机械振动大作业-求初始激励的自由振动响应
哈工大机械振动基础大作业
《机械振动基础》大作业（2015年春季学期）题目基于MATLAB求系统特性姓名学号班级专业机械设计制造及其自动化报告提交日期哈尔滨工业大学报告要求1.请根据课堂布置的2道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭；2.报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等；3.报告统一用该模板撰写，字数不少于3000字，上限不限；4.正文格式：小四号字体，行距为倍行距；5.用A4纸单面打印；左侧装订，1枚钉；6.课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班长收齐，统一发送至：。
7.此页不得删除。
评语：成绩（15分）：教师签名：年月日解多自由度矩阵的认识体会。
二、MATLAB程序图：>> m=[];k1=[];k=[];c=[];c1=[];for i=1:9a=input('输入质量矩阵m：');m(i,i)=a;end ;for j=1:9b=input('输入刚度系数k：');k1(1,j)=b;endfor l=1:8k(l,l)=k1(l)+k1(l+1);k(9,9)=k1(9);k(l+1,l)=-k1(l+1);k(l,l+1)=-k1(l+1);k(9,8)=-k1(9);k(8,9)=-k1(9);end ;syms w;B=k-w^2*m %系统的特征矩阵BY=det(B); %展开行列式W=solve(Y); %求解whlW=length(W);[V,D]=eig(k,m);for I=1:9for J=1:9V(J,I)=V(J,I)/V(5,I);endendVW三 MATLAB结果输入输出：程序输入内容：输入质量矩阵m：1输入质量矩阵m：2输入质量矩阵m：3输入质量矩阵m：4输入质量矩阵m：5输入质量矩阵m：6输入质量矩阵m：7输入质量矩阵m：8输入质量矩阵m：9输入刚度系数k：10输入刚度系数k：11输入刚度系数k：12输入刚度系数k：13输入刚度系数k：14输入刚度系数k：15输入刚度系数k：16输入刚度系数k：17输入刚度系数k：18Matlab 输出界面截图：输出结果：B =[ 21-w^2, -11, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0][ -11, 23-2*w^2, -12, 0, 0, 0, 0, 0, 0][ 0, -12, 25-3*w^2, -13, 0, 0,0, 0, 0][ 0, 0, -13, 27-4*w^2, -14, 0, 0, 0, 0][ 0, 0, 0, -14, 29-5*w^2, -15, 0, 0, 0][ 0, 0, 0, 0, -15, 31-6*w^2, -16, 0, 0][ 0, 0, 0, 0, 0, -16,33-7*w^2, -17, 0][ 0, 0, 0, 0, 0, 0, -17, 35-8*w^2, -18][ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -18, 18-9*w^2]V =W =.224079.403四. 心得体会：（一）利用Matlab 进行多自由度振动分析的体会：MATLAB是一种高性能软件平台,是一种面向科学与工程的高级语言,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个功能强大、方便、界面友好的用户环境。
1-《机械振动基础》大作业,基于matlab的多自由度振动讲解
《机械振动基础》大作业（2016年春季学期）题目多自由度振动系统的固有频率和固有阵型姓名学号班级专业报告提交日期哈尔滨工业大学报告要求1.请根据课堂布置的2道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭；2.报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等；3.报告统一用该模板撰写，字数不少于3000字，上限不限；4.正文格式：小四号字体，行距为1.25倍行距；5.用A4纸单面打印；左侧装订，1枚钉；6.课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班长收齐，统一发送至：liuyingxiang868@。
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评语：成绩（15分）：教师签名：年月日基于MATLAB的对多自由度振动系统的固有频率和固有阵型的分析一、利用MATLAB编程求七自由度系统的固有频率和固有振型模型如下图所示系统中各质量为（kg）：m1=2;m2=4;m3=5;m4=6;m5=5;m6=4;m7=2;各处弹性系数为（N/m）k1=5;k2=5;k3=5;k4=5;k5=5;k6=5;k7=5;二、实验程序如下：clearclosem1=2;m2=4;m3=5;m4=6;m5=5;m6=4;m7=2;k1=5;k2=5;k3=5;k4=5;k5=5;k6=5;m=[m1,0,0,0,0,0,0;0,m2,0,0,0,0,0;0,0,m3,0,0,0,0;0,0,0,m4,0,0,0;0,0,0,0,m5,0,0;0,0,0,0,0,m6,0;0,0,0,0,0,0,m7];k=[k1+k2,-k2,0,0,0,0,0;-k2,k2+k3,-k3,0,0,0,0;0,-k3,k3+k4,-k4,0,0,0;0,0,-k4,k4+k5,-k5,0,0;0,0,0,-k5,k5+k6,-k6,0;0,0,0,0,-k6,k6+k7,-k7; 