sin 2cos 2sin cos 2tan 13ααααααβαααααα=====-+++.故选：A.【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】πππππcos cos[()]sin()2cos 32666αααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πtan()26α∴+=，222πππ2sin()cos()2tan()πππ4666sin 22sin()cos(πππ3665sin ()cos ()tan ()1666ααααααααα+++⎛⎫+=++=== ⎪⎝⎭+++++.故选：D【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 242a=︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒-︒︒，sin 25c =︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C【分析】先根据1111tan 1tan αα-=-+求出tan α，再利用二倍角得正切公式求出πtan 8，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由1111tan 1tan αα-=-+，得()21tan 1tan 1tan ααα+--=-，即2tan 2tan 10αα+-=，解得tan 1α=-±，又α为锐角，所以tan 1α=-+，又2π2tanππ8tan tan 21π481tan 8⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-，即2ππtan 2tan 1088+-=，解得πtan 18=-+πtan 18=-，所以π8α=，所以ππtan tan 184α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，22ππcos 2cos 2cos 155αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos 2cos cos 55αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2π2π2πcos cos sin sin 2cos cos 555ααα+=，得2πcos 05α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎝⎭2π2π9π,5510α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ52α+=，即π10α=.故选：D6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a<<【答案】A【分析】利用导数证明不等式当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，进而得sin 0.10.1tan 0.1<<，再讨论,a b c b 与1的关系即可判断.【详解】解：令()sin f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，函数()sin f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 00f x x x f =-<=，即sin x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()tan g x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22222222cos sin 1cos 1sin 110cos cos cos cos g x x x x xx x x x '+--=-=-==<，所以，函数()tan g x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 00g x x x g =-<=，即tan x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x所以，sin 0.10.1tan 0.1<<，因为sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，所以0,0,0a b c >>>所以，sin0.22sin 0.1cos 0.110sin 0.1100.110.2cos0.10.2cos 0.1a b ===<⨯=，即a b <2sin 0.110tan 0.1100.110.2cos 0.1c b ==>⨯=，即c b >所以，a b c <<故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，结合二倍角公式，比较,a b c b 与1的关系判断.【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b 与c ，a 与b ，利用中间值比较即可.【详解】记1()e ,(01)1xf x x x =-<<-，则22(1)e 1()(1)x x f x x '--=-，记2()(1)e 1x g x x =--，则2()(1)e x g x x '=-，又01x <<，所以2()(1)e 0x g x x '=-<，所以2()(1)e 1x g x x =--在(0,1)上单调递减，所以20()(0)(10)e 10g x g <=--=，则22(1)e 1()0(1)x x f x x --=<-'，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以0()(0)e 10f x f <=-=，故01x <<时，1e 01xx-<-，所以1515e 1415<=-，所以151e 14c =-<，又sin40sin80sin(6020)sin(6020)312055104b ︒+︒︒-︒+︒+︒===︒>︒=>，所以14c b <<，记2(1)()ln ,(1)1x h x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=>+，所以2(1)()ln 1x h x x x -=-+在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h <=，即1x >时，2(1)ln 1x x x ->+，所以32(1)322ln 32512->=+，所以32ln2025a b =>>>︒=，所以c b a <<.故选：D【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.【分析】由tan α，tan β的符号即可判断A ；由正弦函数的单调性可判断B ；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C ；用两角和的正切公式的变形可判断D.【详解】因为α，β为锐角，所以tan 0α>，tan 0β>，若tan α，tan β是方程2340x x --=的两根，由韦达定理得tan tan 40αβ⋅=-<，故A 错误；因为α，β为锐角且αβ>，函数sin y x =在π[0,2上单调递增，故B 正确；因为α，β为锐角，所以cos 0α>，cos 0β>，故221cos 1cos cossin (cos cos 02222βαβααβ+--=-=+>，C 错误；因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅，又παβγ++=，所以tan()tan(π)tan αβγγ+=-=-，所以tan tan tan tan()(1tan tan )tan αβγαβαβγ++=+-⋅+tan (1tan tan )tan γαβγ=--⋅+tan tan tan αβγ=⋅⋅，故D 正确.故选：BD.【答案】π2（答案不唯一）【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为2-，列出方程，即可得到结果.【详解】因为()()sin cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++()()cos sin 1sin cos x x x ϕϕθ=+++其中，1sin tan cos ϕθϕ+=2=，即22cos 1sin 2sin 4ϕϕϕ+++=22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，则π2π2k ϕ=+，k ∈Z .当0k =时，π2ϕ=，即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2.【答案】45-/0.8-【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知sin α==，cos α===，由二倍角公式得4sin 22sin cos 5ααα==-.故答案为：45-.【真题感知】【分析】根据积化和差及诱导公式即得.【详解】()()11sin 20cos 70sin10sin 50sin 90sin 50cos 60cos 4022︒︒+︒︒=︒+-︒-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1111sin 50cos 402242=-︒-+︒111cos 40cos 40422=-︒+︒14=.故选：A.【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：sin15cos30sin 75sin15cos30cos15︒︒︒=︒︒︒11sin 30cos30sin 6024=︒︒=︒=.故选：B.【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将24sin 225α=化简得到249cos ()450πα-=，再进一步变形即可求解.【详解】224sin 2cos 22cos ()14425ππααα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭ ，则249cos ()450πα-=解得cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，745πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭.故选：D【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：()442222sin cos sin cos 2sin cos y x x x x x x=+=+-()2112sin cos 2x x =-21sin 212x =-+11cos 4131cos 42244x x -=-⋅+=+，因为函数的最小正周期2ππ42T ==.故选：B.【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为()sin y A x ωϕ=+的形式，再由2πT ω=可得到答案．【详解】πππ4sin 33cos 35sin 3444y x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (其中3tan 4ϕ=)，2π3T ∴=．故选：C ．【分析】利用二倍角公式判断π(0,2α∈，即可得到sin cos 0αα+>，再由()2sin cos 12sin cos αααα+=+计算可得.【详解】解：由2sin 22sin cos 03ααα==>，又(0,)απ∈，所以π(0,2α∈，所以sin cos 0αα+>，又()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，所以sin co s αα+=sin cos αα+=，所以sin co s αα+=故选：A ．【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin APB APB =-∠=∠=α法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r ，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以sin α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得1k =所以tan α，即sin cos αα=cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得sin α故选：B.二、多选题8．（2021·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α==== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+ ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【分析】化简1sin 22y x =即得解.【详解】解：由题得1sin 22y x =，所以函数的最小正周期为2ππ2=.故答案为：π【分析】由辅助角公式即可求解.【详解】1sin cos ))2y x x x x ϕϕ=-=+=+,其中πsin ,02ϕϕϕ⎛⎫==∈- ⎪⎝⎭.而1sin()1x ϕ-≤+≤，所以1sin cos 2y x x =-.。

