抛物线点差法
点差法_抛物线_互相垂直的弦的中点轨迹方程_概述说明
点差法抛物线互相垂直的弦的中点轨迹方程概述说明引言部分是文章的开头，旨在介绍文章的背景和目的，以及提供读者阅读全文的动机。
以下是关于“1. 引言”部分的详细内容：1.1 概述：本文旨在探讨点差法、抛物线以及互相垂直的弦的中点轨迹方程三个主题。
点差法是一种数学方法，可以应用于多个领域，具有广泛的实际应用价值。
抛物线作为一个经典的曲线形状，在几何学和物理学等领域中被广泛研究和应用。
而互相垂直的弦的中点轨迹方程则涉及到几何学中特殊情况下曲线性质的研究。
1.2 文章结构：本文共包括五个部分：引言、点差法、抛物线、互相垂直的弦的中点轨迹方程以及结论与总结。
每个部分将详细介绍相应主题，并包含相关定义、原理、公式推导和实际应用案例等内容。
1.3 目的：该文旨在揭示点差法、抛物线特性以及互相垂直的弦中点轨迹方程的相关概念、性质和应用。
通过对这些主题的深入探讨，读者将能更好地理解这些数学概念的实际应用，并为进一步研究和探索提供基础。
本文引言部分介绍了文章的概述、结构和目的。
接下来将在第二部分开始详细阐述点差法的定义、原理以及应用范围。
2. 点差法2.1 定义和原理点差法是一种用于测量直线距离的方法，它基于三角学原理。
其核心思想是通过测量两点之间的角度和这两点到待测曲线的距离来确定曲线上某一点的坐标。
在点差法中，我们假设已知一条直线段AB，其中A为起点，B为终点。
我们希望确定从该直线段到曲线上某一点P的垂直距离h。
首先，在直线AB上选择一个参考点O，并测量出AO与BO之间的夹角α和AO的长度d。
根据三角学原理，我们可以推导出以下关系式：tan(α) = h / d，h = d * tan(α)。
因此，在已知α和d的情况下，我们可以计算出待测曲线上任意一点P到直线AB的垂直距离h。
2.2 应用范围点差法主要应用于地质勘探、航空摄影、地图制作、城市规划等领域。
通过使用该方法，我们可以快速而准确地获取各种地形或场景中不可达位置的坐标，并绘制出对应的图像或图表。
抛物线知识点归纳总结与金典习题
抛物线1.直线与抛物线的位置关系 直线•一一寸㈠，抛物线y 二&十B『=2p 其 消y得.42(妙-歹)工+沪二。
当k=0时，直线丨与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 当kM 0时， △ > 0,直线l 与抛物线相交，两个不同交点； △ =0，直线l 与抛物线相切，一个切点；△ v 0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗(不一定)2.3.4. 5. (1) (2)6.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线-' -八，(p 0)①联立方程法：设交点坐标为A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则有0,以及x 1 x 2, x.j x 2，还可进一步求出y i y 2 kx i b kx 2 b k(x i X 2) 2b2 2y-i y 2 (kx 1 b)(kx 2 b) k x 1x 2 kb(x 1 x 2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦AB 的弦长AB V1 k 2■X i X 2 斗 1 k v(x 1 x 2) 4x 1x 2 V i k ||同({- 或 AB J1丄1 k 2y i y 2 11 t2■'2 NV 17T V(yi y 2)4y i y2心 k-j —b.中点 M(X o ,y °), X 。
'住，y o / 比2 2②点差法：设交点坐标为A(x i ，y i )， B(X 2,y 2)，代入抛物线方程，得2 2 y -2px i y 2 2px 2将两式相减，可得(y i y 2)(y i y ?) 2p(x - x ?)y i y 2 2p X i X 2 y i y 2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为M (X 。
, y o )， y i y 2 2p 2pp X i X 2y i y 22yoy o即k _p ABy oy kx b y 22pxk 2x 22(kb p)x b 2a.在涉及斜率问题时，k AB2py i y 2同理，对于抛物线 x 2 2 py( p 0)，若直线I 与抛物线相交于A 、B 两点，点X 1 X 2 2X 0 X o 2p 2p p(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜 率存在，且不等于零)、抛物线的定义及其应用例1、设P 是抛物线y2= 4x 上的一个动点.(1)求点P 到点A(- 1,1)的距离与点P 到直线x = — 1的距离之和的最小值; ⑵若B(3,2),求| PB + | PF 的最小值. 例2、(2011 •山东高考)设M(x0, y0)为抛物线C: 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 围是()二、抛物线的标准方程和几何性质例4、过抛物线y 2^2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点 点C,若| BC = 2| BF ，且| AF| = 3则此抛物线的方程为A . y 2= fxB .9xC y 2= |x三、抛物线的综合问题例5、(2011 •江西高考)已知过抛物线y 2 = 2px(p>0)的焦点, 抛物线于 A(X 1, y 1), B(x 2, y 2)(X 1<X 2)两点，且 |AB| = 9.(1)求该抛物线的方程；uuu uuu (2)0为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 OC 二OA +入OB ，求入的值. 例6 (2011 •湖南高考)(13分)已知平面内一动点P 到点F(1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.例3、抛物线y 2= 2px(p>0)的焦点为F ,准线为I , B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK 丄I ,垂足为 且|AF| = 4,则AAKF 的面积是 B. 3 3 C. 4 3A . 4经过F 的直线与抛物线交于A 、 K ,若 |BC = 2|BF| , D . 8M(x o ,y 。
高考数学-抛物线知识点
高考数学-抛物线抛 物 线)0(22>=p pxy)0(22>-=p pxy)0(22>=p pyx)0(22>-=p pyx定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
{MFM=点M 到直线l 的距离}范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈,0x R y ∈≥,0x R y ∈≤对称性 关于x 轴对称关于y 轴对称焦点 (2p,0) (2p-,0) (0,2p ) (0,2p -) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O离心率 e =1准线 方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离 p焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+1. 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
xyO lFxyOl FlF x y OxyO lF（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点坐标),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y = 将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）。
2020高考：点差法公式在高考中的应用
