《复变函数》(西安交大 第四版)第七讲.ppt
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1-5复变函数课件 西安交通大学
消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.
《复变函数》(西安交大 第四版)第7章 拉普拉斯变换
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内 的表达式 为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内 的表达式 为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。
工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 z2 z2 z1
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
复变函数 复习课件 西安交大第四版共81页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
复变函数 复习课件 西安交大第四版
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
复变函数与积分变换PPT课件
复变函数与积分变换是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。复变函数是自变量为复数的函数，其基础包括复数的概念、表示及运算。复数形如z=x+iy，其中x和y分别为实部和虚部，i为虚数单位。复数的模定义为|z|=√(x²+y²)，幅角是复数在复平面上与实轴正方向的夹角。复数有代数、三角和指数三种表示方法，且可以进行加、减、乘、除四则运算。复数的加减运算满足平行四边形法则或三角形法则，乘法运算则是模相乘、幅角相加，除法运算为模相除、幅角相减。复变函数的极限与连续性是进一步研究解析函数理论和方法的基础。此外，积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解决微分方程、信号处理等问题的重要工具，其ห้องสมุดไป่ตู้键公式和方法也在文档中进行了详细汇总。
复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
复变函数 西安交大版
解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, dz z
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
利用求导法则易得下面解析函数的性质.
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商 除去分母为零的点 在 D 内解析. ( )
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z(x 0) z
第二节 解析函数的充要条件 ◇ 一 主要定理 ◇ 二 典型例题 ◇ 三 本节小结
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中w g( z ) (6)
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
复变函数(西交大)第七讲
z0的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆 内 解 析, 所 以 奇 点不 可 能 在 收 敛 圆 内 . 又奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
的 圆 域 z0 r,圆k的 半 径r可 以 任 意 增 大,
只 要 圆k及 其 内 部 包 含 在D内 即 可, f (z)在 解 析 点z0处 的Taylor级 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距离.证 毕!
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,
f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
正 向 封 闭 路 线 的 积 分 为0。 (4) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂级 数 。
§4.4 罗朗(Laurent)级数
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆 内 解 析, 所 以 奇 点不 可 能 在 收 敛 圆 内 . 又奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
的 圆 域 z0 r,圆k的 半 径r可 以 任 意 增 大,
只 要 圆k及 其 内 部 包 含 在D内 即 可, f (z)在 解 析 点z0处 的Taylor级 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距离.证 毕!
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,
f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
正 向 封 闭 路 线 的 积 分 为0。 (4) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂级 数 。
§4.4 罗朗(Laurent)级数
《复变函数》(西安交大 第四版)第七讲共48页
收敛圆周上.
2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 的Taylor级数。
事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f ( z ) a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a n ( z z 0 ) n
分析：
cn
1 n!
f
(n)(z0)
21ikf(z0)n1d
z0
k:z0 rR 代入(1)得
D
k
cn(z
n0
z0)nn0f(nn)(!z0)(zz0)n
n 021 ik( f(z0))n1d(zz0)n
21 ikn 0( f(z0))n1(zz0)nd 1)
D
z0
z
k
又 f(z)21 ikf( z)d 2)
比 1 )2 较 ) ,有 f( z ) ， n 0 ( f( z 0 ) )n 1 (z z 0 )n ( )
z z0 q 1,
z0
D
z0
z
k
注意 1 到 zz0 1(zz0)
1 z0
1
1 z z0
,
z0
1 z 1 z 0 1 z z z 0 0 (z z z 0 0 )2 (z z z 0 0 )n (2 )
当z0 0时,Tay级 lor数为：
f(z)f(0 )f'(0 )zf''(0 )z2 f(n )(0 )zn
2 !
n !
函数展开成Taylor级数的方法：
• 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 的Taylor级数。
事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f ( z ) a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a n ( z z 0 ) n
分析：
cn
1 n!
f
(n)(z0)
21ikf(z0)n1d
z0
k:z0 rR 代入(1)得
D
k
cn(z
n0
z0)nn0f(nn)(!z0)(zz0)n
n 021 ik( f(z0))n1d(zz0)n
21 ikn 0( f(z0))n1(zz0)nd 1)
D
z0
z
k
又 f(z)21 ikf( z)d 2)
比 1 )2 较 ) ,有 f( z ) ， n 0 ( f( z 0 ) )n 1 (z z 0 )n ( )
z z0 q 1,
z0
D
z0
z
k
注意 1 到 zz0 1(zz0)
1 z0
1
1 z z0
,
z0
1 z 1 z 0 1 z z z 0 0 (z z z 0 0 )2 (z z z 0 0 )n (2 )
当z0 0时,Tay级 lor数为：
f(z)f(0 )f'(0 )zf''(0 )z2 f(n )(0 )zn
2 !
n !