第三章三角恒等变换复习-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)

第三章三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值．【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。

人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课教学课件复习(第2课时两角和与差的正弦、余弦公式)

的值为(
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)
60°＝12.]
A．0
B．12
C．
3 2
D．cos 54°
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2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin
B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)
35°的值是( )
2 2 sin
α－
2 2 cos
α
＝ 22×－45－ 22×－35＝－ 102.]
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给角求值问题
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【例 1】 (1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( 课件
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5×3课件
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10－2
5×
5 10 5
1100＝ 102.
②cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝ 55×31010＋255× 1100＝ 22，又因为β∈0，π2，所以β＝π4.
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给值求值问题的解题策略课件课件课件课件课件课件课件课件课件

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1

第六节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．答案：B考点一三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1，又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形．探究三三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45，所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

【新】版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师用

第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ .(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)4－3310解析 (1)原式＝124x －4cos 2x ＋2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2x －24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)由题意可得，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝ .(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718D ．－1718答案 (1)－1 (2)D 解析 (1)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos(x －π6) ＝3×(－33)＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.题型二三角函数的求值命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角， ∴sin α＝1－172＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为．答案 (1)C (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ . 答案π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法； (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．(1)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ .(2)(2016·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A.7π4B.5π4C.5π4或7π4D.3π2答案 (1)268(2)A 解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cosα)·(sin α＋cos α)＝0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋2α－sin 2α＝268. (2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]，又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]，所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010×(－255)＋(－31010)×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22，又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A.题型三三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[4分]因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[11分]综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[12分]1．(2016·青岛模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案 C解析因为tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－4，故选C.2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D.3．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 D 解析sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 4．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αα－π4等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255答案 A解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αα－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z )． ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 7．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为．答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8.8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ . 答案 π3解析由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9．化简：3tan 12°－3212°－＝ . 答案－4 3解析原式＝3·sin 12°cos 12°－3212°－＝2312sin 12°－32cos 12°2cos 24°sin 12°＝23－2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是．答案 3－1解析 f (x )＝3sin 23x －(1－cos 23x ) ＝2sin(23x ＋π6)－1，又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23π， ∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1. 11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值； (2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)．解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)，所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4) ＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)．又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620. 12．(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. *13.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解 (1)f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6小中高精品教案试卷＝45×32－35×12＝43－310.。

