(分式因式分解)
(因式分解分式)单元测试卷
（因式分解\分式）单元测试卷一、填空题：（每空格2分，共42分）1、 直接写出因式分解的结果：①2332255y x y x -= ②_________________22=+++n n na a a ③_____________________942=-x ④=+-3632a a 2、 若是完全平方式162+-mx x ，那么m=________。
若n x x ++1242是一个完全平方式，则n = 。
3、 如果_________;,2,52222=+=+==+y x xy y x xy y x 则4、 利用因式分解简便计算（必须写出完整计算过程）①____________________________________________75.225.722=－②______________________________________1443824382=+⨯+=5、 多项式.____________96922的公因式是与++-x x x6、 分式22-+x x 等于0,则x . 当x 时,分式354-+x x 有意义. 7、 ab a 21,312的最简公分母是 . 3912+-m m m 与的最简公分母是 . 8、 分式方程331-=-+x k x x 无解，则k=______. 9、分式方程134313=---+x x x 的解是_______. 10、件商品，进价为50元，售价为a 元，利润率为_____________.11、一项工作，甲要5小时才可完成，乙要x 小时完成，若甲乙合作, 3小时可完成_____________12、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.若设自行车的速度为x 千米/时，根据以上条件可列分式方程：_______________________________13、种原料和乙种原料的每千克单价比是2：3，将价值200元的甲种原料有价值100元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分★五、多项式的因式分解：1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》2、因式分解的方法、步骤和要求：（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。
（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。
*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。
（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。
《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）A.327b aB.227b aC.b a 27D.3328b a2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）A.-13B.13C.42D.-423.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----4423；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x xB.)(2n m m m mn m +=++C.)2)(4(822+-=--a a a aD.22)21(21-=+-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）A.22n m +B.22n mn m +-C.223n mn m +-D.22n mn m ++6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。
分解因式 分式法 2)
n1
2a a
n
n 1
1 ( 4)( x 2)( x 3) 4 平凉市第十中学
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
2
：
2
完全平方式的特点
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
2 2 首 2首尾 尾
平凉市第十中学
1x 2 xy y 是 2 2 是 2 A 2 AB B 2 2是 3 甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2 2
判别下列各式是不是完全平方 式
平凉市第十中学
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 b2
（2）a2-2ab+
（3）m2+2m+ （4）n2-2n+
=(a-b) 2
=( m+1 ) 2 =( n-1 ) 2
1
1
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
3.(a+b)2
分解因式：
• （1）m2－8mn+16n2 • （2）m2+8mn+16n2 • （3）a2+2ab+b2 • （4）a2－2ab+b2
平凉市第十中学
现在我们把乘法公式反过来
整式、分式、因式分解
个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。
1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法大全待定系数法（因式分解）待走系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛,这里介绍它在因式缠中的应用・在因式分解时” 一些多项式经过分析”可以断走它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待走的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程（或方程组）,解出待走字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待走系数法・常用的因式缠公式:@ 士疔=a2±2ab+i2（。
士b）%±3舄+ 3必2 土护宀宀@一％+3）/士护=（a±b）（a2干必+胪）—护=⑺-耐(严+护門+汁留卄十护一2 *护)(乃为正整数)/ - &1血》心於-…+必心-旷1)(耳为偶数)a尢4•护=0 +血)(严_ d f 4•卅昭--------- 必心十b#】)@为奇数)(&+D+ E)2=a1 +3? 4-e2 + 2ab + 2be + 2caa^ -ib2 +c3-3abc = (a +b +c)((a2 4-^2 4-c?2一ab-bc-ca)例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3 .分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y) (x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一走是x+2y+m和x+y+n的形式应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m + n)x+(m+2 n)y+m n ,比较两边对应项的系数,则有解之得m = 3 z n = l •所以原式=(x+2y+3)(x+y+l).说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下・例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7 ・分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1 , ±7(7的约数)” 经检验,它们都不是原式的根,所以”在有理数集内”原式没有一次因式■如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的开彳式・原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad + bc)x+bd , 所以有由bd=7,先考虑b=「d=7有所以说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-l z d二・7等可以不加以考虑•本题如果b=l,d=7代入方程组后，无法确走a , c的值，就必原式=(X2・7X+1)(X2+5X+7)・须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止・本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式•但利用待定系数法，使我们找到了二次因式•由此可见，待走系数法在因式分解中也有用武之地・求根法(因式分解)我们把开彳如anxn+an-lxn-l+...