点差法的应用定理1在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅. 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN -=⋅. 定理2 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅. 定理3在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0. 例题：已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x.(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程.例2. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．.例3. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.练习1.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？2.已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。
点差法公式焦点在y轴
点差法公式焦点在y轴
点差法是求抛物线焦点的一种方法，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以利用点差法来求解。
首先，我们知道抛物线的一般方
程是y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
如果焦点在y轴上，那
么抛物线必然是开口向上或者向下的，也就是a的符号为正或者负。
首先，我们需要计算抛物线的顶点坐标，顶点的横坐标可以通
过-b/2a来求得。
然后，我们可以利用顶点坐标和抛物线的一般方
程来求得焦点的坐标。
如果抛物线开口向上，那么焦点的坐标为(Vx, 1/(4a) + Vy)，如果抛物线开口向下，那么焦点的坐标为(Vx, -
1/(4a) + Vy)，其中(Vx, Vy)为顶点的坐标。
另一种方法是直接利用抛物线的焦点公式来求解。
对于焦点在
y轴上的抛物线，焦点的坐标可以表示为(0, 1/(4a))或者(0, -
1/(4a))，具体取决于抛物线开口的方向。
这个公式可以直接用来求
解焦点的坐标，而不需要先求出顶点的坐标。
综上所述，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以通过点差法
或者直接利用焦点公式来求解焦点的坐标。
这样就能够全面地回答
这个问题了。
“点差法”韦达定理在解析几何题中的应用
“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程例1 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .2 求曲线方程例3 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.例4 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2a c =，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆方程. 3 确定参数的范围例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围..4 证明定值问题例7 已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值..5 处理存在性问题例8 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.点差法练习1、已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)B 能否作出直线m ，使m 与所给双曲线交于1Q ， 2Q 且点B 为线段12Q Q 的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
抛物线知识点归纳总结与金典习题
抛物线抛物线)0(22>=p px y)0(22>-=p px y)0(22>=p py x)0(22>-=p py x定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
{MFM=点M 到直线l 的距离}范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈,0x R y ∈≥,0x R y ∈≤对称性关于x 轴对称关于y 轴对称焦点(2p ,0) (2p -,0) (0,2p ) (0,2p -) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O离心率 e =1准线 方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离 2p 焦点到准pxyO lFxyOl FlF x y Oxy O l F线的距离焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++12()y y p ++12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 切线方程00()y y p x x =+00()y y p x x =-+00()x x p y y =+00()x x p y y =-+ox ()22,B x y Fy ()11,A x y1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
定比点差法在各类曲线中的应用
定比点差法在各类曲线中的应用
定比点差法是一种解决圆锥曲线综合问题的方法，其应用范围广泛。
下面我将就定比点差法在各类曲线中的应用进行说明：
1. 圆：在圆中，定比点差法可以用于解决与弦的中点有关的问题，例如求证弦的中点到圆心的距离为定值等。
2. 椭圆：在椭圆中，定比点差法可以用于解决与中点弦、对称、垂直平分等问题相关的题目。
例如求证椭圆上任意两点的中点轨迹为一条直线或者求证某一条直线与椭圆的交点构成的线段的中点轨迹为另一条直线等。
3. 双曲线：在双曲线中，定比点差法同样可以用于解决与中点弦、对称、垂直平分等问题相关的题目。
例如求证双曲线上任意两点的中点的轨迹为一条抛物线等。
4. 抛物线：在抛物线中，定比点差法可以用于解决与对称、垂直平分等问题相关的题目。
例如求证抛物线上任意两点的中点的轨迹为一条直线等。
总的来说，定比点差法在各类曲线中都有着广泛的应用，能够帮助我们解决一系列复杂的综合问题。
但是，使用定比点差法需要深入理解其本质和应用条件，需要一定的练习和掌握。
“点差法”是否需要检验？
“点差法”是否需要检验？
发布时间：2023-03-28T07:41:50.362Z 来源：《时代教育》2023年第1月1期作者：拓继雨[导读] “中点弦”问题是圆锥曲线中的重点内容之一，也是高考的重点与热点
拓继雨
陕西省西安中学陕西西安 710000 “中点弦”问题是圆锥曲线中的重点内容之一，也是高考的重点与热点。
对于“中点弦”问题常规的解法较为繁琐，运算量也较大。
而“点差法”将斜率公式与中点坐标结合，化繁为简，大大减少了运算量。
但是“点差法”使用的前提是圆锥曲线与直线有两个交点，否则利用点差法计算得到的结果也不是我们所需要的结果。
一．双曲线中的“点差法”是否需要检验？
二．用“点差法”解椭圆问题是否需要检验
题目2：已知椭圆方程为，求以为中点的弦所在的直线方程。
三．用“点差法”解抛物线问题是否需要检验
由此可见，椭圆，抛物线，双曲线的“中点弦”问题在用“点差法”时均需检验。
不过，由于椭圆，抛物线图形的特殊性，只需检验中点是否在内部，而双曲线则需联立直线与双曲线方程看大前提有两个交点是否满足。
完整word版抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1.抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质:3.抛物线寸=2 px( P A O)的几何性质:(1)范围：因为p>0,由方程可知x> 0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，l y l也增大, 说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点（0, 0）,离心率：e =1，焦点F^,。