0,0,0,0,0,-k7,k7];[V,D]=eig(k,m)for j=1:1:7w(j)=sqrt(D(j,j));for i=1:1:7absV(i,j)=abs(V(i,j)); endendmax=(absV);for j=1:1:7for i=1:1:7V(i,j)=V(i,j)/max(j);endwfigurex=1:7;for a=1:7subplot(3,4,a),plot(x,V(x,a));hold on;grid on;title('振型图');end三、将程序在MATLAB上运行，得到结果如下图（1）多自由度系统的固有频率得到振型图如下图（2）多自由度系统的固有阵型图（2）中分别为本实验条件下，模拟出来小车的振动的阵型图。
机械振动考题及答案
⎛
M
M
M ⎞
T
将 ω2 = ω3 =
k 代回主振型的线性方程组，得： m
M ⎛ ⎜3− m ⎜ ⎜ −1 ⎜ −1 ⎜ ⎜ −1 ⎝
⎞ −1 −1 −1⎟ ⎛ φ1i ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜φ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎜ 2i ⎟ = ⎜ ⎟ , ( i = 2,3) ⎜φ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎜ 3i ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ φ ⎝ 4i ⎠ ⎝ 0 ⎠ 0 0 0⎟ ⎠
x ( t ) = x ( t1 ) cos ωn ( t − t1 ) +
x ( t1 )+ 0
•
ωn
sin ωn ( t − t1 )
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=
F0 F 1 − cos ωn t1 ) cos ωn ( t − t1 ) + 0 2 sin ωn t1 sin ωn ( t − t1 ) 2 ( mωn mωn F0 ⎡ cos ωn ( t − t1 ) − cos ωn t ⎤ ⎦ mωn 2 ⎣
⎛M ⎜ T 由于 φ2 M φ3 = ( 0 1 1 −2 ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎛ 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ m ⎟ ⎜ 1 ⎟ = 3m ≠ 0 ⎟⎜ 0 ⎟ m ⎟⎜ ⎟ m ⎠ ⎝ −1 ⎠
T
T
′ = φ2 + cφ3 = ( 0 1 + c 1 −2 − c ) 强迫 φ3′ 与 φ2 正交。 取 φ3 ⎛M ⎜ T ′ = ( 0 1 1 −2 ) ⎜ 即： φ2 M φ3 ⎜ ⎜ ⎝ ∴ c = −2 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ m ⎟ ⎜ 1 + c ⎟ = 3m ( c + 2 ) = 0 ⎟⎜ 1 ⎟ m ⎟⎜ ⎟ m ⎠ ⎝ −2 − c ⎠
单自由度系统响应编程作业报告
《振动与机器动力学》 单自由度系统响应编程报告 组别： 组员：一、单自由度系统对初始条件和谐波激励的全响应1、 任意假设系统的参数（刚度，质量，阻尼）（每个小组不可以一样，也不可和下面参数数据一样） 假设k=22、 激振函数形式为()0sin F t ω，任意假设激振参数（激振力大小，频率）3、 任意假设初始条件（初始位移，初始速度）4、 写出求解系统全解()()()120cos sin sin n t d d x t e A t A t B t ζωωωβωϕ-=++-的过程，包括如何求参数A1，A2，放大系数，滞后角。
（此处若需要，可以自行添加公式，流程图等说明） 已知：()()()120cos sin sin n t d d x t e A t A t B t ζωωωβωϕ-=++-的解为：x=x 1+x 2。
已知：112()(cos sin )n td d x te A t A t ζωωω-=+5、 绘制系统瞬态响应，稳态响应和全响应波形图。
稳定响应全响应图1：系统响应图以下结果作为检验程序正确性的参考： k=1;%系统刚度 m=1;%系统质量 c=0.3;%系统阻尼 w=1.5;%激振频率 x0=2;%初始位移 v0=2;%初始速度F0=1;%激振力，激振力形式为sinwt 计算结果为：120.7527 2.796 2.255 3.4395A A βϕ====二、单自由度系统任意激励的响应（卷积）1、 简单介绍利用卷积求解系统响应的基本原理（将输入细分从为脉冲，输出为脉冲响应的叠加）（需要图示）2、 输入函数和脉冲响应函数介绍：（需要图示）脉冲响应函数为上面的有阻尼单自由度系统的脉冲响应函数。
