叶中豪平面几何讲座1.
平面几何入门(全等三角形：六)
平面几何入门（全等三角形：六）叶中豪（老封）等腰三角形和直角三角形的性质等腰三角形的两底角相等；底角相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形三线合一定理：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，并且它所在的直线是等腰三角形的对称轴。
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形的斜边、直角边公理（HL）：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形彼此全等。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方的和。
特殊的直角三角形：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；如果直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，则它的对角一定等于30°。
例题和习题1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E是斜边AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC。
求：∠DCE的度数。
2．在△ABC中，AD是中线，也是角平分线。
求证：AD⊥BC。
3．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，N为EF的中点。
求证：MN⊥EF。
B C4．如图，已知：MN∥PQ，AC⊥PQ，BD和AC交于E，且DE＝2AB。
求证：∠DBC＝13∠ABC。
5．已知△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且DE ⊥DF。
求证：BE2＋CF2＝EF2。
B思考题1．已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，联结CE、DE。
求证：EC＝DE。
2．已知△ABC是等腰直角三角形，E、F是斜边BC上两点，满足∠EAF＝45°。
求证：BE2＋CF2＝EF2。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。
叶老师潜心研究平面几何数十年，已成为我国平面几何的大师级专家。
而且不同于死板的传统教学方式，教学效果一流。
借助国外先进、成熟、流行的几何画板软件，形成了自己高效、动态的教学方法，生动、形象地将学生引入奇妙多彩的几何世界，逐步引导学生自己发现数学之美。
学生兴趣高，思维启动，效果显著。
叶老师善于引经据典，揭示题目背后的关键和基础，直接培养学生严谨的逻辑思维能力和严谨的演绎推理能力，显著提高学生的数学水平和解题能力，为升学、各类竞赛和自主招生打下坚实的基础。
地点:学生可以在家享受国内顶尖教授的知识盛宴。
受众:想在数学竞赛中获奖的高中生。
学生所需设备：一台电脑或者笔记本或者手机或者Pad。
张老师：于老师：吴老师：。
叶仲豪平面几何讲义
平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。
2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。
3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。
求证：E、P、F三点共线。
5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。
求证：E、P、F三点共线。
6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。
求证：S四边形AMIN＝S△IBC。
7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。
求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。
10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。
求证：A、F、M三点共线。
11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。
求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。
12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。
数学花园大，请来看小花rn——介绍《平面几何中的小花》
数学花园大，请来看小花rn——介绍《平面几何中的小花》叶中豪【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2001(000)002【摘要】@@ 在数学的大花园里，几何是最美丽的部分.它既有优美的图形，令人赏心悦目；又有众多的问题，供大家思考探索.它的论证严谨而优雅，命题美丽而精致.入门不难，魅力无限，因此吸引了大批业余的数学家与数学爱好者(包括叱咤风云的拿破仑一世)，在这里大显身手.一些历史上有名的大数学家，像牛顿、费马、帕斯卡、欧拉、高斯他们，也禁不住在这里留连驻足，为花园增添奇葩.rn 伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道：rn “在我12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的.这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能.这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象.