+alx+aO(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x),... 等记号表示，如f(x)=x2-3x+2 z g(x)=x5+x2+6 z..., 当x二a时，多项式f(x)的值用f⑻表示・如对上面的多项式f(x) f(l) = 12-3x我们把开彳如a n x n+a n-ix n-1+...+aix+ao(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x) z…等记号表示,如f(x)=x2-3x+2 , g(x)=x5+x2+6 ,...,例2分解因式:x3-4x2+6x-4・当x=a 时,多项式f(x)的值用f(a)表示・如对上面的多 项式f(x) f(l) = l 2-3xl+2=0 ;f(-2)=(-2)2-3x(-2)+2=12 ・若f(a)=O ,则称a 为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a 是一元多项式f(x)的根，即 f(a)=O 成立，则多项式f(x)有一个因式x ・a ・根据因式走理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键 是求多项式f(x)的根・对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时, 根.定理2的根，则必有p 是ao 的约数,q 是an 的约数・特别地, 当ao=l 时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n 的约数・我们根据上述走理,用求多项式的根来确走多项式的_ 次因式，从而对多项式进行因式分解・分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根, 必是・4的约数，逐个检验・4的约数:±1, ±2, ±4,只有即整系数多项式时，经常用下f(2)=23-4x22+6x2-4=0 ,即x=2是原式的一个根,所以根据走理1.原式必有因式x・2・解法1用分组分解法,使每组都有因式(x・2)・原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x・4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)・解法2用多项式除法,将原式除以(x・2),所以原式=(x-2)(x2・2x+2)・说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是・4的反之不成立,即・4的约数不一走是多项式的根・因此，必须对约数z・4的约数逐个代入多项式进行验证・例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2 .分析因为9的约数有±1 , ±3 , ±9 ;・2的约数有±1 ,所以，原式有因式9X2・3X・2・解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+l)=(3x+l)(3x-2)(x2+l)说明若整系数多项式有倉数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2・3x・2 ,这样可以简化分解过程.总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x) 低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了・双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2 + bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式•例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3・我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式・例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 •我们将上式按x 降幕排列，并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式・对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+l).再利用十字相乘法对关于X的二次三项式分解所以原式二[x+(2y・3)] [2x+(-lly+l)] =(x+2y-3)(2x-lly+l).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法・如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图：它表不的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2 ;(x-3)(2x+l)=2x2-5x-3 ;(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3 .这就是所谓的双十字相乘法・用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2 z得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上妾求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx・例1分解因式：(1) x2-3xy-10y2+x+9y-2 ;(2) x2-y2+5x+3y+4 ;(3) xy+y2+x-y-2 ;⑷6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2・解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-l)・(2)原式=(x+y+l)(x・y+4)・G)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解・原式=(y+l)(x+y-2)・(4)原式=(2x・3y+z)(3x+y・2z)・说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似・笔算开平方对于一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3Z16.48Z41.第二步,找出第一段数字的初商”使初商的平方不超过第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3 ,初商为1 ,因为12 = 1<3 , jfo（l+l）2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字, 组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商”使（20x初商+试商）x试商不超过第一余数，而【20x初商+（试商+1）】x（试商+1）则大于第—余数. 第五步，把第一余数减去（20x初商+试商）x试商，并移下第三段数字组成第二余数本例中试商为7第二余数为2748. 依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零, 则开方运算告结束•若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐•本例的算式如下：17.79^3,16 .48,411 ...................... -I220 X 1=20 2 16 ................. •第一余毅十7271 89 ................. (27X7)20x17 =340 27 48 .................. ■-第二余+7347 24 29 .............. (347X7)20X177 = 3540 3 19 41 …-第三余数十93549 3 19 41 3549X9【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为需（n为大于1的自然数）•作为代数式，籀称为根式・n称为根指数，a称为根底数•在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根, 其绝对值相同”符号相反. 