激励函数的频率w=3，大小为1，激振力形式为sinwt 波形如图2所示图2：脉冲响应函数与激励力函数3、 将输入细分成脉冲，利用脉冲响应进行移位叠加法进行计算系统的响应，简要说明计算过程，绘制流程图。
05机械振动作业及参考答案2015(1)分析
2015-2016(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案提示：两根劲度系数分别为 k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹第十三章机械振动选择题：并联，系统的劲度系数为 6k .C 】2 (基础训练4) 一质点作简谐振动，周期为T .当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A) T /12.(B) T /8.(C) T /6.(D) T /4.提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的1角位移为，对应的时间为T/6.3[B ] 3、(基础训练8)图中所画的是两个简谐振动的振动曲线•若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(B)二 (C)丄二.(D) 0.2提示：使用谐振动的矢量图示法，-A2,初相位为…[D ] 4、(自测提高4)质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后 连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为：(A)k 1 k 2(B )(C )v=丄］人严22 \ m&k 2(D )k 1k 21 2 \ m(k 1 k 2)【D 】1 (基础训练2) 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出 其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为 m 的物体，如图13-15所示。
则振动系统的频率为(A)(C)「k二二、3m-3km(B)(D) k二,m :6k - I ］二 \ m图 13-15提示：劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为 3k ，取出其中2份合振动的初始状态为(A)性系数满足: k 二k1k2，可计算得到v m（k「k2）【B】5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示•则振动周期是(A) 2.62 s. (B) 2.40 s. (C) 2.20 s.2.00s.提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为…，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为35 5……=…，此过程经历时间为1s,可得•等到周期为2.4s2 3 6 6【D】6、（自测提高所做的功为：（A kA26）弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内）1 2 1 2B kAC kAD 02 4提示：振动方程为x=Acos（・t「0），经过半个周期，质点偏离平衡位置的位移为Ax = Acos（t \ ■ ■），这两个位置弹簧所具有的弹性势能E p= -kx2相同，所以所做的2功为零。
机械震动--单自由度体系的自由振动
y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。
可分为自由振动、受迫振动。
又可分为无阻尼振动与阻尼振动。
常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。
振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。
若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。
其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。
而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。
因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。
影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。
现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。
主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。
一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
机械动力学第五章作业(答案)
5-1某筛煤机的筛子以 600 rpm 的频率作往复运动，机器重 500 kN ，基频为 400 rpm 。
