高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳

绵阳市开元中学高2014级高三复习

《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳

制卷：王小凤 学生姓名：___________

一．知识梳理

1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *

)这个公式所表示的定

理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫

二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a

n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .

3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r

n n C C -=

(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1

2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项

1

122n n n

n

C

C

-+=取得最大值．

(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n

；

C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2

n －1

. 一个防范

运用二项式定理一定要牢记通项

T r ＋1＝C r n a

n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理

二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项

式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质

(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；

二．题型示例

【题型一】求()n x y +展开特定项

例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )

A.6

B.7

C.8

D.9

解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36

，∴n ！5！（n －5）！＝n ！

6！（n －6）！

×3，

∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.

例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫x

y

－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)

解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝

⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()3384228

1r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 4

8＝70.故填70.

【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项

例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74

B ．121

C ．－74

D ．－121

解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 3

8(－1)3＝－121.

【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项

例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1

解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·

C 1

5x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.

∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.

例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n

4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，

所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C.

例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在1212()()

()x a x a x a ---的展开式中，

11

x 的系数为_______.

解：11x 的系数为121267()6()60a a a a a -++

+=-+=-。

【题型四】求()n x y z ++展开特定项

例1：求⎝

⎛⎭

⎪⎫x 2＋1

x ＋

25

(x >0)的展开式经整理后的常数项. 解法一：⎝

⎛⎭⎪⎫x 2＋1

x ＋

25

在x ＞0时可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2

＋1x 10， 因而T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－r ()x 10－2r ，则r ＝5时为常数项，即C 510·⎝ ⎛⎭

⎪⎫125＝6322.

解法二：所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.

分三类：①5个式子均取2，则C 5

5()25＝42；

②取一个x 2，一个1x ，三个2，则C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫12C 1

4()23＝202；

③取两个x 2，两个1x ，一个2，则C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 232＝1522. 所以，常数项为42＋202＋1522＝632

2.

点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题. 例2：若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．

A ．11

B ．33

C ．55

D ．66

解：展开后，每一项都形如a b c x y z ，其中10a b c ++=，该方程非负整数解的对数为

210266C +=。

例3：[2015·课标全国卷Ⅰ](x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )

A ．10

B ．20

C ．30

D ．60

解析 易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2

＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.

【题型五】二项式展开逆向问题

例1：(2013·广州毕业班综合测试)若C 1n ＋3C 2n ＋32C 3n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝85，则n 的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

解：由C 1n ＋3C 2n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝13[(1＋3)n －1]＝85，解得n ＝4.故选B.

【题型六】赋值法求系数（和）问题

例1：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.

求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；

(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①

令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.

(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.③ (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.④

(4)∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，

∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.

点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可

.②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之

和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）

2

，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝

f （1）－f （－1）

2

.

例2：设⎝ ⎛⎭

⎪⎫22＋x 2n

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…

＋a 2n －1)2＝_______________________.

解：设f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫22＋x 2n

，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋

a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1)