【算术根】正数的正方根称为算术根•零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的走义，有换式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积; 反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根”即lfab = ^fa>^/b(ci >Q z b>0)根式的彳【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除, 即恥临 >0,b>0)【根式的乘方】阳仁归牡0)【根式化简］祈=你(心0)(a > 0)、虑 + 4- 4-4- + y/b) _ ^Jb (气心_+ ^fb) a _b\/c 4- ^fd G 亦 + — J^) (dF 4- — \厉)气広 + y/h (气心 + ^b )(、後 _ ^/b) ct — b【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式 称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.亶进位制的基与数字任一醴可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字 的值与数字所在的位置有关’任何位置的数字当小数点向右 移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小 10倍•例如173.246 = 1X 102 +7X 10+3 + 2X 10-1+4X 10-2 +6X 10-3T 殳地，任一正数a 可表为a = a%i ・・・aA>d ・・・=a n xlO a +。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧分式因式分解是高中数学中的一个重要概念，它是将一个分式表达式表示为两个或多个因式的乘积的形式。
分式因式分解的方法和技巧是解决这类问题的关键，下面将介绍一些常见的方法和技巧。
一、分式因式分解的基本概念分式因式分解是指将一个分式表达式表示为多个因式的乘积的形式。
在进行分式因式分解时，需要找出分子、分母的公因式，并将其约掉，从而得到分式的最简形式。
二、分式因式分解的方法1. 提取公因式法当分式的分子、分母中存在公因式时，可以提取公因式并约掉，从而实现分式的因式分解。
例如，对于分式表达式(2x+4)/(x+2)，我们可以提取公因式2，并得到2(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式2。
2. 分子分解法当分式的分子可以进行因式分解时，可以将分子进行因式分解，并与分母约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。
例如，对于分式表达式(x^2+3x+2)/(x+2)，我们可以将分子进行因式分解，得到(x+1)(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式(x+1)。
3. 分母分解法当分式的分母可以进行因式分解时，可以将分母进行因式分解，并与分子约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。
例如，对于分式表达式1/(x^2-x)，我们可以将分母进行因式分解，得到1/x(x-1)，然后约掉(x-1)，得到最简形式1/(x(x-1))。
4. 完全平方式当分式中存在二次因式时，可以使用完全平方式进行因式分解。
例如，对于分式表达式(x^2-4)/(x^2-2x)，我们可以使用完全平方式，将分子分解为(x+2)(x-2)，将分母分解为x(x-2)，然后约掉(x-2)，得到最简形式(x+2)/x。
三、分式因式分解的技巧1. 观察分子、分母的特征：分式中的分子和分母通常都具有一定的特征，例如是否存在公因式、是否可以因式分解等，观察这些特征可以帮助我们选择合适的分式因式分解方法。
2. 利用代数运算性质：在进行分式因式分解时，可以利用代数运算性质简化计算过程。
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
分式 因式分解
分式与因式分解在数学领域中，分式和因式分解是两个基础但极其重要的概念。
它们不仅在代数中占据核心地位，而且对于解决各种数学问题具有关键作用。
本文将详细探讨分式的定义、性质以及因式分解的方法和应用。
一、分式的概述分式，顾名思义，是指一个数学表达式被另一个数学表达式除所得的商。
具体来说，分式由分子和分母两部分组成，形如$\frac{a}{b}$，其中$a$是分子，$b$是分母。
需要注意的是，分母不能为0，否则分式无意义。
分式具有多种性质，如基本性质、运算性质等。
基本性质包括分式的值不变性，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
运算性质则涉及分式的加减乘除运算，这些运算都需遵循一定的法则和步骤。
二、因式分解的概念与方法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
这种方法在解决代数方程、不等式以及函数问题等方面具有广泛应用。
因式分解的核心在于找到多项式中的公因式或利用公式进行分解。
常见的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）以及分组分解法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的多项式。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
三、分式与因式分解的联系分式和因式分解在代数中紧密相连。
一方面，因式分解可以简化分式，使其更易于计算和理解。
例如，通过因式分解，我们可以将复杂的分式化简为几个简单分式的和或差，从而便于进行后续的运算和分析。
另一方面，分式运算中也经常需要用到因式分解的技巧。
例如，在求解分式方程时，我们通常需要对方程两边进行因式分解，以便消除分母或降低方程的次数。
此外，在分式的加减运算中，通过因式分解可以找到通分母，从而简化运算过程。
四、分式与因式分解的应用分式和因式分解在数学领域具有广泛的应用。
在代数中，它们是解决方程、不等式和函数问题的重要工具。
在几何中，分式和因式分解也被用来描述和解决与形状、面积和体积相关的问题。
此外，在实际生活中，分式和因式分解也发挥着重要作用。
代数式、整式的运算、因式分解、分式 常用知识点
第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及办法大全待定系数法(因式分化)待定系数法是数学中的一种重要的解题办法,应用很普遍,这里介绍它在因式分化中的应用．在因式分化时,一些多项式经由剖析,可以断定它能分化成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未肯定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积,依据多项式恒等的性质,双方对应项系数应当相等,或取多项式华夏有字母的几个特别值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分化的办法叫作待定系数法．经常应用的因式分化公式：例1 分化因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．剖析因为(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分化因式,那么它的两个一次项必定是x+2y+m和x+y+n的情势,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较双方对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．解释本题也可用双十字相乘法,请同窗们本身解一下．例2 分化因式：x4-2x3-27x2-44x+7．剖析本题所给的是一元整系数多项式,依据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经磨练,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．假如原式能分化,只能分化为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的情势．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先斟酌b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．解释因为因式分化的独一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以斟酌．