叶中豪平面几何讲座1.
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）
5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
相关直线及相关三角形
Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形
重心坐标和三线坐标
四边形和四点形
质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理
重要轨迹
平方差，平方和，Apollonius圆
三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
几何变换及相似理论
平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理
内接三角形，外接三角形，Miquel点
根轴
圆幂，根轴，共轴圆系，极限点
）
12．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp
）
13．如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D、E、F各点，AD交内切圆于X，在AD上截取DY＝AX，联结YB、YC分别交内切圆于P、Q。求证：FP ∥EQ ∥AD。（09021801.gsp
）
16．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp
）
17．过⊙O外一点A做其切线AB、AC，在AB延长线上取一点D，△ACD的外接圆和圆O交于另一点P，Q是B到CD的垂足。
求证：∠DPQ=2∠ADC。（09022203.gsp
）
18．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。
特殊直线、圆
Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆
特殊三角形
中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形பைடு நூலகம்弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
反演
反演，分式线性变换（正定向和反定向）
配极
极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点
射影几何
点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理
著名定理
三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat-Torricelli问题，Fagnano-Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线，Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理
）
14．已知⊙O 1与⊙O 2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp
）
15．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp
求证：OQ ⊥PQ。（09022301.gsp
）
19．已知：D、E、F是△ABC各边中点，I、U、V是内心与顶点联线与内切圆的交点。求证：DT、EU、FV三线共点。（09022601.gsp
高中平面几何
(上海教育出版社叶中豪知识要点
三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点，Napoleon点，Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线
）
3．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD ⊥BC于D，PE ⊥CA于E，PF
⊥AB于F。求证：(BC/PD＝(AC/PE+(AB/PF。（09012201-7.1.gsp
）
4．已知△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线PO与AB、AC分别交于M、
N，与弧AB相交于点D，与BC的延长线交于点P，以OP为直径作圆与⊙O的另一个交点为G。求证：GN ⊥DP。（09012202.gsp
5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
相关直线及相关三角形
Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形
重心坐标和三线坐标
四边形和四点形
质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理
重要轨迹
平方差，平方和，Apollonius圆
三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
几何变换及相似理论
平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理
内接三角形，外接三角形，Miquel点
根轴
圆幂，根轴，共轴圆系，极限点
）
12．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp
）
13．如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D、E、F各点，AD交内切圆于X，在AD上截取DY＝AX，联结YB、YC分别交内切圆于P、Q。求证：FP ∥EQ ∥AD。（09021801.gsp
）
16．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp
）
17．过⊙O外一点A做其切线AB、AC，在AB延长线上取一点D，△ACD的外接圆和圆O交于另一点P，Q是B到CD的垂足。
求证：∠DPQ=2∠ADC。（09022203.gsp
）
18．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。
特殊直线、圆
Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆
特殊三角形
中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形பைடு நூலகம்弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
反演
反演，分式线性变换（正定向和反定向）
配极
极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点
射影几何
点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理
著名定理
三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat-Torricelli问题，Fagnano-Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线，Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理
）
14．已知⊙O 1与⊙O 2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp
）
15．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp
求证：OQ ⊥PQ。（09022301.gsp
）
19．已知：D、E、F是△ABC各边中点，I、U、V是内心与顶点联线与内切圆的交点。求证：DT、EU、FV三线共点。（09022601.gsp
高中平面几何
(上海教育出版社叶中豪知识要点
三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点，Napoleon点，Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线
）
3．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD ⊥BC于D，PE ⊥CA于E，PF
⊥AB于F。求证：(BC/PD＝(AC/PE+(AB/PF。（09012201-7.1.gsp
）
4．已知△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线PO与AB、AC分别交于M、
N，与弧AB相交于点D，与BC的延长线交于点P，以OP为直径作圆与⊙O的另一个交点为G。求证：GN ⊥DP。（09012202.gsp