3变截面梁式拱式结构分析的子结构法

[kRR]e
0
( f
ys
)
E c2
0
E c3 lE 2 c3
- E(f c2
ys )
lE
2 c2
E
c4
n
c1 2x
j1
1
Ij cos1
n
c22x
j1
(Iyjjco ys)js2cA o j js
n
c3 2(x)3
j1
(j 1)2 2
Ij cos j
c4
1
(f
1 ys)2
l
c1
c2
2c3
P
eo L
此处仅推导出梁式及
拱式变截面子结构在
几种常遇荷载作用下
x 的等效节点力列阵。
对于其它类型的荷载，
R
同理可导出其等效节 点力列阵
另外，当拱 的横截面服 从前述变化 规律时，则
bi和di简化为
y
b1
(x)2 I0
n
(yj
j m 1
ys )( j m 1/ 2)
b2
(x)3 I0
n
( j m 1/ 2)( j 1/ 2)
n
ys
j 1 n
j 1
yj
I j cos j
1
I j cos j
cosj
1
2
1f(j12)x
当拱的横截面变化服从 Ix cIo0sx,Ax cA o0 sx
则c1、c2、c3、Ys可简化为
c1
2nx I0
l I0
c2
2x
1 I0
n j 1
(yj
ys )2
1 A0
n j 1
c3
2(x)3 I0
0
0
[k L]( R 2 ) [k R]( R 2 ) [k L]( L 3 ) [k L]( L 5 )
[k R](L 3 )
0 {1 } [ [k k L R 0 ] ]( R ( R 2 3 ) ) { { {3 4 2 } } }
1 4
2
3
5
1
2
3
45
1
2
3
b2(x)3j m n 1(jm I j1 c /2)ojj( s1/2)
b3(x)2jm n1(jIjm c o 1/js2)
因此拱式变截面子结构由p所引起的等效节点力列阵的表示形式同
式梁式结构，只是计算式不同。
（b）作用均布荷载
同理可求出如图所示变截面拱式子结构的固端反力如下
FqL
的内力值。
为方便读者编写
计算机程序，下
图给出了编写程
序框图。框图中
包括了以下几个
子程序：梁式子
对 子
结构单刚子程序、
对 总
拱式子结构单刚
题 目
结 构 数 循 环
子程序、组装总 数
刚子程序、方程
循 环
求解子程序，计
算杆端力及截面
内力子程序、输
出子程序。
开始
输入基本数据
拱式? 否
梁式子结构单刚
否 有荷载 ？是
1
k
3
k
o
y2
k
a)
b)
k k
桥
墩
子
c)
结 构
及
位
移
k
如图c）所示，当上端发生单位竖向位移时，则有
uLk1 1xn 1k111 E j1 Aj kN
k11 x n
1 11
E j1 Aj kN
同理，k 22 当
1 s1 k M
(s1
1 kM
)(
s3
1 kM
)
s2(s2
l kM
)
上端 产生
单位 水平
位移 及转
k 32
(s1
1 kM
s2
1 kM
)(
s3
1 kQ
)
s2(s2
l kM
)
k 23
(s1
1 kM
)( s 3
s2
1 kQ
)
s2(s2
l kM
)
角 则 有时，k 33
(s1
1 kM
s3
1 kQ
)(
s3
1 kQ
)
s2(s2
lHale Waihona Puke kM)合并写成矩阵形式，即
拱式子结构
L
拱式子结构刚度矩阵
j=1
e
x
j=n
R
如上图所示的拱式变截面子y 结构，按弹性中心及莫尔定理即可
求出各刚度系数。如下图b）所示的拱在左端发生单位水平位移时，
其弹性中心所引起的水平力H2为
H2 2x n E j1
1
E
(Iyjjcoyssj)cA oj sj c2
x
拱 a) 式 子
l2 2EI
,
s3
l3 3EI
当桥墩下端固定时， 在计算中只需令