本题假如b=1,d=7代入方程组后,无法肯定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法应用求根法分化因式．但应用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分化中也有效武之地．求根法(因式分化)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．依据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的症结是求多项式f(x)的根．对于随意率性多项式f(x),请求出它的根是没有一般办法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常应用下面的定理来剖断它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们依据上述定理,用求多项式的根来肯定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分化．例2 分化因式：x3-4x2+6x-4．剖析这是一个整系数一元多项式,原式如有整数根,必是-4的约数,逐个磨练-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以依据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分化法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．解释在上述解法中,特别要留意的是多项式的有理根必定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不必定是多项式的根．是以,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分化因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．剖析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)解释若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,如许可以简化分化进程．总之,对一元高次多项式f(x),假如能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分化为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,如许,我们就可以持续对g(x)进行分化了．双十字相乘法(因式分化)分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分化二次三项式时,我们经常应用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分化因式．例如,分化因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂分列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分化为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再应用十字相乘法对关于x的二次三项式分化所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分化的进程,实行了两次十字相乘法．假如把这两个步调中的十字相乘图归并在一路,可得到下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分化的步调是：(1)用十字相乘法分化ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分化成两个因式填在第三列上,请求第二.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一.第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分化因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数算作0来分化．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．解释 (4)中有三个字母,解法仍与前面的相似．笔算开平方对于一个数的开方,可以不必盘算机,也不必查表,直接笔算出来,下面经由过程一个例子来解释若何笔算开平方,对于其它数只需模拟即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点地位向阁下每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超出第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,构成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超出第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,构成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法持续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告停止.若余数永久不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点地位,平方根小数点地位应与被开方数的小数点地位对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为大于1的天然数).作为代数式,指数实数规模内,负数不克不及开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值雷同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积;反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子.分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都雷同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以归并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数当作进位制的基,于是就得到q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.经常应用进位制,除10进制外,还有2进制.8进制.16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各类进位制的互相转换1 q→10转换实用平日的10进数四则运算规矩2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步调是：(1) 用q去除[a(10)],得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商调换[a(10)]的地位反复(1)和(2)两步,直到商等于零为止.对于分数部分其步调是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分调换{a(10)}的地位,反复(1)和(2)两步,直到乘积变成整数为止,或直到所须要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换平日情形下其步调是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是统一数s的不合次幂,其步调是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,因为8=23,16=24,所以s=2,其步调是：起首把8进数的每个数字依据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所稀有字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴致：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指应用无刻度的直尺和圆规来作图.