……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前，有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我.经过艰巨的努力以后，我根据三角形的相似性成功地‘证明了’这条定理.……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就像希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了.”(《爱因斯坦文集(第一卷)》)【总页数】2页(P40-封四)【作者】叶中豪【作者单位】上海教育出版社200031【正文语种】中文【中图分类】G623【相关文献】1.花园盛典——公共公园和小花园,蓬蒂-迪利马,葡萄牙 [J],2.通过植物配置激发和创造错觉使小花园变“大” [J], 刘婷;刘娜3.家庭花园营建案例自建药用小花园 [J], 园辑4.家庭花园设计ABC小花园的基本格局 [J], 一文5.在小花园里建造大世界——记邵钦祥和他的花园村 [J], 徐乐俊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
平面几何入门(1)
平面几何入门（1）(上海叶中豪)知识要点一、相关概念基本概念：点，直线（线段、射线、直线）点：两点间的距离直线：垂线（垂足），对顶角，平行线（同位角，内错角，同旁内角）线段：中点，垂直平分线（中垂线），垂线段，斜线段，射影角：顶点，边，邻角，余角，补角，邻补角，锐角，直角，钝角，平角，周角，角平分线三角形：边，角，面积，周长，中线，高，角平分线四边形：正方形，长方形（矩形），平行四边形，菱形，梯形等腰三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形推理：定义，命题（真命题，假命题），公理，定理，逆命题（逆定理），证明，直接证法，间接证法（反证法，同一法）其它：辅助线，尺规作图，轨迹二、基本性质1 公理过两点有且只有一条直线2 公理两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 对顶角相等6 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直7 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行10 两直线平行，同位角相等11 两直线平行，内错角相等12 两直线平行，同旁内角互补13平行线间的距离处处相等14 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补15 一个角的两边分别垂足于另一个角的两边，则这两个角相等或互补16 同位角相等，两直线平行17 内错角相等，两直线平行18 同旁内角互补，两直线平行19 定理三角形两边的和大于第三边20 推论三角形两边的差小于第三边21 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°22 推论1 直角三角形的两个锐角互余23 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和24 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角25 等腰三角形的底角相等；底角相等的一定是等腰三角形26 等边三角形的的三个内角都等于60°三、全等三角形两个全等三角形的对应边、对应角相等；对应边上的中线、高线相等；对应角的角平分线相等。
老封先生一道平面几何问题的简单解答
老封先生一道平面几何问题的简单解答
星野阔
老封先生，就是叶中豪先生。
本文解答的
问题，是他发表在微信公众号《几何爱好者》的《关联点逆相似习题集》的第17题，题目
内容如下：
给定等腰三角形ABC，E、F分别是两腰AC、AB上的点，D是底边BC上的点，且
∠BDE=∠CDF。
求证：AD、BC、EF的中点
共线。
证明：假设BC中点为Q，EF中点为X，
只需证明直线XQ平分线段AD，亦即
S△AQX=S△DQX。
假设BD>CD，那么容易发现，E、F分别
位于AQ两侧，且X和E位于AQ同一侧。
于是，可以得到如下结论：
S△AQX=(S△AQE-S△AQF)/2=(S△ABE-S△ACF)/4
因为Q和D位于直线EF同一侧，所以有：
S△DQX=(S△DQE+S△DQF)/2
因为B、C位于直线DE两侧，而BC中
点Q位于B那一侧，所以有：
S△DQE=(S△BDE-S△CDE)/2
同样的，因为B、C位于直线DF两侧，
而BC中点Q位于B那一侧，所以有：
S△DQF=(S△BDF-S△CDF)/2
进而有：
S△DQX=(S△BDE-S△CDE+S△BDF-S△CDF)/4
要证明S△AQX=S△DQX，只需要证明：
S△ABE+S△CDE+S△CDF=S△ACF+S△BDE+S△BDF
注意，∠B=∠C，∠BDF=∠CDE，所以
△BDF~△CDE，BD*DE=CD*DF，所以
S△CDF=S△BDF，于是，只需要证明：
S△ABE+S△CDE+S△BDF=S△ACF+S△BDE+S△CDE
此式明显是成立的，所以QX平分线段AD。
罗悠然——叶中豪老师一道几何题的解答
