一道三角形面积最小值的计算

来路、思路、出路
——一道求三角形面积最小值问题
（于都三中 蔡家禄）
题目：如图，已知点P （2，3），过点P 的直线l 交y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B.求△ABO 的面积s 的最小值.
来路：由三角形面积公式可知，12
s OA OB =⋅，观察图象，A 、P 、B 三点共线，当OB 增大时，OA 减小.反之，当OB 减小时，OA 增大.若设点A 的坐标为（0，b ），则由A （0，b ）、P （2，3）两点坐标用待定系数法可求得直线l 的解析式为32b y x b −=
+.进而可求出点B 的坐标为（23
b b −，0），因此212233b b s b b b =⨯⋅=−−.从中可看出s 是b 的函数.但遗憾的是此函数模型并非初中学生所熟悉的，因此解题至此陷入困境.
思路：当解决问题受阻时，不防退一步，从特殊情形出发（赋值法）.
设4b =，则2
41643
s ==−； 设5b =，则2
512.553
s ==−； 设6b =，则2
61263
s ==−； 设7b =，则2
712.2573
s ==−…… 此时，我们便可猜想：当6b =时，s 最小为12.
我们再反过来思考：
若s =16，则2
163
b b =−，去分母后解得14b =，212b =.结合图象思考，就是当△ABO 的面积为16时，对应的直线l 有两种位置，即过点（0，4）或过点（0，12）；
若s =12，则2
123
b b =−，去分母后解得126b b ==.结合图象思考，就是当△ABO 的面
积为12时，对应的直线l 只有一种位置情况，即过点（0，6）.结合图象分析△ABO 的面积变化情况可知，s 只有最小值，没有最大值.当s 为最小值时，直线l 对应的位置是唯一的，而非最小值时，直线l 对应的位置有两个.因此，s 的最小值应为12.
出路：由以上探究可知，s 与b 是相互关联的，即2
3
b s b =−.又直线l 与两数轴的正半轴有交点A 、B ，在2
3
b s b =−中，显然30b −>，因此可化为230b sb s −+=.对于此方程，我们可以作以下理解：
（1）s 表示△ABO 的面积，b 表示直线l 与y 轴交点的纵坐标，即决定直线l 与y 轴交点的位置；
（2）s 可以看作是关于b 的一元二次方程的系数，它保证该方程有实数解；
（3）求s 的最小值.
基于以上思考与认识，于是我们找到以下解题出路:
解：设点A 的坐标为（0，b ），则经过点P （2，3）和点A （0，b ）的直线l 的解析式为32b y x b −=
+.当0y =时，得23b x b =−，即B （23
b b −，0）. 所以△ABO 的面积2
12233
b b s b b b =⨯⋅=−−. 因为直线l 与两数轴的正半轴有交点A 、B ，所以30b −>，因此，去分母并整理可得230b sb s −+=.又因为关于b 的一元二次方程有实数解，所以2()4130s s ∆=−−⨯⨯≥，解得12s ≥(0s ≤舍去)，因此，所求△ABC 的面积s 的最小值为12.。