抽样技术题目

一、 简单随机抽样

1、在简单随机抽样中，试证明比估计R y 是总体均值Y 的渐近无偏估计，并求其方差。

证明：X R Y = X x

y

X R Y y R =

==∧

∧

()

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

--=⎥

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2

2

11X X x o X X x X X

x X y E X X X x X y

E X X x y E y E R

由于0−→−-P

X x 即0→-X X

x 所以()

()

Y y E X y E X y E R ==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛= 得证。 ()()

2

22

2

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=R x y

E X X R X x y E y E y E y Var R

R R ()

()

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2

2

2111X X x o X X x X X x X x R y X X x X x

R y E X

由于0−→−-P

X x 即

0→-X

X

x 所以()

()()

2

22

2

1Z R

S n f x R y Var x R y E X x R y E X y Var -=-=-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= 其中：RX Y Z -=故()

()()(

)[]()

2

222

1

2111X

XY Y N

i i i R

S R RS S

n

f

X R Y RX Y N n f y Var +--=-----=∑= 2、对于简单随机抽样，总体均值Y 的回归估计量定义为：()lr y y X x β=+-，如β为常数(记为0β)，证明

201

22200(y )11(y )[()()]11(2)

lr N

lr i i i x xy E Y

f V Y Y X X n N f S S S n βββ==-=-----=+-∑

证明：

00202022200(y )[y ()]()[()]11y [()]111[()()]11(2)

lr N

lr i i i

N

i i i x xy E E X x E y X E x Y f V Y X X Y n N f Y Y X X n N f S S S n

ββββββ=+-=+-=-+----=-----=+-∑∑（）=

3、在简单随机抽样中，已知变量总体均值Y 的回归估计量定义为)(x X y y lr -+=β，若β为常数（记为0β），且有Y y E lr =)(, 求证：（1）)2(1)(02

202xy x y lr S S S n

f y V ββ-+-=

（2）使)(lr y V 最小的0β为x

y x

xy S S S

S ρ

β==

20；其中y

x xy S S S =

ρ.

证明：（1）[]∑=--+--=N i i

i lr Y X X Y N n f y V 1

2

0)(111)(β []2

10)()(111∑=-----=N

i i i X X Y Y N n f β

)2(102

202xy x y S S S n

f ββ-+-=

（2）求)(lr y V 对0β的偏导数：

0)22(1)())((2

00=--=∂∂xy x lr S S n

f y V ββ

x

y x

xy S S S

S ρ

ββ=⇒=

⇒02

将0β的值代入)(lr y V ，验证其最小值存在，此时

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=xy X xy x X y y lr S S S S S S S n f y V 22

2

221)(ρ )2(12

2222y y y S S S n f ρρ-+-=

)1(122

ρ--=y S n

f

4、研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：

编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8 100 18 180 9 110 19 170 10

240

20

120

估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：200=N 20=n

根据表中数据计算得：5.14420120

1

==∑=i i y y

()

06842.827120120

1

22

=--=∑=i i

y y s 21808.37)1(1)(2=-=

s N

n

n y V 10015.6)(=y V 因此该小区平均文化支出Y 的95%置信区间为：])(y [2

y V z α±即是：[132.544 ,156.456]，故估计该小区平均的文化支出Y =144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544 ,156.456]。

5、某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25=y ，这些企业去年的平均产量为22=x 。试估计今年该地区化肥总产量。

解析：由题可知22x =，

35.211002135===

N X X ,25y =

则，该地区化肥产量均值Y 的比率估计量为

26

.242425

35.21===∧

x y X

Y

该地区化肥产量总值Y 的比率估计量为 242626.24*100ˆˆ===R Y N Y 所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。