罗悠然——叶中豪老师一道几何题的解答罗悠然同学与潘成华老师叶中豪老师一道几何题的解答广州实验中学南山班初二罗悠然潘成华数学工作室专集潘成华——Mathematical Reflections 2(2021)S552题另证刘萱暄——另证2020年摩尔多瓦IMO选拔赛不等式潘成华——两道2021年俄罗斯沙雷金几何题解答潘成华、程千弘、刘萱喧——安振平老师博客问题6024三个解答罗悠然——苏林老师几何题解答潘成华——《数学通讯》2021年问题征解485解答罗悠然——初二学生简证一个三角不等式潘成华——CRUX(BONUS)问题B71另解潘成华数学工作室——解答中等数学上一道几何题潘成华——另证一个三元不等式潘成华——2017年摩尔多瓦不等式另证潘成华数学工作室学员——2020年泰国奥林匹克不等式解答黄锦锐——解答一个几何不等式潘胤旭——证明Gerretsen不等式潘成华数学工作室学员——一个不等式的多种证法潘成华数学工作室初三女学员——解答一个不等式潘成华——2020年摩尔多瓦IMO选拔赛不等式潘成华数学工作室初三女学员——解答一个不等式潘成华数学工作室初二学员——解答叶中豪老师几何题潘成华——2017年伊朗数学奥林匹克几何题解答潘成华——数学奥林匹克训练题(381)：一道新编几何题潘成华——数学奥林匹克训练题(378)：一道新编几何题严彬玮——解答一道几何题詹子鹏、黄梓洵——解答一道几何不等式潘成华——证明一个三元条件不等式潘成华——竞赛生每日一题(357)：一道自编几何题潘成华——单墫老师几何题两个解答潘成华——老题新证潘成华数学工作室——解答一道几何题潘成华数学工作室——张云勇教授征解题解答潘成华数学工作室——解答一道几何题潘成华数学工作室——解答许康华老师的不等式唐晨皓——解答2018年9月根源杯几何题潘成华——竞赛生每日一题(263)：一道新编几何题徐在宥——2020年5月根源杯考试一道题的解答潘成华，徐在宥——竞赛生每日一题261解答唐晨皓，黄梓洵——2018年“根源杯”数学奥林匹克邀请赛五月几何题的两个解答潘成华——竞赛生每日一题255解答潘成华数学工作室——竞赛生每日一题252解答潘成华——证明一个三元不等式戴熙越——解答一道几何题黄梓洵，黄翔庭——中等数学奥林匹克高657和高649解答潘成华——MR数学杂志2020第二期问题(高中组)516解答于浩洋——MR杂志2020第2期问题（高中组）512解答潘成华数学工作室——2018年乌克兰数学奥林匹克一个不等式简证潘成华——竞赛生每日一题(236)：一道新编几何题潘成华数学工作室——加拿大CRUX数学杂志4535解答潘成华，杨阳——竞赛生每日一题232两个解答潘成华——竞赛生每日一题(232)：一道新编几何题李心宇——韦东奕不等式的证明潘成华数学工作室学员解答一个三元不等式潘成华数学工作室——解答一道几何题詹子鹏——解答一道几何题潘成华数学工作室——竞赛生每日一题(219)：一道新编几何题潘成华数学工作室——竞赛生每日一题217解答解答2019哈佛-麻省理工数学竞赛几何题潘成华——竞赛生每日一题(217)：一道新编几何题潘成华——解答一道新编几何题潘成华——竞赛生每日一题(214)：一道新编几何题严彬玮——竞赛生每日一题210解答詹子鹏——竞赛生每日一题210又一解答俞然枫——解答万喜人老师一道新编几何题潘成华——蝴蝶定理解答一道几何题唐晨皓——竞赛生每日一题205解答唐晨皓，尹子彧——竞赛生每日一题204解答潘成华数学工作室——面积方法解答一道平面几何题李心宇——一道代数加强题目的解答李浩铖，唐晨皓——一道新编几何题的解答潘成华——解答一道网传几何题丁力煌——解答2016年哈佛-麻省理工数学竞赛几何题吴雨桐——解答潘成华老师一道新编几何题邱宸豪——一个不等式的另证严彬玮——证明一个三角不等式夏一航——解答潘成华老师一道新编几何题邱宸豪，詹子鹏——一个三角不等式的两个解答潘成华数学工作室学员解答的一道几何题严彬玮——一个四元条件不等式的证明潘成华数学工作室学员解答的一道几何题邱宸豪，冯建波——竞赛生每日一题194的两个解答吴雨桐——解答2012年土耳其奥林匹克几何题夏一航——解答一道几何题俞然枫——解答一道几何题潘成华数学工作室学员解答杨运新老师一道几何题丁力煌——一道2008美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的解答罗千雅，李浩铖——一个三角不等式的两个证明丁力煌——2015年解答的一道IMO几何题严彬玮——竞赛生每日一题187解答李心宇——解答江苏省数学集训队一道数论题詹子鹏——2019年拉普拉塔河数学奥林匹克一道数论题解答潘成华——解答一道新编几何题李心宇——证明一个四元不等式严彬玮——解答一道几何不等式戴熙越——证明一个三角不等式黄梓洵——解答杨运新老师一道几何题严彬玮——一个不等式的证明严彬玮，方星竹——竞赛生每日一题181的两个解答。
学大伟业2016年寒假(北京-济南-南京)数学联赛腾飞班课表
学大伟业2016年寒假 （北京总校）数学联赛腾飞班课表1月30日 1月31日2月1日2月2日2月3日2月4日8:30-11:308:30-11:308:30-11:308:30-11:308:30-11:308:30-11:30田开斌老师田开斌老师叶中豪教授叶中豪教授黄利兵教授黄利兵教授数论基础梳理 数论基础梳理 几何基础梳理 几何基础梳理 代数基础梳理 代数基础梳理14:00-17:0014:00-17:0014:00-17:0014:00-17:0014:00-17:0011:40田开斌老师田开斌老师叶中豪教授叶中豪教授黄利兵教授结课返程数论基础梳理 数论基础梳理 几何基础梳理 几何基础梳理 代数基础梳理 18:30-21:30 18:30-21:30 18:30-21:30 18:30-21:30 18:30-21:30班主任 班主任 班主任 班主任 黄利兵教授自习自习模拟考试1自习代数基础梳理授课老师简介：田开斌：学大伟业先锋导师，文武光华数学工作室成员，高中全国高中数学联赛一等奖保送浙江大学。
现从事数学研究与教育教学工作，在《中等数学》、《数理天地》、《数学奥林匹克与数学文化》、《学数学》等多种刊物上发表数学论文数十篇。
叶中豪:学大伟业客座教授，上海教育出版社副编审，主持 “数学竞赛之窗”栏目，多次为全国联赛、冬令营供题，被称为“几何大王”。
黄利兵：学大伟业先锋导师，南开大学数学科学学院教授，北京大学数学科学学院博士，高中曾获数学CMO 银牌。
讲课注重思想上的创造性，往往能启发学生自己思考，独立钻研。