初升高数学暑假衔接(人教版)第28讲三角恒等变换(教师版)

第28讲三角恒等变换1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算；2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换。

一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦：()S αβ+:()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()S αβ-:()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-2、两角和与差的余弦：()C αβ+:()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()C αβ-:()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3、两角和与差的正切：()T αβ+:()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.()T αβ-:()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.注意：①αβ±T 公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②αβ±T 公式的变形：tan tan tan()(1tan tan ),tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβαβαβαβ+=+--=-+；二、二倍角公式1、二倍角的正弦（2S α）：αααcos sin 22sin =；变形12sin cos sin 2ααα=2、二倍角的余弦（2C α）：ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=.3、二倍角的正切（2T α）：22tan tan 21tan ααα=-三、升（降）幂缩（扩）角公式利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=降幂公式：21cos 2cos2αα+=，21cos 2sin 2αα-=四、积化和差与和差化积公式1、积化和差1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+2、和差化积sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+=sin sin 2cossin 22x y x yx y +--=cos cos 2coscos 22x y x yx y +-+=cos cos 2sinsin 22x y x yx y +--=-五、辅助角公式对于形如sin cos a x b x +的式子，可变形如下：sin cos a x b x +sin cos x x ⎫和的平方和为1，故令cos ϕϕ==，则sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定，或由sin ϕ=cos ϕ=六、三角函数给角求值与给值求值问题“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．2、常见的配角技巧：()()2ααβαβ=++-，()ααββ=+-，22αβαβα+-=+，222αββααβ-⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等．七、三角函数给值求角问题实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好.考点一：两角和与差的余弦公式例1．cos72cos12sin 72sin12+= （）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】B【解析】()1cos72cos12sin 72sin12cos 7212cos602+=-==.故选：B.【变式训练1】化简()()()()cos 45cos 15sin 45sin 15αααα︒-+︒-︒-+︒的结果为.【答案】12/0.5【解析】()()()()cos 45cos 15sin 45sin 15αααα︒-+︒-︒-+︒()()1cos 4515cos 602αα=︒-++︒=︒=⎡⎤⎣⎦.故答案为：12【变式训练2】5πcos 12的值为（）A ．4B ．2C ．4D ．4【答案】C【解析】5πππππππcoscos cos cos sin sin 12646464⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯.故选：C 考点二：两角和与差的正弦公式例2．sin61cos31sin29sin31︒︒-︒︒的值是（）A ．12-B ．C ．12D【答案】C【解析】由三角函数公式化简可得sin61cos31sin29sin31︒︒-︒︒()sin61cos31cos 9029sin31=︒︒-︒-︒︒()sin 6131=︒-︒1sin302=︒=，故选：C ．【变式训练】()()()()sin 803cos 353cos 803sin 353αααα︒+⋅︒+-︒+︒+=.【答案】22【解析】解析原式()()sin 803353sin 452αα=︒+-︒+=︒=⎡⎤⎣⎦.2考点三：两角和与差的正切公式例3．若π4αβ+=，则()()1tan 1tan αβ++等于（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C 【解析】由π4αβ+=，可得πtan tan tan()tan 1,141tan tan αβαβαβ++==∴=-，所以tan tan 1tan tan ,tan tan tan tan 1αβαβαβαβ+=-∴++=，故()()1tan 1tan αβ++1tan tan tan an 2)t (αβαβ+=++=,故选：C【变式训练1=.【答案】13()tan 45tan151tan 45151tan 45tan1533︒-︒=︒-︒==+︒⋅︒.故答案为：13【变式训练2】)(1tan11tan 21tan )4(4)(+++ 的值为（）．A ．212B ．222C ．232D ．202【答案】B【解析】因为14445+=，故tan1tan 44tan(144tan 4511tan1tan 44++==-)=，即tan1tan 44tan1tan 441++= ，所以(1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 442)()++++=+= ，同理(1tan21tan 432)()=++ ，L ，(1tan221tan 232)()++= ，故22()()()21tan11tan 21tan 44+=++ ，故选：B考点四：二倍角公式例4．sin 75cos75︒︒=（）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由二倍角的正弦公式可得：1111sin 75cos 752sin 75cos 75sin150sin 302224︒︒=⨯︒︒=︒=︒=.故选：B.【变式训练1】tan 15︒等于（）A ．2B ．13-C ．23-D ．2【答案】A【解析】22tan15tan 301tan 15==-o ootan152︒=2-tan150> ，tan152︒∴=故选：A【变式训练2】计算：22cos sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】πcos 23θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】根据二倍角公式得22ππππcos sin cos 2cos 26663θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：πcos 23θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭考点五：和差化积与积化和差公式例5．