弹塑性变形与极限载荷分析
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Fu
表
F [ Fu ]
式中
[ Fu ]
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法。
Fu n
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
E s
( s ) ( s ) (14 -ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A1 A3 A , A2 2 A 。各杆 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0 例
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
s s
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料
0 s
( p 0) ( p 0) (14 - 4)
p 为塑性应变
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形 材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F1 后加 F2 先加 F2 后加 F1
弹塑性变形与极限载荷分析
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
以前我们所研究的问题是限制在材料始终保持在线性弹性范围 内，外力、内力、应力、应变、变形与位移各量间不仅成线性关系， 而且还单值对应。对某一构件或结构在一定外力作用下必产生确定 的内力、应力、应变、变形与位移。这就是说，如果外力增大 n 倍， 其对应的内力、应力、应变、变形与位移也增大 n倍。这样，力作 用的最终效果（例如产生的应变与变形等）只决定于力的最终值， 而与力作用的先后次序无关。在对构件或结构进行强度计算时，采 用极限应力法，即对塑性材料制成的构件或结构，当其危险点一点 处相当应力达到材料的屈服强度 s时，便认为整个构件或 或 0.2 结构已处于极限状态而不能继续承受更大的载荷。
m
(14 - 6)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
由对 14-1 节中一次超静定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次超静定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
1 2 3
直到杆2也 屈服 ， 该结 构才失去抵 抗变形能力 而成为几何 可变“机构”
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法
由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。 使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。 与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。 若以塑性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 示极限载荷，那么相应的强度条件应为
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形 事实上，对塑性材料制成的应力非均匀分 布的构件或超静定结构，例如图中所示的简支 梁，当危险截面Ⅰ-Ⅰ上危险点A或B处应力等于 材料的屈服强度 s或 0.2时，便出现塑性变形。 但是，由于Ⅰ-Ⅰ截面上应力线性分布，整个截 面除 A 、 B 两点外，其他各点应力并没有达 到 s或 0，仍处于弹形变性状态。此时，可 .2 继续增大载荷，梁Ⅰ-Ⅰ上会有更多的点进入塑 性变形状态，形成了塑性区域，梁进入了弹塑 性变形状态。
n次超静定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲 求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次超静定桁架 处 于 塑 性 极 限 状 态 时 ， 已 屈 服 的 n+1 根 杆 的 内 力 成 为 已 知 （ F N Ai s (i 1,2,3 , n 1) ），这恰好提供了n+1个补充条件。 i 这样，超静定桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求 得。
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形 2）极限载荷法 上述分析可知，对塑性材料制成的超静定结构或应力非均匀 分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时， 整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在
此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研
究新的分析方法。
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆 3 的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 FN1 FN 2 FN 3 。 时， 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
F 3FN1s 2 FN2s 7 A s FN 3 2 FN1s FN2s 4 A s > FN3s
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14-3 超静定桁架的极限载荷
表
F [ Fu ]
式中
[ Fu ]
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法。
Fu n
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
E s
( s ) ( s ) (14 -ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A1 A3 A , A2 2 A 。各杆 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0 例
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
s s
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料
0 s
( p 0) ( p 0) (14 - 4)
p 为塑性应变
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形 材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F1 后加 F2 先加 F2 后加 F1
弹塑性变形与极限载荷分析
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
以前我们所研究的问题是限制在材料始终保持在线性弹性范围 内，外力、内力、应力、应变、变形与位移各量间不仅成线性关系， 而且还单值对应。对某一构件或结构在一定外力作用下必产生确定 的内力、应力、应变、变形与位移。这就是说，如果外力增大 n 倍， 其对应的内力、应力、应变、变形与位移也增大 n倍。这样，力作 用的最终效果（例如产生的应变与变形等）只决定于力的最终值， 而与力作用的先后次序无关。在对构件或结构进行强度计算时，采 用极限应力法，即对塑性材料制成的构件或结构，当其危险点一点 处相当应力达到材料的屈服强度 s时，便认为整个构件或 或 0.2 结构已处于极限状态而不能继续承受更大的载荷。
m
(14 - 6)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
由对 14-1 节中一次超静定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次超静定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
1 2 3
直到杆2也 屈服 ， 该结 构才失去抵 抗变形能力 而成为几何 可变“机构”
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法
由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。 使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。 与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。 若以塑性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 示极限载荷，那么相应的强度条件应为
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形 事实上，对塑性材料制成的应力非均匀分 布的构件或超静定结构，例如图中所示的简支 梁，当危险截面Ⅰ-Ⅰ上危险点A或B处应力等于 材料的屈服强度 s或 0.2时，便出现塑性变形。 但是，由于Ⅰ-Ⅰ截面上应力线性分布，整个截 面除 A 、 B 两点外，其他各点应力并没有达 到 s或 0，仍处于弹形变性状态。此时，可 .2 继续增大载荷，梁Ⅰ-Ⅰ上会有更多的点进入塑 性变形状态，形成了塑性区域，梁进入了弹塑 性变形状态。
n次超静定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲 求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次超静定桁架 处 于 塑 性 极 限 状 态 时 ， 已 屈 服 的 n+1 根 杆 的 内 力 成 为 已 知 （ F N Ai s (i 1,2,3 , n 1) ），这恰好提供了n+1个补充条件。 i 这样，超静定桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求 得。
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形 2）极限载荷法 上述分析可知，对塑性材料制成的超静定结构或应力非均匀 分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时， 整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在
此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研
究新的分析方法。
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆 3 的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 FN1 FN 2 FN 3 。 时， 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
F 3FN1s 2 FN2s 7 A s FN 3 2 FN1s FN2s 4 A s > FN3s
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