若装上一个重 125 kN 的吸振器以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度 k2 及该系统的两个固有频率。
解：1122122220sin 00x k k k x M t x k k x m ω+-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎩⎭&&&& 211222222sin 0x t k k M k x k k m ωωω⎡⎤+--⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎣⎦ 2222221221222221221222sin ()sin 0()()()()k m k t k k k M k m tX k k M k m k k M k m k ωωωωωωωωω-+-⎧⎫-==⎨⎬+--+---⎩⎭ 422122121210k k k k k M M M M ωω⎛⎫+-++=⎪⎝⎭ 2222222400k M ωωπ=== 221111403k M ωπ⎛⎫== ⎪⎝⎭222211100k M M M ωπ== 422122121210k k k k k M M M M ωω⎛⎫+-++=⎪⎝⎭ ⇒ 422449610064100ωπωπ-+⨯= ⇒ 221130ωπ= ，222548ωπ=⇒ 135.82/rad s ω=，273.54/rad s ω=5- 2 求如图所示系统的固有频率和主振型。
( 杆为刚性，不计质量。
)解：22222()2()333l J m l m ml =+= 12x x l θ-=由1212212(2)(2)mx mx k x x k x x +=----&&&& 得 121220mx mx kx kx +++=&&&&由12211224545()(2)(2)33333B A l l l lJ ml x x F F k x x k x x θ=-=-=---&&&&&& 得 12122214130mx mx kx kx -+-=&&&&所以[]112220221413x x m m k k x x m m k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&10.8110k m ω= 2 2.6158kmω= 21121121221111120.6577()0.9214(0.6577)X m k k kX k m k k ωω--⨯===--- ，120.921.00X X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2112212222111122 6.8423() 2.3423( 6.8423)X m k k kX k m k k ωω--⨯===----，12 2.341.00X X -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以[]111.0850.427u ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦5- 3选如图所示均质杆的质心C 点向下移动的位移 x 及杆顺时针方向转角θ为广义坐标，求系统的固有圆频率和主振型。
机械振动
数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单 位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在 现实应用中实现。
在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时 间同系统的固有周期(T=1/f )相比时非常的短，则 激励就可以考虑为一个脉冲。
具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形 脉冲)，都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。
dx e
n
F ( )d sin d md
1 x(t ) md
t 0
F ( )e n (t ) sin d t d
对任何初始条件的响应 6、需要数学上的支持，引 入 函数 对零初始条件的脉冲响应
x n x0 x(t ) e nt x0 cosd t 0 sin d t d 1 t F ( )e n (t ) sin d (t )d md 0
0 0 0
因为
0 0
ˆ F (t )dt
0 0 0
0
ˆ F (t )dtdt
(3.8-6)
ˆ ˆ F (t )dt F
ˆ (t )dt F 常量 (3.8-7)
则方程(3.8-6)中的左端第二项、第三项、右端项的积分值均为无限小量，可以 略去不计。解释 0 0 0
例3.8-1 设一单自由度无阻尼系统受到的简 谐激励如下： F0 sin t (t 0) F (t ) (t 0) 0 试用卷积积分计算其响应。 解：在方程(3.8-16)中，令ζ=0，d=n，则 1 t x(t ) 0 F ( ) sin n (t )d m n F0 t 0 sin sin n (t )d m n F0 1 sin t sin nt 2 k 1 n n
机械振动考题(完整版)
五邑大学（期末试题）院系：机电工程学院专业：机械工程年级： 12级研究生学号： 2111206011姓名：崔卫国机械振动考题1、如图所示两自由度系统。