7π2ππ2π2sin sin sin cos 11112211-+=（）A ．0B ．2πsin11C ．2π2cos11D ．2π2sin11【答案】C 【解析】7π2ππ2π2sinsin sin cos 11112211-+7π2π7π2πππ2πcos cos cos cos1111111122211⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5π9π5π2πcos cos cos cos11111111=--+2π2π2πcos πcos 2cos 111111⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭,故选：C【变式训练】若31cos cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α等于（）A ．23B ．43-C ．13D ．13-【答案】C【解析】因为π3π1π3ππ3πcos cos cos cos 4424444αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⨯++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1π11cos 2sin 212223cos απα⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin 23α=.故选：C.考点六：辅助角公式例6．sin15cos15︒+︒的值是（）A ．62-B 62C ．624D ．624【答案】B【解析】22sin15cos152sin15cos15⎫︒+︒︒+︒⎪⎪⎝⎭()n 55062142si 62︒+︒︒=.故选：B.【变式训练1】函数()cos 3f x x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是（）A ．2B ．0C ．1D 3【答案】C【解析】由已知可得，()13π2cos sin 2cos 223f x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为π02x ≤≤，所以ππ5π336x ≤+≤.又cos y x =在π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，当ππ33x +=，即0x =时，函数取得最大值()π02cos 13f ==.故选：C.【变式训练2】对任意角α，化22sin 2sin cos 3cos αααα++为cos()A x ωϕ+的形式．π224α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】22sin 2sin cos 3cos αααα++2sin 22cos 1αα=++cos 22sin 2αα++=22sin 22s 222co αα⎫=+⎪⎪⎭+π224α⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭考点七：给值求值例7．已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=．【答案】43【解析】因为π1tan tan 31ta 4n ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，所以1tan 2α=，所以2122tan 42tan 211tan 314ααα⨯===--.故答案为：43.【变式训练1】已知πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】【解析】因为πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππsin coscos sin 44αα+=1sin cos 5αα+=．又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1αα+=，解得：4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2427217225225250⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式训练2】设α，β都为锐角，且5cos 5α=，()3sin 5αβ+=，则sin β等于（）A ．25B ．11525C D ．55或11525【答案】B【解析】∵α为锐角，cos 5α=，∴sin 5α=，又∵α，β都为锐角，∴0παβ<+<，∴由()3sin 5αβ+=可得，()4cos 5αβ+=或()4cos 5αβ+=-，当()4cos 5αβ+=时，()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+3455==（β为锐角，sin 0β>，舍去）当()4cos 5αβ+=-时，()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+3455⎛⎫=-- ⎪⎝⎭25=，∴sin β=故选：B.考点八：给值求角例8．设α，β均为钝角，且sin α=cos 10β=-，则αβ+的值为.【答案】74π【解析】∵2απ<<π，ππ2β<<，且sin α=cos 10β=-，cos ,sin 510αβ∴=-=，∴3222cos()cos cos sin sin 5102αβαβαβ⎛+=-=⨯=-= ⎝⎭.∵π2παβ<+<，∴74αβπ+=；故答案为：7π4.【变式训练1】已知1tan 7α=，4tan 3β=-，且(),0,αβπ∈，则αβ+=（）A ．23πB ．34πC ．56πD ．74π【答案】B【解析】αQ ，(0,)βπ∈，1tan 07α=>，4tan 03β=-<，故π(0,)2α∈，(,)2πβπ∈，故3(,22ππαβ+∈，又14tan tan 73tan()1141tan tan 173αβαβαβ-++===--⋅+⨯，所以34αβπ+=，故选：B ．【变式训练2】已知π0π2αβ<<<<且4sin )5αβα=-=β=（）A ．3πB ．23πC ．4πD ．34π【答案】D【解析】因为4sin 5α=，且π0π2αβ<<<<，所以0βαπ<-<，因为cos()10βα-=，所以02πβα<-<，所以3cos 5α==，sin()βα-==所以()cos cos ββαα=-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin βααβαα=---3455==因为2πβπ<<，所以34πβ=，故选：D 考点九：三角恒等变换综合例9．求sin 20sin 50(3tan10)︒︒+︒=.【答案】12/0.5【解析】3cos10sin102sin(6010)sin 20sin 503tan10)sin 20sin 50()sin 20sin 50cos10︒+︒︒+︒︒︒︒=︒︒︒︒︒2sin 702sin 20sin 50sin 702sin 20cos 20cos 40sin 20sin 50cos10cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒=︒︒==︒︒︒sin 40cos 40sin801.cos102cos102︒︒︒︒︒===故答案为：12.()1sin cos sinco s 2222cos x x x x x⎛⎫++- ⎪⎝⎭+180360x ︒<<︒（）．