k N 、 k Q 、 k M
修改相应参数。
子结构等效节点力列阵
（1） 梁式变截面子结构等效节点力
（a）作用均布荷载 如图所示，按莫尔定 理可求得左端的位移为
u
L q
0
w
L q
q(x)4 2E
n j 1
( j 1/ 2)3 Ij
k 62
k 22
l k 32
l 2
E, c3
k 33
E, c4
k 43
k 13 ,
k 52 k 23 ,
k 63
k 23 l k 33
l2 2
E c3
E c4
,
k 44 k 11 , k 54 0 ,
k 64 k 31 , k 55 k 22 ,
k 65 k 26 , k 66 k 33 ,
n j 1
( j 1/ 2)2
y s
1 n
n j 1
yi
cos j
当拱轴为悬链线
yj
f [chk(j 1/2)x1] m1
cos j
1
12sh2k(j 1/2)x
k2lnm ( m21) l
kf ;
m 1
m 拱轴系数
桥墩子结构刚度矩阵
大跨径桥梁的基础常采用灌注桩.因此,承台将产生一定的位移,如 桥墩按承台顶固结进行计算,势必产生一走的误差，不失一般性， 这里将桥墩下端简化为如下图所示的弹簧支承。
中 出力固偶端时内力,同如理下可求 MM L
-
n
(2sΔx
jm1
j
1/ Ij
2s3
n jm1
I1j )
L
NM
FMR
e
Q NM RM R
e
0 QM L
M R MM R MQM LlMM L
e
MN
Q
Q
同理
R M e {F M }e
（2） 拱式变截面子结构等效节点力列阵 （a）作用集中荷载 对如图所示的变截面拱式子结构，在集中力作用下，可先求出弹性 中心的内力，再按静力平衡条件即可获得左、右端的固端内力如下
桥墩刚度矩阵[kLL ]为零即可。 c)
a)
b)
{ R i} [ N i Q i M i] T ,{ i} [ u i i i] Tw
考虑节点1和4的边界条件，修改平衡方程式后，即可求得不为零的
节点位移值。然后通过单元平衡方程就可获得单元节点内力值。此
时超静定结构已变静定结构，按静力平衡条件即可计算出任一截面
(yj ys)j(1/2) Ijcojs
d2
1(x)4 n
2
j1
(j1/2)3
Ij cosj
d3
1(x)3 n
2
j1
(j1/2)
Ij cosj
（c）作用非均布的分布荷载 当拱式变截面子结构作用非均布的分布荷载，如下图所示，可将 其等效为若干个集中力。对于每一个集中力可按上节分别计算固端 内力及等效节点力。然后再叠加，即可获得总等效节点力。
kNN ， kQQ ， kMM—— 分 别 为 承
台底面的抗压、抗推及抗转
动刚度，可按下式计算
k NN k 1
k QQ
k 2 (k 4
k
1
i1
b
2 i
)
k
2
2 3
k
k 4 1
bi
i1
k
k 2 (k 4 1
b
2 i
)
k
2
2 3
k MM
i1
k 2
将式中的[kLL ]e从局部坐标系转换到整体坐标系中，则有
计算等效节点力
是
拱式子结构单刚 否
有荷载 ？是
等效节点力
桥墩影响 否
是
计算桥墩上端刚度 系数
组装总刚及等效节点荷载列阵
修改平衡方程及 求解 各子结构杆端力及截面内力
打印计算结果 结束
子结构法程序框图
小结
（1）本章结合梁式结构和拱式结构阐述了子结构法的基本原理
（2）子结构法的基本假定除了弹性结构的一般假定外，对于梁式结 构还假定变截面梁的底面曲线不能太陡，子结构轴力产生的弯矩可 略去不计。这一假定与目前分析梁式桥普遍采用的方法是一致的， 也符合梁式桥的受力情况；对于拱式结构未计挠度对内力的影向
分块矩阵时有
E
0
c2
[kLL]e
0
E c3
-
E
c2
(f
ys
)
lE 2 c3
E c2
(f
-ys
)
lE
2 c3
E