（济南分校）数学联赛腾飞班课表1月31日 2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日8:30-11:308:30-11:308:30-11:308:30-11:308:30-11:308:30-11:30马 瑞老师马 瑞老师李伟源老师马 瑞老师王建伟教授李建泉教授代数基础梳理 代数基础梳理 几何基础梳理 数论基础梳理 数论基础梳理 几何基础梳理14:00-17:0014:00-17:0014:00-17:0014:00-17:0014:00-17:0011:40马 瑞老师马 瑞老师李伟源老师马 瑞老师王建伟教授结课返程代数基础梳理 代数基础梳理 几何基础梳理 数论基础梳理 数论基础梳理 18:30-21:30 18:30-21:30 18:30-21:30 18:30-21:30 18:30-21:30班主任 班主任 班主任 班主任 李建泉教授自习自习模拟考试1自习几何基础梳理授课老师简介：马 瑞：学大伟业金牌讲师，第25届全国中学生数学奥林匹克金牌，成功入选国家集训队。
期待几何学的复兴_叶中豪
分类号:BF86中华读书报/2001年/02月/28日/第022版/书情期待几何学的复兴叶中豪在数学的大花园里,几何是最美丽的部分。
它既有优美的图形,令人赏心悦目;又有众多的问题,供大家思考探索。
它的论证严谨而优雅,命题美丽而精致。
入门不难,魅力无限,因此吸引了大批业余的数学家与数学爱好者(包括叱咤风云的拿破仑一世),在这里大显身手。
一些历史上有名的大数学家,像牛顿、费马、帕斯卡、欧拉、高斯他们,也禁不住在这里留连驻足,为花园增添奇葩。
伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道:“在我12岁时,我经历了另一种性质完全不同的惊奇:这是在一个学年开始时,当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。
这本书里有许多断言,比如,三角形的三个高交于一点,它们本身虽然并不是显而易见的,但是可以很可靠地加以证明,以致任何怀疑似乎都不可能。
这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。
……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前,有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我。
经过艰巨的努力以后,我根据三角形的相似性成功地`证明了'这条定理。
……对于第一次经验到它的人来说,在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度,就像希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样,是足够令人惊讶的了。
”(《爱因斯坦文集(第一卷)》)面对几何世界这笔丰厚的遗产,难怪H·G·弗德会说出这样的话:“谁看不起欧氏几何,谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡。
”几何学历史悠久,早在古希腊时代就逐渐形成一门独立的学科,无论在实际材料方面,还是在某些理论基础的奠定方面,都得到了光辉的发展。
古代希腊的许多数学家,如泰勒斯(约公元前640-546年)、毕达哥拉斯(约公元前582-493年)、希波克拉底(约公元前430年)、柏拉图(约公元前427-347年)、欧几里得(约公元前33 0-275年)诸人,对几何学都有莫大的功绩。
欧几里得搜集当时所有已知的初等几何材料(包括他自己的发现),按照严密的逻辑系统,编成《几何原本》十三卷,后世誉为几何学的杰作。
焦点三角形的Nagel点的轨迹推出叶中豪一道几何题--黄之
椭圆焦点三角形Nagel 点的轨迹及应用黄之【摘要】用解析几何方法得到椭圆焦点三角形的Nagel 点的轨迹方程，并用此结论解答一个几何证明题。
【关键词】轨迹；椭圆；平面几何；解析几何；Nagel 点关于椭圆的焦点三角形的Nagel 点的轨迹，提出如下命题：椭圆上一动点P 与两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2的Nagel 点的轨迹是一个椭圆（包括蜕化情形和圆）.证明：如图，设椭圆为)0(12222>>=+b a by a x ，则焦点分别为(-c,0),(c,0), 22b a c -=.首先探究内心I 的轨迹，准备通过关系2=(这个结论文后用初等几何补证）得N 的轨迹（G 是重心，N 是Nagel 点）.设),(00y x P ，PI 与x 轴相交于D 点，则易得caF F PF PF ID PI =+=2121，而PD 为椭圆在P 处的法线，易得直线PD 的方程为)()(002002x x y a y y x b -=-，故得)0,(022x ac D ，于是得到内心的坐标为：)1,1(00220c a y c a x a c c a x I +++,即是),(00y c a c x a c I +.(由此易得I 的轨迹) 而显然重心为：)31,31(00y x G ，又有：23-=，故而得到)23,23(I G I G y y x x N --.即：00,2y ca ca y x a c a x N N +-=-=这表明当a=2c ，即离心率21=e 时，N 的轨迹是一条线段，而21≠e 时，有： N N y ca c a y x c a a x -+=-=00,2而),(00y x P 为椭圆上的动点，由此得到Nagel 点N 的轨迹为：1)()2(22222=+-+-b ca c a y c a x ，即1])([)2(3222=+-+-ca c a y c a x 由此可有：1，当21=e 时，N 的轨迹为一线段；2，当0)35()()2(232>+-=+---ca a c c c a c a c a 时，也即)1,53(∈e 时，N 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆；3，当21)53,0(≠∧∈e e 时，N 的轨迹为焦点为y 轴上的椭圆；4，当53=e 时N 的轨迹是一个圆. 以下用该结果证明叶中豪老师的一道几何题：问题：三角形ABC 满足AB+AC=3BC ，E ，F 分别为AC ，AB 上旁切圆的切点，BE ，CF 交于D ，以BC 为对角线作正方形BPCQ.