【答案】cos x【解析】因为180360,901802x x ︒<<︒︒<<︒，所以cos 02x<，222cos 2sin cos sin cos 2222224cos 22x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+-222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222222222|cos |2cos22x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-22sin cos cos 22x x x⎛⎫=--= ⎝⎭，所以原式cos =x .1．sin 24cos6cos 24sin 6+的值为（）A ．32B 22C ．12D ．33【答案】C【解析】()1sin24cos6cos24sin6sin 246sin 302+=+==.故选：C.2．若tan α，tan β为方程23520x x +-=的两根，则()tan αβ+=（）A ．1-B ．13C ．1D ．13-【答案】A【解析】由题意，根据韦达定理可得5tan tan 32tan tan 3αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，所以得()5tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+.故选：A 3．已知π3sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【答案】B【解析】因为π3sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 2cos π236αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22ππ1cos 212sin 123366αα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+=--+=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦故选：B 4．（多选）下列各式中值为12的是（）．A ．2sin 75cos75︒︒B ．25π12sin12-C ．sin 45cos15cos 45sin15︒︒-︒︒D ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒【答案】AC【解析】因为()12sin 75cos75sin 2752︒︒=⨯︒=，故选项A 正确；因为25π512sin cos 21212π⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故选项B 错误；因为()1sin 45cos15cos 45sin15sin 45152︒︒-︒︒=︒-︒=，故选项C 正确；因为()tan 20tan 251tan 20251tan 20tan 25︒+︒=︒+︒=-︒︒，整理得，tan 20tan 25tan 20tan 251︒+︒+︒︒=，故选项D 错误；故选：AC.5．（多选）已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=）A．cos α=B．sin cos αα-C ．34πβα-=D ．2cos cos 5αβ=-【答案】BC【解析】①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒，故A 错误；②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos αα-，故B 正确；③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由22cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，2cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误．故选：BC 6．计算ππ2cossin 189πcos9-所得的结果为．【解析】原式ππππππππ2cos sin 2cos cos 2sin sin sinπ699696992cos ππ6cos cos 99⎛⎫--+- ⎪⎝⎭===7．函数21y=sin22x x 的最小正周期为．【答案】π【解析】11cos 21sin 2sin 2cos 222x y x x x +=⋅=sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==.故答案为：π8．已知锐角αβ，，且满足()sin cos αββ-=（1）求sin α；（2）求αβ+.【答案】（12）3π4【解析】（1）因为β为锐角，5cos 5β=，所以5sin β===.因为α，β是锐角，即π02α<<，π02β<<，所以π02β-<-<，ππ22αβ-<-<，又因为()2sin 10αβ-=，所以()cos αβ-==.()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦2721010=（2）由（1）知，sin 10α=，因为α是锐角，310sin 10α=，所以cos 10α===，由π02α<<，π02β<<，所以0παβ<+<，()cos cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯-=-，因为0παβ<+<，所以3π4αβ+=.9．从①()25sin π5α+=，②()5cos 2π5α-=，③3cos25α=-，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知角α是第四象限角，且满足__________.（1）求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若()1tan 7αβ+=，求tan β的值.【答案】（1；（2）3【解析】（1）若选①，则由题意得()sin πsin 5αα+=-=，则sin α=又角α是第四象限角，所以5cos 5α=，于是ππ1cos cos cos sin sin 3332πααα⎛⎛⎫+=-=⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.若选②，则由题意得()5cos 2πcos 5αα-==，又角α是第四象限角，所以sin α===于是ππ1cos cos cos sin sin 3332πααα⎛⎛⎫+=-=⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.若选③，则由题意得23cos212sin 5αα=-=-，且α为第四象限角，得sin α=所以cos 5α=，于是πππ153255215cos cos sin sin 333252510ααα⎛⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）可知sin tan 2cos ααα===-，所以()()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα--+-⎡⎤=+-===⎣⎦+++⨯-.10．