若应用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,不然称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形.正六边形.正八边形.正十边形等.而另一些就不克不及作出,例如正七边形.正九边形.正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.若何断定哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的办法完整地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分须要前提是,这个作图问题中必须求出的未知量可以或许由若干已知量经由有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来很多半学家消耗了很多的精神,妄图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严厉证清楚明了这三个问题不克不及用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分亲密．很多代数式是先化简再求值,特别是有附加前提的代数式求值问题,往往须要应用乘法公式.绝对值与算术根的性质.分式的基赋性质.通分.求值中的办法技能主如果代数式恒等变形的技能.技能和办法．下面联合例题一一介绍．1．应用因式分化办法求值因式分化是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采取．剖析 x的值是经由过程一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看可否应用已知前提．解已知前提可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．解释在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所请求值的代数式恰当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且知足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分化变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．解释本题也可以用如下办法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的情势．2．应用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．剖析将x,y的值直接代入盘算较繁,不雅察发明,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很轻易盘算出x+y与xy的值,由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值假如代数式字母较多,式子较繁,为了使求值轻便,有时可增设一些参数(也叫帮助未知数),以便沟通数目关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子,用别的的一个字母来调换,这叫换元法．剖析本题的已知前提是以连比情势消失,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们朋分成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①双方平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即双方平方有所以4．应用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这共性质在代数式求值中经常被应用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．剖析与解x,y的值均未知,而标题却只给了一个方程,似乎无法求值,但细心发掘题中的隐含前提可知,可以应用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y知足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 个中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．剖析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经由配方之后,看是否能化成非负数和为零的情势．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．应用分式.根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰硕,是以设有专门讲座介绍,这里只分离举一个例子略做解释．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：剖析直接通分是蠢笨的解法,可以应用前提将某些项的情势变一变．解依据分式的基赋性质,分子.分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．应用已知前提,可将前三个分式的分母变成与第四个雷同．同理剖析盘算时应留意不雅察式子的特色,若先分母有理化,盘算反而庞杂．因为如许一来,原式的对称性就被损坏了．这里所言的对称性是分应用这种对称性,或称之为整洁性,来简化我们的盘算．同样(但请留意算术根！)将①,②代入原式有演习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．。
什么叫分解因式
在没有说明化到实数时, 在没有说明化到实数时,一般只化到 有理数就够了 由此看来, 由此看来,因式分解中的四个注意贯 穿于因式分解的四种基本方法之中, 穿于因式分解的四种基本方法之中, 与因式分解的四个步骤或说一般思考 顺序的四句话: 先看有无公因式, 顺序的四句话:"先看有无公因式, 再看能否套公式,十字相乘试一试, 再看能否套公式,十字相乘试一试, 分组分解要合适"是一脉相承的. 分组分解要合适"是一脉相承的.
因式分解四个注意: 因式分解四个注意:
因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负, 因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各 项有" 先提" 某项提出莫漏1,括号里面分到" 项有"公"先提"公",某项提出莫漏 ,括号里面分到"底". 现 举下例 可供参考 分解因式. 例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式. - + + 分解因式 :-a2- + =-(a2- )=-(a- + ) 解:- -b2+2ab+4=-( -2ab+b2-4)=-( -b+2) + =-( + - )=-( (a-b-2) - - ) 这里的" 负号" 如果多项式的第一项是负的, 这里的"负",指"负号".如果多项式的第一项是负的,一般要 提出负号,使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如- 提出负号,使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如-9x2+ + 4y2=(- )2-( )2=(- +2y)(- -2y)=( - =(-3x) -( -(2y) =(- =(-3x+ )(- )(-3x- )=( )=(3x- =(- 2y)( +2y)的错误 )(3x+ ) )( 分解因式. 例2把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式.解:- 把 + + + - - 分解因式 12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=- =-6xnyn-1(2xny- + + + - - =- - ( - 3x2y2+1) + ) 这里的" 公因式" 如果多项式的各项含有公因式, 这里的"公"指"公因式".如果多项式的各项含有公因式,那么 先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的" , 先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的"1",是指多项式的 某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1. 某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉 .
因式分解和分式
龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。
例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。
例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab 例02．把y x y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。
例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧一、利用分式的性质进行分解1.互质因式法：当分式的分子和分母没有公因式时，可以将分子和分母直接以括号括起来，形成一个整体，以简化表达式的形式。
例如：分解分式a/(b+c)时，可以直接写成a/[(b+c)]。
2.分子因式分解法：当分子为多项式时，可以尝试对分子进行因式分解，再将分母与因式分解结果进行组合。
例如：分解分式 (x^2 + xy)/[(x^2 + y^2)(x-y)]，可以先对分子进行因式分解，得到 x(x+y)/[(x-y)(x^2 + y^2)]，再将分子与分母组合。
3.分母因式分解法：当分母为多项式时，可以尝试对分母进行因式分解，再将分子与因式分解结果进行组合。
例如：分解分式(x^2+2x+1)/(x^3-1)，可以将分母进行因式分解，得到(x-1)(x^2+x+1)/(x-1)(x^2+x+1)(x+1)，然后将分子与分母的公因式相消。
二、利用分母的无理根进行分解当分母中存在无理数根，如√2、√3等时，可以通过有理化的方法将分母有理化，再进行分解，以简化计算。
例如：分解分式1/(√2+√3)，首先采用有理化的方法将分母有理化为(√2-√3)(√2+√3)，再将分子与有理化后的分母相乘即可。
三、利用分式的运算性质进行分解1.加减法性质：分式的加减可以通过找到公共分母，对分子进行加减来简化计算或分解。
例如：分解分式(a/c+b/c)/(d/c-e/c)，公共分母为c，分子可以写成(a+b)/c，分母可以写成(d-e)/c，再将分子与分母相除即可简化。
2.乘法性质：分式的乘法可以将分子与分母的公因式化为一个因式，从而简化计算或分解。
例如：分解分式 (a^2b^3cd^2)/(8abc^2d^3) ，分式中的公因式有 a、b、c、d，可以将公因式取出，得到 (ab^2d)/(8d^3)，再简化计算。
四、利用分式的逆运算进行分解有时可以利用分式的逆运算，如倒数运算、分子分母对调等，将分式进行变换，再进行分解。
初中：分式、因式分解
复习1、（2019湖北随州，第25题，3分）【答案】【思路分析】观察F-t图像和v-t图像，找出在这三个两秒当中，物体的运动状态和受到的推力，再根据当物体处于静止状态或匀速直线运动状态时受平衡力，可得出摩擦力的大小。
利用公式W= Fs计算做功的大小，利用P=W/t计算功率的大小。
【解题过程】A. 由v-t图像可知，在第一个2s内木箱处于静止状态；再由F-t图像可知，第一个2s内木箱受到的推力为1N，因此，推力与摩擦力平衡，则摩擦力也为1N，故A错误；B. 由v-t图像可知，在第三个2s内木箱处于匀速直线状态；再由F-t图像可知，第三个2s内木箱受到的推力为2N，因此，推力与摩擦力平衡，则摩擦力也为2N。
在第二个2s 内，木箱处于加速状态，但压力和接触面的粗糙程度不变，所以摩擦力不变，仍为2N，故B错误；C. 在第一个2s内木箱处于静止状态，有力无距离，因此，推力F不做功；D. 在第三个2s内，木箱移动的距离：s=vt=4m/s×2s=8m，F对木箱做的功为：W=Fs=2N×8m=16J，F做功的功率：P=W/t=16J/2s=8W, 故D正确。
【知识点】力与图像的结合，功的计算，功率的计算，速度公式的运用，摩擦力的影响因素，二力平衡的运用2.（2019山东省潍坊市，题号25，分值11）庆祝中国人民解放军海军成立70周年海上阅兵活动在青岛附近海域举行，图中093改进型攻击核潜艇于2019年4月27日公开亮相，进行了战略巡航。
该潜艇最大核动力功率为2.8×104kW，完全下潜到海面下后的排水量为6.8×103t（取海水密度ρ＝1×103kg/m3、g＝10N/kg）。
问：（1）该潜艇悬浮时，其上一面积为0.05m2的整流罩距海面深度为200m，此时整流罩受到海水的压力为多少？（2）若最大核动力功率转化为水平推力功率的效率为80%，该潜艇在海面下以最大核动力功率水平巡航时，受到的水平推力为1.6×106N，此时潜艇的巡航速度为多少？（3）该潜艇浮出海面处于漂浮时，露出海面的体积为1.5×103m3，此时潜艇的总重量是多少？【答案】（1）1×105N；（2）14m/s；（3）5.3×107N。
第3讲 因式分解与分式
分解因式: 分解因式 (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 ） = (2x+3)(2x-3) （2）(x+p)2 – (x+q) 2 ） = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p-q).