函数展开成Taylor级数的方法：
• 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数 复习课件 西安交大第四版
本文详细讲解了复变函数中的几个重要知识点，包括复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。复合闭路定理涉及多连通域内的简单闭曲线，通过该定理可以计算某些复变函数沿闭路的积分。柯西积分公式则提供了计算解析函数沿闭路积分的方法，并给出了解析函数的一个积分表达式，是研究解析函数的有力工具。高阶导数公式描述了解析函数的导数的计算方法。此外，还探讨了与C-R方程相关的知识点，包括充要条件和充分条件。充要条件指出，若复函数在某区域内可导，则其必须满足C-R方程。而充分条件则提供了判断复函数是否可导的一种依据。这些知识的性质和应用。
西安交通大学复数与复变函数教学PPT
共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
西安交通大学
记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1） 所以，1）的方程为 或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
西安交通大学
4. 体现数学之美
简明 深刻
和谐
第一章 复数与复变函数
§1.复数及其运算
西安交通大学
1.复数
( x 2 1 0) 虚数单位： i 1 x, y 为实数 复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。 令人困惑，250年几乎没有进展。
2-1复变函数课件 西安交通大学
解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
复变函数辅导上 第四版 (西安交通大学高等数学教研室 著) .
&" 平面点集
"!##, 的"’邻域%满足关系&#’#,&’" 的 点# 的 全 体 称 为 点 #, 的一个"’邻域!而 满 足 ,’&#’#,&’" 的 点# 的 全 体 称为点#, 的一个去心"’邻域%
"&#内点%设 . 是一平面点集!#,*.!若存在#, 的 某 个 邻 域 也 包含于 .!则称#, 为 . 的内点%
在 三 角 表 式 示 中 !利 用 欧 拉 公 式 %)$! #456!$$678! 可 得 ##))$! !
称 为 复 数# 的 指 数 表 示 式 % 以上复数的不同表示法仅是形 式上的差异!它们 各 有 其 特
点%复数及其运算 的 几 何 解 释 可 以 从 向 量 表 示 法 得 到!复 数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法
记为####!& !即
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".#复 数 的 共 轭 及 性 质
设##!$$"!称 !’$" 为 复 数 # 的 共 轭 复 数!记 为 # 或
## !即##!’$"!它有如下性质%
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《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-6,7 西安交大
2
f z 0 z f z 0 z
1 f z 1 f z dz dz 2i C z z0 z 2i C z z0 z
1 f z f z dz 2iz C z z0 z z z0
13
例2 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y， 求一个解析函数 f z u iv，使 f 0 0.
v v u u 解一 du dx dy dx dy x y y x
e x cos y y sin y x cos y 1 dx
证毕
注 公式 f
n
n! z0 2i
C
f z dz 常用作求积分： n1 z z0
n
C
f z 2i dz f n1 n! z z0
z0
5
C为正向圆周： z r 1. 例1 求下列积分的值，其中
cos z 1 dz; 5 C z 1
11
v 6 yx y , 两边对y求导数，有 y
代入⑵，得 6 xy 6 yx y y 0 y c
v 3 y 2 x x 3 c
f ( z) y3 3 x 2 y i 3 y2 x x 3 c
2 u 2 u u u v v 2 0 2 x y x x y y x y y x 9
定义 若调和函数 u、v， 满足
iz 3 c
法3（不定积分法）
f z
f z 0 z f z 0 z
1 f z 1 f z dz dz 2i C z z0 z 2i C z z0 z
1 f z f z dz 2iz C z z0 z z z0
13
例2 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y， 求一个解析函数 f z u iv，使 f 0 0.