求证：BC DQ DP 2=+证明：事实上即是要证：DP+DQ=CP+CQ.这相当于说D ，C 都在某个以P ，Q 为焦点的椭圆上.设BC 为x 轴，BC 方向为正，取BC 中点O 为原点建立直角坐标系.设BC=2a ，由于AB+AC=6a ，所以A 将在以B ，C 为焦点的椭圆1892222=+ay a x 上，D 点就是三角形ABC 的Nagel点，由之前的结论，D 点的轨迹为122222=+a y a x ，此椭圆的焦点正好是P ，Q ，且C 点正好在此椭圆上，所以得BC CQ CP DQ DP 2=+=+.证毕.补上Nagel 点N ，重心G ，内心I 三点共线且GI NG 2=的初等证明：△ABC 中，I 是内心，E ，F 分别是内切圆在AC ，BC 上的切点，EV ，FW 是内切圆的两条直径，AV 交BC 于J ，BW 交AC 于K ，AJ 与BK 交于N ，下面证明N 就是Nagel 点.过V 作BC 的平行线与AB ，AC 分别交于X ，Y ，则圆I 为△AXY 的旁切圆，V 为切点,故AV 是△AXY 的分周线，所以AJ 就是△ABC 的分周线.同理BK 也是分周线，所以N 为Nagel 点. 所以AF=KC ，BE=JC ，现在取BC ，AC 的中点M ，T ，它们也必是EJ ，FK 的中点，由此有： IT ∥BN ，IM ∥AN ，TM ∥AB 所以△ITM ∽△NBA ，所以有21==BA TM NB IT .令BT 与IN 交于G ，则有BG=2GT ，这就是说，G 是重心，这样就有N ，G ，I 共线，且NG=2GI.证毕.。
数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)
数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，sin sin tan 12。
求证：2EF=DE+DC。
（__-__.gsp）且2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O 上，P为圆O的AO'B弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证：PQ2=PA×PB。
（__-__-1. gsp）3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。
（__-__.gsp）4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。
求证：AP//BC。
（__-__.gsp）5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。
求证：AB、CE、DF共点。
（__-__.gsp）6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。
求证：∠PQC=∠PQD。
（__-__-26.gsp）7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。
求证：DE=EF。
（__-__.gsp）8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。
过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△A BD 的外接圆的劣弧AD于点F。
平面几何入门(16)
平面几何入门（16）叶中豪（老封）例题和习题1.在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD中点，直线MN交AB于P、交AC于Q。
求证：AP＝AQ。
B2.已知△ABC中，AB＝AC，在AB上取BD，在AC的延长线上取CE，使BD＝CE。
求证：BC平分线段DE。
3. 如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过点M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F。
求证：BE＝CF＝12（AB+AC）。
B4. 已知：△ABC中，AB＝AC，E、F分别在BA和AC延长线上，且BE＝CF，联结EF。
求证：BC延长线平分线段EF。
B5. 在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作AD的垂线，交AD的延长线于F，交AB的延长线于E。
求证：BE＝12 BD。
6. 如图，D、E为△ABC的边AB、AC的中点，AB＞AC，在DB上截取DF＝AE，自F作∠A平分线的垂线，垂足为H，FH交BC于M。
求证：BM＝MC。
7. 在△ABC两侧，分别作正方形ABSP和ACTQ，设E、F分别这两个正方形的中心，D是BC边中点。
求证：△DEF是等腰直角三角形。
8. 如图，五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，F是CD的中点。
求证：FB＝FE。
9. 设P为△ABC内一点，∠PAC＝∠PBC。
由P作BC、AC的垂线，垂足分别是L、M，设D为AB中点。
求证：DM＝DL。
B10. 已知：△ABC中，M是BC中点，E、F分别是BA、CA延长线上的点，满足ME ＝MF，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，设这两条垂线相交于D点。
求证：∠DBE＝∠DCF。
E11. 在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点。
求证：∠DEF＝∠HFE。
B12. △ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点。
求证：AB＝2 DM。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
叶中豪几何讲稿