已知函数()21cos cos sin 22f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最大值：（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）()max 22f x =；（2）,68ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）由已知()211cos 21cos cos sin sin cos 2222x f x x x x x x π-⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭11sin 2cos 222224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当2242πππ+=+x k ，即8x k ππ=+，k ∈Z 时，()max 22f x =（2）∵当222242k x k πππππ-≤+≤+时，()f x 递增，即388k x k ππππ-≤≤+，0k =时，单增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，与,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的交集为,68ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；1k =时，单增区间为59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与,68ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦无交集∴函数()f x 的递增区间为,68ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1．函数()[]()sin 3cos 0,πf x x x x =∈的单调递增区间是（）A ．50,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5ππ,66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为()πsin 32sin 3f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由πππ2π2π,232k x k k -+≤-≤+∈Z 可得，π5π2π2π,66k x k k -+≤≤+∈Z .当0k =时，π5π66x -≤≤，且[]60π5π5π,0,66,π⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ；当1k =时，所以11π17π66x ≤≤，[]11π17π,0,π66⎡⎤=∅⎢⎥⎣⎦.所以，函数在[]0,π上的单调递增区间是50,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.2．已知26sin α=()10cos 5αβ-，且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）A 915B 1110C 1535D 1035【答案】A 【解析】262sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，25cos 1sin 7αα∴=-=.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()()215sin 1cos 5αβαβ∴-=--=±.当()15sin 5αβ-=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---261051515757535=-=，304πβ<<，sin 0β∴>，15sin 35β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin 35β=.故选：A .3．已知1cos 3α=，()0,πα∈，则cos 2α=（）A ．3-B ．3C ．3±D ．33【答案】B【解析】由于()0,πα∈，所以π0,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由21cos 2cos123αα=-=，解得cos 2α=.故选：B4．下列各式中，值为32的是（）A ．2sin15cos15︒-︒B ．22cos 15sin 15︒-︒C ．22sin 151︒-D ．22sin 15cos 15︒+︒【答案】B【解析】对A ，2sin15cos15︒-︒==≠A 错误；对B ，22cos 15sin 15cos 302︒-︒=︒=，故B 正确；对C ，232sin 151cos302︒-=-︒=-，故C 错误；对D ，22sin 15cos 151︒+︒=，故D 错误；故选：B.5．（多选）下列各式的值为1的是（）A ．tan20tan25tan20tan251+-B ．13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C ．sin72cos18cos108sin18-D ．22cos 2251⋅- 【答案】BC【解析】()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---错误；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== 对22cos 22.51cos452-==，D 错误.故选：BC.6．sin1s 155in 0︒+︒=．【解析】由1510515105sin15sin1052sincos 2sin 60cos 45222222︒+︒︒-︒︒+︒==︒︒=⨯⨯=．故答案为：2．7．()()()()1tan11tan 21tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒= ．【答案】232【解析】∵=π4αβ+，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，∴tan tan tan tan 1αβαβ++= ，∴()()1tan 1tan 2αβ++=．∴()()()()1tan11tan 21tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒ ()()()()()()()1tan11tan441tan21tan431tan221tan231tan45=+︒+︒+︒+︒+︒+︒+︒ 2323222=2=⨯⨯⨯ 个故答案为：2328．已知α，β都是锐角，若sin αsin 10β=，则αβ+=．【答案】4π【解析】sin ,sin αβ ，0,022ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()()0αβπ+∈，cos α∴cos β，()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴+-＝则4παβ+=，故答案为：4π9．计算下列各式：（1）cos 7sin15sin 8cos8︒-︒︒︒；（22sin 50sin 801tan10︒+︒︒【答案】（12）2【解析】（1）原式()cos 158sin15sin 8cos15cos8cos8cos8︒-︒-︒︒︒︒==︒︒()cos15cos 6045cos 60cos 45sin 60sin 45=︒=︒-︒=︒⋅︒+︒︒12==（2）原式2sin 8012sin 50cos10cos102⎛⎫︒︒+⋅︒︒︒ ⎪=22250cos5022cos5⎛⎫︒+︒ ⎪⎝⎭=︒()2cos 50452cos5︒︒=︒-=.10．已知函数1()4cos cos 12f x x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）π；（2）()f x 的最大值为2，最小值为1-【解析】（1）因为()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期为π；（2）因为ππ64x -≤≤，所以ππ2π2663x -≤+≤，所以当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值1-.。

