专题10 平面直角坐标系及函数初步(解析版)

专题10 平面直角坐标系及函数初步命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征1. 已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】∵点P(0，m)位于y轴负半轴，∴m＜0.∴－m＞0.－m＋1＞0，∴点M(－m，－m＋1)的横坐标和纵坐标都大于0，故其在第一象限．2. 在平面直角坐标系中，将点(－2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是( )A. (4，－3)B. (－4，3)C. (0，－3)D. (0，3)第3题图【答案】C【解析】平面直角坐标系内的点关于原点对称，则横纵坐标均要变号，所以(－2，3)关于原点的对称点为(2，－3)，然后根据“左减右加”的平移规则可知向左平移2个单位长度后为(0，－3)，故选C.3. 如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(－4，2)，点B的坐标为(2，－4)，则坐标原点为( )A. O1B. O2C. O3D. O4【答案】 A【解析】∵m∥x轴，n∥y轴，∴如解图，分别过O1、O2、O3、O4作直线m，n的平行线，即可构成以O1，O2，O3，O4为坐标原点的直角坐标系．∵A(－4，2)，B(2，－4)，∴点A到x 轴的距离为到y 轴距离的12，点B 到x 轴的距离为到y 轴距离的2倍，则只有O 1符合题意．故选A.4. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2，－3)，作点A 关于x 轴的对称点得到点A ′，再作点A ′关于y 轴的对称点，得到点A ″，则点A ″的坐标是________．【答案】(－2，3)【解析】∵点A 的坐标是(2，－3)，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∴A ′的坐标为(2，3)，∵作点A ′关于y 轴的对称点，得到点A ″，∴点A ″的坐标是(－2，3)．5. 已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB ＝2，若点A 的坐标为(a ，b)，则点D 的坐标为________．【答案】 (－a －2，－b )或(－a ＋2，－b )【解析】当点A 、B 在y 轴异侧时，如解图①，∵AB 与x 轴平行且AB ＝2，A (a ，b )，∴B (a ＋2，b )，∵对角线AC 的中点在坐标原点，∴点A 、C 关于原点对称，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴点B 、D 关于原点对称，∴D (－a －2，－b )；当点A 、B 在y 轴同侧时，如解图②，同理可得B (a －2，b )，则D (－a ＋2，－b )．故点D 的坐标为(－a －2，－b )或(－a ＋2，－b )．第5题解图命题点2 函数自变量的取值范围6. 函数y ＝1x ＋2中，x 的取值范围是( )A . x ≠0B . x ＞－2C . x ＜－2D . x ≠－2【答案】D【解析】要使函数有意义，则x ＋2≠0，则x ≠－2.7. 在函数y＝1 2x＋4x中，自变量x的取值范围是( )A. x>0B. x≥－8C. x≥－8且x≠0D. x>0且x≠－8【答案】C【解析】根据题意可得12x＋4≥0且x≠0，解得x≠0且x≥－8.8. 函数y＝x1－x＋1中自变量x 的取值范围是____________________．【答案】x≥－1且x≠0【解析】若函数y＝x1－x＋1有意义，就需满足⎩⎨⎧1－x＋1≠0x＋1≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠0x≥－1.命题点3 函数图象的分析与判断类型一与实际问题结合9. 一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米．甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发．甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是( )【答案】A【解析】由题意可知：甲所跑路程分为3个时段：开始1小时，以15千米/时的速度匀速由点A跑至点B，所跑路程为15千米；第1小时至第32小时休息，所跑路程不变；第32小时至第2小时，以10千米/时的速度匀速跑至终点C，所跑路程为5千米，即甲累计所跑路程为20千米时，所用时间为2小时，并且甲开始1小时内的速度大于第32小时至第2小时之间的速度．因此选项A 、C 符合甲的情况．乙从点A 出发，以12千米/时的速度匀速一直跑至终点C ，所跑路程为20千米，所用时间为53小时，并且乙的速度小于甲开始的速度但大于甲第3时段的速度．所以选项A 、B 符合乙的情况．故选A.10.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误．．的是( ) A . 乙前4秒行驶的路程为48米 B . 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米 C . 两车到第3秒时行驶的路程相等 D . 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度第10题图第11题图【答案】C【解析】根据图象乙前4秒属于匀速行驶，所以路程为4×12＝48(米)，故A 正确；甲在0－8 s 内速度由0米/秒增加至32米/秒，所以速度每秒增加4米，故B 正确；甲在0－8 s 内速度时间关系为y ＝4x ，当x ＝3时，y ＝12，S 甲＝12×3×122＝18(米)，S 乙＝12×3＝36(米)，S 甲＜S 乙，故C 错误；在4－8s 内，甲的图象一直在乙图象的上方，故甲的速度都大于乙的速度，故D 正确．故选C.11.星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min 后回到家．图中的折线段OA －AB －BC 是她出发后所在位置离家的距离s(km )与行走时间t(min )之间的函数关系．则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是( )【答案】B【解析】由图可知，OA 段离家的距离s 逐渐增大，AB 段离家的距离s 不变，BC 段离家的距离s 又逐渐减小，选项B 中从圆心至圆弧上距离逐渐增大，在圆弧上距离圆心距离保持不变，圆弧另一端至圆心距离又逐渐减小，符合图中离家距离的变化．12. 