形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。
求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、AD，
交于E点。求证：∠DBE＝90°
6．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC 的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的
B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。 求证：EF⊥PI。 （2007年秘鲁国家队选拔考试）
7．已知：直角△ABC，D是斜边AB的中点，MB⊥AB， MD交AC于N，MC延长线交AB于E。求证：∠DBN＝
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面
任作直线分别交 AB、AC于E、F， 联结B'E、C'F交于 Q点。
求证：AQ⊥BC
∠BCE。 （2007年第4届东南地区数学奥林匹克
8．自圆内接 四边形ABCD 的每边端点作
邻边的垂线，
相邻垂线分别 交于E、F、G、 H。求证：E、 F、G、H四点 共线。
9．已知ABCD是
圆内接四边形， 对角线AC、BD 交于P点，O是 外接圆心。过A、 B分别作邻边AD 和BC的垂线交 于E点。求证： E、O、P三点共 线。
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5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
相关直线及相关三角形
Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形
重心坐标和三线坐标
四边形和四点形
质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理
重要轨迹
平方差，平方和，Apollonius圆
三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
几何变换及相似理论
平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理
内接三角形，外接三角形，Miquel点
根轴
圆幂，根轴，共轴圆系，极限点
）
12．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp
）
13．如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D、E、F各点，AD交内切圆于X，在AD上截取DY＝AX，联结YB、YC分别交内切圆于P、Q。求证：FP ∥EQ ∥AD。（09021801.gsp
）
16．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp
）
17．过⊙O外一点A做其切线AB、AC，在AB延长线上取一点D，△ACD的外接圆和圆O交于另一点P，Q是B到CD的垂足。
求证：∠DPQ=2∠ADC。（09022203.gsp
）
18．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。
特殊直线、圆
Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆
特殊三角形
中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形பைடு நூலகம்弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
反演
反演，分式线性变换（正定向和反定向）
配极
极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点
射影几何
点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理
著名定理
三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat-Torricelli问题，Fagnano-Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线，Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理
）
14．已知⊙O 1与⊙O 2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp
）
15．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp
求证：OQ ⊥PQ。（09022301.gsp
）
19．已知：D、E、F是△ABC各边中点，I、U、V是内心与顶点联线与内切圆的交点。求证：DT、EU、FV三线共点。（09022601.gsp
高中平面几何
(上海教育出版社叶中豪知识要点
三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点，Napoleon点，Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线
）
3．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD ⊥BC于D，PE ⊥CA于E，PF
⊥AB于F。求证：(BC/PD＝(AC/PE+(AB/PF。（09012201-7.1.gsp
）
4．已知△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线PO与AB、AC分别交于M、
N，与弧AB相交于点D，与BC的延长线交于点P，以OP为直径作圆与⊙O的另一个交点为G。求证：GN ⊥DP。（09012202.gsp