（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）当系统存在初始条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡03.00)0()0(21x x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00)0()0(21x x 时，试采用模态叠加法求系统响应，并绘出相应曲线；（3）试合理确定k2和m2，使之构成无阻尼动力减振器。
（4）用任何一种语言编制计算程序，完成上述计算工作。
参数：m1=500kg, m2=200kg, k1=8000N/m, k2=3000N/m, F0=350N, ω=0.8解：（1）由题意及图所示可知：这是一个动力减震器问题。
1m 1k 组成的系统为主系统；2m 2k 组成的附加系统为减振器。
故可知这个组合系统的振动微分方程为：()11121221222122sin 0m x k k x k x F wt m x k x k x ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩ ① 设其解为：11sin x X wt = 22sin x X wt = ② 又因为由②可得：211sin x X w wt =- 222sin x X w wt =- 把②代入方程①中可得：()()212112212112220k k w m X k X F k X k w m X ⎧+--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 故系统的特征值问题为：2111212222220X F k k w m k X k k w m ⎡⎤+--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ③ 特征方程为：2121222220k k w m k k k w m +--=-- ④由④可得：()()2222212120kw m k k w m k -+--=⇒222412*********k k k w m k w m k w m w m m ---+= ⑤ 把1k 2k 1m 2m 的值代入⑤式可得：42372400w w -+= ⑥21223720.22378.388223720.223728.61192w w -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩⇒ 12 2.89625.3490w w =⎧⎨=⎩计算对应二个固有频率的固有振型。
(完整版)大学机械振动课后习题和答案(1~4章总汇)
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
振动系统实验研究 - 探索振动系统的自由振动和受迫振动
阻尼比对受迫振动系统的频率响应特性有显著影 响。随着阻尼比的增加，共振峰值降低，共振频 率向激励频率靠近。
共振现象观察与讨论
共振现象
当激励频率接近或等于系统的固有频率时，受迫振动系统的振幅会显著增大，产生共振现 象。
共振的危害与利用
共振可能导致系统破坏或性能下降，因此在工程设计中需要避免或减小共振的影响。另一 方面，共振也可以被利用，如音响系统中的扬声器就是利用共振原理来放大声音的。
不同激励对系统性能的影响
不同形式的激励对受迫振动系统的性能有不同影响。例如，周期性激励 可能导致系统产生稳定的周期性响应，而非周期性激励可能导致系统产 生混沌或不稳定响应。
06
结论与展望
研究成果总结
自由振动特性研究
通过实验研究，揭示了振动系统在自由振动状态下的固有 频率、阻尼比等关键参数，为后续受迫振动研究提供了基 础数据。
受迫振动响应分析
针对不同激励源和激励频率，深入探讨了振动系统的受迫 振动响应特性，包括振幅、相位等，揭示了系统在不同条 件下的动态行为。
振动系统模型验证
基于实验数据，验证了所建立的振动系统理论模型的准确 性和有效性，为后续的理论分析和数值模拟提供了有力支 持。
对未来研究方向的展望
非线性振动系统研究
微分方程模型
通过建立振动系统的微分方程，描述系统的 动态行为。微分方程中通常包含质量、刚度 和阻尼等参数。
传递函数模型
在频域内描述振动系统的输入与输出关系，通过传 递函数表示系统的频率响应特性。
状态空间模型
在时域内描述振动系统的状态变量与输入、 输出之间的关系，适用于多输入多输出、非 线性等复杂系统的建模。
当前研究主要关注线性振动系统，未来可进一步拓展至非 线性振动系统，探究其更为复杂的动态行为。
机械振动大作业
《机械振动基础》大作业（2015年春季学期）题目基于MATLAB求系统特性姓名学号班级专业机械设计制造及其自动化报告提交日期2015年5月7哈尔滨工业大学报告要求1.请根据课堂布置的2道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭；2.报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等；3.报告统一用该模板撰写，字数不少于3000字，上限不限；4.正文格式：小四号字体，行距为1.25倍行距；5.用A4纸单面打印；左侧装订，1枚钉；6.课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班长收齐，统一发送至：liuyingxiang868@。