当
1 1 ( x + )( y + ) 的值。 的值。 y x
x=2+ 3 , y=2− 3时，
1 = 1+ + 2 1 =4
1 +2 原式 =(2+ 3)(2− 3)+ (2+ 3)(2− 3)
P13-9.（2010.山东济宁）先观察下列等式，然后 （ 山东济宁） 山东济宁 先观察下列等式， 发现的规律解答下面问题： 用你 发现的规律解答下面问题：
7 7 x
4.若将分式 若将分式 值分别扩大为原来的2倍 则分式的值（ 的 值分别扩大为原来的 倍，则分式的值（ B ） A.扩大为原来的 倍 扩大为原来的2倍 扩大为原来的 C.不变 不变
1 B.缩小为原来的2 缩小为原来的
a+b 均为正数） 、 均为正数 中的字母a、 ab （a、b均为正数）中的字母 、b
A A÷M = B B÷M
P12-3.下列各式从左到右的变形不一定正确的是（ ） 下列各式从左到右的变形不一定正确的是（ 下列各式从左到右的变形不一定正确的是 D
3(3 x − y ) 3 A. =− 5( y − 3 x ) 5
a2 − b2 a −b = 2 2 B. a + 2ab + b a+b ( y − z )( z − y ) 1 = C. ( x − z )( x − y )( y − z ) x − z x D. 1 =
分式因式分解
分式因式分解
分式因式分解是指将一个分式表达式写成若干个因式的乘积的形式。
分式因式分解的步骤主要有两个：分解分母和分解分子。
1. 分解分母
首先，需要找到分母中的所有因式，然后将其分解为最简形式。
例如，如果分母是4x^2 - 9，我们可以将其分解为(2x + 3)(2x - 3)。
2. 分解分子
接下来，需要根据分式的类型和题目要求，将分子分解成若干个因式的乘积。
对于一些常见的分式类型，可以采用特定的方法进行分解，例如：
a. 一次函数和一次多项式的分式：将分子和分母同时除以二者的最高公因式即可。
b. 二次函数和一次多项式的分式：通过配方法将分子化为二次多项式，然后使用因式分解公式分解分子和分母。
c. 分数幂函数的分式：将幂函数的底数分解为若干个质因数的乘积，然后使用
指数运算法则进行分解。
最后，将分解后的分母和分子相除即可得到分式因式分解的结果。
总之，分式因式分解需要灵活运用数学知识和方法，并且需要进行多次检查和验证，以确保答案准确无误。
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：ba 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．2. n 都是正整数)．．()n ab =再把注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项． ①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ ④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的 322a ⨯；1=+a a ，不是)．123、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4.分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．B A =这个“适解：(1)b a b a b a 34124131413132-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎭⎝=-； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcadc d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：除运算，此类a 必①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131)13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ．(4)b a 号里的(例烦，解：6321263212--+++--232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-．分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a ba +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ， 54<<∴x ．一、例1故有a 例2于是可以发现3+22=()221+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧分式因式分解是数学中的一个重要概念和技巧，它在代数运算和解题中起着重要作用。
本文将介绍分式因式分解的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式的基本概念分式是指分子和分母都是代数式的表达式，形如$\frac{N}{D}$的形式，其中N和D分别表示分子和分母。
分式可以看作是整式的除法，它具有一些独特的性质和运算规则。
二、分式因式分解的基本思想分式因式分解是将一个分式表达式分解为多个分式的乘积的过程，其中每个分式都是不可再分解的。
分式因式分解的基本思想是将分子和分母进行因式分解，然后利用分式的乘法规则进行合并，得到简化后的分式。
三、分式因式分解的方法和技巧1. 提取公因式：当分子和分母存在公因式时，可以将其提取出来，以简化分式。
例如，对于分式$\frac{2x+6}{4x}$，可以提取出公因式2，得到$\frac{2(x+3)}{4x}$，然后再进行进一步的因式分解。
2. 分解为部分分式：对于分式$\frac{N}{D}$，当分子的次数小于分母的次数时，可以将其分解为多个部分分式的和。
部分分式是指分子次数小于分母次数的分式，可以通过分解为简单的分式来减小计算难度。
例如，对于分式$\frac{x^2+x+1}{x^3-1}$，可以将分母$x^3-1$进行因式分解为$(x-1)(x^2+x+1)$，然后将分式$\frac{x^2+x+1}{x^3-1}$分解为$\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$的形式，其中A、B、C是待定系数，通过比较系数的方法可以求得A、B、C的值。
3. 分子分母同除：当分子和分母有相同的因式时，可以将其约去，以简化分式。
例如，对于分式$\frac{x^2-4}{x^2-1}$，可以发现分子和分母都有因式$(x-1)(x+1)$，因此可以将其约去，得到$\frac{x-2}{x+1}$。