8简单的三角恒等变换(教师版)

11.8简单的三角恒等变换一、基础知识1.升降幂公式:1cos α+=22cos 2α;1cos α-=22sin2α2.同角正余弦化积公式22sin cos sin()a x b x a b x φ+=++，其中sin φ=22b a b+ ；cos φ=22a a b+3.三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ，()sin sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--，S ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-，()()()()C C C C αβαβαβαβ+-+-+-，，得()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222如果令αβθαβϕ+=-=，，则αθϕβθϕ=+=-22， ()sincos sin sin sin sin sin sin sincos θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-=++-⎛⎝ ⎫⎭⎪++--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=++=+-<>22122222122225·∴·2sin sin cos sin cos cos cos coscos cos sin sinθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ-=+-<>+=+-<>-=-+-<>222622272228··· 二、考点解析考点1: 三角函数的求值问题例1.1不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒= ．原式 = 2cos(3020)sin 203cos 203cos 20cos 20︒-︒-︒︒==︒︒．练习：1. (tan5°－cot5°)·︒+︒20cos 120sin解：原式=210tan 10cot 2=︒︒2. 0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.22C. 2D.32【解析】22223sin 703cos 203(2cos 201)22cos 102cos 102cos 10----===---，选C 。

人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课复习(两角差的余弦公式)

第五章三角函数
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解给值求角问题的一般步骤 (1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．
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(1)已知 cos α＝13，α 是第四象限角，sin β＝35，β 是第二象限角，求 cos(α－β)的值． (2)已知 α，β∈0，π2，且 sin α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求 cos β 的值．
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【解】 (1)因为 cos α＝13，α 是第四象限角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝
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第五章三角函数
给值求值问题的解题策略
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三角恒等变换的复习参考题课件人教新课标

a2 b2
说明：
a 确定. a2 b2
利用辅助角公式可以将形如 y=a sin +b cos的函
数，转化为一个角的一种三角函数情势。便于后面求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
基本公式：
1、两角和与差的三角函数公式：
sin( )
sin( )
cos( ) cos( )
tan( ) tan 4 . 1 tan( ) tan 3
当堂检测
1.若 tan 1 ,则cos 2 （ D ）
3
A. 4 5
B. 1 5
C. 1
D. 4
5
5
2.若 cos( ) 3 ,则sin 2
4
5
（B）
A. 7
B. 7
C. 1
D. 1
25
25
5
5
3.若 tan 3 ,则cos 2 2sin 2
33
65 变式练习
已知cos 3 , ( , ),求cos( ).
5
2
4
2 10
例2.已知tan( ) 1 .
4
2
(1)求 tan的值；
(2)求
sin 2 cos2 2 cos2 sin 2
的值.
解：(1) tan( 4
)
tan 4
1 tan
t an t an
1 1
t an t an
(3)变公式: 在实际变换过程中, 往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式；
(4)常用技能：①切化弦 ②化“1” ③角变换 ④“升幂” 与“降次”;
(5)角的变换是最基本的变换．常见的有：
( ) , ( ),
(2 ) ( ),2 ( ) ( )