7.此页不得删除。
评语：成绩（15分）：教师签名：年月日求解多自由度矩阵的认识体会。
二、MATLAB程序图clearclose%--定义质量阵和刚度阵m1 = 2;m2 = 3;m3 = 5;m4 = 8;m5 = 4;m6 = 7;m7 = 7;m8 = 11;k1 = 25;k2 = 30;k3 = 45;k4 = 60;k5 = 70;k6 = 90;k7 = 100;k8 = 110; {}{u+u Km = [m1 0 0 0 0 0 0 0;0 m2 0 0 0 0 0 0;0 0 m30 0 0 0 0;...0 0 0 m4 0 0 0 0;0 0 0 0 m5 0 0 0;0 0 00 0 m6 0 0;...0 0 0 0 0 0 m7 0;0 0 0 0 0 0 0 m8];k = [k1+k2,-k2,0,0,0,0,0,0;-k2,k2+k3,-k3,0,0,0,0,0;...0,-k3,k3+k4,-k4,0,0,0,0;0,0,-k4,k4+k5,-k5,0,0,0;...0,0,0,-k5,k5+k6,-k6,0,0;0,0,0,0,-k6,k6+k7,-k7,0;...0,0,0,0,0,-k7,k7+k8,-k8;0,0,0,0,0,0,-k8,k8];[V,D]=eig(k,m); %%--特征频率DD和振型VVfor j=1:1:8w(j)=sqrt(D(j,j)); %---特征频率fprintf('wn%d = %6.4f\n',j,w(j)); %--从小到大依次输出8个固有频率值for i=1:1:8absV(i,j)=abs(V(i,j));endendmax=max(absV); %--为了归一化取振幅最大值for j=1:1:8for i=1:1:8V(i,j)= V(i,j)/max(j); %--振幅归一化endendfigurex=1:8;for a=1:8subplot(2,4,a),plot(x,V(x,a)); %分为2*4的子图;并画出图形hold on;grid on;title('振型图');end三、MATLAB结果输入输出wn1 = 0.4332wn2 = 1.7823wn3 = 3.2255wn4 = 4.1038wn5 = 5.2021wn6 = 6.2638wn7 = 6.5306wn8 = 7.5722四、心得体会1)学习机械振动课程的体会振动的强弱用振动量来衡量，振动量可以是振动体的位移、速度或加速度。
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
多自由度系统的振动、响应和求解
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
0 0 y y2 1 m 3 y3
qrki qrkj qiqj 12in1
n
mijqiqj
j1
其中mij
N
mk
k1
rk rk qi qj
பைடு நூலகம்
mji
(4.4)
(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式
V1qTKq, 2
(4.5)
T1qTMq
(4.6)
2
其中q[q1, q2,, qn]T,K[kij]nn,M[mij]nn
矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩 阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。
因此，柔度矩阵的第一列为
{f11,f21,f31}T76l83EI{9,11,7}T
类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为
f11 [F]f21
f12 f22
ff123376l83EI191
11 16
7 11
f31 f32 f33
7 11 9
系统的动能为
T1 2(m 1y & 1 2m 2y & 2 2m 3y & 3 2)1 2{y1,y2,y3} m 01 m 02 0 0
§4.1 多自由度系统的动力学方程
我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结
《大学物理BII》作业-机械振动
的周期为
。
7、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的
一半时，其动能是总能量的
（设平衡位置处势能
为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长 l ,这一振动系
统的周期为
，这时将此弹簧截去一半的长度，下
端挂一质量减半的物块，则系统的振动周期又为
。
8、一质点同时参与了两个互相垂直的简谐振动，其表达式分别为：
频率与位移变化频率相同。
7、[ ] 质点的合振动矢量端点的轨迹一般为圆。
8、[ ] 拍现象是同方向同频率不同振幅的两谐振动合成的结果。
三、填空题
1、研究简谐振动的理想模型是
，简谐振动的特点
是其运动是
。简谐振动的第一个判据
为：
，第二个判据
为：
，第三个判据
为：
。研究简谐振动方便而有
效的方法是旋转矢量法，在该方法中：旋转矢量的模对应谐振动