如图所示，向一个半径为R ，容积为V 的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y 与容器内水深x 间的函数关系的图象可能是( )第12题图第13题图【答案】A【解析】当x ＜R 时，球形容器中水平面圆的半径逐渐增大，故随着x 的增大，容器内水的体积增大的速度为先小后大，故排除B 、C 、D ；当x >R 时，球形容器中水平面圆的半径逐渐减小，故随着x 的增大，容器内水的体积增大的速度为先大后小，故选A.13.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发30秒后，乙才出发．在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示．则乙到终点时，甲距终点的距离是________米．【答案】175【解析】由图象可知甲前30秒跑了75米，则甲的速度为7530＝2.5米/秒，再由图象可知，甲出发180秒时，两人相离0千米，这说明甲出发后180秒时，乙追上了甲，此时两人所行路程相等为180×2.5＝450米，乙用的时间为180－30＝150秒，所以乙的速度为450150＝3米/秒，由此可以求出乙跑到终点所用时间为15003＝500秒，此时甲跑的时间为500＋30＝530秒，甲已跑路程为530×2.5＝1325米，甲距终点的距离为1500－1325＝175米．类型二 与几何图形结合第14题图14.如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A 和点B)，则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致为( )【答案】B【解析】设△ABP 中，AB 边上的高为h ，S ＝12AB ·h ，当点P 在AD 边上运动时，AB 不变，h 逐渐增大，∴S 随t 增大而增大，图象呈上升趋势；当点P 在DE 边上运动时，AB 、h 均不变；∴S 不随t 变化，图象为水平线段；当点P 在EF 边上运动时，h 逐渐减小，AB 不变，∴S 随t 增大而减小，图象呈下降趋势；当点P 在FG 边上运动时，AB 和h 均不变，S 不随t 变化，图象为水平线段；当点P 在GB 边上运动时，AB 不变，h 逐渐减小，∴S 随t 增大而减小，图象呈下降趋势．15. 如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD 的边AB 与等腰直角三角形EFG 的斜边FG 重合，△EFG 以每秒1个单位长度的速度沿BC 向右匀速运动(保持FG ⊥BC)，当点E 运动到CD 边上时△EFG 停止运动．设△EFG 的运动时间为t 秒，△EFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为S ，则S 关于t 的函数大致图象为( )第15题图【答案】B【解析】由题易知，△EFG 斜边FG 上的高为2，当0≤t ≤2时，S ＝12(4－2t ＋4)×t ＝－t 2＋4t ，其图象为开口向下的抛物线的一部分；当2＜t ≤4时，S ＝12×4×2＝4，其图象为平行于x 轴的一条线段；当4＜t ≤6时，S ＝12×2(6－t )(6－t )＝(6－t )2，其图象为开口向上的抛物线的一部分．故选B.16．如图①，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，则当x ＝9时，点R 应运动到( )A . M 处B . N 处C . P 处D . Q 处第16题图【答案】D【解析】△MNR 的变化是高的改变，底边不变，当R 运动到点P 时面积最大，从点P 到点Q ，面积不变，从点Q 到点M ，面积变小，∴当x ＝9时，点R 在点Q 处．17. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示．它由四个边长均为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图乙所示，DG ＝1米，AE ＝AF ＝x 米，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x 的函数图象大致是( )第17题图【答案】A【解析】∵构成大正方形的每个小正方形的边长均为3米，AE ＝AF ＝x 米，DG ＝1米，∴DE ＝(3－x )米．∴每个小正方形中不种植花卉部分面积为12x 2＋12(3－x ) ＝12(x 2－x ＋3)，于是每个小正方形中种植花卉的面积(五边形面积)为9－12(x 2－x ＋3)．∴y 与x 之间函数关系为y ＝4[9－12(x 2－x ＋3)]＝－2x 2＋2x ＋30＝－2(x －0.5)2＋30.5(x <3)．分析函数图象，只有选项A 的图象符合题意．18. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )第18题图【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°. (1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形， ∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2(0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分. 综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．19. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6厘米，BC ＝12厘米，点P 、Q 同时从顶点A 出发，点P 沿A →B →C →D 方向以2厘米/秒的速度前进，点Q 沿A →D 方向以1厘米/秒的速度前进，当Q 到达点D 时，两个点随之停止运动，设运动时间为x 秒，P 、Q 经过的路径 与线段PQ 围成的图形的面积为y(cm 2)，则y 与x 的图象大致是( )【答案】A【解析】当点P 在AB 上时，即0≤x ≤3时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为12x ×3x ＝32x 2；当点P 在BC 上时，即3≤x ≤9时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为12×3×33＋12×(2x －6＋x －3)×33＝932x －1832，y 随x 的增大而增大；当点P 在CD 上时，即9≤x ≤12时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为12×33－12(12－x )(123－3x )＝－32x 2＋123x －363；综上，图象A 符合题意．。