均匀分布地和地分布服从正态分布

数学应用软件大型实验实验报告

实验序号：日期：2012 年 6 月 20日

班级信计100班姓名学号201020310216

中心极限定理的理论证明

实验

名称

问题背景描述：

图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

图一：

中心极限定律揭示了正态分布的意义：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。同

图一：均匀分布的和的分布

由图可以看出，均匀分布的和的分布‘*’所画的线和正态分布‘-’所画的线重合度不高。

纠正：

图二：均匀分布的和的分布图三：正态分布

结论：

由图二和图三可以看出，100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布的图吻合。当n足够大时，服从均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布.

方法二：

function y=fun(r)%编作文件

s=0;a=0.5;b=sqrt(1/12);

for n=1:100

s=s+r;

y=(s-n*a)./(sqrt(n)*b);

end

r=rand(1,100);

normplot(r);

legend('均匀分布的和的分布')

图四：均匀分布的和的分布

um=mean(r)%计算出均值

um =

0.5308

>> sigma=std(r)%计算出标准差

sigma =

0.2867

y=normrnd(mu,sigma,1,100)%产生1*100阶正态分布的随机矩阵

y =

Columns 1 through 9

-0.1564 0.7578 0.3263 0.5689 0.5421 0.4812 0.1872 0.2035 0.3677

Columns 10 through 18

Columns 91 through 99

0.6780 1.0362 0.6197 1.0096 0.3776 0.1482 0.4145 0.8163 0.1550

Column 100

0.6572

[m,v]=normstat(mu,sigma)%计算出均值和标准差

m =

0.4750

v =

0.0822

x=0:0.01:1;y=normcdf(x,mu,sigam);plot(x,y,'-r')%画出正态分布的图

图五：正态分布

总结：

由图四和图五可以看出，100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布的图吻合。当n足够大时，均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布。

方法三：

利用均匀分布的和的分布和正态分布的密度函数来证明

r=unifrnd(0,1,1,100)；%生成100个符合均匀分布的和的分布

M=100；

mu=100*0.5;

sigma=sqrt(100/12);

s=sum(r); mu=mean(r);%求随机数的平均值

sigma=std(r);%求均方差

[n,x] =hist (r,mu-5*sigma:sigma:mu+5*sigma);

bar(x,n/M/sigma, 'r');%绘制直方图

hold on;

h=mu-5*sigma:0.1*sigma:mu+5*sigma; %取100个点

t=exp(-(h-mu).^2/2/sigma^2)/sqrt(2*pi)/sigma;%标准正态分布表达式plot(h,t,'k')%绘制数值曲线

图六：均匀分布的和的分布与正态分布

总结：

从图中可以看出，100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布的图吻合。当n足够大时，均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布.

问题二：

用1000个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布进行比较来进行验证大量独立随机变量的和近似服从正态分布。

方法：

r=unifrnd(0,1,1,1000);%产生1000符合个均匀分布的数

mu=mean(r)%计算出均值

mu =

0.4967

sigma=std(r)%计算出标准差

sigma =