），准线X =-卫，焦准距p.2 22焦点弦：抛物线 y =2px(p >0)的焦点弦 AB , A(X i , y i ) , B(X 2,y 2),则 | AB |= X i +X2 + p . 弦长|AB|=x 1+X 2+P ，当X i =X 2时，通径最短为 2p 。
4.焦点弦的相关性质： 焦点弦AB , A （x i ，y i ）, B （X 2,y 2），焦点F （P,0）2（1）若AB 是抛物线y2=2P X P >0）的焦点弦（过焦点的弦），且A （X ,,y i ），B （X 2,y 2），则:2yy 2 =—p 。
若AB 是抛物线y 2=2 P X P >0）的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为a ，则I AB I =2 P（'' sin 2 a1 1 AF + BF A B已知直线 AB 是过抛物线 y 2=2 px （ p > 0）焦点 F , --------------- +——= -- =AF BF AF •BF AF •BF焦点弦中通径最短长为 2p 。
通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 .②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线, 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5.弦长公式：A （x 1, y 1） , B （x 2,y 2）是抛物线上两点，则IAB| = J （X 1 —X 2）2 +（% -y 2）2 = J 1 +k 2 | X 1 -X 2 |= {1 +占 | y 1 - y 2 | 6.直线与抛物线的位置关系直线1】宀比，抛物线= 2砂,<，=2砂消y 得: PF+ 2（财-刀）兀+护=0当k=0时，直线I 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 当k 工0时，△ > 0,直线I 与抛物线相交，两个不同交点； △ =0，直线I 与抛物线相切，一个切点； △ V 0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
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抛物线点差法————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：点差法————抛物线中点弦问题中的妙用定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意:能用这个公式的条件：（１）直线与抛物线有两个不同的交点;(２）直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线)0(22≠=m my x 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦ＭN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则m x k MN=⋅01.注意:能用这个公式的条件:(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(２)直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1 抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ) A. 12-=x y Ｂ. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上． 设弦的中点M 的坐标为),(y x ． 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y, 整理得：)1(22-=x y ．∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B ．例２ 抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是( ) A. 21=x (y ＞21） Ｂ. 21=y (x >21） Ｃ. x y 2=（x >1） D. 12+=x y解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x ． 在22x y =中,当21=x 时,21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3 （03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________. 解：2=m ,焦点)0,1(在x 轴上. 设弦ＭＮ的中点P 的坐标为),(y x ,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得:20=y ,.120-=∴x 从而30=x .∴所求的中点坐标是)2,3(.例４ 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交,所得的弦的中点在522=+y x 上，求抛物线的方程．解:设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ,直线与抛物线的两个交点为Ｍ、N ，弦M Ｎ的中点Ｐ的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得:m y =0,.1100+=+=∴m y x又 点),1(m m P +在圆522=+y x 上,.5)1(22=++∴m m解之得:,2-=m 或.1=m由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x 直线与抛物线有两个不同的交点,4)1(42-+=∆∴m >０. ∴m <2-，或ｍ>0..1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5.已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围. 解:设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称,且弦A Ｂ的中点为),(00y x P . 根据题意,点P 在直线l 上,l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=,mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0,得：6410=⋅-y ,∴240-=y ． 又由m x y +=004，得:4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得:m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6． （０５全国Ⅲ文22)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上,l 是AB 的垂直平分线. (Ⅰ)当且仅当21x x +取何值时,直线l 经过抛物线的焦点Ｆ？证明你的结论. (Ⅱ）当3,121-==x x 时,求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=,∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ,则0212x x x =+．若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，A Ｂ的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点Ｆ.lOyABP若直线l 的斜率存在,则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得:410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点Ｆ,则得:0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F ．