v(m s1 )
6
vm
(D)
6
o
1 2
vm
t s
2、 轻弹簧上端固定，下端系一质量为 m1 的物体，稳定后在 m1 下边又 系一质量为 m2 的物体，于是弹簧又伸长了 x 。若将 m2 移去，并令其 振动，则振动周期为：[ ]
(A) T 2 m2x
m1g
(B) T 2 m1x
m2 g
(C)
g
第7页共7页
(C) 驱动力频率为 f3 时，振子的振动频率为 f3 (D) 假如让振子自由振动，它的频率是 f1 10、在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后机翼很快就抖动起来，
而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘
处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题。在飞机机翼前装置配重
机械振动公式总结要点
机械振动公式总结：
一单自由度有阻尼系统
1 系统的基本参数：
无阻尼系统固有频率ωn=
系统的周期 T=
系统的频率 f=
系统的圆频率ω=
系统的阻尼比ξ=
系统的临界阻尼系数ce=
有阻尼系统固有频率ωd=
阻尼比的对数衰减率δ=
2 自由振动的解：
系统振动方程：mx+cx+kx=0 系统初始响应：x 0 =x0 ,x 0 =x0 系统的响应为：3 简谐强迫振动的解：
系统振动方程：
系统初始响应：
系统的响应为：
4 周期激励下系统的解
（1）激励力f（t）的傅里叶级数表示
（2）系统的解
5 非周期激励下系统的解
（1）单位脉冲响应
（2）非周期激励的解。
哈工大机械振动作业
1.一个有阻尼的弹簧质量系统，已知m=196kg，k=19600N/m，c=2940Ns/m,作用在质量块上的激振力为F(t)=160sin(19t)N，试求忽略阻尼及考虑阻尼的两种情况中，系统的振幅放大因子及位移。
解：1110 ns ω--===191.910nrωω===忽略阻尼时：ζ=0，振幅放大因子为0.3831β===位移为31600.383110 3.12819600FX mm mmkβ==⨯⨯=考虑阻尼时：0.75ς===振幅放大因子为0.2588β===位移为31600.258810 2.11219600FX mm mmkβ==⨯⨯=2.计算单自由度无阻尼系统对如图所示矩形激励力作用下的响应。
解：设()01 ()cos sin 2n n n a F t a n t b n t ωω∞==++∑则2T πω=002()0Ta F t dt T ==⎰ 00223()cos (sin sin )22T n F n n a F t n tdt T n ππωπ==-⎰ 02()sin 0Tn b F t n tdt T ω==⎰22cos()n n n x x x a n t ζωωω++=由于无阻尼，故上式方程变为：2cos()n n x x a n t ωω+=(0)0,(0)0x x ==222()(cos t cos )ncn n n a x t n t n ωωωω∴=--222()(cos t cos )ncn n n a x t n t n ωωωω=--0()0,()0sn x t x t ==故单自由度无阻尼系统的响应为222123()(sin sin )(cos t cos )()22n n n F n n x t n t n n ππωωπωω∞==---∑3.计算单自由度系统的响应：0024()(4), 1 mm, 1 mm/s x x x t t x x δδ++=--==-(2rad/s, =0.5, n d ωζω= 解：由于冲量的存在，0010v x =+=当0<t<4时，()sin())n t t d x t Ae t Ae ζωωϕϕ--=+=+A ===000tan tan 3d n x arc arc v x ωπϕςω⎛⎫===⎪+⎝⎭⎝⎭故系统的响应为：())3t x t π-=+ 当t>4时，''441,0v x ==假设原系统静止，根据叠加原理有A ==='(4)()4)),t 4t x t t --=->故该单自由度系统的总响应为：(4))043())4))t 43t t t t x t t ππ----+<<=+-->。
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图示系统中, m1＝m2＝m3＝m, k1＝k2＝k3＝k, 设初始位移为1, 初始速度为0, 求初始激励的自由振动响应。
要求：
（1）利用影响系数法求解刚度阵K和质量阵M，建立控制方程；(15分) （2）求解系统固有频率和基准化振型；(13分)
（3）求解对初始激励的响应（运动方程）；(12分)
（4）利用软件仿真对初始激励响应曲线(Matlab，simulink，excel均可)，给出仿真程序(或框图)、分析结果；尝试对m、k赋值，分析曲线变化；
(10分)
（5）浅谈对本课程的理解、体会，对授课的意见、建议；(10分)
字迹清晰，书写规整。
(10分)
（1）利用影响系数法求解刚度阵K 和质量阵M ，建立控制方程；
①求解刚度矩阵K 令[]T
00
1
=X
，则弹簧变形量δ=[1 1 0]T
，
在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力312111、、k k k 如图所示