4. 完全平方差公式：当分子或分母是完全平方差时，可以利用完全平方差公式进行分解。
分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习
整式的乘除法。
因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。
同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
2。
幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
4。
整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
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1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A 、()()2339a a a +-=-
B 、()()22a b a b a b -=+-
C 、()24545a a a a --=--
D 、23232m m m m m ⎛
⎫--=-- ⎪⎝
⎭
2、下面各分式：
44
16121222
222+-+---++-x x x x x y x y x x x x ，，，，其中最简分式有（ ）个。
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3、 如果m 为整数，那么使分式
1
3
++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的边长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 5、下面各式，正确的是（ ）
A. 32
6
x x x =
B. b a c b c a =++
C.
1=++b a b
a
D. 0=--b a b
a
6、已知1=ab ，则⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-b b a a 11的值为（ ） A. 2
2a
B. 2
2b
C. 2
2a b -
D. 2
2b a -
7、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+-
②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+-④2
21142x x x ⎛
⎫--+=-- ⎪⎝⎭其中正
确的个数有( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
8、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A 、()()4x y y x xy +--
B 、2224a ab b -+
C 、2144
m m -+
D 、()2
221a b a b ---+ 9、若多项式()281n
x -能分解成()()()2
49
2323x x x ++-，那么n=( )
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8
10、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个
边长为b 的小正方形(a >b )，把余下的部分
剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图 形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则 这个等式是( )
A 、()()2222a b a b a ab b +-=+-
B 、()2
222a b a ab b +=++ C 、()2
222a b a ab b -=-+ D 、()()22a b a b a b -=+-
11、对于分式39
2+-x x ，当x__________时，分式无意义；当x_________时，分式的值为0；
12、若
5
9
22=-+b a b a ，则a ：b =__________； 13、已知13a a -= ，那么221
a a
+=_________ ；
14、若分式732
-x x 的值为负数，则x 的取值范围为_______________；
15、221.229 1.334⨯-⨯=__________；
16、若26x x k -+是x 的完全平方式，则k =__________。
17、若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。
18、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。
19、若()2
22,8x y z x y z ++=-+=时，x y z --=__________。
①
②
20、已知2221440x y x xy y --+++=，则x y +=___________。
21、（1）x x x -+-++11
11112 （2）
x x x x x x x 4126)3(446222
--+⋅+÷+--
22、、把下列各式分解因式：
(1) 3222a a b ab -+ (2) 322159a ab ac -+-
(3) ()()2
2141m m m --- (4) ()2
22416x x +-
（5）22216)4(x x -+ （6）
()
132)3(2
22+-+-x x
23、(1) 3199199-能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由。
(2)说明：当n 为正整数时，3n n -的值必为6的倍数。
(14分)
24、甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，求a 和b 的值
25、已知1x +1y =3，求2232x xy y x xy y
++-+的值．
26、先化简:⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++÷--a b ab a a ab b a 2
2222,当1-=b 时，再从22<<-a 的范围内选取一个合适的整数代入求值。
27、（1）()()()()()()()
()()201620151
....43132121111++++++++++++++n n n n n n n n n n
（2）)2
1
1.().........
211)(211)(211)(211(2015432+++++。