v v u u 解一 du dx dy dx dy x y y x
e x cos y y sin y x cos y 1 dx
证毕
注 公式 f
n
n! z0 2i
C
f z dz 常用作求积分： n1 z z0
n
C
f z 2i dz f n1 n! z z0
z0
5
C为正向圆周： z r 1. 例1 求下列积分的值，其中
cos z 1 dz; 5 C z 1
11
v 6 yx y , 两边对y求导数，有 y
代入⑵，得 6 xy 6 yx y y 0 y c
v 3 y 2 x x 3 c
f ( z) y3 3 x 2 y i 3 y2 x x 3 c
2 u 2 u u u v v 2 0 2 x y x x y y x y y x 9
定义 若调和函数 u、v， 满足
iz 3 c
法3（不定积分法）
f z
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(2)在实数域中
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x2n
为什么它的收敛半径R 1,在实数域中的不容易
看清楚,在复数域中容易看出 1 有两个奇点 1 z2
z i, R 1
定理
(1) 函 数f (z)在 点z0解 析 f (z)在z0的
某 一 邻 域 内 可 展 成 幂 级数 cn (z z0 )n，且 收 敛 n0
1 z2 z4 (1)n z2n (1）n z 2n
2! 4!
(2n)!
n0 (2n)!
sin z,cos z在全平面上解析，它们的半径R
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数，指出它们的 收敛半径:
1
1
(1) f (z) 1 z
第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数
§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）
f (z)的最近的一个奇点 之间的距离, 即, R z0 (2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆内解析,所以奇点 不可能在收敛圆内. 又奇点 不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点 只能在
收敛圆周上.
2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？
• 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
3. 简单初等函数的泰勒展开式
例1 求f (z) ez ,sinz,cos z在z 0的Talor
展 开 式 ， 并 指 出 它 们 的收 敛 半 径 。
解 (ez )(n) ez 1 (n 0,1,2,)
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
分析：
cn
1 n!
f (n)(z0 )
1
2i k
f (
z0
)
n1
d
z0
k : z0 r R 代入(1)得
D
k
cn(z
n0
z0 )n
n0
f
(n)(z0 ) n!
(z
z0 )n
n0
1
2i
k
(
f
(
z0
) )n1
d
(z
z0 )n
1
2i
k
n0
(
f ( )
(3)在收敛圆z 1内任意取一条从0 z( z 1) 的 路 径c, 将(1)的 展 开 式 两 边 沿c逐 项 积 分 得:
z
dz
z
dz
z zdz
z (1)n zndz
0 1 z 0
0
0
ln(1 z) z z2 1 z3 (1)n zn1 z 1
23
n1
(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
当z0 0时,Taylor级数为：
f (z) f (0) f '(0)z f ''(0) z2 f (n)(0) zn
2!
n!
函数展开成Taylor级数的方法：
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它
的Taylor级数。
事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f (z) a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z (
z0 z0
)2
( z
z0 z0
)n
(2)
故
f
( )
z
n0
f
(
( )
z0 )
(z
(
z0 )n z0 )n
n0 (
f (
z0
) )n1
(z
z0
)n
---(﹡)得证！
(1) 若f (z)有奇点,那么f (z)在解析点z0 的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界 上各点的最短距离当z z0 R时,
f (z) cn (z z0 )n (1) n0
f (z)在z0处 的Taylor级 数
其 中: cn
1 n!
z0
z0
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
n!
e z 在复平面上处处解析，
该级数的收敛半径R .
f (z) f (n)(0) zn f (0) f '(0)z f ''(0) z2 f (n)(0) zn
n0 n!
2!
n!
sin z e zi ezi 2i
z0 )n1 (z
z0 )n
d
1)
D
z0
z
k
又f
(z)
1
2i
k
f
( )
z
d
2)
比较1),2)有，f ( ) z
n 0 (
f
(
z0
) )n1
(
z
z0
)n
()
z z0 q 1,
z0
D
z0
z
k
注意到 1
1
1
1,
z z0 (z z0 ) z0 1 z z0
z0
(2) f (z) (1 z)2
(3) f (z) ln(1 z)
解 (1) 1 1 z z2 zn z 1 1 z
1 1
z
1
1 (z)
1
z
(1)n
zn
z 1
(2)由幂级数逐项求导性质得：
1
(1 z)2
d dz
1
1
z
d dz
1 z z2 (1)n1 zn
1 2z 3z2 (1)n1 nz n1 z 1
1 2i
n0
(zi )n n!
n0
(zi )n n!
1 2i 2k 1z 2k 1
2i k0 (2k 1)!
(1)k z 2k 1
k0 (2k 1)!
z 3
sin z z
z5 z7
(1)n z 2n1
3! 5! 7!
n0 (2n 1)!
又 cos z (sinz)'