根据平衡条件可得
0，，2312222121221111=-=-=-==+=+=k k k k k k k k k k k δδδ
同理，令[]T
010=X 得
k k k k k k k k k k -=-==+=-=-=3323222212，2，
令[]T
100=X 得
k k k k k k k ===-==33332313，-，0
故刚度矩阵为
②求解质量矩阵M
令[
]T
001=X 得m m m ==111，021=m ，031=m 令[]T
010=X 得012=m ，m m m ==222，032=m
令[]T 100=X 得013=m ，023=m ，m m m ==333
故质量矩阵为
③建立控制方程 应用叠加原理可得：
002020
00000
321321=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡x x x k k
k k k k k x x x m m
m
（2）求解系统固有频率和基准化振型；
①求解固有频率 令
则
33
233322323123123
22322
222212211321312
21211211=---------m k m k m k m k m k m k m k m k m k ωωωωωωωωω
将
代入解得
②求解基准化振型
将ω1、ω2、ω3分别代入([K]-ω2[M]){X}=0得：
则
（3）求解对初始激励的响应（运动方程）；对初始条件标准化：
标准坐标下的初始激励响应：
广义坐标下的初始激励响应
（4）利用软件仿真对初始激励响应曲线(Matlab，simulink，excel 均可)，给出仿真程序(或框图)、分析结果；尝试对m、k赋值，分析曲线变化；
利用MATLAB对初始激励响应曲线在m=1, k=1; m=1, k=10; k=10, m=1; m=1,
k=10 四种情况下进行仿真，仿真源程序与仿真结果见附录。
当m=1，k=1时，仿真结果如图1所示，可以看出x1，x2，x3均呈现周期性变化；当m=1，k=10时，仿真结果如图2所示,1、2两图相比较可知，变化周期与k负相关；当m=10，k=1时，仿真结果如图3所示,1、3两图相比较可知，变化周期与m正相关；当m=10，k=10时，仿真结果如图4所示,1、4两图相比较可知，m、k增大倍数相同时，变化周期不变。
附录：MATLAB仿真程序
①k=1 m=1 时的初始激励响应曲线仿真
程序如下：
clear all
close all
clc
k=1;m=1;
w1=sqrt(0.198*k/m)
w2=sqrt(1.555*k/m)
w3=sqrt(3.247*k/m)
t=linspace(0,100,10000);
x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');
title('k=1 m=1时的初始激励响应曲线');
xlabel('t/s');
ylabel('x(t)/m');
legend('x1','x2','x3');
②k=1 m=10时的初始激励响应曲线
clear all
close all
clc
k=1;m=10;
w1=sqrt(0.198*k/m)
w2=sqrt(1.555*k/m)
w3=sqrt(3.247*k/m)
t=linspace(0,100,10000);
x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');
title('k=1 m=10时的初始激励响应曲线'); xlabel('t/s');
ylabel('x(t)/m');
legend('x1','x2','x3');
③k=10 m=1时的初始激励响应曲线clear all
close all
clc
k=10;m=1;
w1=sqrt(0.198*k/m)
w2=sqrt(1.555*k/m)
w3=sqrt(3.247*k/m)
t=linspace(0,100,10000);
x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');
title('k=10 m=1时的初始激励响应曲线');
xlabel('t/s');
ylabel('x(t)/m');
legend('x1','x2','x3');
④k=10 m=10时的初始激励响应曲线
clear all
close all
clc
k=10;m=10;
w1=sqrt(0.198*k/m)
w2=sqrt(1.555*k/m)
w3=sqrt(3.247*k/m)
t=linspace(0,100,10000);
x1=0.543.*cos(w1.*t)+0.349.*cos(w2.*t)+0.107.*cos(w3.*t) x2=0.979.*cos(w1.*t)+0.155.*cos(w2.*t)-0.134.*cos(w3.*t) x3=0.122.*cos(w1.*t)-0.28.*cos(w2.*t)+0.059.*cos(w3.*t) plot(t,x1,'m-',t,x2,'r-',t,x3,'k-');
title('k=10 m=10时的初始激励响应曲线');
xlabel('t/s');
ylabel('x(t)/m');
legend('x1','x2','x3');。