综上所述,当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. (Ⅱ）当3,121-==x x 时,.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得:41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 金指点睛1. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_＿__＿_＿_．2. 直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若P Ｑ中点的横坐标是2，则||PQ =____． 3． 已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-,则抛物线C 的方程为__＿__＿___＿__.4. 设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ,求弦1P 2P 所在的直线方程.5. 过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为__＿＿___．６. 已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 7． （05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线． （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. (Ⅱ）当直线l 的斜率为２时,求l 在y 轴上的截距的取值范围.8． (08陕西文理20） 已知抛物线22x y C =：,直线2+=kx y 交Ｃ于A 、B 两点，M 是线段A Ｂ的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ)证明:抛物线C 在点Ｎ处的切线与AB 平行；(Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ,若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1. 解:x y 42=,mx y 22=,∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =⋅0得:20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(．2. 解：x y 82=，mx y 22=,∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时,220-=k y ，∴若ＰＱ中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得:2=k 或1-=k ．由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得:04)2(422=++-x k x k . 直线与抛物线交于不同的两点,∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222 k k k解之得:k >1-且0≠k . ∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ,则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ ．3. 解:x y 82=,mx y 22=,∴4=m . 由m y k AB =⋅0得:4=AB k ．∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x . ４． 解：设抛物线的方程为mx y 22=（m >0）.在14+-=x y 中,斜率为4-，2-=y 时，43=x ． ∴弦A Ｂ的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m ．∴所求的抛物线的方程为x y 162=.5. 解:y x =2，my x 22=,∴21=m ． 弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x ．由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(.∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x ． 6． 解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥,∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x ． 又由m x y +=00，得:m y +-=410． 点),(00y x P 在抛物线的开口内,∴2)41(-＜)41(21m +-⨯. 解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.7. 解:（Ⅰ)y x 212= ,∴)81,0(,41F p m ==．设线段A Ｂ的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在,当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在,则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=.若直线l 经过焦点Ｆ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾． ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述,当且仅当021=+x x 时,直线l 经过抛物线的焦点Ｆ. （Ⅱ)当2=k 时,由（Ⅰ）知,810-=x ,直线l 的方程为4120++=y x y , ∴它在ｙ轴上的截距410+=y b ，410-=b y ． 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=,即16521-+-=b x y .代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x ．直线AB 与抛物线有两个不同交点,∴)852(161+--=∆b ＞0,即932-b >０.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞．８.(Ⅰ）证明:41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x .当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合,抛物线C 在点Ｎ处的切线为x 轴,与AB 平行.当0≠k 时,由p x k AB=⋅01得：40k x =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k .设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-,即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=,整理得：084222=-+-k km mx x ． 0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线A Ｂ的斜率．故抛物线Ｃ在点N 处的切线与AB 平行.y OMB NAy OMB NA(Ⅱ)解：若0=⋅NB NA ,则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x . 设),(),,(2211y x B y x A ,则1,22121-==+x x kx x ． ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB ．∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简,得：416122+=+k k ，即42=k ．∴2±=k ．故存在实数2±=k ,使0=⋅NB NA .。