高等数学微分方程习题

第七章

微分方程与差分方程

习题7－1（A ）

1． 说出下列微分方程的阶数：

;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x

.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x

2． 下列函数是否为该微分方程的解：

x e x y y y y 2;

02)1(==+'-''

)(2;

0)()2(2为任意常数C x

x C y xdy dx y x -==++

),(cos sin ;

0)

3(212122

2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+

)(ln ;

02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+

3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：

;5,

)1(0

22==-=x y

C y x

;1,0,

)()2(0

221='

=+===x x x y y

e x C C y .

0,1,

)(sin )3(21='=-===ππ

x x y y

C x C y

4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

点横坐标的平方。

处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(

习题7－1（B ）

1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：

;

1)()1(22=+-y C x .

)2(21x x e C e C xy -+=

2．用微分方程表示下列物理问题：

平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(

。

速度成反比（比例系数同时阻力与，

成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m

习题7－2（A ）

1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x

;0553)2(2='-+y x x ;

)()3(2y y a y x y '+='-'

;10)

4(y x dx

dy

+=

;

11)5(2

2

x y y --='

;

1)

6(2x

y x

dx dy -=

;

63)7(32

22y

x y y x x dx dy --=

;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;

0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .

0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x

2．求解下列初值问题：

;0,)1(02=

='=-x y x y

e y

;4

,cos cos sin cos )2(0π=

==x y dy

dx

x

y y x

;0,ln sin )3(2

=='=

π

x y y y x y .

1,

)1()4(1

=='+=x x x y

e y y e

平分，求这曲线方程。

意切线线段均被切点所，它在两坐标轴间的任一曲线过点)3,2(.3方程。

斜率的两倍，求这曲线到该切点的连线的

的切线斜率等于自原点，且在曲线上任何一点一曲线过点)3

1

,1(.4

习题7－2（B ）

及流完所需的时间。

求水面高度变化的规律，的孔漏斗下面有面积为，顶角为斗，高为有一盛满水的圆锥形漏2)(5.0,60)(10.1m c cm o

后的速度是多少？

运动开始经过了一分钟，问从达因，外力为时速度等于秒速度成反比；在，和质点运动的，这外力和时间成正比线运动的质点受外力作用作直克质量为)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅= 的函数关系。与时间的一半，试求镭的量年后，只余原始量镭经过由经验材料得知，，成正比存量镭的衰变速度与它的现：镭的衰变有如下的规律t R R R 01600.3

间变化的规律。

成正比，试求船速随时知阻力和速度秒后速度减至一半，已，初速开始运动的船以5)/(6.40s m v =

间的函数关系。

在上升过程中速度与时，试求为常数竖直上抛，空气阻力为的物体在空气中以速度设将质量为)(.50k kv v m

，求这曲线方程。

倍矩形面积的的

坐标面积等于同底而高为纵为底构成的曲边梯形的，它以一曲线过点)1(1

],[),2(.6>m m y x a b a .

)(,)()

1()()(.70

x y dx x y x x dx x y x

x y x x 求且满足

是一个连续可微函数，设⎰

⎰

+=

习题7－3（A ）

1． 求下列齐次方程的通解： ;)ln (ln )1(x y y y x -=' ;

0)2(22=--

-'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;

0)2()4(=+-xdy dx y xy ;

)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=

.03)32()6(=-+dy x

y

ch x dx x y ch y x y sh

x

2．求解下列初值问题：

;

0)1(,0cos )cos ()1(==-+y dy x y

x dx x y y x

.

2)1(,)2(=+=

'y x

y y x

y

3． 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

4． 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点O 到

该点的距离。

习题7－3（B ）

1． 求下列齐次方程的通解或特解：

;1)2

1()1(='-y y

x

;0)1(2)21()2(=-

++dy y

x

e dx e y

x y

x

;1,

02)3()3(0

22==+-=x y

xydx dy x y

.

1,

0)2()2()4(1

2222==-++-+=x y

dy x xy y dx y xy x